QQ登录

只需要一步,快速开始

 注册地址  找回密码
查看: 2667|回复: 0
打印 上一主题 下一主题

最小费用流及其求法

[复制链接]
字体大小: 正常 放大
浅夏110 实名认证       

542

主题

15

听众

1万

积分

  • TA的每日心情
    开心
    2020-11-14 17:15
  • 签到天数: 74 天

    [LV.6]常住居民II

    邮箱绑定达人

    群组2019美赛冲刺课程

    群组站长地区赛培训

    群组2019考研数学 桃子老师

    群组2018教师培训(呼伦贝

    群组2019考研数学 站长系列

    跳转到指定楼层
    1#
    发表于 2020-5-20 17:36 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta |邮箱已经成功绑定
    1 最小费用流
    $ W( r) |( e" h+ K上面我们介绍了一个网络上最短路以及最大流的算法,但是还没有考虑到网络上流 的费用问题,在许多实际问题中,费用的因素很重要。例如,在运输问题中,人们总是 希望在完成运输任务的同时,寻求一个使总的运输费用最小的运输方案。这就是下面要 介绍的最小费用流问题。
    ) `# o  C, Z, `" n8 u6 I
    6 `8 w  j) S% t最小费用流问题的线性规划表示) _& V$ X  J; ~( ?) U
    在运输网络 N = (s,t,V, A,U) 中,设  是定义在 A 上的非负函数,它表示通过弧 (i, j) 单位流的费用。所谓最小费用流问题就是从发点到收点怎样以最小费用输送一已 知量为v( f ) 的总流量。 最小费用流问题可以用如下的线性规划问题描述:0 m. L% I9 Q" p% Y: `4 w
    1 q0 _$ L% v0 [" K# o

    1 l- K6 N$ B2 O4 w8 C, \6 R4 s, W2 X
    : g7 j" f9 K' I9 i* e: D. B
          例 19(最小费用最大流问题)
    8 _. [& G# m4 S( F- A$ k(续例 18)由于输油管道的长短不一或地质等原因, 使每条管道上运输费用也不相同,因此,除考虑输油管道的最大流外,还需要考虑输油 管道输送最大流的最小费用。图 8 所示是带有运费的网络,其中第 1 个数字是网络的容 量,第 2 个数字是网络的单位运费。
    3 \1 C0 K/ }: v3 |
    - C3 u7 _. i% m" A: p% d! n# I0 B: L& r2 D, R. i2 U

    * C4 h4 T  ]8 G& A+ e
      q% _. C0 ]) ^! U解 按照最小费用流的数学规划写出相应的 LINGO 程序如下:! j, I$ L, D+ r9 v* @
    model:
    4 R9 S. n+ X" P! q( _4 q3 n& Dsets:
    7 P2 q% C9 r6 c* o8 y+ T! Gnodes/s,1,2,3,4,t/:d;
    " n# M4 o7 ?' D+ m, D% V, g1 Z' D) {arcs(nodes,nodes)/s 1,s 3,1 2,1 3,2 3,2 t,3 4,4 2,4 t/:c,u,f;4 I) f! W7 N9 ?5 O0 j
    endsets" p) V* O$ \  ]+ {
    data:
    0 c+ \5 v# U6 j+ V9 E# i3 W+ Ed=14 0 0 0 0 -14; !最大流为14;
    . z1 Z+ }* |, S# I! D( q' N5 Jc=2 8 2 5 1 6 3 4 7;
    " m% |5 _' c$ C! T# {8 Mu=8 7 9 5 2 5 9 6 10;) f4 g8 a. \5 v* e6 j
    enddata/ w2 p$ v8 l# o8 H, ?
    min=@sum(arcs:c*f); : i. `( B2 x/ W- B
    @for(nodes(i)sum(arcs(i,j):f(i,j))-@sum(arcs(j,i):f(j,i))=d(i));
    - T6 a3 x, W8 g' N6 B+ A2 D@for(arcsbnd(0,f,u));5 f7 k; |# M% q: R- q0 i  ^3 }
    end  v$ \# d/ ^3 r9 r$ R! C& D

