模糊聚类分析方法

浅夏110

在工程技术和经济管理中，常常需要对某些指标按照一定的标准(相似的程度或亲 疏关系等)进行分类处理。例如，根据生物的某些性态对其进行分类，根据空气的性质 对空气质量进行分类，以及工业上对产品质量的分类、工程上对工程规模的分类、图像 识别中对图形的分类、地质学中对土壤的分类、水资源中的水质分类等等。这些对客观 事物按一定的标准进行分类的数学方法称为聚类分析，它是多元统计“物以聚类”的一种分类方法。然而，在科学技术、经济管理中有许多事物的类与类之间并无清晰的划分， 边界具有模糊性，它们之间的关系更多的是模糊关系。对于这类事物的分类，一般用模糊数学方法、我们把应用模糊数学方法进行的聚类分析，称为模糊聚类分析。

( V5 J% r' a# n6 o4 e9 k1 预备知识
1.1 模糊等价矩阵
& ^7 R, m8 u; H" M
' M+ G% c5 x3 v2 ]& \! e
2 h6 d- t) a8 J0 k0 U2 y% ], N
; [9 G' g: h& Y; d% ~2 G8 l' ~
: D/ j1 o+ q( en 阶等价布尔矩阵

, J# i9 l! ?9 l5 D
$ O/ a: D5 d0 H
模糊分类
( \% Y) K! U. \0 S; z; v) t


3 C4 }/ P% f, C. w2 F( T

" A3 R7 q1 N- B3 O5 @8 `
0 Z' z$ y2 P5 Q& K9 t2 v

6 W* X" ~" x3 N  Y' M7 W5 k

4 `5 I  a6 G5 o& |9 ^1.2 模糊相似矩阵




( ^! b. Q* v! H, B' q, f
8 U$ ]" Z7 l; _5 x5 A4 b9 F
, d) w$ J' ^8 M9 p5 F

: ^) r. w- v6 E) a& A6 F  b5 P2 模糊聚类分析法的基本步骤
. q0 W  P9 H" d8 m  y+ B6 CStep1: 数据标准化
9 A$ n8 G2 h3 E/ ^" m& K7 S
, `+ _% T, S+ ~2 x8 \& m2 w3 w% o(1) 获取数据
% ?. ]1 r8 Y0 l8 x

7 l) L7 Z3 H$ i
(2) 数据的标准化处理
在实际问题中，不同的数据可能有不同的性质和不同的量纲，为了使原始数据能够 适合模糊聚类的要求，需要将原始数据矩阵 A 作标准化处理，即通过适当的数据变换，将其转化为模糊矩阵。常用的方法有以下两种：
( Y. t0 l+ \: s
① 平移—标准差变换
6 `; ]: _) s+ b4 A( m- y7 T6 ~
! p" m3 g; ~* d2 N0 L
0 H  X& S( g1 S3 \0 S6 J
2 V- {% b( S6 P3 c② 平移—极差变换
: I% L$ P& f; x; E* Y0 W7 q9 q* p
) m! Q4 v6 U5 P2 n  @% Z: r. \
0 Y" C8 ]8 r/ I* |
Step2: 建立模糊相似矩阵

9 _( [/ W, R1 g( R* p

(1) 数量积法


2 h  G2 u& H2 ^6 `; ~& L3 e3 p

(2) 夹角余弦法


- Q' p0 J6 r0 U: W! I
(3) 相关系数法



: H) A* M6 h1 [- B9 G0 [* k3 g% K(4) 指数相似系数法
9 J" [. y  d. l& ?8 }! J& P4 g
/ t$ }+ X2 I3 L" V1 C$ Y* d
$ x; [  ?6 j1 L
(5) 最大最小值法
' c, z" _( z1 g% b, J                  式中 ∧ 为取小运算min，∨ 代表取大运算max



