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TA的每日心情 | 开心 2020-11-14 17:15 |
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1 最小费用流
! g# n; i: }5 L s7 Y. M上面我们介绍了一个网络上最短路以及最大流的算法,但是还没有考虑到网络上流 的费用问题,在许多实际问题中,费用的因素很重要。例如,在运输问题中,人们总是 希望在完成运输任务的同时,寻求一个使总的运输费用最小的运输方案。这就是下面要 介绍的最小费用流问题。
' C4 {4 x5 e% R) L# k& k& w) o# u# C8 K3 _/ C
最小费用流问题的线性规划表示
2 I4 ^( u2 P. \. A' j8 u" |+ o在运输网络 N = (s,t,V, A,U) 中,设 是定义在 A 上的非负函数,它表示通过弧 (i, j) 单位流的费用。所谓最小费用流问题就是从发点到收点怎样以最小费用输送一已 知量为v( f ) 的总流量。 最小费用流问题可以用如下的线性规划问题描述:
( j2 L5 ~' i ~" k1 m& M6 T4 P' o. y* h' y9 ]( \. Q h
4 y E6 a7 d; y8 c& f! `
& S6 g9 `" W: c: p3 ]8 z
" c6 U6 V, |( o2 y1 `/ }8 p4 [ 例 19(最小费用最大流问题) D/ S8 M9 W) Y
(续例 18)由于输油管道的长短不一或地质等原因, 使每条管道上运输费用也不相同,因此,除考虑输油管道的最大流外,还需要考虑输油 管道输送最大流的最小费用。图 8 所示是带有运费的网络,其中第 1 个数字是网络的容 量,第 2 个数字是网络的单位运费。
+ E" X: N0 Z' }* S4 S9 M![]()
# \+ y3 `6 q- ~# h# D3 \: Z6 A. E
7 p0 ?6 m# w8 y
% @. C4 M7 E5 T# Z& j! D7 _2 D& l# ^- I9 j
解 按照最小费用流的数学规划写出相应的 LINGO 程序如下:
. v0 C. Z U% @& v7 Wmodel:
% ] c7 o Q" F5 z' Usets:
$ e4 B& T7 T" t! Tnodes/s,1,2,3,4,t/:d;) `/ W& x0 u; q3 o. @
arcs(nodes,nodes)/s 1,s 3,1 2,1 3,2 3,2 t,3 4,4 2,4 t/:c,u,f;6 E' m {! X" A5 b3 V& {& U
endsets$ R4 U2 a0 x3 e0 O u! w
data:
; r( a0 b6 f2 A1 Pd=14 0 0 0 0 -14; !最大流为14;
, z6 F: X0 E& O0 ? T+ pc=2 8 2 5 1 6 3 4 7;# Q) d' u' W6 w+ P* U) b5 N
u=8 7 9 5 2 5 9 6 10;
2 [2 E! T3 ~3 Venddata
* O0 ?$ r( }$ Bmin=@sum(arcs:c*f); # {8 o8 Z( k" D
@for(nodes(i) sum(arcs(i,j):f(i,j))-@sum(arcs(j,i):f(j,i))=d(i));9 _% w' \! A- [& H
@for(arcs bnd(0,f,u)); {$ g- b( ^% I: T+ l- c- Z
end% ^7 g4 r) F- ~- [) R0 F% ~
; O* \% J# o1 H; J1 {; ]求得最大流的最小费用是 205,而原最大流的费用为 210 单位,原方案并不是最优 的。 类似地,可以利用赋权邻接矩阵编程求得最小费用最大流。LINGO 程序如下:1 E' M6 Z: o' ]
3 o: G T, g9 ?model:
( _1 [" G, W6 Fsets:
0 M2 C: p2 S) |) m5 F2 k% x2 ynodes/s,1,2,3,4,t/:d;) B2 q( ^6 ?- K% Z% d& v5 f1 H# f- M
arcs(nodes,nodes):c,u,f;
% ]) X. N# c) h; W, L+ T; U# mendsets
7 ]* B t" E5 X/ ^- X# @data:
" T+ \0 r0 f7 Ed=14 0 0 0 0 -14;# M' H5 H& C* ^+ j3 K3 m' w/ | X
c=0; u=0;6 Y! v( e: I N
enddata
* ?' ~& @8 G T3 k$ ucalc:6 x8 D. [( @& Y, P) D. R. I+ {
c(1,2)=2;c(1,4)=8;
