模糊聚类分析方法

浅夏110

在工程技术和经济管理中，常常需要对某些指标按照一定的标准(相似的程度或亲 疏关系等)进行分类处理。例如，根据生物的某些性态对其进行分类，根据空气的性质 对空气质量进行分类，以及工业上对产品质量的分类、工程上对工程规模的分类、图像 识别中对图形的分类、地质学中对土壤的分类、水资源中的水质分类等等。这些对客观 事物按一定的标准进行分类的数学方法称为聚类分析，它是多元统计“物以聚类”的一种分类方法。然而，在科学技术、经济管理中有许多事物的类与类之间并无清晰的划分， 边界具有模糊性，它们之间的关系更多的是模糊关系。对于这类事物的分类，一般用模糊数学方法、我们把应用模糊数学方法进行的聚类分析，称为模糊聚类分析。
4 g5 U$ W( U6 L
6 {& Z4 e9 k" e1 预备知识
1.1 模糊等价矩阵

2 W$ m3 h/ i' M/ b4 H% A; ]8 J2 J8 B9 h
5 p4 ], H+ y7 Y* c* r

n 阶等价布尔矩阵
  P: Z, Z8 s" h. O  z
, \  Z- S* V8 J- N* ], v
5 E+ O% F. k$ f: x
模糊分类


/ v8 k) x) r3 A: @



# V+ p; H6 H* g
+ x. f  A8 X$ E0 t# Y
. o4 V% C) \' f& n
' J( \# s% M0 Y- K# D4 V/ ~0 Z. L
- V) T3 T8 j0 `( N1.2 模糊相似矩阵




0 ~( E6 I7 q# Y6 p8 P


" H6 n: m1 W0 b+ I- r
2 模糊聚类分析法的基本步骤
! H% Y# M) J* W5 z) `/ e. @Step1: 数据标准化

1 |! K: {% P& c5 B5 L2 P(1) 获取数据
! u9 @0 |0 N/ ?( {! i8 z
! m; _' L# P8 Y/ Z

(2) 数据的标准化处理
; |1 {: p! @9 D+ H& @7 s! B: |在实际问题中，不同的数据可能有不同的性质和不同的量纲，为了使原始数据能够 适合模糊聚类的要求，需要将原始数据矩阵 A 作标准化处理，即通过适当的数据变换，将其转化为模糊矩阵。常用的方法有以下两种：
4 k! W- Z$ T3 C& ?5 f) ]
① 平移—标准差变换

4 k2 {/ \" b0 }0 Z$ ~

② 平移—极差变换



Step2: 建立模糊相似矩阵

$ S2 h$ B8 q% [/ G2 X6 s

(1) 数量积法
$ d# l! L, D3 ?6 E# Y5 `
% i& k6 g8 }& v% a7 v

" @: x- i$ Q5 M8 x" K" a7 a
- k# n$ V0 ^* t/ F2 K  F+ w(2) 夹角余弦法

; L& H% A! |" g6 |! L: g
% k9 U4 [2 h5 H$ ]
(3) 相关系数法



(4) 指数相似系数法

( W/ |& h! {' K' Y9 J7 W

(5) 最大最小值法
6 {9 A: }4 l% v                  式中 ∧ 为取小运算min，∨ 代表取大运算max

5 a! R  e" N3 u$ q. ?: F: g

: k1 G7 d8 D1 V, W/ s; N% J  o(6) 算术平均值法

' t, k# C5 T7 A" H- |* K
' C% I6 h' X$ g4 d  e; a
& L; d5 t0 j& d0 N' b5 ^0 V4 Y(7) 几何平均值法
+ b5 I; Y0 ]* A- ~


9 \  t: B: d1 ?+ V) J; _0 s(8) 绝对值倒数法
1 T' [! o# _* s+ i$ c


" P, V  y" p( p9 T; r(9) 绝对值指数法
8 X9 G3 p, Z" W; c# h4 R* Y* B
  J$ H+ ^2 K: t8 U. C, L! `

1 c" ^9 y' v5 e. i! V: G; F& A, o: @(10) 海明距离法
  }0 D8 ]% W8 q- U$ E  S
" L1 T) ^+ i& W1 L0 j4 d
( V$ }% t8 W1 h7 j- R
(11) 欧氏距离法


" K' C' t7 S$ s9 Z% Y
* O  t/ m/ V4 l* l0 d4 m. K/ L(12) 切比雪夫距离法
& W. k) E" [0 m# v4 e; J1 ]# z

