时间序列模型 （二）：移动平均法

浅夏110

移动平均法 可以作为一种数据平滑的方式 ,以每天的气温数据为例，今天的天气可能与过去的十天的气温有线性关系；或者有的人对食物有一种节俭的美德，他们做的饭菜能看出有些是上一顿的，当然也有一部分是今天的做的，再假设隔两顿的都被倒掉了，并且每天都是这样的，那么这碗饭菜可能就是一部分上一顿的再加上一部分今天现做的，这就是一个一阶的移动平均。
0 X2 @2 `9 z5 Z+ _
移动平均法
移动平均法是根据时间序列资料逐渐推移，依次计算包含一定项数的时序平均数， 以反映长期趋势的方法。当时间序列的数值由于受周期变动和不规则变动的影响，起伏 较大，不易显示出发展趋势时，可用移动平均法，消除这些因素的影响，分析、预测序列的长期趋势。  移动平均法有简单移动平均法，加权移动平均法，趋势移动平均法等。
1 A0 d0 @0 z" h+ ~! Y
简单移动平均法
' U& [) ?: H& G! ?$ V2 X

  J- X# `" i; k! c, T% H! `1 {
近N 期序列值的平均值作为未来各期的预测结果。一般 N 的取值范围： 5≤N≤ 200。当历史序列的基本趋势变化不大且序列中随机变动成分较多时，N 的 取值应较大一些。否则 N 的取值应小一些。在有确定的季节变动周期的资料中，移动平均的项数应取周期长度。选择佳 N 值的一个有效方法是，比较若干模型的预测误 差。预测标准误差小者为好。
1 n6 \, H, v; t" W6 H9 F) D0 Y
简单移动平均法只适合做近期预测，而且是预测目标的发展趋势变化不大的情况。 如果目标的发展趋势存在其它的变化，采用简单移动平均法就会产生较大的预测偏差和滞后。
0 W' |) w+ h" M: U: v* j: e
% d  z7 M: {$ @9 ^4 v+ `例 1  某企业 1 月～11 月份的销售收入时间序列如表 1 示。试用一次简单滑动平 均法预测第 12 月份的销售收入。

( ~0 [; y9 ~3 z

3 n# \0 Q5 d+ ]/ }0 L

; M0 q0 c5 Z6 q2 `) N$ o计算的 Matlab 程序如下：
( g6 R) M& W9 u1 I) i/ R- X3 ?' \+ g
clc,clear
y=[533.8  574.6  606.9  649.8   705.1  772.0  816.4  892.7  963.9  1015.1  1102.7]; m=length(y);   
n=[4,5];   %n 为移动平均的项数
for i=1:length(n)   
%由于 n 的取值不同，yhat 的长度不一致，下面使用了细胞数组   
    for j=1:m-n(i)+1         
2 F/ j( \( L- N5 _3 t3 J        yhat{i}(j)=sum(y(j:j+n(i)-1))/n(i);     
1 A3 N4 \& q9 b( W    end   
& A9 i/ ~$ O5 g' A    y12(i)=yhat{i}(end);     
. v) e2 T! j- a! Q    s(i)=sqrt(mean((y(n(i)+1:m)-yhat{i}(1:end-1)).^2));
+ T( d! j1 l; \; e2 h  |. eend
3 K3 c* g( [1 f# u6 S% ky12,s

加权移动平均法
3 ^9 j% @7 b: ^8 J/ S+ }在简单移动平均公式中，每期数据在求平均时的作用是等同的。但是，每期数据所包含的信息量不一样，近期数据包含着更多关于未来情况的信心。因此，把各期数据等同看待是不尽合理的，应考虑各期数据的重要性，对近期数据给予较大的权重，这就 是加权移动平均法的基本思想。
& f, T. ~' j8 E+ ?- w& c& p, L* {
4 [+ ^) L! ^7 V

