数学建模----SARS的传播

浅夏110

本题要建立传染病模型。上网一查，最经典的传染病模型是SIR模型，出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。

, }' v: n3 D; W本题主要使用微分方程进行建模。
# t4 N0 ~: T; e8 S& p9 j+ d: y+ X
（一）梳理题目
( N% ?5 z$ M6 ?& j


) o" r4 D! j; w0 o+ G4 u

8 N) o% ]2 Z* L5 K. o6 u
（二）Highlights which makes this paper stands out
(1)对早期模型拟合曲线的残差分析
+ l: t; {" Q2 T' J$ l" N拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。
* W( n4 b; r+ P- k! w

0 y- X% v- [- v2 e( r, m
e i是第i天的计算值和实际值的残差
e∗i e_i^*e i∗是减去期望E（ei）=0 E（e_i）=0E（e i）=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差
& t( X& q; s0 y2 S! G标准化残差服从标准正态分布
美中不足的是！！！
没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下，样本标准差的无偏估计应该是：
* R7 q$ q8 w4 t


* V  b! l1 i2 {: b& b) @2 F* E
如读者朋友知道原因，请评论告知，非常感谢
* J$ V2 K% ]4 I



) J; P4 p# \. {* F' ^0 |论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好，中后期都与实际情况偏离较大。
2 R% S6 w3 c4 Z  r( m: }7 u
, i0 Z+ ^9 ?; k9 e% w（2）模型假设和符号定义
& b' G: N. V2 Q) ^4 E8 E4 P* I7 m2 g这个假设写得简直太数学太专业了，为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。
( H8 J8 D; [- C' G
- Z5 u; L. V' w# d0 D9 J


9 f5 Q1 X* P( W% Q这6个关键变量的找出，是不容易的。
7 P, F& W) z1 c
5 Q% T8 O0 c6 e

  l6 @; y, X* b0 f, t: `（2）基于SIR模型建立新模型
$ l' E3 d. ^3 d& O# `; G# `3 Q  [5 A* f+ w基于一个经典模型，成功率较高，又有更多可参考的资料。
+ ~; D" u+ Z' g$ O+ T1 O2 lSIR简单地把一个城市的人口分为三类，三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。
6 ]4 K  K+ F; G( j; W/ F2 V. u
- @* E1 A+ P; J4 W# @4 Y; \

7 l4 D2 {: P/ e& m, j利用微分方程组建立数学模型，这也是对上图的数学描述：

5 T: b4 ^1 s$ D$ z. ]
! M/ o- J1 ~8 o! |) O# M4 @
3 f4 m. ?( |$ {. b# S,因为S类（易感类，能被感染的人群）随疫情发展减少。
其它数学公式论文中很清晰

" x; T% T% q7 a+ d# d8 V

1 ?  l2 C3 N) y7 T3 M; E& ]' s
: Y$ T; O/ i6 V" f/ Z7 q8 B! v（3）求解模型
求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。
# z7 m5 ~- a6 ]- p  W
1 E; e$ A. F; s2 l
  v) W  h9 R6 h+ ~


( _" M, c' w! \; @; g. j- M
然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论：
6 _* K$ L$ X: E( Q+ \
& E2 P0 `: F* p' Q' R/ m
0 I0 [! p, `4 \/ m3 d$ x7 [
6 Y! S, W& }, E8 S- D) v（4）用导数为0划分疫情发展的四个阶段

  G+ F. H; P4 D0 ^6 T/ [8 q



（5）根据实际设计三个关键函数
0 V0 a2 w* w" C' X- C) G这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点！！！前面那些都是小亮点，这个是闪瞎眼睛的关键。
' m( \% p/ d5 g5 X3 m论文也说了，疫情的发展要分阶段研究，各个参数在不同阶段的取值和变化规律（函数）是不同的，所以用分段函数来描述是符合实际的。
* K  l6 w; F0 V4 b% A
平均传染期函数：
1 i% j9 P5 S+ s1 |0 w3 }. Z

! y( a8 O' x; K- O( i8 y( ?  T" y8 ?
就诊率函数：

  R% y0 N6 D! N2 p' L& M

平均接触率函数：

) M3 e5 U1 B) l- v4 K

模型预测效果图：



6 _$ L: ^! d/ T6 t' g; D3 w————————————————
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9 i+ o9 q. C" U