数学建模----SARS的传播

浅夏110

本题要建立传染病模型。上网一查，最经典的传染病模型是SIR模型，出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。
, l8 v; A, A' G+ p. D) @$ F
! i& ]0 N- L0 [8 }. c2 \本题主要使用微分方程进行建模。

! I1 T. H7 X, a; c! R（一）梳理题目

/ i9 {8 D' @( o. W% b


3 w, q0 T8 P, h: [1 `

（二）Highlights which makes this paper stands out
(1)对早期模型拟合曲线的残差分析
3 o" S  O4 f. Q( S2 g: }' V+ C拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。
' E0 G. @) G1 a6 ^" u2 m
6 y. c/ ]$ f; z. d

e i是第i天的计算值和实际值的残差
e∗i e_i^*e i∗是减去期望E（ei）=0 E（e_i）=0E（e i）=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差
; d9 B) M) B: J7 h% ~4 Z7 \6 {标准化残差服从标准正态分布
美中不足的是！！！
没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下，样本标准差的无偏估计应该是：
+ `5 J$ i7 L" Y# U/ [) D
6 ]. X3 R2 @  X. K; J' ]' x4 H
$ T6 s4 L. `4 k2 x# J1 ]

2 I  ?' K0 H, k# d$ o) R如读者朋友知道原因，请评论告知，非常感谢

5 j' A) _, I1 ~) u' x


( Q) S+ C8 N/ S% B5 _& p论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好，中后期都与实际情况偏离较大。
/ H/ \3 N- ~2 y: l, j! ]: Z
（2）模型假设和符号定义
这个假设写得简直太数学太专业了，为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。
3 e  `9 I0 ~" E9 h2 K: d$ X

. \- e6 x% m6 D3 A4 D* \% S6 [# Z
; l  a6 r7 n8 u6 v) L
这6个关键变量的找出，是不容易的。
& o" C# V5 E  k" h/ g0 u) W


6 @5 R  A. K% {（2）基于SIR模型建立新模型
1 q3 F; t- n4 {基于一个经典模型，成功率较高，又有更多可参考的资料。
% g  `1 o, \& _. H. K) G0 fSIR简单地把一个城市的人口分为三类，三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。
+ |3 B: m: d% g7 j& A- N
6 r3 P( {. I- N" y' a2 T7 X3 _
! s/ }5 E6 g& o% O2 p8 Z
利用微分方程组建立数学模型，这也是对上图的数学描述：



,因为S类（易感类，能被感染的人群）随疫情发展减少。
5 T# Z  W) z1 d2 R' d其它数学公式论文中很清晰
  j) L3 @4 l% _; M% y% L% b
0 u! f1 G( Y+ f+ n


（3）求解模型
求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。
; q6 l! y9 Z/ g! t- m" p1 J

: u, a+ Z: W2 c  w" q
. E, b7 N. c' l9 W" U  E
9 O3 y. X  W& j/ q
" h. ]! [2 ~8 C1 _) K. r" F
然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论：
( @* ~/ L) d9 Z. x' J


（4）用导数为0划分疫情发展的四个阶段

/ h) S# |3 b' i9 }( Y# u
& ?3 q. G6 Z7 C( ?* ~2 k

8 j1 i% @0 C/ \2 s
  e( o+ {( |  ?( Z# x# u（5）根据实际设计三个关键函数
这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点！！！前面那些都是小亮点，这个是闪瞎眼睛的关键。
论文也说了，疫情的发展要分阶段研究，各个参数在不同阶段的取值和变化规律（函数）是不同的，所以用分段函数来描述是符合实际的。

. E. C) o% A$ j7 Q平均传染期函数：

2 z8 q' b* y: w4 \# J5 a3 P6 R

$ g. {$ b; r. v, K( k就诊率函数：
! H0 [% \4 S/ w

) S7 m5 [. V7 p9 u3 B0 J
& M4 M( a5 Q% O9 n8 {平均接触率函数：
' n: v/ \$ V  H7 p
: n+ B# e" j. c! o$ Z& X7 S
/ w$ f; v- }+ ]- i6 R, ]# S) }* Z# ^
3 b9 S% R4 e3 M0 m& O, b* ~; a模型预测效果图：
9 z$ [' {- Y/ b8 m2 U: \/ ^

4 _! z2 p; u1 p) B
! T/ n. d* M0 |7 k; n3 ^————————————————
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