模糊聚类分析方法

浅夏110

在工程技术和经济管理中，常常需要对某些指标按照一定的标准(相似的程度或亲 疏关系等)进行分类处理。例如，根据生物的某些性态对其进行分类，根据空气的性质 对空气质量进行分类，以及工业上对产品质量的分类、工程上对工程规模的分类、图像 识别中对图形的分类、地质学中对土壤的分类、水资源中的水质分类等等。这些对客观 事物按一定的标准进行分类的数学方法称为聚类分析，它是多元统计“物以聚类”的一种分类方法。然而，在科学技术、经济管理中有许多事物的类与类之间并无清晰的划分， 边界具有模糊性，它们之间的关系更多的是模糊关系。对于这类事物的分类，一般用模糊数学方法、我们把应用模糊数学方法进行的聚类分析，称为模糊聚类分析。

8 ^' Z( ~* A  H! g1 j" Q& z1 预备知识
1.1 模糊等价矩阵


0 z5 p# T. m0 O9 W1 r/ i

n 阶等价布尔矩阵


. \( d* R  N4 ~$ n8 q. L' }( o, d
模糊分类


0 f& a$ Y- Y& Z! O! A


& X0 _. @# [2 P% J/ ?


5 u! ^8 z& Q" s
# y; j$ L7 m% V0 R2 E* l
1.2 模糊相似矩阵

3 b. l, \! o) @' _; I0 n4 Y




& X. s1 \$ b5 v! t! u* D; u

2 模糊聚类分析法的基本步骤
Step1: 数据标准化

6 Y1 g9 ?  C# c5 L4 N- n(1) 获取数据
9 C* |" O$ T3 m$ L0 j4 B" m
  E( Q* @& W( Q4 n4 u4 _5 O5 K

2 [0 K+ s& B* h% D6 d" Y(2) 数据的标准化处理
在实际问题中，不同的数据可能有不同的性质和不同的量纲，为了使原始数据能够 适合模糊聚类的要求，需要将原始数据矩阵 A 作标准化处理，即通过适当的数据变换，将其转化为模糊矩阵。常用的方法有以下两种：
! F: S6 g1 W. ^4 V- m1 V; [; Z2 ~, q3 F
① 平移—标准差变换


1 M& H8 X& G" R' c, V+ k
② 平移—极差变换
% ]2 Z7 K7 f/ e/ t2 }  U+ |
& r- C) ~$ u0 E% Y; {$ s& S/ M+ C

# l: D! W; S9 w/ K; f, Q7 oStep2: 建立模糊相似矩阵
3 k5 K3 {% d2 C6 D! e9 _9 c

- u/ B, ]2 |1 S8 F2 \+ O6 ^
3 F9 K; C% }& ^- c(1) 数量积法

) P; Q- i, h+ s9 ~2 f
, d( w9 y) g8 M! G$ G1 k/ V$ X: Q
: ]! l6 D; x4 E4 |: K: G
3 B/ D7 N# Y+ O* @(2) 夹角余弦法



(3) 相关系数法
( g) x4 |0 ^* ?" m

# n3 Z, g2 b5 c- ?
(4) 指数相似系数法



(5) 最大最小值法
                  式中 ∧ 为取小运算min，∨ 代表取大运算max

% S& F; x/ [7 G+ b
- \" k: c* x4 x( P# o' N, v
(6) 算术平均值法
0 e* U9 r8 U& r" h1 T2 }2 t4 `
7 q  g* |3 B2 |: Z3 E! ]
/ g" j0 ~2 o5 x3 J& C
' y2 n  j! R3 s' `" v0 z1 o2 n(7) 几何平均值法
. Q, _& p# n. e, Q+ V* J  Z& f
3 I* K8 H% @7 P7 S, \1 y6 r

