时间序列模型 （二）：移动平均法

浅夏110

移动平均法 可以作为一种数据平滑的方式 ,以每天的气温数据为例，今天的天气可能与过去的十天的气温有线性关系；或者有的人对食物有一种节俭的美德，他们做的饭菜能看出有些是上一顿的，当然也有一部分是今天的做的，再假设隔两顿的都被倒掉了，并且每天都是这样的，那么这碗饭菜可能就是一部分上一顿的再加上一部分今天现做的，这就是一个一阶的移动平均。
5 ~9 s3 G- G/ Q' v, o
, C% r  b) e- a移动平均法
移动平均法是根据时间序列资料逐渐推移，依次计算包含一定项数的时序平均数， 以反映长期趋势的方法。当时间序列的数值由于受周期变动和不规则变动的影响，起伏 较大，不易显示出发展趋势时，可用移动平均法，消除这些因素的影响，分析、预测序列的长期趋势。  移动平均法有简单移动平均法，加权移动平均法，趋势移动平均法等。

简单移动平均法
4 ^0 n( U6 g2 k9 D( e2 c2 v5 D


6 T- l% u% M/ N! ~$ O近N 期序列值的平均值作为未来各期的预测结果。一般 N 的取值范围： 5≤N≤ 200。当历史序列的基本趋势变化不大且序列中随机变动成分较多时，N 的 取值应较大一些。否则 N 的取值应小一些。在有确定的季节变动周期的资料中，移动平均的项数应取周期长度。选择佳 N 值的一个有效方法是，比较若干模型的预测误 差。预测标准误差小者为好。

) J9 G) j4 A; T简单移动平均法只适合做近期预测，而且是预测目标的发展趋势变化不大的情况。 如果目标的发展趋势存在其它的变化，采用简单移动平均法就会产生较大的预测偏差和滞后。

6 p* _) m& B# y$ I$ n* n+ b例 1  某企业 1 月～11 月份的销售收入时间序列如表 1 示。试用一次简单滑动平 均法预测第 12 月份的销售收入。
" M% }% G; B5 Z5 `
! K# e6 T1 B+ V  h
/ ~# M, Z2 S& K0 z
7 S3 e4 M4 f6 y) x1 Z
* V2 v% a. w3 `$ O3 r0 w8 P
7 _* k/ D5 i; B0 J计算的 Matlab 程序如下：

clc,clear
y=[533.8  574.6  606.9  649.8   705.1  772.0  816.4  892.7  963.9  1015.1  1102.7]; m=length(y);   
' ~2 u- M" B6 [: T* F0 O# n! x+ Z n=[4,5];   %n 为移动平均的项数
for i=1:length(n)   
' A; t  z% A& q- h6 B6 r %由于 n 的取值不同，yhat 的长度不一致，下面使用了细胞数组   
! I/ _$ I6 F& Y/ l5 B7 T    for j=1:m-n(i)+1         
. X: L) R0 Y+ o+ d& U8 ?* t        yhat{i}(j)=sum(y(j:j+n(i)-1))/n(i);     
: I+ p/ h" g8 n2 Z    end   
3 |- X: v( d. l7 N  l$ h    y12(i)=yhat{i}(end);     
    s(i)=sqrt(mean((y(n(i)+1:m)-yhat{i}(1:end-1)).^2));
end
y12,s

加权移动平均法
在简单移动平均公式中，每期数据在求平均时的作用是等同的。但是，每期数据所包含的信息量不一样，近期数据包含着更多关于未来情况的信心。因此，把各期数据等同看待是不尽合理的，应考虑各期数据的重要性，对近期数据给予较大的权重，这就 是加权移动平均法的基本思想。
9 a1 h5 M- I& [, `
/ j# {; u. ]  J% d3 z0 g& ]2 Q$ ^
2 z) H+ }3 g; Z$ K3 J, Y
3 S: F; T" f" ^% }9 o/ Q例 2  我国 1979～1988 年原煤产量如表 2 所示，试用加权移动平均法预测 1989 年 的产量
9 ?! c1 E: @$ D3 L, a3 i
# k, E; }% Y' D7 ]% r4 |( R' M


