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最小费用流及其求法

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浅夏110

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发表于 2020-5-20 17:36 |只看该作者 |倒序浏览

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1 最小费用流
上面我们介绍了一个网络上最短路以及最大流的算法，但是还没有考虑到网络上流的费用问题，在许多实际问题中，费用的因素很重要。例如，在运输问题中，人们总是希望在完成运输任务的同时，寻求一个使总的运输费用最小的运输方案。这就是下面要介绍的最小费用流问题。

最小费用流问题的线性规划表示
在运输网络 N = (s,t,V, A,U) 中，设是定义在 A 上的非负函数，它表示通过弧 (i, j) 单位流的费用。所谓最小费用流问题就是从发点到收点怎样以最小费用输送一已知量为v( f ) 的总流量。最小费用流问题可以用如下的线性规划问题描述：

例 19（最小费用最大流问题）
（续例 18）由于输油管道的长短不一或地质等原因，使每条管道上运输费用也不相同，因此，除考虑输油管道的最大流外，还需要考虑输油管道输送最大流的最小费用。图 8 所示是带有运费的网络，其中第 1 个数字是网络的容量，第 2 个数字是网络的单位运费。

解按照最小费用流的数学规划写出相应的 LINGO 程序如下：
model:
sets:
nodes/s,1,2,3,4,t/:d;
arcs(nodes,nodes)/s 1,s 3,1 2,1 3,2 3,2 t,3 4,4 2,4 t/:c,u,f;
endsets
data:
d=14 0 0 0 0 -14; !最大流为14;
c=2 8 2 5 1 6 3 4 7;
u=8 7 9 5 2 5 9 6 10;
enddata
min=@sum(arcs:c*f);
@for(nodes(i)

sum(arcs(i,j):f(i,j))-@sum(arcs(j,i):f(j,i))=d(i));
@for(arcs

bnd(0,f,u));
end

求得最大流的最小费用是 205，而原最大流的费用为 210 单位，原方案并不是最优的。类似地，可以利用赋权邻接矩阵编程求得最小费用最大流。LINGO 程序如下：

model:
sets:
nodes/s,1,2,3,4,t/:d;
arcs(nodes,nodes):c,u,f;
endsets
data:
d=14 0 0 0 0 -14;
c=0; u=0;
enddata
calc:
c(1,2)=2;c(1,4)=8;
c(2,3)=2;c(2,4)=5;
c(3,4)=1;c(3,6)=6;
c(4,5)=3;c(5,3)=4;c(5,6)=7;
u(1,2)=8;u(1,4)=7;
u(2,3)=9;u(2,4)=5;
u(3,4)=2;u(3,6)=5;
u(4,5)=9;u(5,3)=6;u(5,6)=10;
endcalc
min=@sum(arcs:c*f);
@for(nodes(i)

sum(nodes(j):f(i,j))-@sum(nodes(j):f(j,i))=d(i));
@for(arcs

bnd(0,f,u));
end

2 求最小费用流的一种方法—迭代法
这里所介绍的求最小费用流的方法叫做迭代法。这个方法是由 Busacker 和 Gowan 在 1961 年提出的。其主要步骤如下：

下面我们编写了最小费用最大流函数 mincostmaxflow，其中调用了利用 Floyd 算法求最短路的函数 floydpath。

求解例 19 具体程序如下（下面的全部程序放在一个文件中）：

function mainexample19
clear;clc;
global M num
c=zeros(6);u=zeros(6);
c(1,2)=2;c(1,4)=8;c(2,3)=2;c(2,4)=5;
c(3,4)=1;c(3,6)=6;c(4,5)=3;c(5,3)=4;c(5,6)=7;
u(1,2)=8;u(1,4)=7;u(2,3)=9;u(2,4)=5;
u(3,4)=2;u(3,6)=5;u(4,5)=9;u(5,3)=6;u(5,6)=10;
num=size(u,1);M=sum(sum(u))*num^2;
[f,val]=mincostmaxflow(u,c)
%求最短路径函数
function path=floydpath(w);
global M num
w=w+((w==0)-eye(num))*M;
p=zeros(num);
for k=1:num
for i=1:num
      for j=1:num
         if w(i,j)>w(i,k)+w(k,j)
            w(i,j)=w(i,k)+w(k,j);
            p(i,j)=k;
         end
      end
end
end
if w(1,num) ==M
path=[];
else
path=zeros(num);
s=1;t=num;m=p(s,t);
while ~isempty(m)
      if m(1)
         s=[s,m(1)];t=[t,t(1)];t(1)=m(1);
         m(1)=[];m=[p(s(1),t(1)),m,p(s(end),t(end))];
      else
         path(s(1),t(1))=1;s(1)=[];m(1)=[];t(1)=[];
      end
end
end
%最小费用最大流函数
function [flow,val]=mincostmaxflow(rongliang,cost,flowvalue);
%第一个参数：容量矩阵；第二个参数：费用矩阵；
%前两个参数必须在不通路处置零
%第三个参数：指定容量值（可以不写，表示求最小费用最大流）
%返回值 flow 为可行流矩阵,val 为最小费用值
global M
flow=zeros(size(rongliang));allflow=sum(flow(1,

);
if nargin<3
flowvalue=M;
end
while allflow<flowvalue
w=(flow<rongliang).*cost-((flow>0).*cost)';
path=floydpath(w);%调用 floydpath 函数
if isempty(path)
val=sum(sum(flow.*cost));
return;
end
theta=min(min(path.*(rongliang-flow)+(path.*(rongliang-flow)==0).*M));
theta=min([min(path'.*flow+(path'.*flow==0).*M),theta]);
flow=flow+(rongliang>0).*(path-path').*theta;
allflow=sum(flow(1,

);
end
val=sum(sum(flow.*cost));

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