差分方程模型(四）：遗传模型

浅夏110

1 常染色体遗传模型
/ [( z* c. t# h. r/ X常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对， 基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基因 A 和 a 控制的，那么 就有三种基因对，记为 AA, Aa,aa 。例如，金鱼草由两个遗传基因决定花的颜色，基 因型是 AA的金鱼草开红花， Aa 型的开粉红色花，而 aa 型的开白花。又如人类眼睛 的颜色也是通过常染色体遗传控制的。基因型是 AA或 Aa 的人，眼睛为棕色，基因型 是aa 的人，眼睛为蓝色。这里因为 AA和 Aa 都表示了同一外部特征，我们认为基因 A 支配基因a ，也可以认为基因a 对于 A 来说是隐性的。当一个亲体的基因型为 Aa ，而 另一个亲体的基因型是aa 时，那么后代可以从aa 型中得到基因a ，从 Aa 型中或得到 基因 A ，或得到基因a 。这样，后代基因型为 Aa 或 aa 的可能性相等。下面给出双亲 体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率，如下表所示。

. J. Y8 x& O6 g$ u

0 D3 x1 w5 j1 m1 S  \例 5 农场的植物园中某种植物的基因型为 AA, Aa 和 aa 。农场计划采用 AA型的 植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任 一代的三种基因型分布如何？

, C* K% X3 @8 J0 M1 g2 x0 A（a）假设
令n = 0,1,2,...。




* [# X1 s( r! @5 c9 N' W
9 s# s; H% |- N& a( X（b）建模
) l) y1 @- N( e/ S4 P# H* [! j
9 y. Z% Y$ T8 i9 \/ i5 G' M. W  _


& s5 b7 ?3 n7 A9 L% C: [& |- d
/ Y6 i, j( B. W; b- Q' n
编写如下 Matlab 程序：
- Z5 ~; {# C6 [% I. C$ V
. s  e8 I( X: A, Vsyms n a0 b0 c0
- ~  S* o  W1 x: B5 K( [$ X, [M=sym('[1,1/2,0;0,1/2,1;0,0,0]');
[p,lamda]=eig(M);
x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0]；
x=simple(x)
0 K8 H, O' w5 N. O6 z

2 n: f( d8 Q! q0 D9 k! [
( I# I  h9 `0 S! A5 E* g- l" O5 X

即在极限的情况下，培育的植物都是 AA型。

（c）模型的讨论

若在上述问题中，不选用基因 AA型的植物与每一植物结合，而是将具有相同基因 型植物相结合，那么后代具有三种基因型的概率如下表所示。

编写如下 Matlab 程序：

syms n a0 b0 c0
M=sym('[1,1/4,0;0,1/2,0;0,1/4,1]');
" B, F% G2 K) m% }" u6 h+ o! x* [[p,lamda]=eig(M);
x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0];
x=simple(x)

/ c; ]% ~: ^8 _2 ?4 b

2 常染色体隐性病模型
现在世界上已经发现的遗传病有将近 4000 种。在一般情况下，遗传病与特殊的种 族、部落及群体有关。例如，遗传病库利氏贫血症的患者以居住在地中海沿岸为多，镰 状网性贫血症一般流行在黑人中，家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间。患者经 常未到成年就痛苦地死去，而他们的父母则是疾病的病源。假若我们能识别这些疾病的 隐性患者，并且规定两个隐性患者不能结合（因为两个隐性患者结合，他们的后代就可 能成为显性患者），那么未来的儿童，虽然有可能是隐性患者，但决不会出现显性特征， 不会受到疾病的折磨。现在，我们考虑在控制结合的情况下，如何确定后代中隐性患者 的概率。
! i% b, x  [) a# ~# _2 U9 z
2 g/ [' Y" |+ [- ?8 Y  [（a）假设
（i）常染色体遗传的正常基因记为 A ，不正常基因记为a ，并以 AA, Aa,aa 分别 表示正常人，隐性患者，显性患者的基因型。
% h8 W3 i& f, L
* |$ o4 U$ ^4 \( z" [

