数学建模----SARS的传播

浅夏110

本题要建立传染病模型。上网一查，最经典的传染病模型是SIR模型，出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。

本题主要使用微分方程进行建模。
" {$ Q# f) b) Q3 ^
2 {- w$ T1 k5 c5 J（一）梳理题目
$ @" Q/ w2 {, @; f# i6 m0 Q8 f$ h
( N! X* e$ N" L
2 j. Q* E4 a( M  m, Y( T



（二）Highlights which makes this paper stands out
# n2 X- ?) W8 J; ](1)对早期模型拟合曲线的残差分析
! W1 H+ W; Z, G# k拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。
" `8 V9 \8 p1 E( J% i


% r5 B% z7 c+ O1 Te i是第i天的计算值和实际值的残差
# L% K( ~( `1 K1 z- _% pe∗i e_i^*e i∗是减去期望E（ei）=0 E（e_i）=0E（e i）=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差
' ~* r3 q9 B% c标准化残差服从标准正态分布
美中不足的是！！！
, a6 k$ z- c/ X8 n7 b9 k没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下，样本标准差的无偏估计应该是：
7 Z3 g5 w6 u" v4 n0 f. W+ W- k


4 ~+ s  f" E- A
# C' B2 f, b& _+ P+ [" j& }2 t如读者朋友知道原因，请评论告知，非常感谢

% @* J  |) ]6 ]; j9 b6 @7 H, C3 e


$ f# g" X" D" q. v# x! }论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好，中后期都与实际情况偏离较大。
: N2 a+ k) T; S' A; v  B. \
（2）模型假设和符号定义
这个假设写得简直太数学太专业了，为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。
5 ^5 u" J8 a8 P5 B; M7 f" O$ Q( b
9 S) B0 @0 v6 o
9 p) c* I: R& I( Q
9 p; y. t# j) ]$ M7 l  I0 `
. ^: V* K. ^! M' m2 i这6个关键变量的找出，是不容易的。
3 h2 v1 `% B8 K. D, r' Q
, K6 ?& x0 S4 L, u  e, {) b) H
/ @/ ~) G) @( @# a+ d, s
7 a9 v& O+ p' n# m  h; ?（2）基于SIR模型建立新模型
, q/ p+ i. b3 ]- @$ G# Z. C$ T基于一个经典模型，成功率较高，又有更多可参考的资料。
0 a4 d3 Q0 r* t4 ySIR简单地把一个城市的人口分为三类，三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。


' N5 K, l/ ?$ v2 X( f
8 \9 P8 Q$ v! {利用微分方程组建立数学模型，这也是对上图的数学描述：
: w. I0 }' T( H- [8 I" V( ?# q

% ^% B8 q( O* k; x$ C; r
,因为S类（易感类，能被感染的人群）随疫情发展减少。
1 Y1 h3 T. s% B+ L5 U4 |8 r其它数学公式论文中很清晰
& Y# X/ d2 `; ?( |% Z- R5 Z3 E8 c
" h! q: x1 ~( W& Z* _
9 I0 F$ t' [3 j" ~4 T
- N1 |! P( _1 ?& A
（3）求解模型
/ M3 ?3 [- K1 z* p3 n7 y, g求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。

/ I$ m$ K3 w9 \
/ C3 w' J7 L  w
, O+ J" s2 n$ o$ y
4 x  d! c' j! Z6 Z
& H" d& B2 R" F& z$ s
然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论：
* x  x# v5 l3 I
: k. C6 v7 j# `8 P/ `
9 N9 a) F1 ^, A& g1 a" ~: {
（4）用导数为0划分疫情发展的四个阶段





7 p1 J7 l% L9 {% s（5）根据实际设计三个关键函数
2 P( L# Y" f9 F9 R$ V4 b这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点！！！前面那些都是小亮点，这个是闪瞎眼睛的关键。
论文也说了，疫情的发展要分阶段研究，各个参数在不同阶段的取值和变化规律（函数）是不同的，所以用分段函数来描述是符合实际的。
- q& o. Y3 ]% h7 {9 b% h
8 x# o; p$ D' i2 ]) k平均传染期函数：

# m, Q+ }3 a: U; j( T

. C& d, e$ D0 x8 g6 I( Z就诊率函数：


! R, Y& |' G- \5 D
平均接触率函数：

8 Q2 B; s( f$ Z8 U4 O' y) H- y
9 p/ ^( {/ m/ X7 E' f2 S
! e& i+ V, w& @5 g/ @: C9 x模型预测效果图：
+ _" q4 \% ~2 P, d! c  {
% D5 [! F; ^# P+ A

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