数学建模----SARS的传播

浅夏110

本题要建立传染病模型。上网一查，最经典的传染病模型是SIR模型，出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。

1 W6 u( T4 j) m4 ~本题主要使用微分方程进行建模。

（一）梳理题目
2 L& }( m5 F6 y! X, u3 H
; a' u/ B4 t* [6 K* Q

+ j# }. x. r$ Q

% E4 t& o1 G  O: G
+ V: X( D) u% \% J1 @2 A  ?& X! M（二）Highlights which makes this paper stands out
(1)对早期模型拟合曲线的残差分析
拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。
& U% V5 w9 P5 A' m+ @

% H8 \$ G# X  B$ F
e i是第i天的计算值和实际值的残差
% _" S5 c4 f: ~e∗i e_i^*e i∗是减去期望E（ei）=0 E（e_i）=0E（e i）=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差
标准化残差服从标准正态分布
( R9 M! Q; \# J6 A美中不足的是！！！
没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下，样本标准差的无偏估计应该是：
8 D* N& k8 a( p. l9 N* n
% P3 E% G$ Q! F


* l$ Q$ p0 x- m' L& M7 k如读者朋友知道原因，请评论告知，非常感谢

4 e8 f) ]  }7 l: g! q


论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好，中后期都与实际情况偏离较大。
$ N! b1 l- F! M; `- \! x
（2）模型假设和符号定义
2 `6 u9 ]' R) L/ ?$ ]9 Z8 F$ M这个假设写得简直太数学太专业了，为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。
  L% e$ L8 [3 B  S1 |
9 ?  ?) s' @8 W! c2 |& J$ o


! V2 O; f' j2 i( c+ i这6个关键变量的找出，是不容易的。
4 i) |) t2 t5 A+ w+ R2 S


（2）基于SIR模型建立新模型
2 C9 u  q: B7 d' Y8 i+ g! k基于一个经典模型，成功率较高，又有更多可参考的资料。
) |$ c" W$ s+ J7 ]- b5 W9 `SIR简单地把一个城市的人口分为三类，三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。
3 m$ ~0 @; i, H- b; U; C/ @


利用微分方程组建立数学模型，这也是对上图的数学描述：

: T' G4 Q- }( `2 @$ i$ m
4 y) z2 K8 E3 M) L' H% e7 ]6 C
+ l+ [" r. l8 J: w* k,因为S类（易感类，能被感染的人群）随疫情发展减少。
- n! o- z; ~; |' `+ t其它数学公式论文中很清晰

) J! E& i" A/ M6 y0 h1 W2 I- x
( n; D& {5 A" L) ]+ S
& s7 E' M, i2 b7 p9 Y
（3）求解模型
' B& q, x& `' f  Y) i求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。
1 |& L; w( U+ |

4 @; f. M! o/ Y  j- k
0 b; x& S5 {1 ~& ?# y, ~6 X
2 I: I0 u+ C+ i3 ]2 ]& T

然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论：



% @- o7 B+ v% y/ G; H! X/ ?（4）用导数为0划分疫情发展的四个阶段
+ t7 ?& u0 t' w' s4 I
! g* y- _# t6 L! {2 w

' Q2 r; x; A  s) O. G9 X: j* P

（5）根据实际设计三个关键函数
这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点！！！前面那些都是小亮点，这个是闪瞎眼睛的关键。
" q: K5 a8 U) [8 H+ ?- O论文也说了，疫情的发展要分阶段研究，各个参数在不同阶段的取值和变化规律（函数）是不同的，所以用分段函数来描述是符合实际的。

( }9 b1 ?+ j# f0 [平均传染期函数：

* e; h4 U4 H0 b

就诊率函数：


! i, H2 A1 p* P! ~7 N
平均接触率函数：

) v) D$ g" K. e' k* }( ~) V. W
+ d: I' }, W# R: D3 V4 `
( F5 P+ \% f% i* W. R( J# ~9 H0 j模型预测效果图：

, R! k* Q5 B' C# t

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