组合优化算法-现代优化算法 （一）：模拟退火算法 及应用举例

浅夏110

一些用于模型求解的启发式算法，主要针对很难求解的NP问题。
现代优化算法是 80 年代初兴起的启发式算法。这些算法包括禁忌搜索（tabu search），模拟退火（simulated annealing），遗传算法（genetic algorithms），人工神经网 络（neural networks）。它们主要用于解决大量的实际应用问题。目前，这些算法在理论 和实际应用方面得到了较大的发展。无论这些算法是怎样产生的，它们有一个共同的目 标－求 NP-hard 组合优化问题的全局优解。虽然有这些目标，但 NP-hard 理论限制它 们只能以启发式的算法去求解实际问题。
1 k% `6 }" x6 M% }  P
6 N0 C% d& j+ F3 }$ Z! Z启发式算法包含的算法很多，例如解决复杂优化问题的蚁群算法（Ant Colony Algorithms）。有些启发式算法是根据实际问题而产生的，如解空间分解、解空间的限 制等；另一类算法是集成算法，这些算法是诸多启发式算法的合成。

9 e, v. j4 ]- [+ x3 T现代优化算法解决组合优化问题，如 TSP（Traveling Salesman Problem）问题，QAP （Quadratic Assignment Problem）问题，JSP（Job-shop Scheduling Problem）问题等效 果很好。

! D+ B. l8 m% ?2 V# Z6 m: K$ A6 h模拟退火算法简介
, d/ k/ |5 e1 Q模拟退火算法得益于材料的统计力学的研究成果。统计力学表明材料中粒子的不 同结构对应于粒子的不同能量水平。在高温条件下，粒子的能量较高，可以自由运动和 重新排列。在低温条件下，粒子能量较低。如果从高温开始，非常缓慢地降温（这个过 程被称为退火），粒子就可以在每个温度下达到热平衡。当系统完全被冷却时，终形 成处于低能状态的晶体。

/ Q. {6 A6 J* z9 w0 n1 F! \# A* b
) D3 `2 \# s  {7 [; |2 E
5 J/ O" s1 X9 U, ~" {; x5 `

; z# V# V) s9 h

  |. {9 K2 Q+ m6 p- T0 t+ K

在模拟退火算法中应注意以下问题：

4 O; A) r5 I+ _（1）理论上，降温过程要足够缓慢，要使得在每一温度下达到热平衡。但在计算 机实现中，如果降温速度过缓，所得到的解的性能会较为令人满意，但是算法会太慢， 相对于简单的搜索算法不具有明显优势。如果降温速度过快，很可能终得不到全局 优解。因此使用时要综合考虑解的性能和算法速度，在两者之间采取一种折衷。

（2）要确定在每一温度下状态转换的结束准则。实际操作可以考虑当连续m 次的 转换过程没有使状态发生变化时结束该温度下的状态转换。终温度的确定可以提前定 为一个较小的值  ，或连续几个温度下转换过程没有使状态发生变化算法就结束。

（3）选择初始温度和确定某个可行解的邻域的方法也要恰当。

# Q' {' d6 U" f; @1.2  应用举例
例  已知敌方 100 个目标的经度、纬度如表 1 所示。
. s( g5 k. x, X2 d. \! @4 Z
) Y2 g$ j& f; b- Y) ]
4 [, Z: |; E$ R& k" N2 N. j


; N2 e5 [& w- G  l+ C



我们编写如下的 matlab 程序如下：

4 q( ^, y. m* ~# h7 o
clc,clear
& D$ W$ b5 B7 J2 d) X: p  @load sj.txt    %加载敌方 100 个目标的数据，数据按照表格中的位置保存在纯文本 文件 sj.txt 中
9 x, k& R. z1 |$ Qx=sj(:,1:2:8);x=x(;
y=sj(:,2:2:8);y=y(;
# ~( G3 K! C5 h1 x- l, l+ Zsj=[x y];
d1=[70,40];
sj=[d1;sj;d1];
sj=sj*pi/180; %距离矩阵
d
d=zeros(102);
4 W" {# [0 [; w0 vfor i=1:101     
    for j=i+1:102         
4 J- ~+ \5 A7 [' L) `; ~5 Q: p2 }        temp=cos(sj(i,1)-sj(j,1))*cos(sj(i,2))*cos(sj(j,2))+sin(sj(i,2))*sin(sj(j,2));
        d(i,j)=6370*acos(temp);     
    end
end
d=d+d';
S0=[];Sum=inf;
rand('state',sum(clock));
2 ?9 t  V3 y% v) Yfor j=1:1000     
    S=[1 1+randperm(100),102];     
    temp=0;
    for i=1:101         
        temp=temp+d(S(i),S(i+1));     
    end     
    if temp<Sum         
        S0=S;Sum=temp;     
+ |! n, S1 B! i- g* e    end
' g# k6 u5 C. J  A% nend
e=0.1^30;L=20000;at=0.999;T=1;
%退火过程
7 h6 M/ g+ X; J& r, Kfor k=1    %产生新解
    c=2+floor(100*rand(1,2));
! q' N. J0 U: [  n+ N  }4 ^9 r    c=sort(c); c1=c(1);c2=c(2);   %计算代价函数值   
7 e" `& ^* @5 ]4 e' F    df=d(S0(c1-1),S0(c2))+d(S0(c1),S0(c2+1))-d(S0(c1-1),S0(c1))-d(S0(c2),S0(c2+1)); %接受准则   
    if df<0   
        S0=[S0(1:c1-1),S0(c2:-1:c1),S0(c2+1:102)];         
        Sum=Sum+df;   
3 ?, N7 ~+ R7 ]9 E    elseif exp(-df/T)>rand(1)   
        S0=[S0(1:c1-1),S0(c2:-1:c1),S0(c2+1:102)];   
        Sum=Sum+df;   
    end   
    T=T*at;   
    if T<e        
        break;   
    end
: z; v+ v5 o1 q: u$ r) s; gend  
* P; g: I' t5 T0 b4 G5 f% 输出巡航路径及路径长度
S0,Sum

, q! }/ Y3 j7 d  u1 ^( |

计算结果为 44 小时左右。其中的一个巡航路径如图 1 所示。
& n4 p: K2 c+ `6 ^; x1 h% y


1 R* Y- @7 k8 |2 d————————————————
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