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[国赛经验] 数学建模----SARS的传播

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    1#
    发表于 2020-5-30 09:36 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta |邮箱已经成功绑定
    本题要建立传染病模型。上网一查,最经典的传染病模型是SIR模型,出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。6 p' S$ p0 C% s( i- e) U& g

    , }' v: n3 D; W本题主要使用微分方程进行建模。
    # t4 N0 ~: T; e8 S& p9 j+ d: y+ X5 s' @  g; T. c7 ]' m0 Z
    (一)梳理题目
    ( N% ?5 z$ M6 ?& j) g$ w9 ?0 N' Y( i, u. q$ R6 r/ h$ x
      m- h+ t# Z% T9 N% G- f

    ) o" r4 D! j; w0 o+ G4 u( R/ {) i% r8 h5 q# _

    8 N) o% ]2 Z* L5 K. o6 u6 g6 V) S8 e2 Y# E# Z2 t
    (二)Highlights which makes this paper stands out( x4 n& d% r& }3 H& W+ {! `
    (1)对早期模型拟合曲线的残差分析
    + l: t; {" Q2 T' J$ l" N拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。
    * W( n4 b; r+ P- k! w' K! h0 _( z7 H5 B& G

    0 y- X% v- [- v2 e( r, m1 P& t9 k, [2 L4 C; f  B8 M3 f6 |6 o2 `
    e i是第i天的计算值和实际值的残差' d( a( \, M& l; u( L5 i9 C; G0 q
    e∗i e_i^*e i∗是减去期望E(ei)=0 E(e_i)=0E(e i)=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差
    & t( X& q; s0 y2 S! G标准化残差服从标准正态分布" M3 ^( z. g( O2 v* G! m
    美中不足的是!!!) ~1 h$ t; f0 b$ E+ b8 o
    没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下,样本标准差的无偏估计应该是:
    * R7 q$ q8 w4 t' B* z4 K" V6 W9 s) y
    QQ截图20200530092404.png 4 [  d; h4 ]5 s+ b$ s4 u

    * V  b! l1 i2 {: b& b) @2 F* E5 @" _8 @5 k5 j% b: y9 |; t
    如读者朋友知道原因,请评论告知,非常感谢
    * J$ V2 K% ]4 I0 B2 k7 c) S- d2 d; e/ z
    3 R9 H5 O# i+ j# P" V0 G
    0 B5 z: k. T6 N9 c- I8 C3 N3 p

    ) J; P4 p# \. {* F' ^0 |论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好,中后期都与实际情况偏离较大。
    2 R% S6 w3 c4 Z  r( m: }7 u
    , i0 Z+ ^9 ?; k9 e% w(2)模型假设和符号定义
    & b' G: N. V2 Q) ^4 E8 E4 P* I7 m2 g这个假设写得简直太数学太专业了,为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。
    ( H8 J8 D; [- C' G
    - Z5 u; L. V' w# d0 D9 J3 d( y+ n9 `/ o* G3 Z+ f' O' u
    6 k# K# M. [; O7 j

    9 f5 Q1 X* P( W% Q这6个关键变量的找出,是不容易的。
    7 P, F& W) z1 c
    5 Q% T8 O0 c6 e! Y. @" t2 g$ Z$ s+ y6 H7 c

      l6 @; y, X* b0 f, t: `(2)基于SIR模型建立新模型
    $ l' E3 d. ^3 d& O# `; G# `3 Q  [5 A* f+ w基于一个经典模型,成功率较高,又有更多可参考的资料。
    + ~; D" u+ Z' g$ O+ T1 O2 lSIR简单地把一个城市的人口分为三类,三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。
    6 ]4 K  K+ F; G( j; W/ F2 V. u
    - @* E1 A+ P; J4 W# @4 Y; \- X2 u( P- l! s( C

