组合优化算法-现代优化算法 （一）：模拟退火算法 及应用举例

浅夏110

一些用于模型求解的启发式算法，主要针对很难求解的NP问题。
现代优化算法是 80 年代初兴起的启发式算法。这些算法包括禁忌搜索（tabu search），模拟退火（simulated annealing），遗传算法（genetic algorithms），人工神经网 络（neural networks）。它们主要用于解决大量的实际应用问题。目前，这些算法在理论 和实际应用方面得到了较大的发展。无论这些算法是怎样产生的，它们有一个共同的目 标－求 NP-hard 组合优化问题的全局优解。虽然有这些目标，但 NP-hard 理论限制它 们只能以启发式的算法去求解实际问题。
" @- R- D& b. {0 w; @; y) L4 m
启发式算法包含的算法很多，例如解决复杂优化问题的蚁群算法（Ant Colony Algorithms）。有些启发式算法是根据实际问题而产生的，如解空间分解、解空间的限 制等；另一类算法是集成算法，这些算法是诸多启发式算法的合成。
, [: p0 F* r. s' _! @! z# ]
  [, I' X' K' W8 l# ^现代优化算法解决组合优化问题，如 TSP（Traveling Salesman Problem）问题，QAP （Quadratic Assignment Problem）问题，JSP（Job-shop Scheduling Problem）问题等效 果很好。
% a7 B; i5 E) Y- e' j
9 Y& s# G& {9 O1 a模拟退火算法简介
模拟退火算法得益于材料的统计力学的研究成果。统计力学表明材料中粒子的不 同结构对应于粒子的不同能量水平。在高温条件下，粒子的能量较高，可以自由运动和 重新排列。在低温条件下，粒子能量较低。如果从高温开始，非常缓慢地降温（这个过 程被称为退火），粒子就可以在每个温度下达到热平衡。当系统完全被冷却时，终形 成处于低能状态的晶体。
+ }4 C0 N8 o/ H& b
7 \7 X$ M  F6 N9 M0 {5 Y/ ~* Q& j5 b
- o$ f6 W. B/ l5 r
2 R, i; f6 x9 X/ f% C
3 |& I0 r/ P) m; C
* Q) v9 N# t. Y/ a/ ?$ D4 A# T
  u! z' |/ `& y$ i. G6 y/ K
2 ?* g* s/ M+ H$ O- D9 O" {

在模拟退火算法中应注意以下问题：

" S/ w' [5 o8 ^9 A, q4 t（1）理论上，降温过程要足够缓慢，要使得在每一温度下达到热平衡。但在计算 机实现中，如果降温速度过缓，所得到的解的性能会较为令人满意，但是算法会太慢， 相对于简单的搜索算法不具有明显优势。如果降温速度过快，很可能终得不到全局 优解。因此使用时要综合考虑解的性能和算法速度，在两者之间采取一种折衷。

4 b2 G1 s  X) K3 `（2）要确定在每一温度下状态转换的结束准则。实际操作可以考虑当连续m 次的 转换过程没有使状态发生变化时结束该温度下的状态转换。终温度的确定可以提前定 为一个较小的值  ，或连续几个温度下转换过程没有使状态发生变化算法就结束。

（3）选择初始温度和确定某个可行解的邻域的方法也要恰当。

. Y$ U5 f$ t4 j- _* \5 `$ q! k1.2  应用举例
例  已知敌方 100 个目标的经度、纬度如表 1 所示。

7 x# {" x( o. L5 N1 c" _
" B4 I; j& d" D% ~






6 {( j! e( R: o# a我们编写如下的 matlab 程序如下：


clc,clear
load sj.txt    %加载敌方 100 个目标的数据，数据按照表格中的位置保存在纯文本 文件 sj.txt 中
x=sj(:,1:2:8);x=x(;
y=sj(:,2:2:8);y=y(;
sj=[x y];
% O0 M1 ~2 |- ?8 V5 p: e) L1 p- pd1=[70,40];
" y1 L& S1 Z, t7 X6 x4 O7 k3 d0 Fsj=[d1;sj;d1];
sj=sj*pi/180; %距离矩阵
d
7 E& T) x' z0 F0 [+ T1 P1 _: md=zeros(102);
$ {8 W. S3 g8 q0 X- nfor i=1:101     
    for j=i+1:102         
        temp=cos(sj(i,1)-sj(j,1))*cos(sj(i,2))*cos(sj(j,2))+sin(sj(i,2))*sin(sj(j,2));
        d(i,j)=6370*acos(temp);     
  `4 I. h3 ^5 c    end
end
: w+ d" M* p" W' S; V! M2 d0 K9 Od=d+d';
S0=[];Sum=inf;
" W& M/ _* c: o5 q/ K" @rand('state',sum(clock));
8 M7 Q- }" j2 f$ o9 |4 v' f8 v  a+ v1 I9 Efor j=1:1000     
5 ?: }/ G2 x3 o4 A( K    S=[1 1+randperm(100),102];     
    temp=0;
' b- Q. h+ n- C. n9 u% p- G4 P, q    for i=1:101         
! r6 w2 Q# g# F* B& ?- X        temp=temp+d(S(i),S(i+1));     
    end     
4 K+ P9 l( A2 Y; Q& D7 F  A- }    if temp<Sum         
: W; u! ]( L0 I7 G, l8 g6 K& L        S0=S;Sum=temp;     
4 d" [- o% a( l    end
2 J  [- Q( f6 N: j) Kend
/ B3 j1 i( J8 L4 P: `4 ze=0.1^30;L=20000;at=0.999;T=1;
%退火过程
) }# a/ t& _" h9 K. vfor k=1    %产生新解
) Z  o3 _4 `- c3 g! {! P    c=2+floor(100*rand(1,2));
& {6 K! `" h- T    c=sort(c); c1=c(1);c2=c(2);   %计算代价函数值   
7 E/ x( P9 Y4 x: S+ m' Q    df=d(S0(c1-1),S0(c2))+d(S0(c1),S0(c2+1))-d(S0(c1-1),S0(c1))-d(S0(c2),S0(c2+1)); %接受准则   
" i/ E+ g- J7 N( S: t+ B* B3 k% y    if df<0   
        S0=[S0(1:c1-1),S0(c2:-1:c1),S0(c2+1:102)];         
; R9 {6 w/ W; P; L. Q) E& C        Sum=Sum+df;   
    elseif exp(-df/T)>rand(1)   
/ N- v" H$ x+ w- H7 ~        S0=[S0(1:c1-1),S0(c2:-1:c1),S0(c2+1:102)];   
        Sum=Sum+df;   
    end   
    T=T*at;   
    if T<e        
6 y( T& }) l/ n" Y; M6 p3 c        break;   
    end
end  
% 输出巡航路径及路径长度
* \" |5 P/ h9 D8 aS0,Sum

! w3 a9 R( p) \6 ~7 Y9 r# P
) E( n7 t$ U' ?0 |
计算结果为 44 小时左右。其中的一个巡航路径如图 1 所示。
! {$ M6 W+ X; @/ B8 f+ R+ Q
5 f2 V0 J4 R1 M9 a

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7 @" h9 O! \$ i7 j
) d/ K* `! j& ^6 C% m