数学建模----SARS的传播

浅夏110

本题要建立传染病模型。上网一查，最经典的传染病模型是SIR模型，出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。
) v9 O2 g; a" F: r5 k
$ l" c, O" W  v! U' i+ J: ?9 d本题主要使用微分方程进行建模。

! G  W) D$ M. T! I（一）梳理题目



& {5 \: s7 y' o


（二）Highlights which makes this paper stands out
8 f1 L, V, c# f) z8 V- B(1)对早期模型拟合曲线的残差分析
8 f3 j. n! C% u7 }5 w# D. V' k: {拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。
6 Q6 E7 \1 g  O& W: k# z


2 e- h$ [1 U" ~e i是第i天的计算值和实际值的残差
e∗i e_i^*e i∗是减去期望E（ei）=0 E（e_i）=0E（e i）=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差
标准化残差服从标准正态分布
, x$ b$ z  O$ x; D% x1 k$ s美中不足的是！！！
( i4 K& [2 t/ K8 C. z没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下，样本标准差的无偏估计应该是：



% {* C4 L0 d. l# T* n2 u. ^' _
1 Z! L5 W5 P0 w3 G5 J5 t如读者朋友知道原因，请评论告知，非常感谢


6 @' ]3 a9 Z) i3 M. _

论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好，中后期都与实际情况偏离较大。
, b! n8 ?9 y3 S
& }; y9 H8 O3 T2 |（2）模型假设和符号定义
这个假设写得简直太数学太专业了，为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。
5 Y% }7 s2 l, e: c2 }( _
+ U4 M7 c# }2 ^# ^* j( S3 C
3 n4 |& W7 E: S2 P3 @! z  I
  M$ G+ h: m7 `4 I! c4 u
这6个关键变量的找出，是不容易的。
( q; E. x" |/ Q2 o. O4 f
% t" H& d6 w9 v! ?9 E  M
0 J; ^  B2 t# A- e1 k
（2）基于SIR模型建立新模型
基于一个经典模型，成功率较高，又有更多可参考的资料。
SIR简单地把一个城市的人口分为三类，三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。
* ], m( u2 h: w5 G6 t

0 _6 S& D- {' \! r% h& z0 L1 n
8 ~1 O# p  c) ^1 d: e# w% O' ]利用微分方程组建立数学模型，这也是对上图的数学描述：
3 E6 q! Z! q1 y: o/ X

3 l5 ^( _8 S1 k, C. d0 ]! c
# h5 @, O# J- a, x,因为S类（易感类，能被感染的人群）随疫情发展减少。
; |; B# u; E- u& v; X其它数学公式论文中很清晰
/ g: \2 _% e/ S' T
1 k1 q- l2 Z* w8 K; d
* _# l7 r  T( }4 e

（3）求解模型
7 D+ [. Q' a) U" M0 z0 Q" r求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。
# B+ K# V* V1 D+ B: d* c+ `) X" t
( ~2 t* q/ a. V: c" J
5 Y7 d# m* W! X: A+ O- X
/ s+ q& S9 y6 t6 [, h
, e) d4 H7 D  P1 c1 J- J

! _& [+ e$ [  P8 g: P5 p5 H然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论：


( w" i" F9 K; K5 w+ O
（4）用导数为0划分疫情发展的四个阶段




3 b5 @! W5 G7 n5 q
1 M# J/ O  C9 R（5）根据实际设计三个关键函数
这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点！！！前面那些都是小亮点，这个是闪瞎眼睛的关键。
论文也说了，疫情的发展要分阶段研究，各个参数在不同阶段的取值和变化规律（函数）是不同的，所以用分段函数来描述是符合实际的。

平均传染期函数：
/ J6 H. N* |6 ^& Q- ^


就诊率函数：

  I$ U% F& h2 _
" I, K: _! B1 N8 M, h0 M4 ^
9 L$ S0 B9 m! h9 {8 ^- M平均接触率函数：

/ \) i9 o$ K* L  n- L, _. T9 b

  x+ @9 h) H$ V, ?模型预测效果图：



1 Z. L$ F7 J  ?  m————————————————
版权声明：本文为CSDN博主「doubleslow;」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
) O* O0 c' k; `, G& }% @原文链接：https://blog.csdn.net/qq_36607894/article/details/92246947

; U/ l, q& t% f1 b. P
, X: d) F5 U  R; K0 m7 d, S7 p, N