匹配问题： 匈牙利算法 、最优指派、相等子图、库恩—曼克莱斯 (Kuhn-Munkres) 算法

浅夏110

定义
若 M ⊂ E(G) ，∀  ∈ M ，   与  无公共端点（i ≠ j ），则称 M 为图 G 中的一个对集；M 中的一条边的两个端点叫做在对集 M 中相配；M 中的端点称为 被 M 许配；G 中每个顶点皆被 M 许配时，M 称为完美对集；G 中已无使| M '|>| M | 的对集 M ' ，则 M 称为最大对集；若G 中有一轨，其边交替地在对集 M 内外出现，则 称此轨为 M 的交错轨，交错轨的起止顶点都未被许配时，此交错轨称为可增广轨。
$ m% X2 S/ V& R) g2 L
若把可增广轨上在 M 外的边纳入对集，把 M 内的边从对集中删除，则被许配的 顶点数增加 2，对集中的“对儿”增加一个。 1957 年，贝尔热(Berge)得到最大对集的充要条件：

* ^1 R( P! L& `, K" F【定理 2 】M 是图G 中的最大对集当且仅当G 中无 M 可增广轨。

" t6 U; ^+ ]# N# v1 R* {$ g1935 年，霍尔(Hall)得到下面的许配定理：
3 x7 q. L$ z- ]; F" x  H
( w# q# ]# p! j7 b8 g6 N【定理 3】 G 为二分图， X 与Y 是顶点集的划分，G 中存在把 X 中顶点皆许配的对集的充要条件是：

∀S ⊂ X ，则| N(S) | ≥| S |，其中 N(S) 是 S 中顶点的邻集。
  W& {& U- e4 j: D! B
+ w: o. M  T/ V由上述定理可以得出：

【推论 1】若G 是k 次（k > 0) 正则 2 分图，则G 有完美对集。 所谓k 次正则图，即每顶点皆k 度的图。

$ L( w- l% B! s; O6 q由此推论得出下面的婚配定理：

1 l9 d- l( B" \. ]+ O【定理 4 】每个姑娘都结识k (k ≥ 1) 位小伙子，每个小伙子都结识k 位姑娘，则每位 姑娘都能和她认识的一个小伙子结婚，并且每位小伙子也能和他认识的一个姑娘结婚。
3 j5 Z0 ]& Z8 |  Z4 U
0 w: t. |# K3 h; M- L- d3 K  I人员分派问题等实际问题可以化成对集来解决。


# G( G3 ^: O) g. j
$ o+ n, Z# Y# t- r. y8 V4 ?+ K解决这个问题可以利用 1965 年埃德门兹(Edmonds)提出的匈牙利算法。
' n( N2 R8 M# ~( `# p3 \
) m& r' o$ D  ~& p* `7 q匈牙利算法

4 z5 X" V) ?$ M
把以上算法稍加修改就能够用来求二分图的最大完美对集。
, G1 ^; J( p1 K* Y% q
$ l2 I1 B: s' k5 {' E最优分派问题
在人员分派问题中，工作人员适合做的各项工作当中，效益未必一 致，我们需要制定一个分派方案，使公司总效益最大。 这个问题的数学模型是：在人员分派问题的模型中，图 G 的每边加了权   ≥ 0 ，表示  做  工作的效益，求加权图G 上的权最大的完美对集。 解决这个问题可以用库恩—曼克莱斯（Kuhn-Munkres）算法。为此，我们要引入 可行顶点标号与相等子图的概念。
9 G2 j! X, p* t0 ^5 E
  ^; {6 K1 d" U$ y. l! a5 N0 K) H( P可行顶点标号、相等子图
  D. o: F, D, L$ [
7 A$ G* }3 q, p- Y9 _
【定理 5】   的完美对集即为G 的权最大的完美对集。

库恩—曼克莱斯 (Kuhn-Munkres) 算法
0 b# p+ {0 ^# N; D/ w) r

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