模糊聚类分析方法

浅夏110

在工程技术和经济管理中，常常需要对某些指标按照一定的标准(相似的程度或亲 疏关系等)进行分类处理。例如，根据生物的某些性态对其进行分类，根据空气的性质 对空气质量进行分类，以及工业上对产品质量的分类、工程上对工程规模的分类、图像 识别中对图形的分类、地质学中对土壤的分类、水资源中的水质分类等等。这些对客观 事物按一定的标准进行分类的数学方法称为聚类分析，它是多元统计“物以聚类”的一种分类方法。然而，在科学技术、经济管理中有许多事物的类与类之间并无清晰的划分， 边界具有模糊性，它们之间的关系更多的是模糊关系。对于这类事物的分类，一般用模糊数学方法、我们把应用模糊数学方法进行的聚类分析，称为模糊聚类分析。

1 预备知识
1.1 模糊等价矩阵
' I7 ^2 R5 q$ f( r


& l; c4 \$ M/ O) z
9 F& N+ h$ R! nn 阶等价布尔矩阵



模糊分类
( L! W1 T. w8 N

, f4 s7 n+ ]7 {8 i1 \9 H6 T3 f
6 t" e* a9 d. s- H6 R$ Q

1 E* Y3 u/ I  r

& f0 b8 N4 v! F5 m8 I) d- Q

8 y1 B3 L5 x( M0 ~2 u8 N
# u4 v) V3 l9 n1 ]. Q4 t1.2 模糊相似矩阵

9 H6 f! G6 P3 V2 {1 [1 b# ]8 o



& W1 ]2 J7 e4 t7 B

3 c& P9 I) z2 G! N
  \4 x* q3 D) L8 [2 模糊聚类分析法的基本步骤
Step1: 数据标准化

(1) 获取数据
7 H. U) y$ Q: q
+ ^9 r& Q2 I; u6 ]4 F! X7 S9 s9 V

(2) 数据的标准化处理
1 g' X( ^( J3 S4 W. Z在实际问题中，不同的数据可能有不同的性质和不同的量纲，为了使原始数据能够 适合模糊聚类的要求，需要将原始数据矩阵 A 作标准化处理，即通过适当的数据变换，将其转化为模糊矩阵。常用的方法有以下两种：
( k" x" ?! y( q- ]1 b8 C& n$ N: N
+ o; ]$ K3 Z8 j$ {4 p① 平移—标准差变换
# o& F: Y) ]* p& w$ u* V
& A# Y; A* {. \

  I' G, W3 F: j$ H! n* W② 平移—极差变换



. o& N+ e8 I3 n# t+ l% `Step2: 建立模糊相似矩阵
3 l' B# }9 }- x8 k# X* v8 ~


(1) 数量积法

0 y" L# F% b; t5 T7 v1 A

* V- p; B2 m( G/ X& J; R' x
" X# K. P# B: _2 g8 F* c3 N) h9 E. C(2) 夹角余弦法
, M, r& |$ s8 }+ ^
( b- V! Y( c* ]9 }0 ~: F2 i

(3) 相关系数法
7 y+ z" F, d' E- W0 x; U

$ j$ V% B. J- J( P, G7 m& D
(4) 指数相似系数法


6 t: ^0 T2 }# Z3 ^( e! f
(5) 最大最小值法
                  式中 ∧ 为取小运算min，∨ 代表取大运算max

9 O& q" P! `. W6 g% p; {" A

: h; Q( J4 W! Z3 P5 w# S0 l(6) 算术平均值法
5 T6 A' y  a# `( ^/ K
  n7 K* K7 W3 z7 E
% N5 v0 H& \1 k% V2 f  W5 i
(7) 几何平均值法
4 o1 v# W; {, P+ \# p

: r0 L) A6 y  @0 X5 s3 \$ Y
(8) 绝对值倒数法
2 i# X. d6 Z$ [' e
" O+ J9 {9 o+ S3 H6 Q+ y, E. Q; ^
8 n- v3 ~  Y7 b- f# c
& K. \4 w4 ?! t0 q/ A# ~(9) 绝对值指数法



(10) 海明距离法

  [/ ]5 @. b7 l
5 y8 u! F2 y% t7 w5 J9 ^+ {2 [
(11) 欧氏距离法
# m  l: M7 q/ ^! u* [9 H4 X