$ k7 f7 d3 J( x% U  @6 |
(13) 主观评分法
- a/ o1 S0 L3 e

+ T( N) n. q# m8 @6 {) Z
Step3: 聚类
0 [5 G' \: i' d所谓聚类方法就是依据模糊矩阵将所研究的对象进行分类的方法。对于不同的置信 水平λ ∈[0,1]，可以得到不同的分类结果，从而形成动态聚类图。常用的方法如下：
2 Z3 E9 G# f/ H2 z
(1) 传递闭包法
从 Step2 中求出的模糊相似矩阵 R 出发，来构造一个模糊等价矩阵  。其方法就 是用平方法求出 R 的传递闭包t(R) ，则  t(R) =  ；然后，由大到小取一组λ ∈[0,1] ， 确定相应的λ 截矩阵，则可以将其分类，同时也可以构成动态聚类图。

(2) 布尔矩阵法
9 v0 i; ~0 C8 u$ l- x
9 e5 ~* P' T9 G# {% O8 ~- U# S6 q  L


$ ^7 r+ [( V- [* U* n# ?; e
(3) 直接聚类法
此方法是直接由模糊相似矩阵求出聚类图的方法，具体步骤如下：



8 }# z' P9 E3 k  r/ U- _% k# w( Z3 模糊聚类分析应用案例
  {. q( \; z4 _9 F, e  V例 15 某地区内有 12 个气象观测站，10 年来各站测得的年降水量如表 3 所示。 为了节省开支，想要适当减少气象观测站，试问减少哪些观察站可以使所得到的降水量 信息仍然足够大？

" T6 a+ A( C- X# `

9 B; n: W$ ?- D9 t3 I9 [

解 我们把 12 个气象观测站的观测值看成 12 个向量组，由于本题只给出了 10 年 的观测数据，根据线性代数的理论可知，若向量组所含向量的个数大于向量的维数，则 该向量组必然线性相关。于是只要求出该向量组的秩就可确定该向量组的最大无关组所 含向量的个数，也就是需保留的气象观测站的个数。由于向量组中的其余向量都可由极 大线性无关组线性表示，因此，可以使所得到的降水信息量足够大。
7 I0 P) p" ]5 [; ?
7 W! v# Q+ O. T- X, h5 _! S

到目前为止，问题似乎已经完全解决了，可其实不然，因为如果上述观测站的数 据不是 10 年，而是超过 12 年，则此时向量的维数大于向量组所含的向量个数，这样的 向量组未必线性相关。故上述的解法不具有一般性，下面我们考虑一般的解法，首先， 我们利用已有的 12 个气象观测站的数据进行模糊聚类分析，最后确定从哪几类中去掉 几个观测站。

2 q/ z& [; @2 Q. c  A（1）建立模糊集合
8 [) q1 i& i" g) o0 H
% ]+ A: N* N: ~' L" }

) v! {5 s, c/ j; H& i0 Z, @/ G
5 M7 O2 Q" i9 K; Z4 p
0 y: k- G6 s8 a$ `6 h5 ?
8 H9 D+ G7 ?" k1 ^+ ~' P( A- @（2）利用格贴近度建立模糊相似矩阵
# T0 o2 X$ j2 m7 V
& v4 h! [: r, R! d3 |- u
$ ~7 f  o& R+ }+ Q1 x9 D
1 q) I# b: [) K. g5 W# X（3）求 R 的传递闭包
$ T" H4 S( [8 P) }3 D) ~: x5 O
) n, A4 E* C* A6 O7 l! o% U" Z
2 J8 n* j7 r* e) \/ @0 U
, \' m7 }7 W0 ^其余观测站属于中间水平。

（4）选择保留观测站的准则
5 I8 P+ y4 m' j2 r7 y显然，去掉的观测站越少，则保留的信息量越大。为此，我们考虑在去掉的观测 站数目确定的条件下，使得信息量最大的准则。由于该地区的观测站分为 4 类，且第 4 类只含有一个观测站，因此，我们从前 3 类中各去掉一个观测站，我们的准则如下：
/ _2 D1 D6 F3 b. n8 G9 S2 h
1 _8 Y* I/ ^: P( _8 x7 g% k
6 Z$ ~; r  w* ?3 v8 u
" `% \/ Z4 i+ w# U& f
" \2 F5 J2 q& [3 c& O  e+ L