（b）建模
( [5 F& v; H! E5 H

! S8 N, _1 Q+ V3 H, Y) b& k
: n7 b! r# g2 W/ z% v


; \, d1 C* L7 ^（c）模型讨论
研究在随机结合的情况下，隐性患者的变化是很有意思的，但随机结合导致了非线 性化问题，超出了本章范围，然而用其它技巧，在随机结合的情况下可以把（24）式改写为
, R- S! H. G. P5 O7 X# A: h7 z

' _4 i0 `" p$ C
下面给出数值的例子： 某地区有 10%的黑人是镰状网性贫血症隐性患者，如果控制结合，根据（24）式 可知下一代（大约 27 年）的隐性患者将减少到 5%；如果随机结合，根据（25）式， 可以预言下一代人中有 9.5%是隐性患者，并且可计算出大约每出生 400 个黑人孩子， 其中有一个是显性患者。
. K+ D$ k/ ^' Z: g) r
3   X − 链遗传模型
X − 链遗传是指雄性具有一个基因 A 或a ，雌性具有两个基因 AA，或 Aa ，或 aa 。 其遗传规律是雄性后代以相等概率得到母体两个基因中的一个，雌性后代从父体中得到 一个基因，并从母体的两个基因中等可能地得到一个。下面，研究与 X − 链遗传有关 的近亲繁殖过程。

; O6 c; [9 j2 q1 E（a）假设
（i）从一对雌雄结合开始，在它们的后代中，任选雌雄各一个成配偶，然后在它 们产生的后代中任选两个结成配偶。如此继续下去。

: L7 ]/ m) S* l, L（ii）父体与母体的基因型组成同胞对，同胞对的形式有 (A, AA) ， (A, Aa) ， (A,aa) ， (a, AA) ，(a, Aa) ，(a,aa) 六种。初始一对雌雄的同胞对，是这六种类型 中的任一种，其后代的基因型如下表所示。


+ M! o' z3 e/ E% S



3 p- {  w& ~1 @* x$ l+ a+ E
2 V" i) ^2 ?/ l% h9 R
2 _' q  s- n" G* J4 c  G; |编写如下 Matlab 程序：
7 y9 n' n& |& a* A. }0 N" q
syms n a0 b0 c0 d0 e0 f0
) @7 S3 T+ e: rM=[1 1/4 0 0 0 0;0 1/4 0 1 1/4 0;0 0 0 0 1/4 0;
0 1/4 0 0 0 0;0 1/4 1 0 1/4 0;0 0 0 0 1/4 1];
9 z. ]4 P  d/ A. z9 @$ \, Y- g# `M=sym(M);
[p,lamda]=eig(M);
) Y) u1 I3 ^& @- `/ R: b! Fx=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0;d0;e0;f0];
x=simple(x)
/ n' H7 x% Z+ C0 G$ X" D
; J4 f' F5 @! k+ X! U# x1 l9 ]由上述程序计算结果可以看出

) U$ d) ]# P* `# ~; j

. w3 X' X3 R# [, l% f' Q# n习 题
1. （汉诺塔问题）n 个大小不同的圆盘依其半径大小依次套在桩 A 上，大的在下， 小的在上。现要将此 n 个盘移到空桩 B 或C 上，但要求一次只能移动一个盘且移动过 程中，始终保持大盘在下，小盘在上。移动过程中桩 A 也可利用。设移动 n 个盘的次 数为  ，试建立关于  的差分方程，并求  的通项公式。

( k  P( f1 C4 m4 f2 |2. 设第一月初有雌雄各一的一对小兔。假定两月后长成成兔，同时（即第三月） 开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增小兔也按此规律繁殖。设第n 月末共有  对 兔子，试建立关于  的差分方程，并求  的通项公式。
" {4 v- R2 S- k6 A' I. [  S9 D
3. 在常染色体遗传的问题中，假设植物总是和基因型是 Aa 的植物结合。求在第n 代中，基因型为 AA, Aa 和 aa 的植物的百分率，并求当 n 趋于无穷大时，基因型分布 的极限。



* c. _* j3 n, e7 X$ h
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