时间序列模型 （二）：移动平均法

浅夏110

移动平均法 可以作为一种数据平滑的方式 ,以每天的气温数据为例，今天的天气可能与过去的十天的气温有线性关系；或者有的人对食物有一种节俭的美德，他们做的饭菜能看出有些是上一顿的，当然也有一部分是今天的做的，再假设隔两顿的都被倒掉了，并且每天都是这样的，那么这碗饭菜可能就是一部分上一顿的再加上一部分今天现做的，这就是一个一阶的移动平均。
& g2 H$ {0 R$ }1 {. x) K
) h, x3 @$ o4 q移动平均法
移动平均法是根据时间序列资料逐渐推移，依次计算包含一定项数的时序平均数， 以反映长期趋势的方法。当时间序列的数值由于受周期变动和不规则变动的影响，起伏 较大，不易显示出发展趋势时，可用移动平均法，消除这些因素的影响，分析、预测序列的长期趋势。  移动平均法有简单移动平均法，加权移动平均法，趋势移动平均法等。
# H- ~, q3 @+ m
  n5 W9 A6 Q, [0 ?- x( q5 B: u简单移动平均法


! w9 P, f1 i8 f
; W& ]8 s' P: l1 o- O' M. d; A近N 期序列值的平均值作为未来各期的预测结果。一般 N 的取值范围： 5≤N≤ 200。当历史序列的基本趋势变化不大且序列中随机变动成分较多时，N 的 取值应较大一些。否则 N 的取值应小一些。在有确定的季节变动周期的资料中，移动平均的项数应取周期长度。选择佳 N 值的一个有效方法是，比较若干模型的预测误 差。预测标准误差小者为好。
8 D4 W0 O# C' J9 b' O# I8 d$ _
2 g6 u5 Y3 M! k9 _' X+ k5 b( V1 N简单移动平均法只适合做近期预测，而且是预测目标的发展趋势变化不大的情况。 如果目标的发展趋势存在其它的变化，采用简单移动平均法就会产生较大的预测偏差和滞后。
- y) C, A: L1 f0 C3 T
例 1  某企业 1 月～11 月份的销售收入时间序列如表 1 示。试用一次简单滑动平 均法预测第 12 月份的销售收入。
$ X$ U+ p5 R* d: j: Q8 ]$ P7 Q


8 `" P! N5 v1 ], t

计算的 Matlab 程序如下：
8 h1 Z8 a5 V: a( v1 O5 l
clc,clear
6 T: A0 M; \/ V- }y=[533.8  574.6  606.9  649.8   705.1  772.0  816.4  892.7  963.9  1015.1  1102.7]; m=length(y);   
# |2 G! _4 B2 E# B2 g" _' r' {: N n=[4,5];   %n 为移动平均的项数
) h( O5 E  a$ q0 Y. Zfor i=1:length(n)   
%由于 n 的取值不同，yhat 的长度不一致，下面使用了细胞数组   
8 z3 y' i. v7 i    for j=1:m-n(i)+1         
+ e! G/ L# k# t5 u- z4 L) u) X        yhat{i}(j)=sum(y(j:j+n(i)-1))/n(i);     
    end   
    y12(i)=yhat{i}(end);     
) n8 ~* E; O7 k3 c0 ]    s(i)=sqrt(mean((y(n(i)+1:m)-yhat{i}(1:end-1)).^2));
end
+ m) b: R  l! }- v3 l/ y* q' N8 fy12,s

2 o, y  a" ^+ p+ G加权移动平均法
在简单移动平均公式中，每期数据在求平均时的作用是等同的。但是，每期数据所包含的信息量不一样，近期数据包含着更多关于未来情况的信心。因此，把各期数据等同看待是不尽合理的，应考虑各期数据的重要性，对近期数据给予较大的权重，这就 是加权移动平均法的基本思想。



( E+ }+ [  i, v3 q例 2  我国 1979～1988 年原煤产量如表 2 所示，试用加权移动平均法预测 1989 年 的产量
% s3 k) Z' ]8 ?( S& d



