数学建模----SARS的传播

浅夏110

本题要建立传染病模型。上网一查，最经典的传染病模型是SIR模型，出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。
( b9 S; F7 n+ v( g- U; p$ W6 u3 k5 J
本题主要使用微分方程进行建模。
/ X9 u4 g! C& U: L. _6 f& x5 o, S
5 R+ D) d  f4 I2 G1 ~! ~+ K（一）梳理题目

8 C" E+ }  b' Q+ M
9 F* A) P$ e5 f# {0 M$ h8 N



（二）Highlights which makes this paper stands out
(1)对早期模型拟合曲线的残差分析
拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。


8 \- r& K! B! C  s" _
9 f! [2 |  @! l3 K) Me i是第i天的计算值和实际值的残差
e∗i e_i^*e i∗是减去期望E（ei）=0 E（e_i）=0E（e i）=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差
: R. V: n) O' J6 ]9 L标准化残差服从标准正态分布
美中不足的是！！！
: ?( Q' B2 p# a4 G4 F8 E! U1 Y没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下，样本标准差的无偏估计应该是：
! N  [- U( w8 O! B+ |, b8 ?  l
' z4 N6 M6 c* L, F
" z  F; R" c: @. b
- T' _- e) O0 Y" D, l; j
如读者朋友知道原因，请评论告知，非常感谢

. H$ R" A5 m% t: V
4 l+ n4 }- L! I% C, h: c" q

2 O. ~) T' C5 G论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好，中后期都与实际情况偏离较大。
& F8 m( |& M4 i2 j
, y$ T* J6 e. G. J* }! U& S（2）模型假设和符号定义
( n2 n6 D; p1 T& N这个假设写得简直太数学太专业了，为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。

8 v$ F# t) f. ]
8 N/ ]( d5 O' h2 I, f) Z/ E' X
& J6 ~. X7 ~* F/ I5 F$ @
# G% }, A0 K& e" C$ h) N这6个关键变量的找出，是不容易的。



（2）基于SIR模型建立新模型
基于一个经典模型，成功率较高，又有更多可参考的资料。
SIR简单地把一个城市的人口分为三类，三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。
# r% \  d. ?0 q6 B( r4 m7 B) `

1 W. D4 I7 N; l& b5 R: n
利用微分方程组建立数学模型，这也是对上图的数学描述：
: t! ]! z( y: x$ t( V0 r
* v2 \" ^2 E( Q4 _' R/ T5 C

3 \$ l3 Q* H, A) H,因为S类（易感类，能被感染的人群）随疫情发展减少。
1 f. x, ~  M+ q6 C* A# n2 L其它数学公式论文中很清晰
! A/ `1 }( ~" b9 b) ~2 V- j/ d; t
1 R6 \% u9 E" e* j( k0 f

9 B% ^+ ?7 e9 j: \) b7 D
' B; E" I8 Y. u2 ^( W, @+ E（3）求解模型
求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。
4 h$ {) t6 P! N4 P& d6 j2 Z  N: G


9 _, H9 ^4 _% n7 W3 G. P
. f  z% T$ @( k' E# c

$ I' ?) o! Z& i/ c- e然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论：
9 U5 j4 ?3 b0 O5 Q( T
6 u! A* R% n4 D! s5 W# r
" j% e7 p9 p9 ]8 m$ l. z. Y' K
; z1 o0 f+ I. D2 R! o' ]6 E（4）用导数为0划分疫情发展的四个阶段
5 z1 L6 @, l3 K% N




4 S2 L0 ~, A: P$ G% f( I（5）根据实际设计三个关键函数
这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点！！！前面那些都是小亮点，这个是闪瞎眼睛的关键。
5 H: R# t- O( F" z论文也说了，疫情的发展要分阶段研究，各个参数在不同阶段的取值和变化规律（函数）是不同的，所以用分段函数来描述是符合实际的。

平均传染期函数：
( T1 d! L. z( m2 ^
' L7 c! ~. q9 d  v
8 M0 r$ ~* ?" k9 \
+ s" u! w4 f0 x. x  B  k就诊率函数：


7 k4 D0 N( b8 M( |: |
平均接触率函数：
; R  D1 Y; P, a

1 T! K' O4 n3 r5 O/ \4 {, W
模型预测效果图：


- h; T, H( u4 I, E5 C* Q
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0 ^3 A# G5 F; f" A& q5 Y