组合优化算法-现代优化算法 （一）：模拟退火算法 及应用举例

浅夏110

一些用于模型求解的启发式算法，主要针对很难求解的NP问题。
现代优化算法是 80 年代初兴起的启发式算法。这些算法包括禁忌搜索（tabu search），模拟退火（simulated annealing），遗传算法（genetic algorithms），人工神经网 络（neural networks）。它们主要用于解决大量的实际应用问题。目前，这些算法在理论 和实际应用方面得到了较大的发展。无论这些算法是怎样产生的，它们有一个共同的目 标－求 NP-hard 组合优化问题的全局优解。虽然有这些目标，但 NP-hard 理论限制它 们只能以启发式的算法去求解实际问题。

: ~! G' A) J4 e$ Q  H3 ]' V/ y% F' S启发式算法包含的算法很多，例如解决复杂优化问题的蚁群算法（Ant Colony Algorithms）。有些启发式算法是根据实际问题而产生的，如解空间分解、解空间的限 制等；另一类算法是集成算法，这些算法是诸多启发式算法的合成。
# M7 ~% O, l$ }7 u- y# G, m
现代优化算法解决组合优化问题，如 TSP（Traveling Salesman Problem）问题，QAP （Quadratic Assignment Problem）问题，JSP（Job-shop Scheduling Problem）问题等效 果很好。

$ \9 L: s$ Q  a0 n" m, J模拟退火算法简介
模拟退火算法得益于材料的统计力学的研究成果。统计力学表明材料中粒子的不 同结构对应于粒子的不同能量水平。在高温条件下，粒子的能量较高，可以自由运动和 重新排列。在低温条件下，粒子能量较低。如果从高温开始，非常缓慢地降温（这个过 程被称为退火），粒子就可以在每个温度下达到热平衡。当系统完全被冷却时，终形 成处于低能状态的晶体。




+ u+ L0 _3 T$ k5 r2 `* L1 [4 N+ t

* S3 g( A. I% y5 _0 L' T& \4 O


在模拟退火算法中应注意以下问题：
7 ~. F4 m, e- X
（1）理论上，降温过程要足够缓慢，要使得在每一温度下达到热平衡。但在计算 机实现中，如果降温速度过缓，所得到的解的性能会较为令人满意，但是算法会太慢， 相对于简单的搜索算法不具有明显优势。如果降温速度过快，很可能终得不到全局 优解。因此使用时要综合考虑解的性能和算法速度，在两者之间采取一种折衷。

% A1 j% j- f8 n9 R; C: d& C1 ]（2）要确定在每一温度下状态转换的结束准则。实际操作可以考虑当连续m 次的 转换过程没有使状态发生变化时结束该温度下的状态转换。终温度的确定可以提前定 为一个较小的值  ，或连续几个温度下转换过程没有使状态发生变化算法就结束。

  _, N4 e& u7 D' S2 \2 [$ v（3）选择初始温度和确定某个可行解的邻域的方法也要恰当。
" F% N6 c- w; V
1.2  应用举例
例  已知敌方 100 个目标的经度、纬度如表 1 所示。

1 e5 `& K" L# @& O5 S- i- ]! w/ a
8 I  \- i4 Y% F7 h: V7 @
4 K1 T$ e/ D( E. M1 y




$ O3 s' J# G+ r- s- V% N
0 K; G& @2 @: y$ |我们编写如下的 matlab 程序如下：

% H1 C" A/ E% _; ]
clc,clear
load sj.txt    %加载敌方 100 个目标的数据，数据按照表格中的位置保存在纯文本 文件 sj.txt 中
x=sj(:,1:2:8);x=x(;
. i1 F: ?. |, `* u) ]5 vy=sj(:,2:2:8);y=y(;
sj=[x y];
9 z% s1 z" Q5 X5 q2 n' [2 J$ ld1=[70,40];
' v/ f% O1 l' j! e. d! N7 {0 {sj=[d1;sj;d1];
sj=sj*pi/180; %距离矩阵
d
- b9 W) X9 d) N5 u  [9 e5 id=zeros(102);
, j( b- k  N3 p" E4 D7 B1 Ofor i=1:101     
% F9 a( i. l, e9 [    for j=i+1:102         
        temp=cos(sj(i,1)-sj(j,1))*cos(sj(i,2))*cos(sj(j,2))+sin(sj(i,2))*sin(sj(j,2));
) }4 y" d" T. n        d(i,j)=6370*acos(temp);     
    end
end
d=d+d';
S0=[];Sum=inf;
# Y  e1 [" t0 D  s. ]- a) _" frand('state',sum(clock));
for j=1:1000     
7 K! |7 f, a6 B% U$ n" {* I: s4 o8 K    S=[1 1+randperm(100),102];     
    temp=0;
' Y+ g3 T! a" V  G( O5 I    for i=1:101         
        temp=temp+d(S(i),S(i+1));     
    end     
    if temp<Sum         
        S0=S;Sum=temp;     
    end
+ i. Q7 `7 T9 k3 B& n+ f" ~" \- H( N. ~end
9 z* g) A7 t  m+ Pe=0.1^30;L=20000;at=0.999;T=1;
%退火过程
for k=1    %产生新解
    c=2+floor(100*rand(1,2));
    c=sort(c); c1=c(1);c2=c(2);   %计算代价函数值   
    df=d(S0(c1-1),S0(c2))+d(S0(c1),S0(c2+1))-d(S0(c1-1),S0(c1))-d(S0(c2),S0(c2+1)); %接受准则   
7 ^: [+ I# J" {3 S    if df<0   
        S0=[S0(1:c1-1),S0(c2:-1:c1),S0(c2+1:102)];         
        Sum=Sum+df;   
    elseif exp(-df/T)>rand(1)   
0 ~) w5 H+ v+ W+ q8 M" D        S0=[S0(1:c1-1),S0(c2:-1:c1),S0(c2+1:102)];   
        Sum=Sum+df;   
    end   
    T=T*at;   
    if T<e        
. q' m0 W/ }& c7 P& x1 ^3 I        break;   
    end
4 Z3 ~* Y( v2 M2 Iend  
, R: p1 e0 H2 m. J# w' {7 o% 输出巡航路径及路径长度
S0,Sum
3 i4 u+ p% G6 b  ]0 I


计算结果为 44 小时左右。其中的一个巡航路径如图 1 所示。



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6 ]2 O) W" J9 e1 g, J& o
% `  p& T5 _6 H; Q