时间序列模型 （二）：移动平均法

浅夏110

移动平均法 可以作为一种数据平滑的方式 ,以每天的气温数据为例，今天的天气可能与过去的十天的气温有线性关系；或者有的人对食物有一种节俭的美德，他们做的饭菜能看出有些是上一顿的，当然也有一部分是今天的做的，再假设隔两顿的都被倒掉了，并且每天都是这样的，那么这碗饭菜可能就是一部分上一顿的再加上一部分今天现做的，这就是一个一阶的移动平均。

- g9 k9 ]( `9 z" x. y2 @移动平均法
移动平均法是根据时间序列资料逐渐推移，依次计算包含一定项数的时序平均数， 以反映长期趋势的方法。当时间序列的数值由于受周期变动和不规则变动的影响，起伏 较大，不易显示出发展趋势时，可用移动平均法，消除这些因素的影响，分析、预测序列的长期趋势。  移动平均法有简单移动平均法，加权移动平均法，趋势移动平均法等。
. l, \3 B. ~) j  S& ]7 j2 J/ V
简单移动平均法


  ~7 z; d8 k: b- @* c
近N 期序列值的平均值作为未来各期的预测结果。一般 N 的取值范围： 5≤N≤ 200。当历史序列的基本趋势变化不大且序列中随机变动成分较多时，N 的 取值应较大一些。否则 N 的取值应小一些。在有确定的季节变动周期的资料中，移动平均的项数应取周期长度。选择佳 N 值的一个有效方法是，比较若干模型的预测误 差。预测标准误差小者为好。

简单移动平均法只适合做近期预测，而且是预测目标的发展趋势变化不大的情况。 如果目标的发展趋势存在其它的变化，采用简单移动平均法就会产生较大的预测偏差和滞后。
+ H& P: h, U3 R5 w
例 1  某企业 1 月～11 月份的销售收入时间序列如表 1 示。试用一次简单滑动平 均法预测第 12 月份的销售收入。
  r6 K/ O; Z) Y  b6 g$ T  C
5 Y7 g: F. P) O% ~, x2 e+ b& u- H4 k
  E! B0 f: `7 X8 p/ R  t4 F* ~
" u* T. u" f' s1 V. |' p7 X# }

计算的 Matlab 程序如下：
( ~! c4 v- p' ?0 E( `
  j: v% E# @4 T( Iclc,clear
y=[533.8  574.6  606.9  649.8   705.1  772.0  816.4  892.7  963.9  1015.1  1102.7]; m=length(y);   
n=[4,5];   %n 为移动平均的项数
& |% M8 W, u" `% {for i=1:length(n)   
%由于 n 的取值不同，yhat 的长度不一致，下面使用了细胞数组   
% l  L) k3 N' X, u- i( q    for j=1:m-n(i)+1         
; l/ @, o& N0 T        yhat{i}(j)=sum(y(j:j+n(i)-1))/n(i);     
5 O4 G6 B. ^2 B) |% W    end   
! g8 {( [) q3 O3 B; q    y12(i)=yhat{i}(end);     
, m/ P, H0 p( s2 q$ u' V' E# h    s(i)=sqrt(mean((y(n(i)+1:m)-yhat{i}(1:end-1)).^2));
, [" G" b8 S* a& ^* |end
y12,s

! ^. i; X/ Y. j9 U$ i4 f4 r% i加权移动平均法
在简单移动平均公式中，每期数据在求平均时的作用是等同的。但是，每期数据所包含的信息量不一样，近期数据包含着更多关于未来情况的信心。因此，把各期数据等同看待是不尽合理的，应考虑各期数据的重要性，对近期数据给予较大的权重，这就 是加权移动平均法的基本思想。



例 2  我国 1979～1988 年原煤产量如表 2 所示，试用加权移动平均法预测 1989 年 的产量



! a1 ]/ m% [. b/ h
+ F! D! {  F. n- f
. b0 T5 k* v& \2 T: ?9 W! f! L


' X7 u7 X9 h6 ]: e3 E计算的 MATLAB 程序如下：
, K# U4 h; D6 c$ w" J- p9 Y
- u" O$ a3 p  ~. _) G  ?8 ^7 hy=[6.35 6.20    6.22    6.66    7.15    7.89    8.72    8.94    9.28    9.8];
w=[1/6;2/6;3/6];
5 `1 i1 i! s" Hm=length(y);n=3;
for i=1:m-n+1     
    yhat(i)=y(i:i+n-1)*w;
end
& W9 T* o! x- t: |* b% ?, k; ~; \yhat
+ G  A; u2 u) xerr=abs(y(n+1:m)-yhat(1:end-1))./y(n+1:m)
T_err=1-sum(yhat(1:end-1))/sum(y(n+1:m))
y1989=yhat(end)/(1-T_err)

在加权移动平均法中,   的选择，同样具有一定的经验性。一般的原则是：近期 数据的权数大，远期数据的权数小。至于大到什么程度和小到什么程度，则需要按照预 测者对序列的了解和分析来确定。

$ {+ J  Y. U! M' O7 J" h趋势移动平均法
简单移动平均法和加权移动平均法，在时间序列没有明显的趋势变动时，能够准确 反映实际情况。但当时间序列出现直线增加或减少的变动趋势时，用简单移动平均法和 加权移动平均法来预测就会出现滞后偏差。因此，需要进行修正，修正的方法是作二次 移动平均，利用移动平均滞后偏差的规律来建立直线趋势的预测模型。这就是趋势移动平均法。  一次移动的平均数为
+ w' u$ _- f/ c* ]! p# L6 x% o



! r2 r% Q6 U+ m( {; i


例 3  我国 1965～1985 年的发电总量如表 3 所示，试预测 1986 年和 1987 年的发 电总量。
( m4 V* c' q& Q! d+ `* F1 N

8 i& H6 G' X9 l" w$ j( j: w# W
解  由散点图 1 可以看出，发电总量基本呈直线上升趋势，可用趋势移动平均法 来预测。

; P3 q1 r, R* z' z

) V5 ?: \, V3 B7 d" Q! f0 V- x计算的 MATLAB 程序如下：

clc,clear
9 t3 f2 k7 K8 o- K/ Qload y.txt   %把原始数据保存在纯文本文件 y.txt 中
m1=length(y);   
6 T( P* E: k% P$ Z% Mn=6;   %n 为移动平均的项数
for i=1:m1-n+1     
# R8 M- |& @# e3 a    yhat1(i)=sum(y(i:i+n-1))/n;
end
+ _! E' c# E% R( j! g; D% p# A! lyhat1
m2=length(yhat1);
for i=1:m2-n+1   
    yhat2(i)=sum(yhat1(i:i+n-1))/n;
5 o5 V, L3 n8 [% r& [end
3 h) |4 G& t- Q( eyhat2   
5 e% S. V4 b, Y" G  @# t# @plot(1:21,y,'*')
9 x5 c1 d7 f) {: Y! \" Pa21=2*yhat1(end)-yhat2(end)
' @& q: v9 ]" G& f1 ~. vb21=2*(yhat1(end)-yhat2(end))/(n-1)
* v4 X0 W7 m" o( M$ Iy1986=a21+b21
+ a' {  h. Q$ Z: V: Hy1987=a21+2*b21
6 k7 P" |9 {2 |/ \, f. g* x
% v/ S* w4 a% v& o4 E' o

趋势移动平均法对于同时存在直线趋势与周期波动的序列，是一种既能反映趋势变 化，又可以有效地分离出来周期变动的方法。


) E* k! E9 f9 T" i" |
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5 G' m; S, U  k2 `
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' B! X7 g# w8 _' K