( z, @- R: a3 O7 O$ s



计算的 MATLAB 程序如下：
, d6 s+ f* I6 ^5 a3 U  K9 @
y=[6.35 6.20    6.22    6.66    7.15    7.89    8.72    8.94    9.28    9.8];
6 S7 [5 {5 L5 ]5 |) Y6 c" Dw=[1/6;2/6;3/6];
6 M% c, m; X; Km=length(y);n=3;
for i=1:m-n+1     
    yhat(i)=y(i:i+n-1)*w;
3 [0 K# ]; {3 T* `end
: b" ^9 z  ^0 r/ M: Ayhat
err=abs(y(n+1:m)-yhat(1:end-1))./y(n+1:m)
; ]# h$ M) S1 Y3 K- }. YT_err=1-sum(yhat(1:end-1))/sum(y(n+1:m))
3 U" Z% @& W! Z& M0 x- _y1989=yhat(end)/(1-T_err)
8 m# x. z! B; \9 G
) n6 ^8 u! F# z! r; w 在加权移动平均法中,   的选择，同样具有一定的经验性。一般的原则是：近期 数据的权数大，远期数据的权数小。至于大到什么程度和小到什么程度，则需要按照预 测者对序列的了解和分析来确定。

; M+ k  `# h, [: t, ^+ v7 X趋势移动平均法
简单移动平均法和加权移动平均法，在时间序列没有明显的趋势变动时，能够准确 反映实际情况。但当时间序列出现直线增加或减少的变动趋势时，用简单移动平均法和 加权移动平均法来预测就会出现滞后偏差。因此，需要进行修正，修正的方法是作二次 移动平均，利用移动平均滞后偏差的规律来建立直线趋势的预测模型。这就是趋势移动平均法。  一次移动的平均数为

+ j$ `( x9 h' b, X
" N5 P2 O2 d$ o) I
6 u( P6 S9 r8 ^
7 B7 E+ _) B* ]) N, `
- U+ O8 U8 n! }. G6 p  ?

例 3  我国 1965～1985 年的发电总量如表 3 所示，试预测 1986 年和 1987 年的发 电总量。
/ Z5 j$ u: ^, i+ L$ ?. Q
. [$ y- h/ ?2 w( J8 t: t( M( v

1 N% o( Q  O+ [0 g3 K解  由散点图 1 可以看出，发电总量基本呈直线上升趋势，可用趋势移动平均法 来预测。



7 T) }( s# L/ P# G5 B* C计算的 MATLAB 程序如下：
# C1 S' {* m& x1 J: t# S
) J' Q9 m  ?4 L& A( ^' W) [clc,clear
load y.txt   %把原始数据保存在纯文本文件 y.txt 中
m1=length(y);   
! A" [# ]; u2 g) p7 @n=6;   %n 为移动平均的项数
for i=1:m1-n+1     
    yhat1(i)=sum(y(i:i+n-1))/n;
% n/ E' d2 T# L/ U  I* Jend
+ ]: {8 F; Y4 Z* h0 Q! Jyhat1
m2=length(yhat1);
for i=1:m2-n+1   
    yhat2(i)=sum(yhat1(i:i+n-1))/n;
end
( J& N* {1 B7 V. _6 A0 ayhat2   
plot(1:21,y,'*')
( f  d3 g) {8 \5 U& ]' ]% e$ {# Ga21=2*yhat1(end)-yhat2(end)
5 f7 A) ]) i% U! \% N6 y" ob21=2*(yhat1(end)-yhat2(end))/(n-1)
y1986=a21+b21
, }) d4 |8 c0 |- c& j' ?9 Ry1987=a21+2*b21


% l: l$ V9 b( {
趋势移动平均法对于同时存在直线趋势与周期波动的序列，是一种既能反映趋势变 化，又可以有效地分离出来周期变动的方法。
2 ^/ a/ C, l: N, `
: J, ?* \6 s. N8 {& S2 Q  c
$ A1 p8 J2 E  {# ~# R" ?
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& Y5 K. |' q- v( w% \  Q4 b+ o原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89440426
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