数学建模----SARS的传播

浅夏110

本题要建立传染病模型。上网一查，最经典的传染病模型是SIR模型，出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。

+ L  [/ p  ^0 y& P- u, ^/ Z, B本题主要使用微分方程进行建模。
) s7 c! j, U, h* L4 }
2 v5 r0 c7 T0 l+ `, v# r% y$ `, e（一）梳理题目
  [2 C! h" j( G
% |2 |  ?0 O5 ?( C' A9 E  O



/ x; v8 X/ ]/ j- r' n4 i
* n) Y" |6 j9 e: r9 T. l8 c$ D& J: E（二）Highlights which makes this paper stands out
(1)对早期模型拟合曲线的残差分析
拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。
5 l. h1 R! \8 |4 u% y2 B, D2 s3 _
  n$ K0 M# K  o) G

e i是第i天的计算值和实际值的残差
e∗i e_i^*e i∗是减去期望E（ei）=0 E（e_i）=0E（e i）=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差
标准化残差服从标准正态分布
美中不足的是！！！
3 a9 ^  c; A7 B) {, k  E! S没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下，样本标准差的无偏估计应该是：

3 x6 o9 M4 H8 N8 u* S% P1 X. r) M
  F1 Y3 |9 F& @6 k& f
' x& M5 V  \# A: r
. Y( h0 O* v" E( G- ]如读者朋友知道原因，请评论告知，非常感谢

7 w/ p( [/ }+ Q) C8 w3 V" m- f& u
9 u5 H" t& i1 r

论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好，中后期都与实际情况偏离较大。

% Y$ J& G2 p# f0 |/ a3 f$ _（2）模型假设和符号定义
这个假设写得简直太数学太专业了，为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。
; [7 P4 I1 Q# E1 _  m& w
  {+ |$ r- h( w+ C  |
+ m$ m( E8 }! k
/ a, r. b; K5 V( j& g
这6个关键变量的找出，是不容易的。
# p& W; a$ C. ~1 T# Q' f; l
1 T, ?& U  p+ J4 F; N

& p( C' l7 i4 L  p# y; h0 q- D8 o（2）基于SIR模型建立新模型
+ A2 k3 ^0 p9 q  s9 l. ]" v基于一个经典模型，成功率较高，又有更多可参考的资料。
SIR简单地把一个城市的人口分为三类，三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。
* o  p4 ]7 Q0 P* r
. Q' d- P+ |$ L+ E
: Z, v& O8 v  \  f% ?  _
利用微分方程组建立数学模型，这也是对上图的数学描述：
3 P% r9 B1 W: H7 l- r$ n

- z5 Z3 w3 z; l- Y; ^" _
2 x3 b9 }7 j/ N,因为S类（易感类，能被感染的人群）随疫情发展减少。
5 T; ?# v1 h, Q% ~- p. e, B2 F其它数学公式论文中很清晰
" ~2 Y' [; F2 Q9 j$ Y. f

; [1 n, V/ L# f) H& I; H9 k' p/ g5 p

& e% q" P& r& F8 A: r（3）求解模型
求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。


3 K/ i/ s6 [; G7 p+ p7 y
- @' E. _; [! N7 X  q  `
  d% S; y  |7 h; \" m

然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论：


$ @7 T% }, I4 N! h; F  d
（4）用导数为0划分疫情发展的四个阶段




$ G) j5 S: b' Z8 c( r, F
% v% q- @1 K7 }* G; \（5）根据实际设计三个关键函数
- j- h4 r; g4 a3 ]" I5 ^2 Q这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点！！！前面那些都是小亮点，这个是闪瞎眼睛的关键。
! W6 V6 D1 _+ y6 Q论文也说了，疫情的发展要分阶段研究，各个参数在不同阶段的取值和变化规律（函数）是不同的，所以用分段函数来描述是符合实际的。
) X0 f) B8 d  B9 i7 A8 |: O" W+ a& ?% H
1 h; b% b& L7 R( [" q" t平均传染期函数：

  F# S; K  r% a& a2 g) c

* x; g4 C- ]) k7 n就诊率函数：


9 c% m% k8 [1 z4 r' K' Q6 O/ V5 P+ O
平均接触率函数：
  z3 i: T/ a8 q
( X  `4 _) `$ E& b
& h- z' W: J, N
模型预测效果图：



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