数学建模----SARS的传播

浅夏110

本题要建立传染病模型。上网一查，最经典的传染病模型是SIR模型，出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。
- e6 J9 U% i. L! x4 {
& |  F( [" T, ?本题主要使用微分方程进行建模。

（一）梳理题目

6 {0 A7 `* ^! P) z, ]
% [+ m; Y& Z# s! Y7 C
  w1 i9 n7 L# v- y8 l# p: q% T
+ ]. H( J, C' _' z7 {; e

（二）Highlights which makes this paper stands out
" a( T, ~2 @) R3 E(1)对早期模型拟合曲线的残差分析
8 M) Y7 q2 M+ s5 l9 L. w6 ?拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。
2 b* \0 w1 K8 G& h' f/ s+ _' E


% S6 Y5 M) f# x$ ]6 ie i是第i天的计算值和实际值的残差
e∗i e_i^*e i∗是减去期望E（ei）=0 E（e_i）=0E（e i）=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差
标准化残差服从标准正态分布
美中不足的是！！！
% A( l/ L9 D/ u) m没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下，样本标准差的无偏估计应该是：

, N! N1 g3 ^9 b2 X" y* C$ }


如读者朋友知道原因，请评论告知，非常感谢


' P* ~$ V2 E+ L( O4 I

论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好，中后期都与实际情况偏离较大。

9 J( Z2 f- f  O4 Q% ~; P（2）模型假设和符号定义
这个假设写得简直太数学太专业了，为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。
4 c# Q* g2 ~* b; E% X/ Z
9 a# P! \' d; [$ O9 T( `- K! [0 ?

, N8 I3 f! z, A0 K: _$ d
这6个关键变量的找出，是不容易的。
* z* O7 j" k' M0 [* {" x% `

( P4 A% G. f+ w0 n
（2）基于SIR模型建立新模型
基于一个经典模型，成功率较高，又有更多可参考的资料。
/ g( l) o7 g/ X; q' U  eSIR简单地把一个城市的人口分为三类，三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。


4 E" o  q8 A5 J$ Y
+ V. M9 K6 _9 G利用微分方程组建立数学模型，这也是对上图的数学描述：
' J0 ~, }+ s2 X3 r$ b


2 m# R6 n% Z- t( t6 N; z,因为S类（易感类，能被感染的人群）随疫情发展减少。
( o5 Y9 |- h5 K" Q其它数学公式论文中很清晰
1 l7 F' h0 I& v* [" i2 J/ i* `- m

& q# s/ \) X! L6 y& o
7 @; c! S9 H* J  p+ {* q+ i/ {# ^  h
（3）求解模型
求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。
+ W$ z- i, P+ r. B


9 W- \2 ^+ k' e9 |7 Y5 [) C) x7 L( H

2 {9 n5 q2 r$ B( Y2 {$ S
然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论：



% B7 v- ?3 y0 K（4）用导数为0划分疫情发展的四个阶段
3 I7 d5 G( ?9 s: V, _) I

) j2 R4 J9 Z& h- H3 J

2 a/ U% j0 N$ K  q
（5）根据实际设计三个关键函数
  y, T( s7 k; t0 h这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点！！！前面那些都是小亮点，这个是闪瞎眼睛的关键。
7 O4 H. m5 O0 z论文也说了，疫情的发展要分阶段研究，各个参数在不同阶段的取值和变化规律（函数）是不同的，所以用分段函数来描述是符合实际的。

平均传染期函数：
  y0 V& i& P; ^: n9 G

0 i5 F* o- {% a0 }
6 t5 c! s6 Q- a  M# j4 Y就诊率函数：
& Z8 u5 R1 W7 h4 W7 F* I% Y
4 d2 r3 C; u! ?$ K4 b

平均接触率函数：



% s- Y8 g9 |! F/ i模型预测效果图：

+ D9 ]8 K, q8 ~5 u

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