差分方程模型（一）：模型介绍与Z变换

浅夏110

1 差分方程简介
, X. \3 A  {. n5 f4 V
, q. A* W" a6 W
! S2 e6 M! r, h. g

) f) G% r& b$ K* `, c4 ~( n满足一差分方程的序列 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。

' k3 b+ q; E! Q1 t$ s2 B n 阶常系数线性差分方程及求解
* Q6 z* E. ?$ X  M) }. [

( F5 G0 D- _) I
% D7 S0 d. z5 r1 T9 n

两个例题




$ W# t9 c$ `" N+ E( l* D0 o解的稳定性
9 s8 {$ D* }/ n+ [) {( Z


3 q) p" p+ r4 H程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。
- C5 L7 `* v7 n

3 C, X; l7 i; g6 ?9 y
  N" p; _. ~) z) B3 Z2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法
常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。

& W" l7 N( c; o$ g6 A! [' ~2 L, P

2.1 几个常用离散函数的 Z 变换
（i）单位冲激函数δ (k) 的 Z 变换
6 r3 c; Y0 f, Y  _- l
' H  [% b) T1 X4 v$ v/ S2 V
" _" w& l1 a/ k
（ii）单位阶跃函数U(k) 的 Z 变换
0 ^7 ?; Q" r* u0 P8 S2 c

+ k' x5 W9 X/ E. Q4 c- }& }
3 b9 s5 `2 j' O9 Z/ w7 A/ L* ^$ H- Z（iii）单边指数函数   的 Z 变换（a 为不等于 1 的正常数）
$ x8 h; `) C4 c! F  U' u
& x. f% O$ I0 n" d3 o
9 i, d9 o' P/ ]/ y# u
" S: \, G; x) p% v& N! T2.2    Z 变换的性质
8 R0 e1 F- H$ d" P6 s（i）线性性质

! U- N6 |& H& J3 B" }9 l

（ii）平移性

% s/ [; Q5 ~9 H% {/ K: T9 D


8 ^% v: a) ]) j例 3  求齐次差分方程



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4 a9 l- z" C! i! ~1 I