差分方程模型（一）：模型介绍与Z变换

浅夏110

1 差分方程简介
" S, c, ?1 R9 S5 }1 u: j; f

9 U( N) Y. T6 j( a. u
( y+ S" P6 }5 G1 c% K( o6 ^% U
满足一差分方程的序列 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。
' ^4 }& q% U8 T+ U0 ?
- w0 B% E  O6 s n 阶常系数线性差分方程及求解


- Z8 s, c, P1 \9 X; @* a

6 [5 s* v/ o% Y* s1 [6 ~$ m) q
* [2 `' L3 i$ v9 i+ s4 m$ q两个例题
# o" B) n, X4 o) V! c4 c

8 p& ?! F: n6 V* M5 y# X  N

. M% B4 R% k% M. l9 c% r解的稳定性

/ w% q  [5 }& S+ _" i

: d: M4 K9 u1 x0 r程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。
8 z) B9 D" t6 H* a: g) m6 a6 j

- O5 h7 T$ X  y8 }# y4 {+ S
2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法
常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。

4 E6 ^: D- R  Q: o! Z7 b* p
0 p, B& D4 ?1 p+ O# T
2 J/ x4 F' S4 Z1 o2.1 几个常用离散函数的 Z 变换
8 n: D+ w5 [: M7 t: J- c: R6 f（i）单位冲激函数δ (k) 的 Z 变换
. }' c# V& j1 @4 e5 W


（ii）单位阶跃函数U(k) 的 Z 变换

' ?* Y1 h( n" x1 W
3 v9 g9 I5 W9 E0 o' p& ~5 x
4 h/ d+ Z& a' h  u' o（iii）单边指数函数   的 Z 变换（a 为不等于 1 的正常数）
' D4 L& a2 K( ?7 k5 z/ E9 J- a0 P


2.2    Z 变换的性质
（i）线性性质
& T1 \2 Y5 B# u/ z

3 n3 D, |2 d! n% o) O
6 M/ m( Q- P; ^+ }4 e（ii）平移性
" Z8 F$ T# H& f- ]0 a+ x
5 }$ V8 q0 k8 P, m
" W3 z6 S" C3 f* F% M( _
- v' ]4 O/ W9 T& Q/ \/ s
4 h1 J: o/ n; w3 f2 R4 `# F例 3  求齐次差分方程



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' a0 ^1 t) A" d+ _9 F$ W