# {3 l1 y) j: i$ R# y9 q8 C4 ?$ N! Wc(2,3)=2;c(2,4)=5;
1 h3 G, [- {0 ]0 ]c(3,4)=1;c(3,6)=6;
( e& `8 ]( ?$ c3 @3 Zc(4,5)=3;c(5,3)=4;c(5,6)=7;
" E" @* m9 ] q/ g y1 ]6 cu(1,2)=8;u(1,4)=7;
# P6 O9 q$ g( `. w, T+ ~2 ?u(2,3)=9;u(2,4)=5;! p& p) |" q; h0 [
u(3,4)=2;u(3,6)=5;
, a1 d& Y# I- B) F0 K/ w- wu(4,5)=9;u(5,3)=6;u(5,6)=10;
( P4 b9 J. ]3 [ A, @' d+ Sendcalc- |/ F4 u0 |/ a1 `2 m8 a9 P
min=@sum(arcs:c*f);
7 f0 C* _6 ]4 {) K@for(nodes(i) sum(nodes(j):f(i,j))-@sum(nodes(j):f(j,i))=d(i));
8 s s& _: y; }! B" D9 ~* G@for(arcs bnd(0,f,u));
7 X0 x7 V3 D: a; _4 Vend ) Q' v" K( z/ y4 A" d) r
# {' }7 [/ G2 E6 N! d! Y' g i
2 求最小费用流的一种方法—迭代法+ J c7 F, l$ t' h( |+ k! D3 Y
这里所介绍的求最小费用流的方法叫做迭代法。这个方法是由 Busacker 和 Gowan 在 1961 年提出的。其主要步骤如下:. V3 T3 T/ u. `3 s; G C! R
' i% r9 D* j( n9 n![]()
8 W& {+ c; q3 q2 Y7 t; Q# E' X0 A" c" |$ q, v9 m
下面我们编写了最小费用最大流函数 mincostmaxflow,其中调用了利用 Floyd 算法 求最短路的函数 floydpath。
% N. O$ \! o9 q1 S$ H; [
0 L( ?0 m! `- Q6 Z L求解例 19 具体程序如下(下面的全部程序放在一个文件中):
+ {0 W2 a% D5 ~' z8 P
6 _) S3 w2 W7 P1 T0 u, Ifunction mainexample19
0 q8 V3 C# K9 e7 p+ w, P% tclear;clc; 2 Y4 g/ L1 _! _: V
global M num7 w" B8 S+ a+ f
c=zeros(6);u=zeros(6);
: P* k `: Q7 e, T& T) R$ ~c(1,2)=2;c(1,4)=8;c(2,3)=2;c(2,4)=5;5 h" j# h# B6 f% R8 O3 N
c(3,4)=1;c(3,6)=6;c(4,5)=3;c(5,3)=4;c(5,6)=7;2 D/ {8 u _8 ]/ k# \
u(1,2)=8;u(1,4)=7;u(2,3)=9;u(2,4)=5;+ p1 ~" @1 g* Q- u$ P. E! H. O
u(3,4)=2;u(3,6)=5;u(4,5)=9;u(5,3)=6;u(5,6)=10;
* {) l9 a9 E# I. h1 [num=size(u,1);M=sum(sum(u))*num^2;# E9 a7 Z( I% D0 `
[f,val]=mincostmaxflow(u,c); O2 N% {5 \' Y5 a2 v, T8 m: Y
%求最短路径函数5 o$ k0 P) \( w
function path=floydpath(w);. r! i7 z# {# r4 O1 m, y0 t
global M num
2 e4 H+ i$ Z9 {w=w+((w==0)-eye(num))*M;
# Y& f) Y8 ?1 ]) I' X1 ]p=zeros(num);7 T- L8 a8 F" _5 k
for k=1:num
; O& I+ l3 \( P# t. Y9 x for i=1:num. f Z( M3 E) J
for j=1:num
4 M! v2 V& c) ?0 l; v. z4 `1 c if w(i,j)>w(i,k)+w(k,j)
6 N- s5 q( B8 m3 Y# A$ a/ R w(i,j)=w(i,k)+w(k,j);
& b- s. ]* \ N/ q p(i,j)=k;
/ f5 d- p' R n# n end9 g( x& K t. G [( o( [; f8 ^
end
. d& s, i7 ?) u! s1 }8 X, X end9 V# k- Q- K) L/ `& |+ L3 d
end
6 h( G& y4 p8 ?) O& K: `3 dif w(1,num) ==M' ]7 v! p( c4 w* D2 Q& ~
