差分方程模型（一）：模型介绍与Z变换

浅夏110

1 差分方程简介
+ v6 [' x7 D/ y" [* S, k
* Z9 q6 H4 D  B8 p
, C" ~! ~1 |7 U7 z( ]2 J( @
7 E3 u2 l. q3 x# A
满足一差分方程的序列 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。
; C$ Z8 I2 `$ k$ D
n 阶常系数线性差分方程及求解
' ]1 C+ u  P) o: Z* z& A



# S: ^6 v! w' z* T
9 x3 X; y* p$ p( u0 g两个例题

; p$ R4 E: J. n6 \2 [
" j  K: k2 D) m( J% n8 ?) A1 t0 y6 g
' y$ A/ [  T' a7 V9 f9 R
解的稳定性
" @7 F& ]1 p' K2 u( p+ a- k
& x" ]5 U7 X! L% V( @! B
5 }, Y& d4 \5 Y& ^( ?' p, Q
8 R4 \, K/ }' A0 _/ F# _程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。
* _" q7 K4 h3 X% o, P% a# b5 q7 ~( I


2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法
  F* m2 x/ I  E- c$ h/ w2 H  G( d常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。
- ~( J. o' `0 _0 l; u
. _. J0 \/ c( y  w2 J3 B! R
' A" i1 g( i) H4 d) i8 m  P6 {7 D/ ?
9 D; g9 ]0 O$ z; a3 S1 u, D: C2.1 几个常用离散函数的 Z 变换
（i）单位冲激函数δ (k) 的 Z 变换


8 _+ L+ `% Z- r& ~2 [# M! i( K1 X
（ii）单位阶跃函数U(k) 的 Z 变换

; p9 [: I) x, C8 i) X
$ [4 m6 [. T3 \' R2 R
2 i8 k  g1 ]3 Z1 [（iii）单边指数函数   的 Z 变换（a 为不等于 1 的正常数）
6 W* R0 J' |9 z& U

# s$ I- _8 I# W. F& B8 g
2.2    Z 变换的性质
% m$ w, T# X9 l4 Y（i）线性性质

( Z# v2 Z+ [$ R2 }, K+ S& E
' |& Z" N9 a/ L  f9 m, ]3 z
（ii）平移性


. ~: F2 y$ Y, v0 f3 g
) O% Z6 A6 e" D' a* a
+ r4 G+ ]1 o' Y& w  M例 3  求齐次差分方程
9 {0 Z# ?' g6 J1 M+ B% O4 K
1 W3 U" m  g0 e; X6 Y4 M5 i/ H

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1 n3 N! `6 I& \7 I