时间序列模型 （二）：移动平均法

浅夏110

移动平均法 可以作为一种数据平滑的方式 ,以每天的气温数据为例，今天的天气可能与过去的十天的气温有线性关系；或者有的人对食物有一种节俭的美德，他们做的饭菜能看出有些是上一顿的，当然也有一部分是今天的做的，再假设隔两顿的都被倒掉了，并且每天都是这样的，那么这碗饭菜可能就是一部分上一顿的再加上一部分今天现做的，这就是一个一阶的移动平均。
' D- `! c2 V0 N; g
: \! `1 k7 N$ l1 G/ P1 V- Z0 ^移动平均法
5 {0 ~: p% M2 b  F; |移动平均法是根据时间序列资料逐渐推移，依次计算包含一定项数的时序平均数， 以反映长期趋势的方法。当时间序列的数值由于受周期变动和不规则变动的影响，起伏 较大，不易显示出发展趋势时，可用移动平均法，消除这些因素的影响，分析、预测序列的长期趋势。  移动平均法有简单移动平均法，加权移动平均法，趋势移动平均法等。
8 m. L% N5 B7 e- F% T4 U0 R: @
简单移动平均法



近N 期序列值的平均值作为未来各期的预测结果。一般 N 的取值范围： 5≤N≤ 200。当历史序列的基本趋势变化不大且序列中随机变动成分较多时，N 的 取值应较大一些。否则 N 的取值应小一些。在有确定的季节变动周期的资料中，移动平均的项数应取周期长度。选择佳 N 值的一个有效方法是，比较若干模型的预测误 差。预测标准误差小者为好。
, n: p, q! V% L  @4 q- R1 Y2 D% |% `, ]
简单移动平均法只适合做近期预测，而且是预测目标的发展趋势变化不大的情况。 如果目标的发展趋势存在其它的变化，采用简单移动平均法就会产生较大的预测偏差和滞后。
9 J6 ]" ]' `6 W; L! ~. d0 ^
& R$ L" q( t, C  K例 1  某企业 1 月～11 月份的销售收入时间序列如表 1 示。试用一次简单滑动平 均法预测第 12 月份的销售收入。

5 e, y! ?" Q1 _  j
7 C- X0 Y7 [: d6 U- v/ D


4 J! h$ g0 t: j6 T9 a计算的 Matlab 程序如下：

  S# `0 o$ `4 S- k: Qclc,clear
y=[533.8  574.6  606.9  649.8   705.1  772.0  816.4  892.7  963.9  1015.1  1102.7]; m=length(y);   
: f) r/ I  E3 q n=[4,5];   %n 为移动平均的项数
for i=1:length(n)   
! F3 b, i  z9 @' t# I- i: O %由于 n 的取值不同，yhat 的长度不一致，下面使用了细胞数组   
; O& K/ |% q; D4 [* W! `& p    for j=1:m-n(i)+1         
8 v* ^+ h5 {0 g6 p2 f9 `        yhat{i}(j)=sum(y(j:j+n(i)-1))/n(i);     
    end   
    y12(i)=yhat{i}(end);     
! ^# G- {% q0 K" l+ X% S- V1 g3 J0 }    s(i)=sqrt(mean((y(n(i)+1:m)-yhat{i}(1:end-1)).^2));
end
' h6 i5 i& o. V/ W8 S/ hy12,s

加权移动平均法
$ J' `; u3 i0 J9 ?4 b( V在简单移动平均公式中，每期数据在求平均时的作用是等同的。但是，每期数据所包含的信息量不一样，近期数据包含着更多关于未来情况的信心。因此，把各期数据等同看待是不尽合理的，应考虑各期数据的重要性，对近期数据给予较大的权重，这就 是加权移动平均法的基本思想。
0 f' L+ t0 F& U  I. S. o9 o
- [) p) }; I+ j: d( Y8 l4 n: `
  A3 l- w6 N+ P( f( N
  _1 E! U) [) v' s, N: ?$ h% \3 i例 2  我国 1979～1988 年原煤产量如表 2 所示，试用加权移动平均法预测 1989 年 的产量