    ( p1 k. u7 k& |' V5 X# J求得最大流的最小费用是 205,而原最大流的费用为 210 单位,原方案并不是最优 的。 类似地,可以利用赋权邻接矩阵编程求得最小费用最大流。LINGO 程序如下:
    ' E  R; B+ w  Q! \% `6 q/ M: p! b
    model:
    7 b& Z. D( j, r0 d  r# ]) ssets:% H" \4 J" f  j
    nodes/s,1,2,3,4,t/:d;
    6 K8 {  W1 G' H. B3 marcs(nodes,nodes):c,u,f;
    2 _+ J/ ^- L+ Iendsets
    7 N: [" p: \, x! O- P" x8 P5 Rdata:8 u- \" C* K3 O1 D
    d=14 0 0 0 0 -14;
    / Y5 {* ~' }( [& {. v9 M5 Rc=0; u=0;2 J& G3 G7 Z) N- F, M( k4 z* }* f
    enddata1 {0 t2 Y, L/ ^; v; t4 H( x
    calc:4 ^& M, t. I/ ~$ V% Z
    c(1,2)=2;c(1,4)=8;7 g3 i+ d7 j+ P0 Z3 {
    c(2,3)=2;c(2,4)=5;
    8 _, w  \' r/ a& l; ^6 tc(3,4)=1;c(3,6)=6;) k1 p" ?& `1 H( K
    c(4,5)=3;c(5,3)=4;c(5,6)=7;1 G% o) S" N* U+ Y+ H  r
    u(1,2)=8;u(1,4)=7;
    3 K  e/ v' P% M/ b. D% @$ e6 ^u(2,3)=9;u(2,4)=5;
    0 I0 s8 ~5 K1 Y$ e+ Mu(3,4)=2;u(3,6)=5;
    & q5 z6 }$ \( A6 J0 |& g0 au(4,5)=9;u(5,3)=6;u(5,6)=10;9 q% o9 k; u9 }6 Q+ H1 e7 T7 \: h
    endcalc
    ' Q- O( a) A+ I. bmin=@sum(arcs:c*f);; _) I5 @8 ~# Q6 @2 T
    @for(nodes(i)sum(nodes(j):f(i,j))-@sum(nodes(j):f(j,i))=d(i));/ e. q0 i/ s# U0 b4 C9 O1 `
    @for(arcsbnd(0,f,u));0 D3 z* A" ?* S7 v
    end
    & o1 C. z$ I% a2 |% I$ c# {( A; Z1 k1 r
    2 求最小费用流的一种方法—迭代法
    ; k8 ~# P( q9 T% h! d! A% o2 [这里所介绍的求最小费用流的方法叫做迭代法。这个方法是由 Busacker 和 Gowan 在 1961 年提出的。其主要步骤如下:( e3 y  Y4 c4 F6 K3 c
    0 I2 d" t. T- ~% n. r
    4 l) G9 l* A9 K  C# ?' E

    ( Y' i4 k2 t, F1 L" @2 }8 z, q# T+ r下面我们编写了最小费用最大流函数 mincostmaxflow,其中调用了利用 Floyd 算法 求最短路的函数 floydpath。
    # ]  j3 a) b9 N4 l, @
    : d6 M( d" ?% u' G6 t  I6 a求解例 19 具体程序如下(下面的全部程序放在一个文件中):0 C: I1 @# M' A+ e& P8 L: |4 u

