时间序列模型 （二）：移动平均法

浅夏110

移动平均法 可以作为一种数据平滑的方式 ,以每天的气温数据为例，今天的天气可能与过去的十天的气温有线性关系；或者有的人对食物有一种节俭的美德，他们做的饭菜能看出有些是上一顿的，当然也有一部分是今天的做的，再假设隔两顿的都被倒掉了，并且每天都是这样的，那么这碗饭菜可能就是一部分上一顿的再加上一部分今天现做的，这就是一个一阶的移动平均。
/ |- ~6 @, I! S
移动平均法
3 ?5 t" C2 z2 S5 _移动平均法是根据时间序列资料逐渐推移，依次计算包含一定项数的时序平均数， 以反映长期趋势的方法。当时间序列的数值由于受周期变动和不规则变动的影响，起伏 较大，不易显示出发展趋势时，可用移动平均法，消除这些因素的影响，分析、预测序列的长期趋势。  移动平均法有简单移动平均法，加权移动平均法，趋势移动平均法等。
" S/ k5 ~! C1 y* ?; W( u
( u1 h0 p: g$ `; z- D% S2 o简单移动平均法
/ _1 \5 f2 q* r
+ U3 s, B) T# ?3 k  j
& B7 j# P* A6 {% W5 E8 F2 l
5 r! N0 R' p+ c4 t( |' q1 }% l3 v近N 期序列值的平均值作为未来各期的预测结果。一般 N 的取值范围： 5≤N≤ 200。当历史序列的基本趋势变化不大且序列中随机变动成分较多时，N 的 取值应较大一些。否则 N 的取值应小一些。在有确定的季节变动周期的资料中，移动平均的项数应取周期长度。选择佳 N 值的一个有效方法是，比较若干模型的预测误 差。预测标准误差小者为好。

简单移动平均法只适合做近期预测，而且是预测目标的发展趋势变化不大的情况。 如果目标的发展趋势存在其它的变化，采用简单移动平均法就会产生较大的预测偏差和滞后。

例 1  某企业 1 月～11 月份的销售收入时间序列如表 1 示。试用一次简单滑动平 均法预测第 12 月份的销售收入。


3 K% C3 C7 f# T* N, M
2 f" y- D/ H$ H& [5 S2 J
! {9 r7 ^3 V. U" s5 `! N0 F, c6 w, l
计算的 Matlab 程序如下：
" d) B  P. S! d8 O: l
# x+ \. t7 v: q' Jclc,clear
y=[533.8  574.6  606.9  649.8   705.1  772.0  816.4  892.7  963.9  1015.1  1102.7]; m=length(y);   
2 K( U1 ~7 p3 O1 J& N2 P: f n=[4,5];   %n 为移动平均的项数
! w4 M7 y/ S4 @+ F+ l! }for i=1:length(n)   
7 D# D6 W1 q+ _% } %由于 n 的取值不同，yhat 的长度不一致，下面使用了细胞数组   
    for j=1:m-n(i)+1         
        yhat{i}(j)=sum(y(j:j+n(i)-1))/n(i);     
7 F4 W. i% ]: r- ~8 O$ |    end   
    y12(i)=yhat{i}(end);     
2 f) v& l0 s& z1 V/ b6 y2 B    s(i)=sqrt(mean((y(n(i)+1:m)-yhat{i}(1:end-1)).^2));
% J1 ~- F3 t5 X3 Bend
+ D$ B6 ?8 e- Hy12,s

& P! h: j1 E: b4 @! X加权移动平均法
在简单移动平均公式中，每期数据在求平均时的作用是等同的。但是，每期数据所包含的信息量不一样，近期数据包含着更多关于未来情况的信心。因此，把各期数据等同看待是不尽合理的，应考虑各期数据的重要性，对近期数据给予较大的权重，这就 是加权移动平均法的基本思想。
, q5 D* P4 y: G* D! {


# f5 g& `5 v: V4 T% k例 2  我国 1979～1988 年原煤产量如表 2 所示，试用加权移动平均法预测 1989 年 的产量
$ [! h" {5 x% E3 ]
7 H2 Z" G' B% p9 g' s1 ?$ I
/ M5 Y8 g. W: w4 T7 Q, v


