数学建模----SARS的传播

浅夏110

本题要建立传染病模型。上网一查，最经典的传染病模型是SIR模型，出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。
# y* ]- y2 B7 V# d" A& r7 u2 f
本题主要使用微分方程进行建模。

（一）梳理题目
0 Y. M3 q1 [  W7 X1 g. {
6 J$ ?# Y/ ]7 w1 V6 K+ J. Y



6 R# R3 l6 z7 m+ M# X9 L
（二）Highlights which makes this paper stands out
' t: b0 T- i' M% _3 `(1)对早期模型拟合曲线的残差分析
  x# p1 T+ A1 W, j拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。



e i是第i天的计算值和实际值的残差
) Q- {% V" j6 ae∗i e_i^*e i∗是减去期望E（ei）=0 E（e_i）=0E（e i）=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差
标准化残差服从标准正态分布
美中不足的是！！！
没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下，样本标准差的无偏估计应该是：

7 W9 I- P1 T9 t/ W
2 N, B# |8 J# s2 m$ C7 e( W
# s8 a# n9 {: |& @+ U" L/ X
' m9 y: N% g; h3 @  C! c8 g如读者朋友知道原因，请评论告知，非常感谢
, p* Y' a2 X# c
3 S! O2 x, _3 V( v$ ^
$ }5 I( P( P6 u7 m0 O
8 H, ~' L8 I6 D
! [+ y* p2 l( h1 R. F论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好，中后期都与实际情况偏离较大。

（2）模型假设和符号定义
这个假设写得简直太数学太专业了，为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。

3 w- v: N1 x4 g* q& E  g8 ?8 j
' V& o/ R/ {  C9 W! B; Z% \9 f" \) O! e2 V

这6个关键变量的找出，是不容易的。
; s6 O& d' R3 ]0 a
, E* x7 d' r; u+ o! E, B& C! `
7 N0 v" V6 Q  u" J5 J2 B( O6 ]
（2）基于SIR模型建立新模型
基于一个经典模型，成功率较高，又有更多可参考的资料。
# `6 A. W7 U2 [6 b8 q/ rSIR简单地把一个城市的人口分为三类，三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。
0 E. H' v* R, |3 {) B* l8 X

" N5 \" R% _' ^. U% d5 a' j0 G  d
利用微分方程组建立数学模型，这也是对上图的数学描述：
2 V) Q4 |. F. U


; s& P' y4 Z7 q( w$ f3 a, _,因为S类（易感类，能被感染的人群）随疫情发展减少。
其它数学公式论文中很清晰
4 ]- |7 ?  g3 C" M8 r


/ B9 N7 u% w) H9 H9 }& m) I
4 O: h& \$ _5 Y2 \: L8 |（3）求解模型
1 k. L! Q# f& }  G" p. b: Q6 ]* d求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。



+ O' t0 m4 q- K( v8 j
) f  B" d: x, j- R
. y, L& n1 Q8 B# w
, K! {6 U( l0 r  I, z) E然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论：



2 P1 K/ Y2 u6 f0 Z（4）用导数为0划分疫情发展的四个阶段
7 h# x" r, L( ~) M1 S, k9 k. a




（5）根据实际设计三个关键函数
! M9 o+ i9 j& v* H- e% i, F, m这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点！！！前面那些都是小亮点，这个是闪瞎眼睛的关键。
. \& ~$ ^' A0 ], ?+ U" T论文也说了，疫情的发展要分阶段研究，各个参数在不同阶段的取值和变化规律（函数）是不同的，所以用分段函数来描述是符合实际的。

平均传染期函数：
' F2 o$ O. I- `/ a6 X/ T$ Y/ Y8 B


8 T  S7 d3 S7 x" h2 w  P: [+ U就诊率函数：



平均接触率函数：
6 s& a+ D: |1 c8 ?$ K

% _) O1 M2 O  c0 D1 m- b7 q
模型预测效果图：
5 Q, Y5 a" H' }' C* A2 x, R) H0 k


" O, v. m  b- [# v. `, r0 s7 C( Z————————————————
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& A! M3 r: X  d* |# P/ w0 @