' T1 l! C, F1 Y4 W5 B


# J8 n7 d# Y. L* K' A) T8 R
计算的 MATLAB 程序如下：
% E3 }9 _& K* a) s( r; ^0 f
( F, u5 p4 Y% R  w) Ty=[6.35 6.20    6.22    6.66    7.15    7.89    8.72    8.94    9.28    9.8];
2 f' \( Y& q" R% o( F9 {w=[1/6;2/6;3/6];
2 o! n1 a, ?( U) J2 O3 _1 H1 p+ ]" Fm=length(y);n=3;
1 u! L$ i4 ^# Lfor i=1:m-n+1     
    yhat(i)=y(i:i+n-1)*w;
  t; V  `: u6 y) r  Xend
yhat
err=abs(y(n+1:m)-yhat(1:end-1))./y(n+1:m)
( H0 e8 u' t: v$ P& ^$ _; o; p2 P* [T_err=1-sum(yhat(1:end-1))/sum(y(n+1:m))
! K( \' l) g2 U5 d& x& w; z) f: S( O8 Ly1989=yhat(end)/(1-T_err)

在加权移动平均法中,   的选择，同样具有一定的经验性。一般的原则是：近期 数据的权数大，远期数据的权数小。至于大到什么程度和小到什么程度，则需要按照预 测者对序列的了解和分析来确定。

, n7 D. [6 R8 i) i1 d6 G" m趋势移动平均法
. g8 A5 K+ _7 p简单移动平均法和加权移动平均法，在时间序列没有明显的趋势变动时，能够准确 反映实际情况。但当时间序列出现直线增加或减少的变动趋势时，用简单移动平均法和 加权移动平均法来预测就会出现滞后偏差。因此，需要进行修正，修正的方法是作二次 移动平均，利用移动平均滞后偏差的规律来建立直线趋势的预测模型。这就是趋势移动平均法。  一次移动的平均数为
# Z$ z: e/ [; Y
5 I' ?2 j  p! k" V/ t, _/ |3 r

3 I: h4 c2 @9 Z9 d$ z6 M& s



* `& Q( T9 m5 H/ C" Q0 a) u例 3  我国 1965～1985 年的发电总量如表 3 所示，试预测 1986 年和 1987 年的发 电总量。
4 h) z7 i: |* P- \4 @+ H( {


解  由散点图 1 可以看出，发电总量基本呈直线上升趋势，可用趋势移动平均法 来预测。
& ~" \3 B( D9 S0 n
, o) Q: Y) Z% g: {$ k/ H6 ]

计算的 MATLAB 程序如下：

- r( k* Q" I' R' |" w* g, hclc,clear
load y.txt   %把原始数据保存在纯文本文件 y.txt 中
m1=length(y);   
* V* F  @. r2 \/ A  q3 A) pn=6;   %n 为移动平均的项数
; ^4 b6 f% a) a( n4 T  E% t& Jfor i=1:m1-n+1     
    yhat1(i)=sum(y(i:i+n-1))/n;
end
yhat1
m2=length(yhat1);
for i=1:m2-n+1   
4 a2 W1 M2 f* j. A7 F% i    yhat2(i)=sum(yhat1(i:i+n-1))/n;
end
0 f+ m5 _( c" c, _: H0 yyhat2   
2 [9 M- |6 E' @5 lplot(1:21,y,'*')
a21=2*yhat1(end)-yhat2(end)
* \; j+ B) D! M- L) r3 K8 M  f, }3 gb21=2*(yhat1(end)-yhat2(end))/(n-1)
y1986=a21+b21
9 \! D7 I1 Q- v( f/ K# e# ~( qy1987=a21+2*b21



4 z. S3 ^7 W* {! E2 K& V/ O趋势移动平均法对于同时存在直线趋势与周期波动的序列，是一种既能反映趋势变 化，又可以有效地分离出来周期变动的方法。
+ U2 y. Z9 g, E; d. o4 s% @


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4 ^5 {: @. C& r/ D) V- x6 B原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89440426
% w- z3 F" E" B% B7 M+ p+ f

  r0 c2 j! U5 N# L