匹配问题： 匈牙利算法 、最优指派、相等子图、库恩—曼克莱斯 (Kuhn-Munkres) 算法

浅夏110

定义
% L0 Z& b( @7 q, H1 g若 M ⊂ E(G) ，∀  ∈ M ，   与  无公共端点（i ≠ j ），则称 M 为图 G 中的一个对集；M 中的一条边的两个端点叫做在对集 M 中相配；M 中的端点称为 被 M 许配；G 中每个顶点皆被 M 许配时，M 称为完美对集；G 中已无使| M '|>| M | 的对集 M ' ，则 M 称为最大对集；若G 中有一轨，其边交替地在对集 M 内外出现，则 称此轨为 M 的交错轨，交错轨的起止顶点都未被许配时，此交错轨称为可增广轨。

' q( i3 R, t/ J3 \0 {# h若把可增广轨上在 M 外的边纳入对集，把 M 内的边从对集中删除，则被许配的 顶点数增加 2，对集中的“对儿”增加一个。 1957 年，贝尔热(Berge)得到最大对集的充要条件：
. f1 e2 a  [0 d( {) _7 ]
【定理 2 】M 是图G 中的最大对集当且仅当G 中无 M 可增广轨。

1935 年，霍尔(Hall)得到下面的许配定理：
/ `# H0 t+ r4 e/ k  f4 J
9 g2 X9 r3 }* W6 z, A# h% Y/ L【定理 3】 G 为二分图， X 与Y 是顶点集的划分，G 中存在把 X 中顶点皆许配的对集的充要条件是：
/ ^5 D, L/ s# E% L% Y
∀S ⊂ X ，则| N(S) | ≥| S |，其中 N(S) 是 S 中顶点的邻集。

7 U6 w) N5 W, a5 n( z" l由上述定理可以得出：
' Y% ]; Z, z, h& \) N7 y% k
【推论 1】若G 是k 次（k > 0) 正则 2 分图，则G 有完美对集。 所谓k 次正则图，即每顶点皆k 度的图。
/ [: a* O# Z6 T2 s5 R
由此推论得出下面的婚配定理：
+ E) p* Z8 l7 P& w8 t0 w& I' o8 ^
/ O' l, v) ^4 R1 M+ l【定理 4 】每个姑娘都结识k (k ≥ 1) 位小伙子，每个小伙子都结识k 位姑娘，则每位 姑娘都能和她认识的一个小伙子结婚，并且每位小伙子也能和他认识的一个姑娘结婚。
7 B& _% U% d; s% T1 [
人员分派问题等实际问题可以化成对集来解决。
% v) D% b  {# F6 V
9 D) f5 x+ w8 b$ T7 W& t6 f

" y6 O2 {" A3 N解决这个问题可以利用 1965 年埃德门兹(Edmonds)提出的匈牙利算法。

$ T2 W9 K: {! k' \/ N匈牙利算法
* d5 k( t/ a/ y( _
4 b& O1 P- ]" D& n2 x4 Q: n
; S0 g8 l. A3 `9 T) ^' s3 z* S+ I2 u( t把以上算法稍加修改就能够用来求二分图的最大完美对集。

最优分派问题
5 M6 L: t  k! Z" I+ k8 N在人员分派问题中，工作人员适合做的各项工作当中，效益未必一 致，我们需要制定一个分派方案，使公司总效益最大。 这个问题的数学模型是：在人员分派问题的模型中，图 G 的每边加了权   ≥ 0 ，表示  做  工作的效益，求加权图G 上的权最大的完美对集。 解决这个问题可以用库恩—曼克莱斯（Kuhn-Munkres）算法。为此，我们要引入 可行顶点标号与相等子图的概念。

可行顶点标号、相等子图
* U8 A8 |& D0 r# |) i! X, ^
3 W( e2 t5 N6 Q
7 Q9 d9 y" E$ m4 ^/ V【定理 5】   的完美对集即为G 的权最大的完美对集。

库恩—曼克莱斯 (Kuhn-Munkres) 算法
* J. S) e# N+ n* i
5 H, F6 {/ A9 @
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