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TA的每日心情 开心 2020-11-14 17:15
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[LV.6]常住居民II
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本题要建立传染病模型。上网一查,最经典的传染病模型是SIR模型,出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。
) v9 O2 g; a" F: r5 k
$ l" c, O" W v! U' i+ J: ?9 d 本题主要使用微分方程进行建模。* Y: V G( \5 U
! G W) D$ M. T! I (一)梳理题目6 i0 R) h# R+ h( Z! r
/ i7 ]6 u7 s- C
+ f5 N# y: ^+ E1 i b @
& {5 \: s7 y' o 5 B! n, R: p; }% G2 Z* I! _2 N' W" l
8 w; g+ }& H/ K( K. ?! L9 M j6 R
1 D O1 o. E7 j* }( Y: L7 o/ b/ D
(二)Highlights which makes this paper stands out
8 f1 L, V, c# f) z8 V- B (1)对早期模型拟合曲线的残差分析
8 f3 j. n! C% u7 }5 w# D. V' k: { 拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。
6 Q6 E7 \1 g O& W: k# z . j; D) }+ t+ p- c1 S
5 ^, m/ ^3 p# n L7 w7 I
2 e- h$ [1 U" ~ e i是第i天的计算值和实际值的残差& m' D; A( A. J
e∗i e_i^*e i∗是减去期望E(ei)=0 E(e_i)=0E(e i)=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差% Y0 O& Z: p8 E, L1 m: s
标准化残差服从标准正态分布
, x$ b$ z O$ x; D% x1 k$ s 美中不足的是!!!
( i4 K& [2 t/ K8 C. z 没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下,样本标准差的无偏估计应该是:! _& |* w. t3 `7 P7 M9 X$ Z+ r
# [( ]& D% f1 ~) c* m: t
~, D3 \7 e, T- H& x' }4 t
% {* C4 L0 d. l# T* n2 u. ^' _
1 Z! L5 W5 P0 w3 G5 J5 t 如读者朋友知道原因,请评论告知,非常感谢/ \( x+ T9 {3 b5 J4 W3 y
! n* H1 m8 {+ f; U- Q7 b; P$ @
6 @' ]3 a9 Z) i3 M. _ 6 ~& E7 f; [7 `9 r, v/ P- K
% H) k4 _2 C# O' U
论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好,中后期都与实际情况偏离较大。
, b! n8 ?9 y3 S
& }; y9 H8 O3 T2 | (2)模型假设和符号定义4 Q) j; C* K9 C5 N
这个假设写得简直太数学太专业了,为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。
5 Y% }7 s2 l, e: c2 }( _
+ U4 M7 c# }2 ^# ^* j( S3 C
3 n4 |& W7 E: S2 P3 @! z I
M$ G+ h: m7 `4 I! c4 u ~1 W7 ?& h/ z" w3 S# o4 J8 T
这6个关键变量的找出,是不容易的。
( q; E. x" |/ Q2 o. O4 f
% t" H& d6 w9 v! ?9 E M
0 J; ^ B2 t# A- e1 k # u: G& J c/ y+ _4 G- j$ [
(2)基于SIR模型建立新模型1 N; w8 J% P+ O) e0 Y
基于一个经典模型,成功率较高,又有更多可参考的资料。* E$ {* t8 ~* X% Q1 ]
SIR简单地把一个城市的人口分为三类,三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。
* ], m( u2 h: w5 G6 t ( U6 ]2 L7 h, O# `
0 _6 S& D- {' \! r% h& z0 L1 n
8 ~1 O# p c) ^1 d: e# w% O' ] 利用微分方程组建立数学模型,这也是对上图的数学描述:
3 E6 q! Z! q1 y: o/ X ; C, S2 Q0 A4 l+ {# Y d
3 l5 ^( _8 S1 k, C. d0 ]! c
# h5 @, O# J- a, x ,因为S类(易感类,能被感染的人群)随疫情发展减少。
; |; B# u; E- u& v; X 其它数学公式论文中很清晰
/ g: \2 _% e/ S' T
1 k1 q- l2 Z* w8 K; d
* _# l7 r T( }4 e ) X8 J# Q& d% I$ V O, }; ?3 Z
) M3 D' s7 g4 J+ z
(3)求解模型
7 D+ [. Q' a) U" M0 z0 Q" r 求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。
# B+ K# V* V1 D+ B: d* c+ `) X" t
( ~2 t* q/ a. V: c" J
5 Y7 d# m* W! X: A+ O- X
/ s+ q& S9 y6 t6 [, h
, e) d4 H7 D P1 c1 J- J $ l4 q0 \' ^. T4 Y3 y
! _& [+ e$ [ P8 g: P5 p5 H 然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论:1 p$ ~8 D1 ~7 E9 a4 I; a
/ V! p7 T G0 |- S& s7 T
( w" i" F9 K; K5 w+ O 2 s+ r9 N! H1 L" |) E5 \4 l0 w
(4)用导数为0划分疫情发展的四个阶段4 ~. }1 \. K/ g
[7 V f; ^3 n4 B& `
* i+ f: T$ g! l6 w
z4 @" }9 t. Q) m) k$ _
3 b5 @! W5 G7 n5 q
1 M# J/ O C9 R (5)根据实际设计三个关键函数, }1 y# X4 W1 a& g; e
这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点!!!前面那些都是小亮点,这个是闪瞎眼睛的关键。( [( m/ i1 x/ O/ |+ k& g& m
论文也说了,疫情的发展要分阶段研究,各个参数在不同阶段的取值和变化规律(函数)是不同的,所以用分段函数来描述是符合实际的。2 h% B8 T4 x, |
! ?& r6 o. H1 `
平均传染期函数:
/ J6 H. N* |6 ^& Q- ^ $ j8 a$ s I7 K& i2 P4 Y
6 u- e$ A: K+ i
; r* D+ q0 ~5 L0 t
就诊率函数:, ]/ H; Z2 k. P: h4 K
I$ U% F& h2 _
" I, K: _! B1 N8 M, h0 M4 ^
9 L$ S0 B9 m! h9 {8 ^- M 平均接触率函数:% n6 I1 w Q1 Z. F6 P s7 G
/ \) i9 o$ K* L n- L, _. T9 b o1 f5 n+ X# g" B% W1 F' b& S
x+ @9 h) H$ V, ? 模型预测效果图:9 H4 p) Q3 @- y2 n o5 G; } P
- U# p- D$ E& q7 Q
% U V9 G2 r: t- I1 F, l
1 Z. L$ F7 J ? m ————————————————5 u$ p/ X h; E: s( |, N2 a L: _3 A
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; U/ l, q& t% f1 b. P
, X: d) F5 U R; K0 m7 d, S7 p, N
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