' T% B% @9 {. _" G. y（5）求解的 MATLAB 程序如下：

i）求模糊相似矩阵的 MATLAB 程序

a=[276.2 324.5 158.6 412.5 292.8 258.4 334.1 303.2 292.9 243.2 159.7 331.2
251.5 287.3 349.5 297.4 227.8 453.6 321.5 451.0 466.2 307.5 421.1 455.1
. r$ B* C! ~+ M7 T; F192.7 433.2 289.9 366.3 466.2 239.1 357.4 219.7 245.7 411.1 357.0 353.2
5 |# ?2 {% p- e: F, f7 I% S246.2 232.4 243.7 372.5 460.4 158.9 298.7 314.5 256.6 327.0 296.5 423.0
291.7 311.0 502.4 254.0 245.6 324.8 401.0 266.5 251.3 289.9 255.4 362.1
466.5 158.9 223.5 425.1 251.4 321.0 315.4 317.4 246.2 277.5 304.2 410.7
( m. O7 {, z& Z$ O2 e. S# Z$ e  \258.6 327.4 432.1 403.9 256.6 282.9 389.7 413.2 466.5 199.3 282.1 387.6
453.4 365.5 357.6 258.1 278.8 467.2 355.2 228.5 453.6 315.6 456.3 407.2
158.2 271.0 410.2 344.2 250.0 360.7 376.4 179.4 159.2 342.4 331.2 377.7
324.8 406.5 235.7 288.8 192.6 284.9 290.5 343.7 283.4 281.2 243.7 411.1];
. t) X: Q  H' X6 r$ R  \mu=mean(a),sigma=std(a)
for i=1:12
    for j=1:12
        r(i,j)=exp(-(mu(j)-mu(i))^2/(sigma(i)+sigma(j))^2);
' m2 T& N1 E& d! [4 d2 ~! V) p2 W    end
end
( e8 k% U$ [+ i$ \6 K8 Zr
save data1 r a

2 g. {: |4 O. V/ U5 T9 K) `) _ii）矩阵合成的 MATLAB 函数
& h0 t3 E/ @* X: w! U, a
! y3 v! r7 h$ efunction rhat=hecheng(r);
n=length(r);
for i=1:n
    for j=1:n
        rhat(i,j)=max(min([r(i,;r(:,j)']));
    end
& T0 `5 ^- G* S) w! P6 send
2 ~" y8 H% O' I' c
* y3 ?/ k/ O) l/ G% Qiii）求模糊等价矩阵和聚类的程序
. ^  r) y' E5 E+ S* d5 {  J$ c
load data1
4 }- C! ^' z8 s+ u& Wr1=hecheng(r)
9 c3 s# q0 K, T  z+ w; V4 \# U- @r2=hecheng(r1)
' s0 c0 p9 I5 h. }4 V8 U# gr3=hecheng(r2)
3 j, I& q6 n. zbh=zeros(12);
bh(find(r2>0.998))=1
' `+ k! S+ \% h1 B5 W, L! U4 ]
1 p1 b' x3 A7 ?iv)计算表6的程序  编写计算误差平方和的函数如下：

0 s; U' I2 `0 J/ @  x* rfunction err=wucha(a,t);
& H/ t$ x) y' h. `+ Sb=a;b(:,t)=[];
/ j! @$ z7 J- e" c$ u( g, ^3 |mu1=mean(a,2);mu2=mean(b,2);
err=sum((mu1-mu2).^2);
$ j6 Y4 T4 ?% X7 t3 T

计算28个方案的主程序如下：
& a0 q9 g, f/ V' E
) C  z6 b; I) S* i. Y* Bload data1
. B! e" s1 [# l/ wind1=[1,5];ind2=[2:3,6,8:11];ind3=[4,7];
so=[];
for i=1:length(ind1)
    for j=1:length(ind3)
        for k=1:length(ind2)
1 K& d  u  o9 a/ L            t=[ind1(i),ind3(j),ind2(k)];
4 x7 J- T' D  `- W            err=wucha(a,t);
            so=[so;[t,err]];
: P5 `/ B1 M) ^+ z( U* X, A1 K        end
    end
# [" X# @. \( ^& Xend
so
! _# W" c" O$ B# \3 b& F' Ttm=find(so(:,4)==min(so(:,4)));
* A; u% n3 J- A  ^: k; Oshanchu=so(tm,1:3)

0 _3 i: O6 k- W) R% m: j
) L; @; V  w+ Z) K# D
3 t3 @+ \" E9 n( h' ~————————————————
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7 f, F1 }$ d* _1 W& \  [