匹配问题： 匈牙利算法 、最优指派、相等子图、库恩—曼克莱斯 (Kuhn-Munkres) 算法

浅夏110

定义
" r% s* Z7 X& a  q若 M ⊂ E(G) ，∀  ∈ M ，   与  无公共端点（i ≠ j ），则称 M 为图 G 中的一个对集；M 中的一条边的两个端点叫做在对集 M 中相配；M 中的端点称为 被 M 许配；G 中每个顶点皆被 M 许配时，M 称为完美对集；G 中已无使| M '|>| M | 的对集 M ' ，则 M 称为最大对集；若G 中有一轨，其边交替地在对集 M 内外出现，则 称此轨为 M 的交错轨，交错轨的起止顶点都未被许配时，此交错轨称为可增广轨。

若把可增广轨上在 M 外的边纳入对集，把 M 内的边从对集中删除，则被许配的 顶点数增加 2，对集中的“对儿”增加一个。 1957 年，贝尔热(Berge)得到最大对集的充要条件：
- T2 E9 U- R' ^7 {* {- E
+ Q0 R8 I9 n5 I9 f2 C/ j2 p5 U  l【定理 2 】M 是图G 中的最大对集当且仅当G 中无 M 可增广轨。
1 M7 V4 L5 n7 k$ J; [" d
1935 年，霍尔(Hall)得到下面的许配定理：
$ V) _4 \0 ?/ d6 c
【定理 3】 G 为二分图， X 与Y 是顶点集的划分，G 中存在把 X 中顶点皆许配的对集的充要条件是：

4 D+ Q0 x' L# Q- i% r! ?∀S ⊂ X ，则| N(S) | ≥| S |，其中 N(S) 是 S 中顶点的邻集。
( g& T& F: y: a: S0 r' `1 @
( s8 H/ {" m. h1 f2 f. m0 h由上述定理可以得出：

【推论 1】若G 是k 次（k > 0) 正则 2 分图，则G 有完美对集。 所谓k 次正则图，即每顶点皆k 度的图。
4 Z0 b2 K) g2 z8 |: }) J' ~  t
由此推论得出下面的婚配定理：

  j2 H/ ~4 g2 [, L【定理 4 】每个姑娘都结识k (k ≥ 1) 位小伙子，每个小伙子都结识k 位姑娘，则每位 姑娘都能和她认识的一个小伙子结婚，并且每位小伙子也能和他认识的一个姑娘结婚。
1 {8 c1 _# H' o' t; E7 `
0 X( B/ L1 q3 w5 M人员分派问题等实际问题可以化成对集来解决。
& L8 h2 D6 `  H$ w8 L


解决这个问题可以利用 1965 年埃德门兹(Edmonds)提出的匈牙利算法。
+ A8 b6 b/ L5 X! K& y
3 c# ?$ U3 C! H" w. n& ^匈牙利算法


把以上算法稍加修改就能够用来求二分图的最大完美对集。

最优分派问题
在人员分派问题中，工作人员适合做的各项工作当中，效益未必一 致，我们需要制定一个分派方案，使公司总效益最大。 这个问题的数学模型是：在人员分派问题的模型中，图 G 的每边加了权   ≥ 0 ，表示  做  工作的效益，求加权图G 上的权最大的完美对集。 解决这个问题可以用库恩—曼克莱斯（Kuhn-Munkres）算法。为此，我们要引入 可行顶点标号与相等子图的概念。

可行顶点标号、相等子图
6 u& B+ @' n. M' ]

【定理 5】   的完美对集即为G 的权最大的完美对集。
% O" o. `5 D* y2 I  {* u
库恩—曼克莱斯 (Kuhn-Munkres) 算法


————————————————
版权声明：本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89785987
# M& U+ M0 \" d/ u) m& J9 W