数学建模----SARS的传播

浅夏110

本题要建立传染病模型。上网一查，最经典的传染病模型是SIR模型，出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。

- N. V4 T% u* g2 ^1 ~8 O本题主要使用微分方程进行建模。
7 ?; ?  j; Y! i& \8 U' |* z$ g
/ a" \' q5 F! m3 C（一）梳理题目





9 v. R* U( T( T/ i
（二）Highlights which makes this paper stands out
1 S; q* L0 \1 p6 n) Z# e(1)对早期模型拟合曲线的残差分析
拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。

; s9 Y8 i6 R7 r
( Y- ]5 O- I3 w  v( f7 ~' `
) M( [* Y/ e9 F$ @5 Y/ ge i是第i天的计算值和实际值的残差
e∗i e_i^*e i∗是减去期望E（ei）=0 E（e_i）=0E（e i）=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差
- D& F. W2 }, I标准化残差服从标准正态分布
美中不足的是！！！
- l  I) }  q9 l; s) U没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下，样本标准差的无偏估计应该是：
3 ]3 v( ?  G( |
( e) f) k5 W( o, A. V5 _
2 l3 w5 Y/ u; ]# n! b, t5 V+ k+ X

4 J* @) k2 n5 X+ B; l8 X如读者朋友知道原因，请评论告知，非常感谢


. A/ e' A: W  W# x8 s' O

3 r& w+ ]' G5 E/ x/ _8 i8 `论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好，中后期都与实际情况偏离较大。
) A& d6 C4 ~- S: M8 H, X# I1 P
" O9 z/ c; ^7 ^1 E4 Q( W' `3 D（2）模型假设和符号定义
% D8 u2 Y4 h8 ]% z; M: y8 D+ [% Y& E这个假设写得简直太数学太专业了，为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。
3 z) g4 \0 d2 n7 E2 Q( }



/ ~' d$ k' k9 Z! V, t9 n这6个关键变量的找出，是不容易的。


1 q4 c, G# T% }& Z; Q& W" \
- V% X& {1 S4 @: j% i# Z$ U6 e（2）基于SIR模型建立新模型
基于一个经典模型，成功率较高，又有更多可参考的资料。
/ H7 @! o# _7 OSIR简单地把一个城市的人口分为三类，三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。



. L+ I4 L) e& N, P1 M, r: Y利用微分方程组建立数学模型，这也是对上图的数学描述：
  [7 C2 L$ M2 C1 M
0 \8 g  r" N. Q6 B- E

- N2 |9 }" e4 P- w8 @5 ]6 F3 n,因为S类（易感类，能被感染的人群）随疫情发展减少。
  L8 a# C) O7 X/ W5 E7 n2 }其它数学公式论文中很清晰
! u' T- f. v) r7 A' J) |

1 B* q& S1 z" M) p6 a+ L" ], i
, ]2 O: b0 E5 H) q/ x, Y# q
" p7 }: t2 Q" S+ G（3）求解模型
求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。

1 Q  h2 W0 m2 W8 F+ S" l

3 x: n  w$ r: p0 d1 Y5 w! O


然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论：

4 e9 i7 @, T2 h3 \& Q) i

（4）用导数为0划分疫情发展的四个阶段
: Q! O' Z8 O. w+ E* C6 z

. v. K% a: v; p1 ?2 h) V# g9 v) {
( ^: o* q0 d$ k3 ~$ g

（5）根据实际设计三个关键函数
, u* q; \/ n9 C2 H这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点！！！前面那些都是小亮点，这个是闪瞎眼睛的关键。
论文也说了，疫情的发展要分阶段研究，各个参数在不同阶段的取值和变化规律（函数）是不同的，所以用分段函数来描述是符合实际的。
# G' S, A( u2 b$ z
平均传染期函数：

. j2 a- {  e5 _
; b3 y2 Q" N. q: l
0 a* G( G6 I' {就诊率函数：


; B5 ~* |7 d7 ^1 A! W# z( R# c. k, {+ \
平均接触率函数：

& ^+ u! g2 _" A
. N3 U5 q: k( R! ^
3 k. A) A  ]( A& b模型预测效果图：

: U( C( v7 }% x4 x6 l

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. {. J0 g, V$ B8 C, d, f

8 K+ _- r2 c; Y