3 Y8 l) ^3 M- G2 M9 O5 e7 g例 2  我国 1979～1988 年原煤产量如表 2 所示，试用加权移动平均法预测 1989 年 的产量

" ?+ ?( O$ d' O! T
2 T! m5 h3 i1 y# K* t& z! e' X
3 K$ r  _$ Y! b  c5 F' c

7 a' X/ m, G; |, C. m  |
2 x! h- w0 g& l. u5 H) O
# o1 u. b2 h: T6 h( Y
计算的 MATLAB 程序如下：
3 O# }* l5 j7 P3 O3 S4 Q! l
/ i5 A- C1 w5 i( q" e: R/ jy=[6.35 6.20    6.22    6.66    7.15    7.89    8.72    8.94    9.28    9.8];
. m. g, P+ c+ x8 Z  l* x' Kw=[1/6;2/6;3/6];
m=length(y);n=3;
for i=1:m-n+1     
    yhat(i)=y(i:i+n-1)*w;
3 D1 ^& ~7 p: d7 ]3 q$ _7 J4 Jend
/ Q" A* d6 r* W/ a! ?8 Y, Jyhat
8 y) ^7 d8 l7 S3 _err=abs(y(n+1:m)-yhat(1:end-1))./y(n+1:m)
; b( y; r. T. S) n1 i) ]& U1 n: m! RT_err=1-sum(yhat(1:end-1))/sum(y(n+1:m))
) D- s( y% a# L( ]" h* Ly1989=yhat(end)/(1-T_err)
1 [. Q4 A: R* Q& d: P) _
+ G3 V3 L7 m/ o+ q/ J5 d) ^$ \ 在加权移动平均法中,   的选择，同样具有一定的经验性。一般的原则是：近期 数据的权数大，远期数据的权数小。至于大到什么程度和小到什么程度，则需要按照预 测者对序列的了解和分析来确定。

1 |! \8 g$ S2 Q- ^! F: l趋势移动平均法
9 j9 J, a* f( S# b简单移动平均法和加权移动平均法，在时间序列没有明显的趋势变动时，能够准确 反映实际情况。但当时间序列出现直线增加或减少的变动趋势时，用简单移动平均法和 加权移动平均法来预测就会出现滞后偏差。因此，需要进行修正，修正的方法是作二次 移动平均，利用移动平均滞后偏差的规律来建立直线趋势的预测模型。这就是趋势移动平均法。  一次移动的平均数为
9 i4 z$ S+ T0 W% y* D


" ]+ k5 l3 n  U* j* p5 s# Z
) ^2 c, T+ s! H; p
- L  V% O' C5 v1 U4 R! N" H

8 k6 T; K- x& W! _) V例 3  我国 1965～1985 年的发电总量如表 3 所示，试预测 1986 年和 1987 年的发 电总量。

# _  x' `+ c' F3 S% e

解  由散点图 1 可以看出，发电总量基本呈直线上升趋势，可用趋势移动平均法 来预测。

# J# p2 L5 M3 E! M! L# ^

计算的 MATLAB 程序如下：
' |( m6 t5 {: j
clc,clear
# s% X( d& q$ o1 s* Hload y.txt   %把原始数据保存在纯文本文件 y.txt 中
m1=length(y);   
n=6;   %n 为移动平均的项数
for i=1:m1-n+1     
" ]9 N8 e8 p& V8 u    yhat1(i)=sum(y(i:i+n-1))/n;
end
yhat1
m2=length(yhat1);
$ [+ h, `$ m$ w1 K! S' {/ u, F7 rfor i=1:m2-n+1   
# b3 F, H+ }) u    yhat2(i)=sum(yhat1(i:i+n-1))/n;
' L$ e8 v2 T$ N& ~6 N6 U# v. s& Jend
yhat2   
plot(1:21,y,'*')
a21=2*yhat1(end)-yhat2(end)
  e$ S( H  g/ G* C) |8 eb21=2*(yhat1(end)-yhat2(end))/(n-1)
y1986=a21+b21
y1987=a21+2*b21

7 F, Q* w/ ^3 j9 J5 ?

" y; L( Z$ e# s趋势移动平均法对于同时存在直线趋势与周期波动的序列，是一种既能反映趋势变 化，又可以有效地分离出来周期变动的方法。

" R  ~' C' p' U9 U& v' k0 W
) g( r/ i1 ]5 w2 Q, a4 n9 s  |
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$ {  u, g4 {* C# }( t: `

9 N( }" l& W6 ?- {# v& w