path=[];" M+ G6 @" @4 ]. r! k
else
* [9 ?4 d/ Y0 v# ~+ ~& ~- |+ x path=zeros(num);3 |* d& `; u2 L: q, o
s=1;t=num;m=p(s,t);
+ ?- K: t. C Q& I/ D! y( y' J while ~isempty(m)
& D. j& A! C1 V7 }' [6 V if m(1)
2 W, B2 g, S# I0 {4 P2 A s=[s,m(1)];t=[t,t(1)];t(1)=m(1);
; t+ x. W# p$ } i K m(1)=[];m=[p(s(1),t(1)),m,p(s(end),t(end))];
4 R. m7 S7 N: x7 l" x9 P4 d% P else8 g( z( D* E3 |0 x: l
path(s(1),t(1))=1;s(1)=[];m(1)=[];t(1)=[];! h- q' a1 f5 C3 G+ h% I
end
" o6 {( W6 Z! M: ^. K4 e* K/ Y end
& E- e( r' F' C6 l2 Y7 P8 xend
3 ]" ^, s7 J5 y9 a9 ~%最小费用最大流函数+ h U+ P0 U6 v9 O. M4 @
function [flow,val]=mincostmaxflow(rongliang,cost,flowvalue);, |2 X7 p/ g4 R7 R" w0 ~; H
%第一个参数:容量矩阵;第二个参数:费用矩阵;
9 ~# r% M! L+ @' ~! U+ y. s%前两个参数必须在不通路处置零
! e9 A* A. B# {& q$ p%第三个参数:指定容量值(可以不写,表示求最小费用最大流)
# i6 F) K+ J I4 M* P3 ?9 P) u%返回值 flow 为可行流矩阵,val 为最小费用值
+ e% e& H/ [: \9 mglobal M$ g2 ` F! l( N# N
flow=zeros(size(rongliang));allflow=sum(flow(1, );. P1 J- E9 q& t; t: g% B$ A
if nargin<32 t/ ?4 x3 ]0 n1 I( t( s
flowvalue=M;8 y5 U/ o# q! P5 P" }% M! k; p
end
# y$ p$ t' F* \( |. B3 p/ Z" hwhile allflow<flowvalue
) o4 j9 h! Q3 h( C4 o6 Q% F" E w=(flow<rongliang).*cost-((flow>0).*cost)';' _6 [/ W" c' I+ J/ j
path=floydpath(w);%调用 floydpath 函数& I6 B1 f7 a) I5 v: v
if isempty(path)$ F \+ k/ x( j
val=sum(sum(flow.*cost));6 r3 j) S. p: `3 j7 o3 f G
return;
( i B0 W- \. a p$ j8 a6 H end& t( n4 P; W5 X: W3 T7 H
theta=min(min(path.*(rongliang-flow)+(path.*(rongliang-flow)==0).*M));6 c# T) Y, v5 I, p$ g# g0 L8 p
theta=min([min(path'.*flow+(path'.*flow==0).*M),theta]); b) M# s1 i& l) _0 a( u$ G$ O/ T$ X
flow=flow+(rongliang>0).*(path-path').*theta;
" g o& D& M, O6 m( P q" A' J* H allflow=sum(flow(1, );
+ b% F2 j& x& A& A4 Q/ G3 vend
; F5 |# a( t q1 eval=sum(sum(flow.*cost)); - \. F$ m0 k: E r( V! A( {1 S
. T' j1 f a; w
. w+ y0 `1 P0 I' h- [* R: Z$ a8 R7 F. |! w+ v" I
8 t R5 A1 Y4 P1 s; }* s' t `————————————————4 E; p# g) l/ K0 W' ^$ |5 D9 S* v3 L" }! r
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) N( B- I0 D0 \" t9 O9 s8 h! b- f
4 P$ ?2 z3 x6 _. | |
zan
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