数学建模----SARS的传播

浅夏110

本题要建立传染病模型。上网一查，最经典的传染病模型是SIR模型，出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。
- G9 ~( {" `" r& g( C8 x% o$ N
本题主要使用微分方程进行建模。

- \5 N- o, K) n（一）梳理题目


% F4 a% J- x$ \7 w" I
0 J1 S6 `8 a# h% E% s" p: `


（二）Highlights which makes this paper stands out
(1)对早期模型拟合曲线的残差分析
拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。


& F* j; N5 \2 j% ], e% R, [7 Y
e i是第i天的计算值和实际值的残差
6 R' y8 Q# K$ s' u* \' j/ ye∗i e_i^*e i∗是减去期望E（ei）=0 E（e_i）=0E（e i）=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差
标准化残差服从标准正态分布
0 i' h) k" }& a; m. }美中不足的是！！！
/ N8 Q; K, b% g7 E- r% C0 ?: X# S没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下，样本标准差的无偏估计应该是：



8 D, z$ Q5 ~$ k
如读者朋友知道原因，请评论告知，非常感谢
" X% @! n) F8 N
) E2 Z$ u4 v% m9 A( i


论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好，中后期都与实际情况偏离较大。

5 G- J( U. n3 b( ]8 L1 L: e（2）模型假设和符号定义
这个假设写得简直太数学太专业了，为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。
8 ~1 D+ Q& h$ S% H: J) d$ J$ A

" O/ e4 d! G- N# @0 B
: Y! L3 N! T* _& }! f
这6个关键变量的找出，是不容易的。
5 {, t3 z' T$ F& c$ |* f

. c3 C: s- y8 u+ }8 x+ X
. ^5 t* M" g7 C+ V5 @9 T$ ^. @（2）基于SIR模型建立新模型
基于一个经典模型，成功率较高，又有更多可参考的资料。
SIR简单地把一个城市的人口分为三类，三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。
6 S5 b3 I) E" y: r/ I$ M
$ ~; Q: N( M8 ^  p+ O9 q9 `

利用微分方程组建立数学模型，这也是对上图的数学描述：
, Q9 M% M9 i' F' B


,因为S类（易感类，能被感染的人群）随疫情发展减少。
其它数学公式论文中很清晰

/ D2 r# }1 e: Y% ^; s/ w

1 |3 D: @0 p4 @: k/ o2 K2 ]
（3）求解模型
求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。


$ j( b- u$ L; F7 |4 m/ R0 ]


3 R. C% c4 C& \1 c: D) A6 X- D
然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论：



6 _; Y0 l- U! Q+ o7 ?& v' v+ V（4）用导数为0划分疫情发展的四个阶段

+ k/ M) Q- ^1 Y0 n$ \/ b

" b) ~8 S  E* E# E: M2 y
. g* g$ t4 p& J% b9 k2 M
6 @2 S+ o: ?& x  z/ I" ~& e（5）根据实际设计三个关键函数
0 p1 e9 ^. _" O: x6 }4 B  z这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点！！！前面那些都是小亮点，这个是闪瞎眼睛的关键。
) v8 f9 y- S% d8 F论文也说了，疫情的发展要分阶段研究，各个参数在不同阶段的取值和变化规律（函数）是不同的，所以用分段函数来描述是符合实际的。

/ r- a, F. C$ @; q, Q! b平均传染期函数：
; e* v& d6 j( I' d- a% \( \0 R; ~
9 {! F$ o4 K5 L! j9 X/ I) W

就诊率函数：
: Y4 W& R( B$ @9 K" K9 n- `

( @& i3 O$ u, k5 f4 m6 W5 u7 h
5 Y% D' m8 X: h0 s. ~4 }/ s平均接触率函数：


* V* M' ^* o8 M  z
- j/ L: I& `7 w/ d: V模型预测效果图：
! P1 T& k# g" W( r
7 ^% ~( U) w5 K0 w" L
3 B7 G* Z1 ~$ F8 `8 P
& A7 S) @$ F/ X& v# |! E# ~————————————————
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