+ K7 ]8 \' `+ [) |2 H1 W1 V


, v' \  @5 h# g& c1 b计算的 MATLAB 程序如下：

, M! V9 Z% b$ V' g" `- }( Py=[6.35 6.20    6.22    6.66    7.15    7.89    8.72    8.94    9.28    9.8];
) G0 L: `1 m8 ew=[1/6;2/6;3/6];
+ l* C) `" d& a) w1 `0 f  I# Dm=length(y);n=3;
3 a: ^9 }7 @7 x/ i6 W6 K& x+ h' B8 rfor i=1:m-n+1     
- @- u  _  E; O) v2 S    yhat(i)=y(i:i+n-1)*w;
end
yhat
err=abs(y(n+1:m)-yhat(1:end-1))./y(n+1:m)
T_err=1-sum(yhat(1:end-1))/sum(y(n+1:m))
y1989=yhat(end)/(1-T_err)

在加权移动平均法中,   的选择，同样具有一定的经验性。一般的原则是：近期 数据的权数大，远期数据的权数小。至于大到什么程度和小到什么程度，则需要按照预 测者对序列的了解和分析来确定。

趋势移动平均法
. P2 A* |  h4 S) a) ]& L0 h( Q3 r! j0 \# R简单移动平均法和加权移动平均法，在时间序列没有明显的趋势变动时，能够准确 反映实际情况。但当时间序列出现直线增加或减少的变动趋势时，用简单移动平均法和 加权移动平均法来预测就会出现滞后偏差。因此，需要进行修正，修正的方法是作二次 移动平均，利用移动平均滞后偏差的规律来建立直线趋势的预测模型。这就是趋势移动平均法。  一次移动的平均数为


0 p4 f- y8 ~# ^; Z' P

0 m: V! @) R5 W- j! V4 i. ?+ ?
$ ~! h3 ?+ l& P8 H1 S" \8 M  w
& u( g4 P0 |9 P% _8 I7 B
) w3 ]+ ~9 i+ ]. A例 3  我国 1965～1985 年的发电总量如表 3 所示，试预测 1986 年和 1987 年的发 电总量。

, y( j, v! c/ b* T6 h  ~

解  由散点图 1 可以看出，发电总量基本呈直线上升趋势，可用趋势移动平均法 来预测。
; U2 ~& `: T# u3 I( N5 y- X
) B8 t2 G& Z6 ?( D7 t7 Q, K2 J
  f; G: K( m" w9 r3 ^
计算的 MATLAB 程序如下：
% r7 \& _2 v# j8 T9 j" N
clc,clear
load y.txt   %把原始数据保存在纯文本文件 y.txt 中
m1=length(y);   
3 @& H' q- L  U9 sn=6;   %n 为移动平均的项数
for i=1:m1-n+1     
! g. }2 k4 v" a+ H2 G) m* k; [: G    yhat1(i)=sum(y(i:i+n-1))/n;
end
% N/ U! ~3 j# a1 z3 D$ Syhat1
& F8 P, ~2 E. ], @m2=length(yhat1);
for i=1:m2-n+1   
    yhat2(i)=sum(yhat1(i:i+n-1))/n;
0 v+ C: q7 h8 R& tend
yhat2   
9 ~+ ?6 g6 s3 H0 ^0 Kplot(1:21,y,'*')
a21=2*yhat1(end)-yhat2(end)
7 q. G) y4 u* g- p) Z7 k5 ob21=2*(yhat1(end)-yhat2(end))/(n-1)
y1986=a21+b21
4 A( w$ x6 K6 P1 Z4 |* ky1987=a21+2*b21

: m* r0 P* ^1 N0 D& t: u

8 f: B7 X# Q& }趋势移动平均法对于同时存在直线趋势与周期波动的序列，是一种既能反映趋势变 化，又可以有效地分离出来周期变动的方法。
( `% {: [4 Q& ?9 m1 u* @


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