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[建模教程] 差分方程模型(四):遗传模型

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    1#
    发表于 2020-6-7 16:37 |只看该作者 |倒序浏览
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    1 常染色体遗传模型
    % R4 D1 i  O4 {% ]3 x3 r/ ~常染色体遗传中,后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因,形成自己的基因对, 基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基因 A 和 a 控制的,那么 就有三种基因对,记为 AA, Aa,aa 。例如,金鱼草由两个遗传基因决定花的颜色,基 因型是 AA的金鱼草开红花, Aa 型的开粉红色花,而 aa 型的开白花。又如人类眼睛 的颜色也是通过常染色体遗传控制的。基因型是 AA或 Aa 的人,眼睛为棕色,基因型 是aa 的人,眼睛为蓝色。这里因为 AA和 Aa 都表示了同一外部特征,我们认为基因 A 支配基因a ,也可以认为基因a 对于 A 来说是隐性的。当一个亲体的基因型为 Aa ,而 另一个亲体的基因型是aa 时,那么后代可以从aa 型中得到基因a ,从 Aa 型中或得到 基因 A ,或得到基因a 。这样,后代基因型为 Aa 或 aa 的可能性相等。下面给出双亲 体基因型的所有可能的结合,以及其后代形成每种基因型的概率,如下表所示。
    ; H3 ]3 x7 W* H
    ) Z6 ^. ?2 }: ~$ h9 C
    ; w6 Z7 i2 W' \- B
    7 N' q% O0 }- }# i: B9 `2 H( Q9 i例 5 农场的植物园中某种植物的基因型为 AA, Aa 和 aa 。农场计划采用 AA型的 植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后,这种植物的任 一代的三种基因型分布如何?
    7 T" n; u0 x/ i( t! I4 X9 L, Y8 ]/ H5 M
    (a)假设
    " J. O/ Z1 M* o令n = 0,1,2,...。 . q$ Y( b) @( D  J; E
    * Y3 y2 K# V4 A0 j1 |

    ) C. v* l$ I8 k0 b- Q
    8 F" F- C9 x& K" y, b5 e6 `% i) Q
      X; c4 p4 V0 h; T* Y- a& `! Q9 x4 B8 H
    (b)建模& d4 p% C( J0 Y# L
    # r- e  ~! z% S# P6 P

    # z7 |6 O) T7 C- p  r
    2 e/ T7 a. J9 O
    8 z, E/ J# b3 k7 q  ]6 ~  A8 l0 q& }" I% r# Z: o$ T& }8 ?& H9 C
    . y% j/ V1 X$ p" y7 ^
    编写如下 Matlab 程序:  |& S2 e  c& \/ y4 l0 O
    , g$ n* f8 U, g1 z/ P! q+ B. P6 {
    syms n a0 b0 c0
    5 d# E% r7 ~& ?6 `& UM=sym('[1,1/2,0;0,1/2,1;0,0,0]');
    & [3 ?0 E& w0 J4 z' ~[p,lamda]=eig(M);
    8 W  Z, h- `5 ?x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0];2 v+ a5 F; h. x! \
    x=simple(x)
    : ]5 U# q; z. E5 Z3 w2 E  X. t) t3 T* Z, i. _
    0 ]" }: R5 ?6 Y

    : w/ I1 W9 T5 l4 F- v

    即在极限的情况下,培育的植物都是 AA型。

    (c)模型的讨论

    若在上述问题中,不选用基因 AA型的植物与每一植物结合,而是将具有相同基因 型植物相结合,那么后代具有三种基因型的概率如下表所示。

    编写如下 Matlab 程序:


    7 q4 Z; O' Q, E- D1 U: psyms n a0 b0 c03 N' a0 C. q, C; n- t, z& v3 M" w
    M=sym('[1,1/4,0;0,1/2,0;0,1/4,1]');; d. w' {3 I7 ?$ x
    [p,lamda]=eig(M);
    1 i" ~3 _" r& I: y4 F$ Tx=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0];
    . F; b; ?0 `' V- Mx=simple(x)
    , |; n! Y& e' h# e$ {* u9 e8 r( K: P7 e2 B+ Z5 O, I+ g* a

