差分方程模型(四）：遗传模型

浅夏110

1 常染色体遗传模型
! K/ ~8 d$ G: h& C1 R* H常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对， 基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基因 A 和 a 控制的，那么 就有三种基因对，记为 AA, Aa,aa 。例如，金鱼草由两个遗传基因决定花的颜色，基 因型是 AA的金鱼草开红花， Aa 型的开粉红色花，而 aa 型的开白花。又如人类眼睛 的颜色也是通过常染色体遗传控制的。基因型是 AA或 Aa 的人，眼睛为棕色，基因型 是aa 的人，眼睛为蓝色。这里因为 AA和 Aa 都表示了同一外部特征，我们认为基因 A 支配基因a ，也可以认为基因a 对于 A 来说是隐性的。当一个亲体的基因型为 Aa ，而 另一个亲体的基因型是aa 时，那么后代可以从aa 型中得到基因a ，从 Aa 型中或得到 基因 A ，或得到基因a 。这样，后代基因型为 Aa 或 aa 的可能性相等。下面给出双亲 体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率，如下表所示。


) e! U  ?" B) Z7 N6 @
例 5 农场的植物园中某种植物的基因型为 AA, Aa 和 aa 。农场计划采用 AA型的 植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任 一代的三种基因型分布如何？
( A) \& q" E2 j1 n
# }+ X6 u) D3 Y5 c; i) Z6 p（a）假设
令n = 0,1,2,...。


. r7 T" F/ V  N" ]6 n: J" Z
0 M6 y, m& r3 c0 Z

（b）建模

$ p1 k3 n- }" L
/ g6 A# x5 G# V2 _
' c1 J+ H( g% V% ~


编写如下 Matlab 程序：

- m- l, m$ X# l5 lsyms n a0 b0 c0
M=sym('[1,1/2,0;0,1/2,1;0,0,0]');
3 X6 H1 d2 y7 f% x! E4 n0 l[p,lamda]=eig(M);
( P1 f( }+ p& t8 }7 r+ q0 [x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0]；
x=simple(x)
8 \8 |, U: p/ j% D: ?1 A8 q3 I

+ I$ e- U$ w7 q2 ?
7 m( Z' f5 x# |: Y/ ]

即在极限的情况下，培育的植物都是 AA型。

（c）模型的讨论

若在上述问题中，不选用基因 AA型的植物与每一植物结合，而是将具有相同基因 型植物相结合，那么后代具有三种基因型的概率如下表所示。

编写如下 Matlab 程序：

! G2 V! f, A* f: t8 B4 t1 J6 }2 csyms n a0 b0 c0
M=sym('[1,1/4,0;0,1/2,0;0,1/4,1]');
[p,lamda]=eig(M);
  ?# r/ h) j, Q' M# d9 U* d5 D+ wx=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0];
x=simple(x)


0 u. f3 f0 E! r9 s+ x3 X# M2 H0 Z
2 常染色体隐性病模型
5 T9 o8 {* d: f现在世界上已经发现的遗传病有将近 4000 种。在一般情况下，遗传病与特殊的种 族、部落及群体有关。例如，遗传病库利氏贫血症的患者以居住在地中海沿岸为多，镰 状网性贫血症一般流行在黑人中，家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间。患者经 常未到成年就痛苦地死去，而他们的父母则是疾病的病源。假若我们能识别这些疾病的 隐性患者，并且规定两个隐性患者不能结合（因为两个隐性患者结合，他们的后代就可 能成为显性患者），那么未来的儿童，虽然有可能是隐性患者，但决不会出现显性特征， 不会受到疾病的折磨。现在，我们考虑在控制结合的情况下，如何确定后代中隐性患者 的概率。

（a）假设
- c0 q; @0 o, H; w3 ~# _( c' K（i）常染色体遗传的正常基因记为 A ，不正常基因记为a ，并以 AA, Aa,aa 分别 表示正常人，隐性患者，显性患者的基因型。
7 |9 F6 Z! Z3 S/ U9 c( A+ p


% `8 _, D- t! n6 V4 @; { （b）建模


1 X1 |5 C$ C: L2 f$ A! E



4 _) o% `4 v# F5 ]; p' |: `4 z（c）模型讨论
# d: g/ G) ]  R1 o- B研究在随机结合的情况下，隐性患者的变化是很有意思的，但随机结合导致了非线 性化问题，超出了本章范围，然而用其它技巧，在随机结合的情况下可以把（24）式改写为
* |" m9 [2 j# v' r: o, P