(12) 切比雪夫距离法

8 E- j0 w& L8 |7 \

(13) 主观评分法

0 J& T1 b6 n4 a
) z' h( d' y3 B9 H1 I2 ]" `0 N7 U- V* M
' H2 d* g; o- H. Z( T/ ?- R2 ]Step3: 聚类
8 r1 s2 b7 a* ?5 F* O! I. u所谓聚类方法就是依据模糊矩阵将所研究的对象进行分类的方法。对于不同的置信 水平λ ∈[0,1]，可以得到不同的分类结果，从而形成动态聚类图。常用的方法如下：
' [* s8 g) Q6 @8 x
3 |7 m0 R4 u8 h- A, B( e(1) 传递闭包法
6 J7 T: u2 X+ g) e3 [! k从 Step2 中求出的模糊相似矩阵 R 出发，来构造一个模糊等价矩阵  。其方法就 是用平方法求出 R 的传递闭包t(R) ，则  t(R) =  ；然后，由大到小取一组λ ∈[0,1] ， 确定相应的λ 截矩阵，则可以将其分类，同时也可以构成动态聚类图。

(2) 布尔矩阵法

6 N9 g3 l& j& K9 j0 b% Q4 f
  K/ G6 X* i0 H6 k! \


(3) 直接聚类法
此方法是直接由模糊相似矩阵求出聚类图的方法，具体步骤如下：



3 模糊聚类分析应用案例
% ]! n7 n+ s5 g0 O& l1 p例 15 某地区内有 12 个气象观测站，10 年来各站测得的年降水量如表 3 所示。 为了节省开支，想要适当减少气象观测站，试问减少哪些观察站可以使所得到的降水量 信息仍然足够大？
3 ~8 b1 G6 z" \6 p
/ B6 a$ D3 Y! U5 c, j


! ]' t) m- v* j6 v, I: S; V( P
& c+ N& U, Y! [$ Z; }( Z解 我们把 12 个气象观测站的观测值看成 12 个向量组，由于本题只给出了 10 年 的观测数据，根据线性代数的理论可知，若向量组所含向量的个数大于向量的维数，则 该向量组必然线性相关。于是只要求出该向量组的秩就可确定该向量组的最大无关组所 含向量的个数，也就是需保留的气象观测站的个数。由于向量组中的其余向量都可由极 大线性无关组线性表示，因此，可以使所得到的降水信息量足够大。
6 S: o) O4 v7 K+ O5 ]


) Q: W& \( j; M5 O" s8 y到目前为止，问题似乎已经完全解决了，可其实不然，因为如果上述观测站的数 据不是 10 年，而是超过 12 年，则此时向量的维数大于向量组所含的向量个数，这样的 向量组未必线性相关。故上述的解法不具有一般性，下面我们考虑一般的解法，首先， 我们利用已有的 12 个气象观测站的数据进行模糊聚类分析，最后确定从哪几类中去掉 几个观测站。
4 Y. f# i) |2 Z4 W3 c
  ~' o+ V8 y0 W（1）建立模糊集合
7 q+ W0 Y6 m0 s6 S6 D
) N- z  N: S8 ^+ a! ~7 \9 z5 r
2 N1 L  }8 g* g* e0 p; U, O
* X3 R+ w5 O& E, `8 [
/ z- t' h; s0 G
3 Q0 l& ?$ O$ j3 e' \- K
2 I6 h6 {2 ?, c（2）利用格贴近度建立模糊相似矩阵

' F& i! u+ F+ z2 N6 y9 Z" f5 j
! p$ J- w! }: I+ O$ l
（3）求 R 的传递闭包
7 ^* V" `5 U4 T7 [1 i


其余观测站属于中间水平。

( N9 Y2 c* F. o# [% _6 _/ I（4）选择保留观测站的准则
显然，去掉的观测站越少，则保留的信息量越大。为此，我们考虑在去掉的观测 站数目确定的条件下，使得信息量最大的准则。由于该地区的观测站分为 4 类，且第 4 类只含有一个观测站，因此，我们从前 3 类中各去掉一个观测站，我们的准则如下：