(6) 算术平均值法

; B  `3 s* q  Z5 F; h9 d

! E* u4 I# f' c  c(7) 几何平均值法
) D  N  I; k3 j* w% A8 W6 K

) s/ H1 w' p6 h$ h
2 Q, b6 L. n  A. e& l(8) 绝对值倒数法



(9) 绝对值指数法
# Z1 R0 |6 v4 p, q. K
" b) p4 g* K2 @, x. c/ T: \

8 C8 h7 D$ ]2 u% s7 X  O) f(10) 海明距离法


' l- U& T! o  t
(11) 欧氏距离法
9 x- t: K3 a9 K; c  X1 u: G4 b- M

. W0 J- F7 W/ o2 i7 s2 s
& \0 A$ T; y% @3 E% f0 m1 E(12) 切比雪夫距离法



( i! a) J# ?4 w: r; z(13) 主观评分法



Step3: 聚类
( s' A8 c5 v$ g所谓聚类方法就是依据模糊矩阵将所研究的对象进行分类的方法。对于不同的置信 水平λ ∈[0,1]，可以得到不同的分类结果，从而形成动态聚类图。常用的方法如下：
) W: `2 M! I: s& A3 F; U' ~
4 |( n! s5 _; Q8 [' q. X  m; q(1) 传递闭包法
从 Step2 中求出的模糊相似矩阵 R 出发，来构造一个模糊等价矩阵  。其方法就 是用平方法求出 R 的传递闭包t(R) ，则  t(R) =  ；然后，由大到小取一组λ ∈[0,1] ， 确定相应的λ 截矩阵，则可以将其分类，同时也可以构成动态聚类图。

(2) 布尔矩阵法

  Y' \+ `' ^8 r( a

5 m6 y0 l: K0 W2 q
5 N- [# N" Q% s9 \% Q1 _, X  ^! v7 f
(3) 直接聚类法
此方法是直接由模糊相似矩阵求出聚类图的方法，具体步骤如下：

$ M( \: W" Q8 W4 c( R

3 模糊聚类分析应用案例
2 n+ v5 j) f/ ^7 a' I% i: G例 15 某地区内有 12 个气象观测站，10 年来各站测得的年降水量如表 3 所示。 为了节省开支，想要适当减少气象观测站，试问减少哪些观察站可以使所得到的降水量 信息仍然足够大？

' @1 c2 T- {* c+ z
8 `" d7 P( B( _+ p3 v


解 我们把 12 个气象观测站的观测值看成 12 个向量组，由于本题只给出了 10 年 的观测数据，根据线性代数的理论可知，若向量组所含向量的个数大于向量的维数，则 该向量组必然线性相关。于是只要求出该向量组的秩就可确定该向量组的最大无关组所 含向量的个数，也就是需保留的气象观测站的个数。由于向量组中的其余向量都可由极 大线性无关组线性表示，因此，可以使所得到的降水信息量足够大。
1 Y8 G" s6 N2 l, X/ D# {
1 M7 I' }3 ?3 k5 K- Z3 k" q
, t0 E, G. @* `5 \5 q
  l) a5 V/ X6 |0 A到目前为止，问题似乎已经完全解决了，可其实不然，因为如果上述观测站的数 据不是 10 年，而是超过 12 年，则此时向量的维数大于向量组所含的向量个数，这样的 向量组未必线性相关。故上述的解法不具有一般性，下面我们考虑一般的解法，首先， 我们利用已有的 12 个气象观测站的数据进行模糊聚类分析，最后确定从哪几类中去掉 几个观测站。
2 ~( c9 j* c* _, p
（1）建立模糊集合
) A9 u3 D" {5 ]: j' E, d* |4 I
4 ?" @- B$ T3 \3 a, V


% q6 S+ P* @3 q- A

) t3 E! P4 r* @! T( F4 ], G( |: |) F（2）利用格贴近度建立模糊相似矩阵

$ C+ A3 E/ s9 q" ~  A. \3 p

（3）求 R 的传递闭包
9 t  M( i1 s# q
4 ^# Q7 ]- W8 L; n0 }- P; H

. Z& M  ?3 z% x6 L( C其余观测站属于中间水平。
4 E) q+ Z4 j/ t5 E
（4）选择保留观测站的准则
显然，去掉的观测站越少，则保留的信息量越大。为此，我们考虑在去掉的观测 站数目确定的条件下，使得信息量最大的准则。由于该地区的观测站分为 4 类，且第 4 类只含有一个观测站，因此，我们从前 3 类中各去掉一个观测站，我们的准则如下：


1 X  l0 ^0 g. ^2 G9 }, L. [( }

6 W" N" Z% ^3 F1 t4 f4 l
1 o- a5 g& @1 z( z8 g) n9 ?
" Z% g& @( r% o0 y
! `0 M1 l" \! n1 h$ X（5）求解的 MATLAB 程序如下：
- f, e9 l! s' _. K! ]
i）求模糊相似矩阵的 MATLAB 程序