# c2 F- d5 F1 w( C
) m) k7 B$ H/ ^6 D& ~2 i. u下面给出数值的例子： 某地区有 10%的黑人是镰状网性贫血症隐性患者，如果控制结合，根据（24）式 可知下一代（大约 27 年）的隐性患者将减少到 5%；如果随机结合，根据（25）式， 可以预言下一代人中有 9.5%是隐性患者，并且可计算出大约每出生 400 个黑人孩子， 其中有一个是显性患者。

3   X − 链遗传模型
: K" a! ~& X5 [! S3 hX − 链遗传是指雄性具有一个基因 A 或a ，雌性具有两个基因 AA，或 Aa ，或 aa 。 其遗传规律是雄性后代以相等概率得到母体两个基因中的一个，雌性后代从父体中得到 一个基因，并从母体的两个基因中等可能地得到一个。下面，研究与 X − 链遗传有关 的近亲繁殖过程。
& [, }8 a* M) r% z, S2 ?
" y4 Y* X# r6 c+ j( N, |（a）假设
（i）从一对雌雄结合开始，在它们的后代中，任选雌雄各一个成配偶，然后在它 们产生的后代中任选两个结成配偶。如此继续下去。

  z7 q4 N4 k" P（ii）父体与母体的基因型组成同胞对，同胞对的形式有 (A, AA) ， (A, Aa) ， (A,aa) ， (a, AA) ，(a, Aa) ，(a,aa) 六种。初始一对雌雄的同胞对，是这六种类型 中的任一种，其后代的基因型如下表所示。
) t% u" o- Q+ W8 [" U, x

* y/ Z5 Z! G; X$ i0 A

# `/ H! }% N4 _& ]0 N6 ~0 v3 ]1 k

; g. ~' Z- }4 z
  L7 e& ~. Z* W7 Z+ p- [4 h7 U
编写如下 Matlab 程序：
+ F" [0 l5 n+ n) i/ v6 I
) b( z: h3 Z: N, z' Isyms n a0 b0 c0 d0 e0 f0
M=[1 1/4 0 0 0 0;0 1/4 0 1 1/4 0;0 0 0 0 1/4 0;
0 1/4 0 0 0 0;0 1/4 1 0 1/4 0;0 0 0 0 1/4 1];
! D: b2 |. _' wM=sym(M);
) I+ J, Z2 m8 v" {* Z, V[p,lamda]=eig(M);
! h" h% j4 }; `) @+ j0 Ix=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0;d0;e0;f0];
x=simple(x)

3 u% Y% [3 f! p; C* r' s  k由上述程序计算结果可以看出


+ c2 u2 u6 j5 Z) p: d9 v8 E
' s2 Z( Q, O) [. m* L, b* V& h习 题
1. （汉诺塔问题）n 个大小不同的圆盘依其半径大小依次套在桩 A 上，大的在下， 小的在上。现要将此 n 个盘移到空桩 B 或C 上，但要求一次只能移动一个盘且移动过 程中，始终保持大盘在下，小盘在上。移动过程中桩 A 也可利用。设移动 n 个盘的次 数为  ，试建立关于  的差分方程，并求  的通项公式。

- t: t4 t" _! p2 w. g4 L9 D5 `2. 设第一月初有雌雄各一的一对小兔。假定两月后长成成兔，同时（即第三月） 开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增小兔也按此规律繁殖。设第n 月末共有  对 兔子，试建立关于  的差分方程，并求  的通项公式。

3. 在常染色体遗传的问题中，假设植物总是和基因型是 Aa 的植物结合。求在第n 代中，基因型为 AA, Aa 和 aa 的植物的百分率，并求当 n 趋于无穷大时，基因型分布 的极限。


% [- A% Q& I: h$ Q' l# a

1 w8 D) X( |; Q$ P; W% @* ^————————————————
+ d3 y8 _7 ]" J% V, k% U" m' _版权声明：本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
3 j8 v1 c& s2 t/ @2 i3 Q原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89646596
3 r' D6 ~* L( X6 j
6 }  X$ S9 T6 x* ~
* r( e; m) ?9 H( M