匹配问题： 匈牙利算法 、最优指派、相等子图、库恩—曼克莱斯 (Kuhn-Munkres) 算法

浅夏110

定义
$ q/ o, V' U& K0 N' G若 M ⊂ E(G) ，∀  ∈ M ，   与  无公共端点（i ≠ j ），则称 M 为图 G 中的一个对集；M 中的一条边的两个端点叫做在对集 M 中相配；M 中的端点称为 被 M 许配；G 中每个顶点皆被 M 许配时，M 称为完美对集；G 中已无使| M '|>| M | 的对集 M ' ，则 M 称为最大对集；若G 中有一轨，其边交替地在对集 M 内外出现，则 称此轨为 M 的交错轨，交错轨的起止顶点都未被许配时，此交错轨称为可增广轨。

7 U3 K' q- G5 h9 `1 e若把可增广轨上在 M 外的边纳入对集，把 M 内的边从对集中删除，则被许配的 顶点数增加 2，对集中的“对儿”增加一个。 1957 年，贝尔热(Berge)得到最大对集的充要条件：
, v$ y5 ?; H3 H+ @: B5 i# d& D
1 }* Y% `' q. S8 g# k【定理 2 】M 是图G 中的最大对集当且仅当G 中无 M 可增广轨。
- V" L/ C0 _% u( T/ N1 p
1935 年，霍尔(Hall)得到下面的许配定理：

9 Y. k# T1 S9 Q' {: I. c【定理 3】 G 为二分图， X 与Y 是顶点集的划分，G 中存在把 X 中顶点皆许配的对集的充要条件是：

∀S ⊂ X ，则| N(S) | ≥| S |，其中 N(S) 是 S 中顶点的邻集。
6 n/ P( ?( H9 t" \3 o
由上述定理可以得出：

【推论 1】若G 是k 次（k > 0) 正则 2 分图，则G 有完美对集。 所谓k 次正则图，即每顶点皆k 度的图。
  h$ y- q# b, ^( V
由此推论得出下面的婚配定理：

【定理 4 】每个姑娘都结识k (k ≥ 1) 位小伙子，每个小伙子都结识k 位姑娘，则每位 姑娘都能和她认识的一个小伙子结婚，并且每位小伙子也能和他认识的一个姑娘结婚。
. h* M, ?8 ]# F4 v5 m7 \3 V
人员分派问题等实际问题可以化成对集来解决。
! C  K/ `0 p7 l0 x& O
5 M3 r& X7 n5 C5 k" U0 Y0 P

解决这个问题可以利用 1965 年埃德门兹(Edmonds)提出的匈牙利算法。
* m! Q8 k) P$ \' v3 K* U
5 M, V0 Z, d' n; c; e匈牙利算法
) C2 b" U& g( [, D! T& U9 W( {% d! }: V

把以上算法稍加修改就能够用来求二分图的最大完美对集。
! Z( r. R0 Z# W8 D0 |% Y: p
最优分派问题
在人员分派问题中，工作人员适合做的各项工作当中，效益未必一 致，我们需要制定一个分派方案，使公司总效益最大。 这个问题的数学模型是：在人员分派问题的模型中，图 G 的每边加了权   ≥ 0 ，表示  做  工作的效益，求加权图G 上的权最大的完美对集。 解决这个问题可以用库恩—曼克莱斯（Kuhn-Munkres）算法。为此，我们要引入 可行顶点标号与相等子图的概念。
% y% i+ M1 u7 m' V' {4 t
$ u8 u* ]: j- W. m$ m6 F可行顶点标号、相等子图
# R3 D& z  t) x: N

【定理 5】   的完美对集即为G 的权最大的完美对集。
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库恩—曼克莱斯 (Kuhn-Munkres) 算法
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1 O) h& ~3 m: k; [1 L- i8 d1 m3 R% c
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