* D4 I6 D2 f5 R( }! p2 q3 G! k" @a=[276.2 324.5 158.6 412.5 292.8 258.4 334.1 303.2 292.9 243.2 159.7 331.2
251.5 287.3 349.5 297.4 227.8 453.6 321.5 451.0 466.2 307.5 421.1 455.1
192.7 433.2 289.9 366.3 466.2 239.1 357.4 219.7 245.7 411.1 357.0 353.2
246.2 232.4 243.7 372.5 460.4 158.9 298.7 314.5 256.6 327.0 296.5 423.0
291.7 311.0 502.4 254.0 245.6 324.8 401.0 266.5 251.3 289.9 255.4 362.1
$ Z/ N. U: l% O: l4 c466.5 158.9 223.5 425.1 251.4 321.0 315.4 317.4 246.2 277.5 304.2 410.7
, [) I# q) h1 `258.6 327.4 432.1 403.9 256.6 282.9 389.7 413.2 466.5 199.3 282.1 387.6
: i' t3 H  j3 K1 }. ^453.4 365.5 357.6 258.1 278.8 467.2 355.2 228.5 453.6 315.6 456.3 407.2
1 T* p" |8 Z- a' z, ~158.2 271.0 410.2 344.2 250.0 360.7 376.4 179.4 159.2 342.4 331.2 377.7
0 R) s4 \" U( g1 @' b: ]1 N324.8 406.5 235.7 288.8 192.6 284.9 290.5 343.7 283.4 281.2 243.7 411.1];
mu=mean(a),sigma=std(a)
for i=1:12
    for j=1:12
  i+ r0 M% q+ s) f- U- q        r(i,j)=exp(-(mu(j)-mu(i))^2/(sigma(i)+sigma(j))^2);
    end
4 h( d/ }% `/ G/ C2 Zend
r
7 A8 d. k; f; e7 V: I9 msave data1 r a

ii）矩阵合成的 MATLAB 函数
0 a- |) j* l, m3 x6 c
" Q6 s% R) j; ^0 k) ?; \9 Xfunction rhat=hecheng(r);
6 v5 T: j8 s) ?) tn=length(r);
for i=1:n
    for j=1:n
' Q' Q, z( U  p4 Y+ p9 Y        rhat(i,j)=max(min([r(i,;r(:,j)']));
. W5 ^+ Y+ j1 k* D* l4 J    end
# \8 o' o# H. ~end

iii）求模糊等价矩阵和聚类的程序
0 E0 S/ w/ F" o" q9 f
load data1
7 }# M$ t0 X0 f* S* sr1=hecheng(r)
r2=hecheng(r1)
$ a% u4 W' _4 Hr3=hecheng(r2)
bh=zeros(12);
: Z) A0 q3 e& a& X2 ubh(find(r2>0.998))=1

: t$ f9 g3 o, `3 d* G; siv)计算表6的程序  编写计算误差平方和的函数如下：

5 \: G+ l; ?8 ~& r9 _3 Ifunction err=wucha(a,t);
b=a;b(:,t)=[];
/ b8 K# T2 S% N' A5 wmu1=mean(a,2);mu2=mean(b,2);
err=sum((mu1-mu2).^2);


计算28个方案的主程序如下：
2 U: g# \& F% u) K
load data1
3 E$ y! z8 g. l' P% {3 Oind1=[1,5];ind2=[2:3,6,8:11];ind3=[4,7];
so=[];
, o8 X* W4 _) y3 J, L+ \- Dfor i=1:length(ind1)
    for j=1:length(ind3)
        for k=1:length(ind2)
            t=[ind1(i),ind3(j),ind2(k)];
            err=wucha(a,t);
9 a' x( g4 _; f. _5 a            so=[so;[t,err]];
        end
    end
! H8 E/ Y# {4 @) T; R9 \end
so
  ?0 h0 `- D6 @( Xtm=find(so(:,4)==min(so(:,4)));
shanchu=so(tm,1:3)

2 U/ p7 `$ T( L6 }# _) ^; q
- K" a4 C  Y/ E' s1 s
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! P! N+ O- O$ Y3 x4 i8 r  ?原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89893908
+ C+ c9 X. ~+ w& [2 X

& x3 X8 C- H5 p4 V- v