模糊聚类分析方法

浅夏110

在工程技术和经济管理中，常常需要对某些指标按照一定的标准(相似的程度或亲 疏关系等)进行分类处理。例如，根据生物的某些性态对其进行分类，根据空气的性质 对空气质量进行分类，以及工业上对产品质量的分类、工程上对工程规模的分类、图像 识别中对图形的分类、地质学中对土壤的分类、水资源中的水质分类等等。这些对客观 事物按一定的标准进行分类的数学方法称为聚类分析，它是多元统计“物以聚类”的一种分类方法。然而，在科学技术、经济管理中有许多事物的类与类之间并无清晰的划分， 边界具有模糊性，它们之间的关系更多的是模糊关系。对于这类事物的分类，一般用模糊数学方法、我们把应用模糊数学方法进行的聚类分析，称为模糊聚类分析。

: z* I$ C( A$ p: O1 r' \) a1 预备知识
1.1 模糊等价矩阵

# b! ~, e5 V, h


n 阶等价布尔矩阵
! x. N! y. J" o; F0 [% Y
' m7 V" r% Y. v  s% R& N

模糊分类
+ Q/ E' V; g7 d3 T: \& q

* K5 W6 N$ U: L6 N# o7 C


; ?5 P. m; ]6 M' o; t/ o. L

. s; [4 D: J7 e4 s/ l' q+ c
3 d, S$ a  X0 C3 V1 W* j

1.2 模糊相似矩阵



$ s9 Z6 z* j, @

9 N8 j4 y3 |7 |& U: J


2 模糊聚类分析法的基本步骤
4 b9 _" |" T. `' G# M7 VStep1: 数据标准化
: |4 z/ u. I/ i9 d& X
(1) 获取数据
' G9 a; `1 G- q* u
. ^' G5 l+ z, ]* q: {' e
! u. f6 T# T' r  {) s
(2) 数据的标准化处理
在实际问题中，不同的数据可能有不同的性质和不同的量纲，为了使原始数据能够 适合模糊聚类的要求，需要将原始数据矩阵 A 作标准化处理，即通过适当的数据变换，将其转化为模糊矩阵。常用的方法有以下两种：
% r& ^$ u3 T+ q
% I. I( V- O* ^! _9 e① 平移—标准差变换
$ N+ ^  N; `/ A0 z+ G


② 平移—极差变换

1 C0 a! D; R" @, m7 \* k4 f

Step2: 建立模糊相似矩阵
1 A/ ?3 b* P; K

, U% r. Q" x: }7 q( w, K8 N
(1) 数量积法
6 I  J9 Q* Q) K+ \
: \0 [. n9 q) _- O# D* h
# R# d) L2 N, s$ P1 ~

(2) 夹角余弦法
2 Y) d& k" G) i1 c8 c$ m8 N


(3) 相关系数法


6 R& o" e( `) ^! x" f$ n
(4) 指数相似系数法

  `. N, _3 U* g

& y/ s3 [% |! S( @(5) 最大最小值法
                  式中 ∧ 为取小运算min，∨ 代表取大运算max


3 f& c) n2 w: t: Z9 N) q2 H9 F0 g$ \. z
" [* n1 ~' j) e# l/ {! w! _(6) 算术平均值法
: c/ A: Y, |; P6 d7 g. E, z3 y; o
/ j/ N$ Z* b4 u0 k, F7 e
( i8 h* A/ W/ L: f. D
(7) 几何平均值法


& W7 K+ ~6 |! ?+ M
(8) 绝对值倒数法
: u7 j7 F# Y& i0 T9 S
. W) H! K5 Z) R

$ s0 p# O" R9 P; e3 d, a% w(9) 绝对值指数法



(10) 海明距离法
2 N& b& Y% I- o. W" M
# @5 O& c* S6 a) _$ R

  l* B1 U& K/ T$ h9 ^) r(11) 欧氏距离法

. e' y2 z; A% H* I& f( Y
$ u6 b  \! k+ r1 j. C$ U4 Z8 u
. N% L4 ^# Z1 }! u$ [3 S! ](12) 切比雪夫距离法

