数学建模----SARS的传播

浅夏110

本题要建立传染病模型。上网一查，最经典的传染病模型是SIR模型，出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。

- N4 T! o8 ^  Y6 Y4 y! z3 ^本题主要使用微分方程进行建模。

（一）梳理题目
- M$ C' U/ e# u3 ?+ e5 }' B9 ?
- a, [# n8 D- N! d& q- S& V/ _2 ^
0 U& [2 ]7 X; O7 J6 j( u



（二）Highlights which makes this paper stands out
2 y, z: Z. Q% ^$ D- c(1)对早期模型拟合曲线的残差分析
! h- T+ e3 n9 a3 t( M- a5 F$ j拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。
% p+ }* Z  W; ^* z: F" z
# J. b0 T! U) \% K
; V1 i! z* M& F% u# N$ p
e i是第i天的计算值和实际值的残差
$ m1 e4 a$ y6 k0 N9 [e∗i e_i^*e i∗是减去期望E（ei）=0 E（e_i）=0E（e i）=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差
标准化残差服从标准正态分布
美中不足的是！！！
( C! C/ C8 H; J2 u# ^; V) L没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下，样本标准差的无偏估计应该是：
1 N" `2 T! V# d6 o
6 }  g$ N$ K- z* R, {

9 t. I, |9 c' ]
4 \- x3 f! s, t4 c8 F- O0 W" s如读者朋友知道原因，请评论告知，非常感谢

; d" B9 u( A" V: d' }: Y
/ N* m$ @& f4 r* e

. U/ v$ D; v, X8 }论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好，中后期都与实际情况偏离较大。
) k& |. i+ z! ?
（2）模型假设和符号定义
这个假设写得简直太数学太专业了，为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。
2 a2 h1 C" a" i' K( I% E+ D7 J


! _9 N/ k+ B8 @$ Q
2 O4 t- D' {& R! T: {  Y: J. z' Z这6个关键变量的找出，是不容易的。
, a) n7 S% T- s9 Q


5 a- x& k. t) L1 d& M（2）基于SIR模型建立新模型
基于一个经典模型，成功率较高，又有更多可参考的资料。
SIR简单地把一个城市的人口分为三类，三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。



利用微分方程组建立数学模型，这也是对上图的数学描述：


9 l5 ?9 H0 t/ l3 {7 k3 V5 J
, H- K5 J. ?) I' _! f& ?& R$ D,因为S类（易感类，能被感染的人群）随疫情发展减少。
# P# K) N5 I" _0 Q1 X# }+ L其它数学公式论文中很清晰
' W$ g5 x" M0 k9 L8 V( ~! i
5 W( P1 l$ D! p8 w! |& F
3 R' Z% H6 I/ V5 W- Z% k' |/ h% o. _
7 O% R- x! m2 h; J. W
（3）求解模型
' a  P, i0 h, k' j求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。

3 W! T" z: N' P& T; v
" n0 n/ r. \5 f# e+ u
4 _1 b. }9 k0 \  ~( u2 z. d
: p* u7 X: g' f! I4 b) l+ U

: }. k7 Q5 O! e' C6 ^0 B然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论：
% D/ F( q0 B' |
" v( t5 Q1 s5 f. G- u

（4）用导数为0划分疫情发展的四个阶段
0 S# P' e5 k* O
6 B5 d7 ^: E: }+ _, f5 X& J' |1 ~
: o$ J9 e  m1 X/ F4 a' ?

7 _% U9 D" L& ~7 [; A
+ m- X2 N8 V0 |5 d! H（5）根据实际设计三个关键函数
这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点！！！前面那些都是小亮点，这个是闪瞎眼睛的关键。
论文也说了，疫情的发展要分阶段研究，各个参数在不同阶段的取值和变化规律（函数）是不同的，所以用分段函数来描述是符合实际的。
3 W9 T- n6 ]2 m+ q* @+ {
. k8 N; k5 {, }平均传染期函数：
4 S2 J5 m% M+ o" X* t- `* P  k

5 j/ u& i, L$ ]7 |3 K2 Y# h
就诊率函数：

/ B6 M0 C% V6 t+ n0 d3 m) x

平均接触率函数：
( r; S2 p  E. P6 G3 c% S7 ^


; u* d6 a' s! v% e, O5 Q( [模型预测效果图：

! u' ~' G/ J4 D3 `  U1 s
% i( P$ c) N( J8 T) a0 q
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