组合优化算法-现代优化算法 （一）：模拟退火算法 及应用举例

浅夏110

一些用于模型求解的启发式算法，主要针对很难求解的NP问题。
) J! K3 W: h! V! m4 Y6 s4 H% y0 ^% K现代优化算法是 80 年代初兴起的启发式算法。这些算法包括禁忌搜索（tabu search），模拟退火（simulated annealing），遗传算法（genetic algorithms），人工神经网 络（neural networks）。它们主要用于解决大量的实际应用问题。目前，这些算法在理论 和实际应用方面得到了较大的发展。无论这些算法是怎样产生的，它们有一个共同的目 标－求 NP-hard 组合优化问题的全局优解。虽然有这些目标，但 NP-hard 理论限制它 们只能以启发式的算法去求解实际问题。
! _* P/ q( w; E) v6 l1 Y* d
启发式算法包含的算法很多，例如解决复杂优化问题的蚁群算法（Ant Colony Algorithms）。有些启发式算法是根据实际问题而产生的，如解空间分解、解空间的限 制等；另一类算法是集成算法，这些算法是诸多启发式算法的合成。

3 u' j0 [0 e# v, \- [' O. Y现代优化算法解决组合优化问题，如 TSP（Traveling Salesman Problem）问题，QAP （Quadratic Assignment Problem）问题，JSP（Job-shop Scheduling Problem）问题等效 果很好。
$ \# U" N) I7 v. c$ P) ^
模拟退火算法简介
模拟退火算法得益于材料的统计力学的研究成果。统计力学表明材料中粒子的不 同结构对应于粒子的不同能量水平。在高温条件下，粒子的能量较高，可以自由运动和 重新排列。在低温条件下，粒子能量较低。如果从高温开始，非常缓慢地降温（这个过 程被称为退火），粒子就可以在每个温度下达到热平衡。当系统完全被冷却时，终形 成处于低能状态的晶体。


1 F! C! z# e1 p# m
0 R2 W& }0 Z& X


+ c1 S* B) v: x7 o% i5 i% C


在模拟退火算法中应注意以下问题：
* x( M; `+ A. v) ?+ H  a
（1）理论上，降温过程要足够缓慢，要使得在每一温度下达到热平衡。但在计算 机实现中，如果降温速度过缓，所得到的解的性能会较为令人满意，但是算法会太慢， 相对于简单的搜索算法不具有明显优势。如果降温速度过快，很可能终得不到全局 优解。因此使用时要综合考虑解的性能和算法速度，在两者之间采取一种折衷。

（2）要确定在每一温度下状态转换的结束准则。实际操作可以考虑当连续m 次的 转换过程没有使状态发生变化时结束该温度下的状态转换。终温度的确定可以提前定 为一个较小的值  ，或连续几个温度下转换过程没有使状态发生变化算法就结束。

（3）选择初始温度和确定某个可行解的邻域的方法也要恰当。

1.2  应用举例
) p, ?( Y' k8 {例  已知敌方 100 个目标的经度、纬度如表 1 所示。
* y4 m2 i' j- Y# x' L


# d! }# x. `- E" N

8 H4 a, `- s0 R) W4 i8 G7 M1 n

6 F0 d# `' v( J& ~

我们编写如下的 matlab 程序如下：


  o' P  w1 n( o$ F, Gclc,clear
8 ^, x, [0 s' a& Y0 \load sj.txt    %加载敌方 100 个目标的数据，数据按照表格中的位置保存在纯文本 文件 sj.txt 中
" _+ A/ o" u+ \* ix=sj(:,1:2:8);x=x(;
y=sj(:,2:2:8);y=y(;
sj=[x y];
9 \1 V' S8 `8 C, ~. @d1=[70,40];
sj=[d1;sj;d1];
sj=sj*pi/180; %距离矩阵
d
3 M# T  Y0 B8 Zd=zeros(102);
# O  W8 Y: U6 G: O' {+ @for i=1:101     
    for j=i+1:102         
+ X! l9 [- r2 f3 _- W; C# y. f        temp=cos(sj(i,1)-sj(j,1))*cos(sj(i,2))*cos(sj(j,2))+sin(sj(i,2))*sin(sj(j,2));
! ]" i# K* q1 r1 E2 \: h/ c3 }        d(i,j)=6370*acos(temp);     
    end
0 M9 y) T& M+ R& Uend
d=d+d';
S0=[];Sum=inf;
% u6 m+ j) c4 r/ l, I5 }rand('state',sum(clock));
! b: k4 Y- Q3 X. m8 S" D# bfor j=1:1000     
    S=[1 1+randperm(100),102];     
    temp=0;
2 M/ t' K7 F" k# a9 R1 m( j, M  ?    for i=1:101         
        temp=temp+d(S(i),S(i+1));     
' g( D% r0 {; @& d    end     
    if temp<Sum         
        S0=S;Sum=temp;     
# ~9 J. H* C1 H! n    end
end
3 N1 f7 [9 m. O7 z$ J* Je=0.1^30;L=20000;at=0.999;T=1;
" h3 T- e/ P2 H9 f2 q%退火过程
7 Z9 H) P' w' W* T0 Sfor k=1    %产生新解
6 N+ e* {( r) S+ T    c=2+floor(100*rand(1,2));
! D! g+ a% z7 v    c=sort(c); c1=c(1);c2=c(2);   %计算代价函数值   
    df=d(S0(c1-1),S0(c2))+d(S0(c1),S0(c2+1))-d(S0(c1-1),S0(c1))-d(S0(c2),S0(c2+1)); %接受准则   
! w' R- y  o1 A3 u( \. X    if df<0   
  B8 u- v0 Y* b0 d        S0=[S0(1:c1-1),S0(c2:-1:c1),S0(c2+1:102)];         
        Sum=Sum+df;   
    elseif exp(-df/T)>rand(1)   
        S0=[S0(1:c1-1),S0(c2:-1:c1),S0(c2+1:102)];   
* U1 F5 |6 z  ~$ W; |        Sum=Sum+df;   
6 }/ q/ z0 Y  ^1 `$ A7 `    end   
    T=T*at;   
6 _/ v$ a8 L0 P; U. s* L" I    if T<e        
) A8 U' e& S" B- o8 R& j$ Y. w        break;   
    end
' U5 o; g' x! k6 |0 S1 Z# x: G" xend  
3 [# \! a2 n& C% P4 p% O' U7 \0 \( \- b% 输出巡航路径及路径长度
+ q# S% a) \- q9 M/ q! ^# mS0,Sum
* ^7 {/ }' @9 W

& J! c" P6 J* \
计算结果为 44 小时左右。其中的一个巡航路径如图 1 所示。

# ~3 X( m  J( N
9 Q, b1 R/ f# @- z: s& B# ]5 A+ [
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% a! k) ^' x/ U  g5 F+ Q3 M' M