! a# \9 l5 P" s) f# m- c  F

(13) 主观评分法
) d2 \, r' H5 T2 `5 r* O7 _  G
' g* }( I4 e5 v7 s

Step3: 聚类
所谓聚类方法就是依据模糊矩阵将所研究的对象进行分类的方法。对于不同的置信 水平λ ∈[0,1]，可以得到不同的分类结果，从而形成动态聚类图。常用的方法如下：

; B; I( Q0 u6 f+ D7 M4 y+ G" t(1) 传递闭包法
- T# e: W9 s' b. S+ i从 Step2 中求出的模糊相似矩阵 R 出发，来构造一个模糊等价矩阵  。其方法就 是用平方法求出 R 的传递闭包t(R) ，则  t(R) =  ；然后，由大到小取一组λ ∈[0,1] ， 确定相应的λ 截矩阵，则可以将其分类，同时也可以构成动态聚类图。

1 @9 [2 j) j3 _. a3 E& U(2) 布尔矩阵法


4 u& ?5 g7 H- e8 ^& B; Q( A
& j8 j* K1 e% f* F

(3) 直接聚类法
此方法是直接由模糊相似矩阵求出聚类图的方法，具体步骤如下：


9 m2 E  n: o! U4 `) B1 [
3 模糊聚类分析应用案例
% a1 E1 F7 ~0 u$ r) ~8 z例 15 某地区内有 12 个气象观测站，10 年来各站测得的年降水量如表 3 所示。 为了节省开支，想要适当减少气象观测站，试问减少哪些观察站可以使所得到的降水量 信息仍然足够大？
# |3 v. e' {3 E3 L% k- p% ?7 c& Q



) W; Y( M+ b  V+ E8 F3 Y- \
解 我们把 12 个气象观测站的观测值看成 12 个向量组，由于本题只给出了 10 年 的观测数据，根据线性代数的理论可知，若向量组所含向量的个数大于向量的维数，则 该向量组必然线性相关。于是只要求出该向量组的秩就可确定该向量组的最大无关组所 含向量的个数，也就是需保留的气象观测站的个数。由于向量组中的其余向量都可由极 大线性无关组线性表示，因此，可以使所得到的降水信息量足够大。
6 w$ T3 L6 F. q; O7 l; W' @4 j1 T- w. s
1 G8 H4 Y3 y) p, a  E4 E, c& R  D
; s0 c3 b) \% f/ J7 W4 k
. \- L$ p% x" I3 w8 G$ g到目前为止，问题似乎已经完全解决了，可其实不然，因为如果上述观测站的数 据不是 10 年，而是超过 12 年，则此时向量的维数大于向量组所含的向量个数，这样的 向量组未必线性相关。故上述的解法不具有一般性，下面我们考虑一般的解法，首先， 我们利用已有的 12 个气象观测站的数据进行模糊聚类分析，最后确定从哪几类中去掉 几个观测站。

（1）建立模糊集合





& j7 Z4 ^8 r& c) ^
（2）利用格贴近度建立模糊相似矩阵
* m0 Q6 k: O1 W; E5 O7 Y! `$ I
' v& M! J  S7 {" b2 F, l
8 ?, o* e' s; |- ]) t' C% l
（3）求 R 的传递闭包



其余观测站属于中间水平。

1 \/ L6 h7 i4 M: z6 o8 j（4）选择保留观测站的准则
- V+ W+ B- [3 B) v0 }5 [! p显然，去掉的观测站越少，则保留的信息量越大。为此，我们考虑在去掉的观测 站数目确定的条件下，使得信息量最大的准则。由于该地区的观测站分为 4 类，且第 4 类只含有一个观测站，因此，我们从前 3 类中各去掉一个观测站，我们的准则如下：
  b- J, ]: w+ M# N3 g3 |
/ Z7 s$ l2 P, _7 s  y4 B