9 A' E4 K! T. c+ G/ O. u
! X6 {( Z3 X: Z# v
1 b; Q; O% O0 A7 f: M9 d8 {

) W$ r/ m, M0 D6 m8 j' k% J
# F; T$ P7 V. X. n
（5）求解的 MATLAB 程序如下：

3 c& y' I& i0 y9 {! fi）求模糊相似矩阵的 MATLAB 程序

a=[276.2 324.5 158.6 412.5 292.8 258.4 334.1 303.2 292.9 243.2 159.7 331.2
2 P9 v* L) A- ?# W4 s" R251.5 287.3 349.5 297.4 227.8 453.6 321.5 451.0 466.2 307.5 421.1 455.1
192.7 433.2 289.9 366.3 466.2 239.1 357.4 219.7 245.7 411.1 357.0 353.2
" U( d) y* N8 U4 k  W246.2 232.4 243.7 372.5 460.4 158.9 298.7 314.5 256.6 327.0 296.5 423.0
291.7 311.0 502.4 254.0 245.6 324.8 401.0 266.5 251.3 289.9 255.4 362.1
466.5 158.9 223.5 425.1 251.4 321.0 315.4 317.4 246.2 277.5 304.2 410.7
/ f4 g7 A9 _1 u' L; m7 n; z258.6 327.4 432.1 403.9 256.6 282.9 389.7 413.2 466.5 199.3 282.1 387.6
( V" o# r! u# Y/ K$ B5 X" w' A453.4 365.5 357.6 258.1 278.8 467.2 355.2 228.5 453.6 315.6 456.3 407.2
158.2 271.0 410.2 344.2 250.0 360.7 376.4 179.4 159.2 342.4 331.2 377.7
( u) ^2 n  M7 I4 E324.8 406.5 235.7 288.8 192.6 284.9 290.5 343.7 283.4 281.2 243.7 411.1];
mu=mean(a),sigma=std(a)
for i=1:12
    for j=1:12
0 e0 w: e9 I) l$ [        r(i,j)=exp(-(mu(j)-mu(i))^2/(sigma(i)+sigma(j))^2);
. W9 V  A: B! ^: G- f    end
7 [4 P& E/ `" bend
6 u* N- u; Q' ?( i$ p8 Z: z' S+ U- |r
. _9 J8 w/ G. C8 M- hsave data1 r a

3 F( y2 d) f0 p, g+ L) h6 hii）矩阵合成的 MATLAB 函数

2 {+ }. e, n6 M( }9 X( {function rhat=hecheng(r);
7 o9 h. a& l6 f0 w! I3 v1 sn=length(r);
for i=1:n
! r8 v; C. y" t% G+ v  c    for j=1:n
        rhat(i,j)=max(min([r(i,;r(:,j)']));
1 l0 S' i1 u8 Y    end
- `% f' G! v) Q, k7 o) S) z4 Eend

1 g) ~1 ?9 {; h6 |iii）求模糊等价矩阵和聚类的程序

3 s$ b( F- y* f# s+ @( A, Aload data1
r1=hecheng(r)
r2=hecheng(r1)
) y; ^. A  a" C  y4 ^( j6 Hr3=hecheng(r2)
+ w& N1 t' J2 h' s7 rbh=zeros(12);
( ^& E  |' r$ t& X% Nbh(find(r2>0.998))=1
5 L4 C' b8 l4 O7 s" f& c
iv)计算表6的程序  编写计算误差平方和的函数如下：
* y5 W7 W1 R: K! ?; {
( p( W, j' r  `9 T, ^7 ofunction err=wucha(a,t);
+ d" i5 m* _& Z1 C  ?2 F% Pb=a;b(:,t)=[];
mu1=mean(a,2);mu2=mean(b,2);
! i7 T  I0 r  y8 d# y2 jerr=sum((mu1-mu2).^2);


计算28个方案的主程序如下：

- C& @' z$ M" y# ~2 ^+ Aload data1
ind1=[1,5];ind2=[2:3,6,8:11];ind3=[4,7];
. I1 F& l" _& Z9 _" b# bso=[];
for i=1:length(ind1)
    for j=1:length(ind3)
        for k=1:length(ind2)
            t=[ind1(i),ind3(j),ind2(k)];
" d$ O; u+ k& A3 ?            err=wucha(a,t);
, I: X2 S4 s# W' n; V1 m            so=[so;[t,err]];
        end
8 o, U: g4 M. ^* s    end
$ @, n6 ^0 ^5 J" d- Z1 ]% _, ~end
so
& W: `; F1 D, \/ c- O. N/ Ftm=find(so(:,4)==min(so(:,4)));
shanchu=so(tm,1:3)
* ?) d; U& ~$ X+ y, l% l' r

6 K" D+ L5 V- `% j" u
8 i1 R: B9 `  V% I' C————————————————
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. i) R4 Z, t9 g5 H  o