! c0 O1 J* A* q: [% T8 `(8) 绝对值倒数法



(9) 绝对值指数法


$ e9 \  S+ M: R) w: G
0 }8 w' z  W4 e1 D(10) 海明距离法
8 h' F" N. N# ^

  m1 I: y) C" i* e2 m9 j% \, p
, F# ~9 G) m) B  N: F(11) 欧氏距离法


4 Q8 |+ @* k' _6 T! {" n
(12) 切比雪夫距离法
$ K4 t# C0 E9 x! i* Y# I
3 z# N  N6 j0 [

(13) 主观评分法
- q: ]2 y! B% [! y  Y3 a' @8 r: Z

0 x/ B( f3 d; J# A
( l/ ^2 E& P# ~; J( ~3 FStep3: 聚类
所谓聚类方法就是依据模糊矩阵将所研究的对象进行分类的方法。对于不同的置信 水平λ ∈[0,1]，可以得到不同的分类结果，从而形成动态聚类图。常用的方法如下：
" E; F5 C8 f5 m( G- ~1 X5 K" K
+ g8 d9 d/ y+ b(1) 传递闭包法
从 Step2 中求出的模糊相似矩阵 R 出发，来构造一个模糊等价矩阵  。其方法就 是用平方法求出 R 的传递闭包t(R) ，则  t(R) =  ；然后，由大到小取一组λ ∈[0,1] ， 确定相应的λ 截矩阵，则可以将其分类，同时也可以构成动态聚类图。
" X7 }- v1 `& g, Q0 Z3 l
. m3 E0 o5 A: Q1 z; q(2) 布尔矩阵法
2 b- n) D  j' ]5 M' S
0 A% z* v8 O- O& c

, C4 ]+ A' A5 d$ N! z* J! C
6 u0 d0 v7 }0 y" |2 r% J
7 i: ?& o# N' j* \" J(3) 直接聚类法
此方法是直接由模糊相似矩阵求出聚类图的方法，具体步骤如下：
$ h1 B% K+ q7 a

# u1 U, }$ \) V7 J6 {3 {
3 模糊聚类分析应用案例
例 15 某地区内有 12 个气象观测站，10 年来各站测得的年降水量如表 3 所示。 为了节省开支，想要适当减少气象观测站，试问减少哪些观察站可以使所得到的降水量 信息仍然足够大？


/ x- k* L/ y6 t( x0 T  M
8 h/ q( W4 A( W4 p! A5 f

解 我们把 12 个气象观测站的观测值看成 12 个向量组，由于本题只给出了 10 年 的观测数据，根据线性代数的理论可知，若向量组所含向量的个数大于向量的维数，则 该向量组必然线性相关。于是只要求出该向量组的秩就可确定该向量组的最大无关组所 含向量的个数，也就是需保留的气象观测站的个数。由于向量组中的其余向量都可由极 大线性无关组线性表示，因此，可以使所得到的降水信息量足够大。

6 L$ `6 P/ F+ H
3 A1 ~# \" N* [4 a$ S
到目前为止，问题似乎已经完全解决了，可其实不然，因为如果上述观测站的数 据不是 10 年，而是超过 12 年，则此时向量的维数大于向量组所含的向量个数，这样的 向量组未必线性相关。故上述的解法不具有一般性，下面我们考虑一般的解法，首先， 我们利用已有的 12 个气象观测站的数据进行模糊聚类分析，最后确定从哪几类中去掉 几个观测站。
5 u. F/ N+ k! A( n
' U* m/ {  G+ D* Z; V（1）建立模糊集合

  E3 S5 _  M- f5 ~' p



% K5 X9 U& H3 U9 f
% p! O1 Q3 Y+ v1 F9 S9 }- M) M' G& @（2）利用格贴近度建立模糊相似矩阵


5 X; D( K: P' G6 J% g# d
6 o* G6 S5 \$ H% E" C( S（3）求 R 的传递闭包



其余观测站属于中间水平。
$ f1 }- D# [) ~2 E6 d) f
（4）选择保留观测站的准则
显然，去掉的观测站越少，则保留的信息量越大。为此，我们考虑在去掉的观测 站数目确定的条件下，使得信息量最大的准则。由于该地区的观测站分为 4 类，且第 4 类只含有一个观测站，因此，我们从前 3 类中各去掉一个观测站，我们的准则如下：

1 ?7 F2 d6 y5 |



2 f9 D& l9 E! u6 _8 t3 P- \

* F& ^- `. \$ O6 l（5）求解的 MATLAB 程序如下：
' J0 C7 y# q9 \6 b( b
% T( b9 D( e& ?( l8 xi）求模糊相似矩阵的 MATLAB 程序