    7 l4 D2 {: P/ e& m, j利用微分方程组建立数学模型,这也是对上图的数学描述:& T. G4 K" I. V) _# d! v

    5 T: b4 ^1 s$ D$ z. ] QQ截图20200530092822.png
    ! M/ o- J1 ~8 o! |) O# M4 @
    3 f4 m. ?( |$ {. b# S,因为S类(易感类,能被感染的人群)随疫情发展减少。9 e2 z: a: @  N$ t% f
    其它数学公式论文中很清晰6 T8 w* m8 Z, a8 |

    " x; T% T% q7 a+ d# d8 V) s8 k7 ^! g, _* d! K( y

    1 ?  l2 C3 N) y7 T3 M; E& ]' s
    : Y$ T; O/ i6 V" f/ Z7 q8 B! v(3)求解模型5 j0 p) m6 I6 ~& W. |0 S
    求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。
    # z7 m5 ~- a6 ]- p  W
    1 E; e$ A. F; s2 l QQ截图20200530093348.png
      v) W  h9 R6 h+ ~8 l' u. R/ L$ ^1 K
    QQ截图20200530093426.png . F' a/ `& H+ `/ |; D6 H

    ( _" M, c' w! \; @; g. j- M) [+ @' P1 c& k, a
    然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论:
    6 _* K$ L$ X: E( Q+ \
    & E2 P0 `: F* p' Q' R/ m
    0 I0 [! p, `4 \/ m3 d$ x7 [
    6 Y! S, W& }, E8 S- D) v(4)用导数为0划分疫情发展的四个阶段- V& `( W' g9 J1 @/ o3 }/ J1 B% z

      G+ F. H; P4 D0 ^6 T/ [8 q; J% ?* ]0 Q0 b2 c. ?
    5 Y9 \: P5 G3 T! |& [3 m
    2 P, M* C9 y# ~- L- V
    1 y1 x- B1 r/ a: d& Q& S8 i/ G
    (5)根据实际设计三个关键函数
    0 V0 a2 w* w" C' X- C) G这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点!!!前面那些都是小亮点,这个是闪瞎眼睛的关键。
    ' m( \% p/ d5 g5 X3 m论文也说了,疫情的发展要分阶段研究,各个参数在不同阶段的取值和变化规律(函数)是不同的,所以用分段函数来描述是符合实际的。
    * K  l6 w; F0 V4 b% A: J. n9 F- P; I/ P' G+ t" l/ N
    平均传染期函数:
    1 i% j9 P5 S+ s1 |0 w3 }. Z# J- e$ Y) d: u# Z: J4 r3 _

    ! y( a8 O' x; K- O( i8 y( ?  T" y8 ?5 ~9 @# |+ S$ _- c& v) I4 v
    就诊率函数:9 z  S2 ^8 M0 S; g# j( c

      R% y0 N6 D! N2 p' L& M( P2 A6 t1 G% [# V( p- ~
    6 E6 x! V9 b* l1 ~) K
    平均接触率函数:% u- Y5 H8 r, ~# V+ S8 i" M

    ) M3 e5 U1 B) l- v4 K" i+ [2 P  `' J6 T  D
    ! @: |) c9 x& e0 o0 O3 l( u2 X4 i8 ^1 t
    模型预测效果图:& Z9 {* I3 D1 l1 o1 ^; T  O% M
    & u) m8 Y' q+ b' x1 b6 _
    + Q) s4 ]% o7 H5 B( L: [/ K

    6 _$ L: ^! d/ T6 t' g; D3 w————————————————
    4 \$ ~8 J' \- m6 d0 y3 \! V版权声明:本文为CSDN博主「doubleslow;」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
    3 e$ ?' P* S; y7 H' ]原文链接:https://blog.csdn.net/qq_36607894/article/details/92246947. ^( O* @) ]3 a- s9 Z! B# |
    : ?/ j' ^( x0 d3 s' u  L$ y: p

    9 i+ o9 q. C" U
    zan
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