差分方程模型（一）：模型介绍与Z变换

浅夏110

1 差分方程简介
7 y! z9 @  n0 @! p

3 i4 ?* \4 o( h; K* b( c* u! u

满足一差分方程的序列 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。
. I$ k( F$ l( s; M
n 阶常系数线性差分方程及求解


5 P$ t+ Q: t9 q$ c' w  A- a9 q/ A
: i$ u6 [) S1 O6 N9 L( {. e  l
% {0 d4 j0 ]1 T& e/ w' |5 s8 X
两个例题
7 [7 X$ _7 `' s1 W; ^- }& g
  |( c$ o! m' b8 Q, X# }3 _# p; o


解的稳定性
% h) ~5 P4 M0 t3 L! q0 d
1 ]3 Q, b# p! @
) h* Q. G0 A/ u3 R: x5 B+ Y4 @
) O% F& l& a' P程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。
1 ^- m7 L* f, {, D; i* I" I3 x- h
5 k& o: c! \! |) R; V$ A

2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法
常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。

1 O2 e! G) v% n
5 ~) r( X* c' D
2.1 几个常用离散函数的 Z 变换
% O, {4 a- F4 k+ f（i）单位冲激函数δ (k) 的 Z 变换
" D( b* g. Q! k
2 D& k% j( s9 a/ \- q1 y9 Z3 V
' Q+ Y: T( s( ^! `+ v! J
（ii）单位阶跃函数U(k) 的 Z 变换
$ J% J- [- Y3 }
- Z+ f4 S' t9 k1 u: L. z

5 b6 A$ A" R) w% H% S7 R（iii）单边指数函数   的 Z 变换（a 为不等于 1 的正常数）
1 a5 l/ s8 P0 m

* H8 q+ P7 |0 d
  b4 n5 j/ d" F* m. y, A( ?2.2    Z 变换的性质
5 u8 p2 P9 n7 V) H$ r& k（i）线性性质
1 H- t3 ?0 W  {  N+ F2 S) l
5 D) q+ O5 O/ p$ v) J& \5 @
- {8 j6 B. o8 Z% i2 z
（ii）平移性



' G5 H+ i5 I4 x8 O- B
例 3  求齐次差分方程


5 ?* X: t4 P4 `+ ?, t7 N8 n. z/ R
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4 o; k# m9 {% D; g- o/ G