    + J) v' `+ f8 \! G, o
      x! c7 g$ z8 J+ q- Q8 H9 o' G2 常染色体隐性病模型
    5 w3 C* m; k  ?现在世界上已经发现的遗传病有将近 4000 种。在一般情况下,遗传病与特殊的种 族、部落及群体有关。例如,遗传病库利氏贫血症的患者以居住在地中海沿岸为多,镰 状网性贫血症一般流行在黑人中,家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间。患者经 常未到成年就痛苦地死去,而他们的父母则是疾病的病源。假若我们能识别这些疾病的 隐性患者,并且规定两个隐性患者不能结合(因为两个隐性患者结合,他们的后代就可 能成为显性患者),那么未来的儿童,虽然有可能是隐性患者,但决不会出现显性特征, 不会受到疾病的折磨。现在,我们考虑在控制结合的情况下,如何确定后代中隐性患者 的概率。
    " ]$ H% A5 j0 {9 ~5 N! q
    ' l! X* ^7 F) t, f& H) L7 d(a)假设  u6 M% O; r: I9 \6 l+ w
    (i)常染色体遗传的正常基因记为 A ,不正常基因记为a ,并以 AA, Aa,aa 分别 表示正常人,隐性患者,显性患者的基因型。
    # w4 ]/ A4 R; a! g! i6 _* {5 c# m" p6 O- J
    . i: O( [: ?( h; J6 ?! L1 E

    2 {; v7 ?9 M. x$ `# J4 r* k" I (b)建模. G9 `1 J/ @$ {

    $ J8 o  t: C- z2 c  ^8 d# f& m1 i8 U$ f7 [% F8 U/ x
    4 M# \) G* X, ]# Y  j
    + }' o! a) H, {2 {+ ~5 r

    1 E  i$ S5 w6 C( N* K" q
    ; n0 W6 m. O: g1 F# n3 z(c)模型讨论
    , n# n( p8 E% s研究在随机结合的情况下,隐性患者的变化是很有意思的,但随机结合导致了非线 性化问题,超出了本章范围,然而用其它技巧,在随机结合的情况下可以把(24)式改写为
    ( ~: ^9 s7 e( L; `; c$ B# ?( M3 a7 N& \- E
    $ E% u5 F, R5 R% E) V" f( H1 P( N5 p
    + o6 ^2 m( }' ]1 P
    下面给出数值的例子: 某地区有 10%的黑人是镰状网性贫血症隐性患者,如果控制结合,根据(24)式 可知下一代(大约 27 年)的隐性患者将减少到 5%;如果随机结合,根据(25)式, 可以预言下一代人中有 9.5%是隐性患者,并且可计算出大约每出生 400 个黑人孩子, 其中有一个是显性患者。9 T: O+ P4 _! J: P' s& E
    ' T8 h! ?8 f/ `6 T5 k7 J: s8 Y  U
    3   X − 链遗传模型
    ' k$ M( Q* F" x2 e6 ?! U8 nX − 链遗传是指雄性具有一个基因 A 或a ,雌性具有两个基因 AA,或 Aa ,或 aa 。 其遗传规律是雄性后代以相等概率得到母体两个基因中的一个,雌性后代从父体中得到 一个基因,并从母体的两个基因中等可能地得到一个。下面,研究与 X − 链遗传有关 的近亲繁殖过程。0 s) c0 ?" P8 g4 `4 l' M+ Z

    7 D/ G6 ]0 V! f9 W8 N(a)假设
    3 c# L. K. H6 e; {(i)从一对雌雄结合开始,在它们的后代中,任选雌雄各一个成配偶,然后在它 们产生的后代中任选两个结成配偶。如此继续下去。0 c- k) i, ^. A1 _) p9 C0 K) d

