数学建模----SARS的传播

浅夏110

本题要建立传染病模型。上网一查，最经典的传染病模型是SIR模型，出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。
' q% o' [. c# E6 s- H
* t, c/ p# C6 R2 s; O3 K% R9 u+ L本题主要使用微分方程进行建模。

% T' Z- o4 ~8 a% \/ ?4 g% W（一）梳理题目
% c9 D* S0 Z/ @' a( ~# J

) h* _7 z$ u" c. ~* D



3 k- ?1 @& l8 m7 ~, L（二）Highlights which makes this paper stands out
(1)对早期模型拟合曲线的残差分析
9 A4 h! x. L) z2 D& B8 H  ]3 K拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。
& X' ]' T/ \/ Z' C9 I# p
/ p7 u# m: @3 {% X" h- }

e i是第i天的计算值和实际值的残差
e∗i e_i^*e i∗是减去期望E（ei）=0 E（e_i）=0E（e i）=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差
标准化残差服从标准正态分布
1 C) D! C+ L/ F9 \% J: r美中不足的是！！！
没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下，样本标准差的无偏估计应该是：
* r- K" x& X8 c; U0 a

  e0 D! X8 ~, U+ W# l( x
, A; f. J. d1 F; W
如读者朋友知道原因，请评论告知，非常感谢
9 Q) L- V4 j( B7 d2 K% x, y" s


/ ~# z+ o4 H, }# ]- b4 H
0 @3 H8 y' O; c8 e  c2 X. X4 ?论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好，中后期都与实际情况偏离较大。
6 S- B, \. @, p0 U  K( @/ _7 _
. |" F( a4 h( u1 g（2）模型假设和符号定义
这个假设写得简直太数学太专业了，为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。

  T" \% b7 C2 Q6 t5 {
( P0 }& S) g5 z2 I6 G& m
. F* r) O% y. _) A+ a5 _7 ^" K" N: G& ]
$ U& i. H: Q5 {. V这6个关键变量的找出，是不容易的。


5 z$ _# C! t( e9 X* C1 o# h# I
: S( Q1 m$ J7 _- V8 a! W（2）基于SIR模型建立新模型
3 m" ]3 {! R7 B7 R4 ^% i( L+ z基于一个经典模型，成功率较高，又有更多可参考的资料。
SIR简单地把一个城市的人口分为三类，三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。
' y) T, R" d; a: ?( H) Q+ e


6 ^6 N1 V* x8 m( u4 r3 W利用微分方程组建立数学模型，这也是对上图的数学描述：



,因为S类（易感类，能被感染的人群）随疫情发展减少。
) I& m5 t9 X4 \  S! |0 g. V7 h其它数学公式论文中很清晰

( H  F# z: g  ^. A4 T  B

9 {) X0 r' c% L, E
（3）求解模型
求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。
/ c; Q1 |  G1 z9 n4 O4 M% b) b
- {0 ^# M  a% u' ~
# y9 _6 [1 g1 H4 Y, h0 [
1 p) I, @2 B7 v6 T2 C  z' N( Z2 A
1 I/ q) [6 v- ]3 B6 r& d7 O

然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论：
& b$ \% o3 H+ s( H- W
! F$ S( f- N( X# N
# a3 w: w% X0 I6 R
7 L5 A4 f0 r: R, W（4）用导数为0划分疫情发展的四个阶段

* h6 Z; @5 [4 T

! I( O( f. P% T; O9 l
$ @& H8 q% n# _6 y+ T* i7 l" T8 }
9 |2 [( }9 H3 I& z1 Z; [（5）根据实际设计三个关键函数
+ o0 V- w- V, J  [, l这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点！！！前面那些都是小亮点，这个是闪瞎眼睛的关键。
论文也说了，疫情的发展要分阶段研究，各个参数在不同阶段的取值和变化规律（函数）是不同的，所以用分段函数来描述是符合实际的。

平均传染期函数：

9 ^: C/ b* q* H* @+ c' J9 l
, ?& \& s0 g5 v$ y2 z9 p9 M
# f7 e$ F8 v' `" ]$ b' d3 L  Q就诊率函数：

  u7 m3 z5 r! [7 I' |  Q7 j

平均接触率函数：
; X  Z2 c- F0 h& T8 G- N


7 e# y4 h1 R" R8 V" i" g4 [模型预测效果图：
" h- P! O: P$ `  h' Z9 C- r


————————————————
5 t# l2 O" d& q2 i8 z版权声明：本文为CSDN博主「doubleslow;」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
# P1 F7 f& X8 H0 c原文链接：https://blog.csdn.net/qq_36607894/article/details/92246947

3 x! G6 E" @& A/ F0 x2 r
& T5 X: @4 r# t5 P$ B9 @