: D& ?  |3 Q: V. `. r3 M) H, qa=[276.2 324.5 158.6 412.5 292.8 258.4 334.1 303.2 292.9 243.2 159.7 331.2
; t, f; _. ]0 r2 l3 x; Q0 ?251.5 287.3 349.5 297.4 227.8 453.6 321.5 451.0 466.2 307.5 421.1 455.1
$ ~; Y4 J* v# f6 ~* a7 A$ m192.7 433.2 289.9 366.3 466.2 239.1 357.4 219.7 245.7 411.1 357.0 353.2
246.2 232.4 243.7 372.5 460.4 158.9 298.7 314.5 256.6 327.0 296.5 423.0
" v% Z* B+ r6 W291.7 311.0 502.4 254.0 245.6 324.8 401.0 266.5 251.3 289.9 255.4 362.1
466.5 158.9 223.5 425.1 251.4 321.0 315.4 317.4 246.2 277.5 304.2 410.7
258.6 327.4 432.1 403.9 256.6 282.9 389.7 413.2 466.5 199.3 282.1 387.6
453.4 365.5 357.6 258.1 278.8 467.2 355.2 228.5 453.6 315.6 456.3 407.2
/ x: p0 j" P4 b9 [* v+ }6 Y* R158.2 271.0 410.2 344.2 250.0 360.7 376.4 179.4 159.2 342.4 331.2 377.7
& K) U# _0 N, w/ Q6 v324.8 406.5 235.7 288.8 192.6 284.9 290.5 343.7 283.4 281.2 243.7 411.1];
  M. f; S) e8 C9 d; Rmu=mean(a),sigma=std(a)
for i=1:12
    for j=1:12
* M8 r( J# j: e: @        r(i,j)=exp(-(mu(j)-mu(i))^2/(sigma(i)+sigma(j))^2);
    end
3 A! c  R+ S9 u- R1 f" Zend
4 }: I/ ]9 u( W# g  n) Ar
4 f5 M3 K/ k2 r( D* J& B: u, Osave data1 r a

! g. L, H- O2 T% Rii）矩阵合成的 MATLAB 函数
# ~' O( b7 U  E) q! H0 c
function rhat=hecheng(r);
- N$ X- N. {5 f4 k1 U, hn=length(r);
for i=1:n
    for j=1:n
        rhat(i,j)=max(min([r(i,;r(:,j)']));
. J7 e& c: J6 v- k2 A* N2 n4 h- R    end
. N) Y% H0 \+ H* T- K6 i* v  qend
( b4 Z' K' W) y1 g" N
iii）求模糊等价矩阵和聚类的程序
! g- p# h' ^) Q$ v$ g0 H8 V
) V6 V+ S; z7 h/ O2 S" q3 A( nload data1
" t! ?8 Z" S3 N. d) W1 hr1=hecheng(r)
9 s( `0 O$ i/ Gr2=hecheng(r1)
r3=hecheng(r2)
% r* S: l% N  c6 ybh=zeros(12);
" S. s& g: h- P5 W& Dbh(find(r2>0.998))=1
6 d/ f+ v9 U! w# P
iv)计算表6的程序  编写计算误差平方和的函数如下：
. D6 ^7 a3 Z# u+ q& P3 W
& N5 i. \% w' [' E' n1 q- efunction err=wucha(a,t);
b=a;b(:,t)=[];
mu1=mean(a,2);mu2=mean(b,2);
9 z6 v1 a3 o, y5 A2 Y# a/ x5 eerr=sum((mu1-mu2).^2);
9 x2 y& d( _$ W7 L4 V9 W

计算28个方案的主程序如下：

load data1
ind1=[1,5];ind2=[2:3,6,8:11];ind3=[4,7];
so=[];
for i=1:length(ind1)
* @! @1 C, R7 q1 ~2 n/ ?1 N2 @    for j=1:length(ind3)
+ K8 k% D- c0 B/ {& G. D% F: O4 `        for k=1:length(ind2)
5 ~( x$ _9 o  Q            t=[ind1(i),ind3(j),ind2(k)];
            err=wucha(a,t);
            so=[so;[t,err]];
        end
    end
end
. i3 i- E- V% m' M! Jso
* H$ h) ~7 }) d. ntm=find(so(:,4)==min(so(:,4)));
shanchu=so(tm,1:3)
6 f+ P6 k' S) r8 }" x


: k4 ?1 D# Q* V" T————————————————
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