; r2 M8 T+ t6 E  ]) }


# H- q9 g$ U/ I$ E; o
  D" G" f, p! b0 e6 v: `1 N) \计算的 MATLAB 程序如下：

) E) n' w) M8 Y/ {y=[6.35 6.20    6.22    6.66    7.15    7.89    8.72    8.94    9.28    9.8];
2 M3 A/ C1 d: I* v! gw=[1/6;2/6;3/6];
- b* r9 b0 S3 z6 q+ H; A- qm=length(y);n=3;
( ^; p, E$ N. t! A5 {- r: Bfor i=1:m-n+1     
8 o. k6 M& N+ S& S+ y/ H9 y    yhat(i)=y(i:i+n-1)*w;
/ M; l& F3 t; S5 lend
5 }1 n7 t& z, X1 ^" ?yhat
$ p- r/ S$ d. Q* }! x0 T  \3 Derr=abs(y(n+1:m)-yhat(1:end-1))./y(n+1:m)
T_err=1-sum(yhat(1:end-1))/sum(y(n+1:m))
y1989=yhat(end)/(1-T_err)

4 Z% U; G* G! b6 O 在加权移动平均法中,   的选择，同样具有一定的经验性。一般的原则是：近期 数据的权数大，远期数据的权数小。至于大到什么程度和小到什么程度，则需要按照预 测者对序列的了解和分析来确定。
0 E" R9 ]; G9 ], M1 l6 \' U2 }0 X
趋势移动平均法
简单移动平均法和加权移动平均法，在时间序列没有明显的趋势变动时，能够准确 反映实际情况。但当时间序列出现直线增加或减少的变动趋势时，用简单移动平均法和 加权移动平均法来预测就会出现滞后偏差。因此，需要进行修正，修正的方法是作二次 移动平均，利用移动平均滞后偏差的规律来建立直线趋势的预测模型。这就是趋势移动平均法。  一次移动的平均数为
* C6 z2 w4 \9 M- n+ K

, Y. G2 A8 y* v

# i, t# q' F* j! _% ~- _
( X  k" V8 b) L

例 3  我国 1965～1985 年的发电总量如表 3 所示，试预测 1986 年和 1987 年的发 电总量。
# M. l9 d0 v8 S2 g0 o  c' H2 Z
2 n  s5 e4 ~2 A+ v) ]& j4 |  s

: U1 q; G8 |: e, k/ Y解  由散点图 1 可以看出，发电总量基本呈直线上升趋势，可用趋势移动平均法 来预测。
# T  \* _: c! y3 s. ^

" j! F0 ^. B3 ~! p: g% w
2 Z* ]3 \2 C; O) l- H* t. v8 R6 X计算的 MATLAB 程序如下：

. C/ @8 l! A2 d& v& _clc,clear
* M3 ]. g1 F2 q& K; v3 wload y.txt   %把原始数据保存在纯文本文件 y.txt 中
  B$ {6 D1 T" u2 J- t4 S" _m1=length(y);   
n=6;   %n 为移动平均的项数
for i=1:m1-n+1     
    yhat1(i)=sum(y(i:i+n-1))/n;
end
yhat1
m2=length(yhat1);
for i=1:m2-n+1   
    yhat2(i)=sum(yhat1(i:i+n-1))/n;
end
! d. `  u  ~4 M' Y, O2 Eyhat2   
5 R. q' ^' i' v( H+ @- xplot(1:21,y,'*')
a21=2*yhat1(end)-yhat2(end)
5 D* I9 L0 D& w2 ib21=2*(yhat1(end)-yhat2(end))/(n-1)
3 W$ S+ B' J; s4 v2 ]3 @. Fy1986=a21+b21
9 F. `2 v# ~- S; t% r9 My1987=a21+2*b21
- i" V$ `3 k8 O: J/ q


! `' t' N. N6 ]% ~  D趋势移动平均法对于同时存在直线趋势与周期波动的序列，是一种既能反映趋势变 化，又可以有效地分离出来周期变动的方法。

' P% Z& M% Y, O3 v6 ?

  g2 J# [1 M8 |! E+ F% W* I————————————————
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