匹配问题： 匈牙利算法 、最优指派、相等子图、库恩—曼克莱斯 (Kuhn-Munkres) 算法

浅夏110

定义
若 M ⊂ E(G) ，∀  ∈ M ，   与  无公共端点（i ≠ j ），则称 M 为图 G 中的一个对集；M 中的一条边的两个端点叫做在对集 M 中相配；M 中的端点称为 被 M 许配；G 中每个顶点皆被 M 许配时，M 称为完美对集；G 中已无使| M '|>| M | 的对集 M ' ，则 M 称为最大对集；若G 中有一轨，其边交替地在对集 M 内外出现，则 称此轨为 M 的交错轨，交错轨的起止顶点都未被许配时，此交错轨称为可增广轨。
6 j0 W- O; {1 w' A
若把可增广轨上在 M 外的边纳入对集，把 M 内的边从对集中删除，则被许配的 顶点数增加 2，对集中的“对儿”增加一个。 1957 年，贝尔热(Berge)得到最大对集的充要条件：

5 g; V# e( g7 N- K% {3 V! J* e- e【定理 2 】M 是图G 中的最大对集当且仅当G 中无 M 可增广轨。
  Z) m7 M  W$ Z3 ~5 m8 s" O: [
% b0 b- K' t3 N% V1935 年，霍尔(Hall)得到下面的许配定理：

【定理 3】 G 为二分图， X 与Y 是顶点集的划分，G 中存在把 X 中顶点皆许配的对集的充要条件是：
7 U- p! V* ~) T
∀S ⊂ X ，则| N(S) | ≥| S |，其中 N(S) 是 S 中顶点的邻集。

* S+ g2 J* d& i由上述定理可以得出：

3 u/ q9 X& [- h2 B; n# [* S【推论 1】若G 是k 次（k > 0) 正则 2 分图，则G 有完美对集。 所谓k 次正则图，即每顶点皆k 度的图。
& a4 ~& ]  L, ~
% P$ z0 W* ^9 R4 _! F2 \由此推论得出下面的婚配定理：
7 k: o% O3 k* k
& ?! l. O) S. S7 b) T! K【定理 4 】每个姑娘都结识k (k ≥ 1) 位小伙子，每个小伙子都结识k 位姑娘，则每位 姑娘都能和她认识的一个小伙子结婚，并且每位小伙子也能和他认识的一个姑娘结婚。

. ^$ H2 r1 A3 a3 k/ e% w人员分派问题等实际问题可以化成对集来解决。

) \- }8 ~. W, e8 [# S+ z. H; a! d
9 ]  P8 x$ w+ J, \# {5 g( ^, I( e
解决这个问题可以利用 1965 年埃德门兹(Edmonds)提出的匈牙利算法。
" u+ p9 F; n5 L  J6 y+ ?( T
! M* A. e+ m9 }  I7 ]+ P匈牙利算法


把以上算法稍加修改就能够用来求二分图的最大完美对集。
; m$ O3 ~3 D" _* Y
$ h8 Q3 p( \# X3 ^9 Z最优分派问题
在人员分派问题中，工作人员适合做的各项工作当中，效益未必一 致，我们需要制定一个分派方案，使公司总效益最大。 这个问题的数学模型是：在人员分派问题的模型中，图 G 的每边加了权   ≥ 0 ，表示  做  工作的效益，求加权图G 上的权最大的完美对集。 解决这个问题可以用库恩—曼克莱斯（Kuhn-Munkres）算法。为此，我们要引入 可行顶点标号与相等子图的概念。

& H3 J2 Y6 t! {% B0 D1 W& W可行顶点标号、相等子图
* J8 G- |$ G& W5 V2 W& W

) G. \+ t5 h4 {【定理 5】   的完美对集即为G 的权最大的完美对集。
' y, B% m% J& N; D2 C
库恩—曼克莱斯 (Kuhn-Munkres) 算法
* T) I* y, N; y4 q" t$ n

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