匹配问题： 匈牙利算法 、最优指派、相等子图、库恩—曼克莱斯 (Kuhn-Munkres) 算法

浅夏110

定义
7 T% a  {2 u0 W' s若 M ⊂ E(G) ，∀  ∈ M ，   与  无公共端点（i ≠ j ），则称 M 为图 G 中的一个对集；M 中的一条边的两个端点叫做在对集 M 中相配；M 中的端点称为 被 M 许配；G 中每个顶点皆被 M 许配时，M 称为完美对集；G 中已无使| M '|>| M | 的对集 M ' ，则 M 称为最大对集；若G 中有一轨，其边交替地在对集 M 内外出现，则 称此轨为 M 的交错轨，交错轨的起止顶点都未被许配时，此交错轨称为可增广轨。
, ]8 A4 P- c! t& j* A
, }2 Y2 C* x, G2 N% y( j若把可增广轨上在 M 外的边纳入对集，把 M 内的边从对集中删除，则被许配的 顶点数增加 2，对集中的“对儿”增加一个。 1957 年，贝尔热(Berge)得到最大对集的充要条件：

$ B! c: \0 M! i, s【定理 2 】M 是图G 中的最大对集当且仅当G 中无 M 可增广轨。
9 [1 Z3 N8 u5 j
& }, o% W& @" c: a; }; g4 m1935 年，霍尔(Hall)得到下面的许配定理：

【定理 3】 G 为二分图， X 与Y 是顶点集的划分，G 中存在把 X 中顶点皆许配的对集的充要条件是：

; g( s$ D5 i4 D0 @  e# e∀S ⊂ X ，则| N(S) | ≥| S |，其中 N(S) 是 S 中顶点的邻集。

0 H! k3 D6 N  g$ c! O由上述定理可以得出：
. o) f( x9 R3 x: r) V7 p
【推论 1】若G 是k 次（k > 0) 正则 2 分图，则G 有完美对集。 所谓k 次正则图，即每顶点皆k 度的图。

9 S! e, v$ g3 P1 `( I由此推论得出下面的婚配定理：

2 O- z. t- d& C% w【定理 4 】每个姑娘都结识k (k ≥ 1) 位小伙子，每个小伙子都结识k 位姑娘，则每位 姑娘都能和她认识的一个小伙子结婚，并且每位小伙子也能和他认识的一个姑娘结婚。

人员分派问题等实际问题可以化成对集来解决。
( b% |% l4 {0 H. C% m! G& P6 K* v
7 Y* P3 C/ ~( v- o  V& M& E7 }- P
2 o3 x/ s, H& v. `% G& X: M* s5 c5 t
解决这个问题可以利用 1965 年埃德门兹(Edmonds)提出的匈牙利算法。

7 c% Z' A! l! w" }6 B' k匈牙利算法
3 {, e! s+ c) f" D4 c: t
1 x* K" y7 Y* q8 b1 _! P: K) |
, l& U3 G6 E2 k, F, g& q. \+ K把以上算法稍加修改就能够用来求二分图的最大完美对集。

最优分派问题
在人员分派问题中，工作人员适合做的各项工作当中，效益未必一 致，我们需要制定一个分派方案，使公司总效益最大。 这个问题的数学模型是：在人员分派问题的模型中，图 G 的每边加了权   ≥ 0 ，表示  做  工作的效益，求加权图G 上的权最大的完美对集。 解决这个问题可以用库恩—曼克莱斯（Kuhn-Munkres）算法。为此，我们要引入 可行顶点标号与相等子图的概念。
9 D6 R; p4 ^% Q% V3 [
可行顶点标号、相等子图
( X( Y* B7 V3 W5 B

【定理 5】   的完美对集即为G 的权最大的完美对集。
. c. J* u. {/ L
库恩—曼克莱斯 (Kuhn-Munkres) 算法


% g. o- @! Y! `( v% R* i0 t, u————————————————
版权声明：本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89785987