数学建模----SARS的传播

浅夏110

本题要建立传染病模型。上网一查，最经典的传染病模型是SIR模型，出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。

/ Z0 N& I# T7 E7 g) n# @本题主要使用微分方程进行建模。

4 N. ^- p- a/ s; ~) v- R4 n% j, X+ ]（一）梳理题目


- G! e! N2 V1 T, [
' G$ a" X6 j. _5 i- I! m: h( V: ^


8 H1 H  z& D- `$ }' k4 U# W0 f（二）Highlights which makes this paper stands out
/ d* l. G3 u4 x5 I; Z4 j(1)对早期模型拟合曲线的残差分析
' x0 m0 F3 Q2 H5 e& j拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。

$ t" v$ l6 W- b% s( L0 i" ?8 M& l

e i是第i天的计算值和实际值的残差
! q% H+ j2 [7 i, }( c% F7 {e∗i e_i^*e i∗是减去期望E（ei）=0 E（e_i）=0E（e i）=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差
; c+ d# B# }( C标准化残差服从标准正态分布
$ q8 S: h0 b3 N2 ]4 O! Y美中不足的是！！！
没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下，样本标准差的无偏估计应该是：
: w+ ^- }* I0 @$ p" E
  F2 C7 I) `, n- [- O* e7 }

8 k8 `9 u% t" i% c0 i& T
如读者朋友知道原因，请评论告知，非常感谢


1 L- ^9 n; R* n: G/ V

论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好，中后期都与实际情况偏离较大。

% b1 U/ L) U6 y+ E& f9 T& I（2）模型假设和符号定义
这个假设写得简直太数学太专业了，为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。


5 }. X  m8 t0 L9 V; L& Y5 d* g

- T+ g* Q/ z& P+ ~这6个关键变量的找出，是不容易的。
/ E7 t3 \! ]- n' \


9 K$ X7 h9 V/ y7 {（2）基于SIR模型建立新模型
' C: U. }3 @- u1 r, U基于一个经典模型，成功率较高，又有更多可参考的资料。
% f# J  t. D+ _  @$ w% S% gSIR简单地把一个城市的人口分为三类，三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。
2 K$ [1 D/ y2 F9 Z% m& T$ p


- h# U7 ?, o" J+ o- k5 I利用微分方程组建立数学模型，这也是对上图的数学描述：
' Q* F, r2 D6 w1 K3 f8 _

! u& M9 ]. c( q+ V: H- \5 i
,因为S类（易感类，能被感染的人群）随疫情发展减少。
其它数学公式论文中很清晰
8 {5 j! ~1 G1 a, |  D4 N

+ E/ }- C% \2 U6 C' d# _; Z: y( @

（3）求解模型
- \2 A8 w3 X8 ~; `求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。
6 d$ n* c/ R. Y# q; o0 w


6 K5 |+ z0 n0 z- Q& T
9 g# f/ s, p9 Y* D+ z' @  }

, B* `- C7 N& c) j/ |0 ?. c然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论：



, f) S" R) Z+ W% G' H（4）用导数为0划分疫情发展的四个阶段
" r9 s" Q) G, l3 [7 O$ a

0 S" q9 j1 F. J7 K
( O- I, q) n) {1 m# g# f4 J' v* {

（5）根据实际设计三个关键函数
这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点！！！前面那些都是小亮点，这个是闪瞎眼睛的关键。
论文也说了，疫情的发展要分阶段研究，各个参数在不同阶段的取值和变化规律（函数）是不同的，所以用分段函数来描述是符合实际的。

' H; G3 }; a  Z% p9 |' O平均传染期函数：
) v' p. Z' a, z' o3 _
4 d& Q& V6 c; y& {  @1 D+ x

5 k7 G: H' J3 [3 o就诊率函数：


% r: k/ |6 N! ~: @/ u0 j
平均接触率函数：



模型预测效果图：

+ e& X+ m: {- f0 N, p0 I) {9 I

, P+ K* z2 i9 X+ u5 i2 f————————————————
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+ N( w' L) }+ @4 h/ a9 S