    3 [1 |( d7 Y; Xfunction mainexample19
    ( J5 I3 O$ R, L' m' F. e2 r6 D2 Wclear;clc; + j% G$ K' o. C# W; A5 J
    global M num
    & }9 J  X! Q1 ~7 ec=zeros(6);u=zeros(6);2 u' j. F1 \  k& [
    c(1,2)=2;c(1,4)=8;c(2,3)=2;c(2,4)=5;' f) {# i1 \" @9 m; X& B: x& q" |
    c(3,4)=1;c(3,6)=6;c(4,5)=3;c(5,3)=4;c(5,6)=7;$ s# {/ X( M' B
    u(1,2)=8;u(1,4)=7;u(2,3)=9;u(2,4)=5;
    : T: H# y8 h- T5 H7 Iu(3,4)=2;u(3,6)=5;u(4,5)=9;u(5,3)=6;u(5,6)=10;% w$ R- K* \! m7 b7 H
    num=size(u,1);M=sum(sum(u))*num^2;
    / @! c% L, R8 k. ?6 {( x: e, G. `[f,val]=mincostmaxflow(u,c)
    ( X+ w' U; a: x  B2 o  i%求最短路径函数
    / l8 Y) _# x$ Ffunction path=floydpath(w);. V: w& y& u; W. m) H% r' n
    global M num
    2 a' U0 r+ ]7 |% G( b" bw=w+((w==0)-eye(num))*M;  Z* f+ p9 @9 m) w% n; Z
    p=zeros(num);; |" |. Y- Q. s$ e+ e/ P
    for k=1:num
    . E7 r, c4 I6 y* C: j    for i=1:num) ?; j% T5 b/ }* ~
            for j=1:num7 T' y( x' K- S+ S$ @
                if w(i,j)>w(i,k)+w(k,j)# i' D' R% E5 M# d3 C" F7 k9 S
                    w(i,j)=w(i,k)+w(k,j);* z1 d+ E6 Q3 _' ?
                    p(i,j)=k;
    ( Z. s. C2 ?, R; q+ y9 i6 w3 x9 [            end
    ( g3 E6 ^9 V! q. e        end  @. d! f+ e* V1 V2 K# [; ~
        end
    3 u2 l7 s: m' V2 @* Dend
    " h0 K" C( I/ C( E2 o# k" Bif w(1,num) ==M1 m; U+ H) y6 T' J/ }1 ]1 B" V
        path=[];
    & ~& v( b% t2 b0 W* p    else
    / L; R% V9 A9 n  X% W4 F    path=zeros(num);
    : w: f, H2 y0 ]( \2 J    s=1;t=num;m=p(s,t);8 H2 t  p, S3 e0 ?  j7 H
        while ~isempty(m)
    : n& Y& h( ~- ?3 K. q, A        if m(1), B9 n5 A& P4 h
                s=[s,m(1)];t=[t,t(1)];t(1)=m(1);/ B" E7 o$ \1 t6 V0 B: E1 j  V( [
                m(1)=[];m=[p(s(1),t(1)),m,p(s(end),t(end))];
    / d8 Q/ q$ t' x        else
    9 C% Z8 V, }7 [1 m9 u" }! u$ G4 {  f            path(s(1),t(1))=1;s(1)=[];m(1)=[];t(1)=[];% a; W, _( s6 ~6 G" }: v9 ?
            end
    / o% s) s# y- K+ \2 o0 f. A    end
    - R# ]% j: w$ Q0 |end) X7 P6 y/ x0 S+ X0 d! v5 k
    %最小费用最大流函数
    # d, W' }- p' W3 p" Bfunction [flow,val]=mincostmaxflow(rongliang,cost,flowvalue);& t) u8 ~# R! x" O
    %第一个参数:容量矩阵;第二个参数:费用矩阵;
    " S! i4 W* N% o. k. q. N8 S%前两个参数必须在不通路处置零& r5 H! p* d8 v( k% w1 `+ d) K
    %第三个参数:指定容量值(可以不写,表示求最小费用最大流)
    : ]; c" a* }: s$ N%返回值 flow 为可行流矩阵,val 为最小费用值
    1 P% `8 a5 t0 C5 ?  e. s# U& zglobal M# U3 q- A/ W  `  B; `) F( t
    flow=zeros(size(rongliang));allflow=sum(flow(1,);
    , f8 O' I9 Q& m, |if nargin<3& ~, b3 {: X; J$ D. F, S( y8 n0 k' }
        flowvalue=M;
    , P& W! ^8 f" b) z$ [( cend
    # I4 g- t$ E* K  y6 e7 z2 dwhile allflow<flowvalue
    2 n$ S% T. `7 m5 U7 y$ z. \    w=(flow<rongliang).*cost-((flow>0).*cost)';
    0 E# _  U+ o6 o' `. d9 t! }    path=floydpath(w);%调用 floydpath 函数
    + r& r9 v# T+ Q% d/ s1 {    if isempty(path)
    - {3 n; r% S8 a        val=sum(sum(flow.*cost));
    " I# \7 r. R& k8 R: @& _& l& [: t        return;
    ! d2 `% C! t, B8 \3 f    end
    - a7 p1 ~# Y4 \3 N% o" W    theta=min(min(path.*(rongliang-flow)+(path.*(rongliang-flow)==0).*M));  t+ u+ |) ]* n- W. J
        theta=min([min(path'.*flow+(path'.*flow==0).*M),theta]);
    7 u, x; t2 a" U9 \' y; R( S    flow=flow+(rongliang>0).*(path-path').*theta;2 x- X. g  H5 Y' L' h
        allflow=sum(flow(1,);
    9 R7 ~# A6 i9 A0 v7 \: l1 xend* O. a. r9 d4 I3 v! i
    val=sum(sum(flow.*cost)); 6 r* U( c- k8 |  i7 v  r2 f7 g  P6 D
    6 G, d. }; K8 L
    ) x/ L+ q8 j/ C  ^$ t# `
    ' P9 R" y* N) x8 ?( M( E0 }
    6 C$ \. e+ C1 B( |# n( V% x
    ————————————————
    ! W1 {# `0 d0 H  m5 O1 T版权声明:本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
    : S- a0 k, D& o; x原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89787628
    ( b3 l4 C0 I$ O; ?& n6 h; w7 ]% S& d. w: s% J; I5 O
    ' I9 F( n, l2 _0 Q4 P. u
    zan
    转播转播0 分享淘帖0 分享分享0 收藏收藏1 支持支持0 反对反对0 微信微信
    您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册地址

    qq
    收缩
    • 电话咨询

    • 04714969085
    fastpost

    关于我们| 联系我们| 诚征英才| 对外合作| 产品服务| QQ

    手机版|Archiver| |繁體中文 手机客户端  

    蒙公网安备 15010502000194号

    Powered by Discuz! X2.5   © 2001-2013 数学建模网-数学中国 ( 蒙ICP备14002410号-3 蒙BBS备-0002号 )     论坛法律顾问:王兆丰

    GMT+8, 2026-4-21 02:25 , Processed in 0.407504 second(s), 50 queries .

    回顶部