+ q. s, g$ b& Y8 N5 C/ `! s( G- \
# D" j2 G4 A& }) L7 b: h

# V" S6 l$ ]3 U& F
6 J% `4 z/ ~" p（5）求解的 MATLAB 程序如下：
3 ^4 r$ H' m. ]$ E$ d: l" s
0 c% B- U* N7 v% ti）求模糊相似矩阵的 MATLAB 程序

a=[276.2 324.5 158.6 412.5 292.8 258.4 334.1 303.2 292.9 243.2 159.7 331.2
2 a$ ^  ?8 P* r4 K) X* I* P251.5 287.3 349.5 297.4 227.8 453.6 321.5 451.0 466.2 307.5 421.1 455.1
" J4 j" r- p1 K192.7 433.2 289.9 366.3 466.2 239.1 357.4 219.7 245.7 411.1 357.0 353.2
246.2 232.4 243.7 372.5 460.4 158.9 298.7 314.5 256.6 327.0 296.5 423.0
291.7 311.0 502.4 254.0 245.6 324.8 401.0 266.5 251.3 289.9 255.4 362.1
# E2 r* L6 b, D* \3 _. x/ Y8 `+ h466.5 158.9 223.5 425.1 251.4 321.0 315.4 317.4 246.2 277.5 304.2 410.7
9 G6 d, j4 A7 a, S7 [258.6 327.4 432.1 403.9 256.6 282.9 389.7 413.2 466.5 199.3 282.1 387.6
& F+ L1 @/ G. {453.4 365.5 357.6 258.1 278.8 467.2 355.2 228.5 453.6 315.6 456.3 407.2
158.2 271.0 410.2 344.2 250.0 360.7 376.4 179.4 159.2 342.4 331.2 377.7
! S$ g, l3 G* \- ]' p6 @  k' z0 u+ d324.8 406.5 235.7 288.8 192.6 284.9 290.5 343.7 283.4 281.2 243.7 411.1];
; g8 }6 c6 P9 _4 d2 Kmu=mean(a),sigma=std(a)
for i=1:12
    for j=1:12
6 d# y2 k  L; m+ K        r(i,j)=exp(-(mu(j)-mu(i))^2/(sigma(i)+sigma(j))^2);
    end
% O; u- M* N& g4 dend
r
5 m0 o) ?; j$ ?- u8 ysave data1 r a
& ]1 u' ?, ]& A
) c/ r' I. ?) @) S1 X1 U2 D, z1 Q7 Nii）矩阵合成的 MATLAB 函数

function rhat=hecheng(r);
( N: R; q5 H" o! B0 ~! r' W; On=length(r);
for i=1:n
6 R' e. y% z5 ?( n+ l8 ~1 h    for j=1:n
        rhat(i,j)=max(min([r(i,;r(:,j)']));
; I( D, P9 U4 O% n6 t  V! |    end
end
/ f) a0 Z6 [/ ^& r4 G% O
iii）求模糊等价矩阵和聚类的程序
4 ], J1 o& x% K. ?- ]. r  A! i9 B
3 q9 Q/ f$ U, a( w! |load data1
3 N+ D8 R) {! a% Vr1=hecheng(r)
" a' m7 e2 A$ Q, o# B. q( `r2=hecheng(r1)
r3=hecheng(r2)
bh=zeros(12);
4 _/ k. L4 A. Nbh(find(r2>0.998))=1

iv)计算表6的程序  编写计算误差平方和的函数如下：

function err=wucha(a,t);
3 m6 b9 w" O# C% D- ^8 Rb=a;b(:,t)=[];
+ u( n* M2 Z, N; W" V) C# i; Amu1=mean(a,2);mu2=mean(b,2);
err=sum((mu1-mu2).^2);


/ ?" o# u+ G& \7 H计算28个方案的主程序如下：

load data1
, Y+ x7 e* @- }" Qind1=[1,5];ind2=[2:3,6,8:11];ind3=[4,7];
so=[];
for i=1:length(ind1)
) Q$ o0 b$ U) d7 r2 b3 h6 u    for j=1:length(ind3)
        for k=1:length(ind2)
            t=[ind1(i),ind3(j),ind2(k)];
            err=wucha(a,t);
, J' @1 K0 r" x' k; t5 g! o            so=[so;[t,err]];
9 h4 z/ \8 `" R        end
$ {' z4 W: o3 @% m! Q: @    end
# M9 x' p5 q1 S3 A3 R/ h+ @8 cend
( @6 W; G8 a2 f  J0 Sso
7 O6 B% u" ]6 I$ u3 ~; _/ ltm=find(so(:,4)==min(so(:,4)));
shanchu=so(tm,1:3)



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