    6 L% b( r; s" X" _(ii)父体与母体的基因型组成同胞对,同胞对的形式有 (A, AA) , (A, Aa) , (A,aa) , (a, AA) ,(a, Aa) ,(a,aa) 六种。初始一对雌雄的同胞对,是这六种类型 中的任一种,其后代的基因型如下表所示。5 G3 `& Z) D8 t! `4 \

    3 j; Y( \3 A! \. @9 U) O8 [7 {4 q0 Q7 X+ |3 W5 v

    # K# `9 R2 w, p4 b* y! i! H8 b- L/ ?1 k2 O! q' H& Z% Y

    ! c" I3 f; r( }, V/ ?4 h8 N. I6 e4 G

    0 H7 \5 D/ H& l) b5 n7 S. z1 f) i6 q
    : L/ b, y& O! a编写如下 Matlab 程序:% V( g' }" C' v

    1 ]6 J5 ^9 R$ i. D, |& H% B  Dsyms n a0 b0 c0 d0 e0 f0
      h) M5 a5 R% {( ~& C( c$ x8 g  T  rM=[1 1/4 0 0 0 0;0 1/4 0 1 1/4 0;0 0 0 0 1/4 0;
    " z" l2 v3 G7 }/ y2 } 0 1/4 0 0 0 0;0 1/4 1 0 1/4 0;0 0 0 0 1/4 1];, d. `; f8 p- r* n! ^; s( R
    M=sym(M);; o3 Q1 c' {; R0 R& z+ F
    [p,lamda]=eig(M);) n% ?; I" @. v0 q6 D8 U
    x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0;d0;e0;f0];6 A5 }2 Y6 o8 S( `- I7 P. F
    x=simple(x)
    5 F' `. V  d( Y" X- ~! r7 ^
    3 p! i' }6 C- L" T* v/ S由上述程序计算结果可以看出
    . x, ?& i" z+ T2 w5 \" J8 Q. O$ P5 f, \* z

      {/ A. Z$ S# r# q9 O8 N' a/ S  J8 Y3 q: }( y# y
    习 题  v( O8 I6 r4 L! g
    1. (汉诺塔问题)n 个大小不同的圆盘依其半径大小依次套在桩 A 上,大的在下, 小的在上。现要将此 n 个盘移到空桩 B 或C 上,但要求一次只能移动一个盘且移动过 程中,始终保持大盘在下,小盘在上。移动过程中桩 A 也可利用。设移动 n 个盘的次 数为  ,试建立关于  的差分方程,并求  的通项公式。
    7 f6 `9 n) {7 J: m0 a
    / P, D( w7 n; M9 h& N) k1 q5 O2. 设第一月初有雌雄各一的一对小兔。假定两月后长成成兔,同时(即第三月) 开始每月初产雌雄各一的一对小兔,新增小兔也按此规律繁殖。设第n 月末共有  对 兔子,试建立关于  的差分方程,并求  的通项公式。7 B7 F/ l' [* v4 A; w% w, |, T4 n

    ( [8 E: o# R/ A6 f* V4 V3 p( w3. 在常染色体遗传的问题中,假设植物总是和基因型是 Aa 的植物结合。求在第n 代中,基因型为 AA, Aa 和 aa 的植物的百分率,并求当 n 趋于无穷大时,基因型分布 的极限。
    : y+ D* C7 Q+ d' l! y+ S
    % h/ |) z9 y6 O! x8 v) ^3 B% T. k2 b
    ' L* S- }* s2 F4 `1 d0 G- s0 u) _
    9 S! d5 b4 z: x8 W; j+ W: s! g/ s6 ]$ y1 y1 E1 |
    ————————————————$ |; r7 B4 T# \) J
    版权声明:本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。1 {9 ^: @' x: e  W& @% b9 K
    原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89646596
    * X8 {) G/ t+ w* K: b" `: N% e7 F# W' J; T" X' {2 m

    ) M9 D, u6 ^8 o
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