差分方程模型(四）：遗传模型

浅夏110

1 常染色体遗传模型
; p' \/ i5 R; [* g2 L常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对， 基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基因 A 和 a 控制的，那么 就有三种基因对，记为 AA, Aa,aa 。例如，金鱼草由两个遗传基因决定花的颜色，基 因型是 AA的金鱼草开红花， Aa 型的开粉红色花，而 aa 型的开白花。又如人类眼睛 的颜色也是通过常染色体遗传控制的。基因型是 AA或 Aa 的人，眼睛为棕色，基因型 是aa 的人，眼睛为蓝色。这里因为 AA和 Aa 都表示了同一外部特征，我们认为基因 A 支配基因a ，也可以认为基因a 对于 A 来说是隐性的。当一个亲体的基因型为 Aa ，而 另一个亲体的基因型是aa 时，那么后代可以从aa 型中得到基因a ，从 Aa 型中或得到 基因 A ，或得到基因a 。这样，后代基因型为 Aa 或 aa 的可能性相等。下面给出双亲 体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率，如下表所示。
* v5 s. ]6 D% t' T( I/ @
8 s# }2 z& X% c2 s

3 q5 O) }5 s" b  N' N4 O+ d; c* i$ q例 5 农场的植物园中某种植物的基因型为 AA, Aa 和 aa 。农场计划采用 AA型的 植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任 一代的三种基因型分布如何？

（a）假设
令n = 0,1,2,...。
" ~1 B% j% F4 i6 n

3 i9 h# D0 \8 ]' F: S
1 ~' b; Z! H) ?; Z7 ]
$ y0 }: p( {0 b# W$ T
; x# |! K- a* Z5 X" K+ e& }（b）建模
1 a6 M. h3 b0 v
4 h* L2 h! w# B& @% l8 ]5 G7 d
3 M. G9 `* M) b" O6 u

6 [& U# V) q% Y+ v9 B5 a) r" s
, G6 D" q  v% g1 t/ e! H5 v
& ?# v! ]0 i7 }* Q3 ~! u% T编写如下 Matlab 程序：
1 o& P; w7 W! p- ~) N- V; o
: Z$ ~% G/ r5 i0 |/ i8 Tsyms n a0 b0 c0
M=sym('[1,1/2,0;0,1/2,1;0,0,0]');
. B* A- H: m9 S5 |' ^& _$ Z[p,lamda]=eig(M);
# X% y; I- R& `' Q- q+ H( Gx=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0]；
x=simple(x)
3 P) J5 S& C$ e% M8 _
4 P4 q" _8 l3 [7 t
& {9 ?( A7 }# s. T& q

即在极限的情况下，培育的植物都是 AA型。

（c）模型的讨论

若在上述问题中，不选用基因 AA型的植物与每一植物结合，而是将具有相同基因 型植物相结合，那么后代具有三种基因型的概率如下表所示。

编写如下 Matlab 程序：

. u' X7 ~5 `8 T& u7 s6 nsyms n a0 b0 c0
9 o- @* h# C! f4 ]M=sym('[1,1/4,0;0,1/2,0;0,1/4,1]');
# Z9 W8 \0 w; x6 a& f8 G$ _[p,lamda]=eig(M);
" ~% s; j& C5 T% k0 r  [5 Vx=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0];
) n4 q5 ^0 T! \3 f' zx=simple(x)



% K, k8 O5 j& V2 常染色体隐性病模型
现在世界上已经发现的遗传病有将近 4000 种。在一般情况下，遗传病与特殊的种 族、部落及群体有关。例如，遗传病库利氏贫血症的患者以居住在地中海沿岸为多，镰 状网性贫血症一般流行在黑人中，家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间。患者经 常未到成年就痛苦地死去，而他们的父母则是疾病的病源。假若我们能识别这些疾病的 隐性患者，并且规定两个隐性患者不能结合（因为两个隐性患者结合，他们的后代就可 能成为显性患者），那么未来的儿童，虽然有可能是隐性患者，但决不会出现显性特征， 不会受到疾病的折磨。现在，我们考虑在控制结合的情况下，如何确定后代中隐性患者 的概率。
7 W+ s: U! F1 U  r; _: g: ~- S
* n$ H. O/ G1 V) p3 D（a）假设
; h0 K  B9 Q& a" t（i）常染色体遗传的正常基因记为 A ，不正常基因记为a ，并以 AA, Aa,aa 分别 表示正常人，隐性患者，显性患者的基因型。
! _, V+ t+ W0 W. B
# s+ x0 T- h: S' ~' T" ~" K
( y/ [3 ^, {. \0 L% ]! Z8 Y& S( N6 ~0 g
7 w& b" s+ n, j% v4 D （b）建模
5 m- I9 r& C0 s
6 M% Q% a! o2 H! p1 O




* K( _* k6 p8 P- C! m0 R（c）模型讨论
研究在随机结合的情况下，隐性患者的变化是很有意思的，但随机结合导致了非线 性化问题，超出了本章范围，然而用其它技巧，在随机结合的情况下可以把（24）式改写为

) }9 ^" g6 T& t1 J
' _) |6 u8 `3 H! V9 J7 n' b2 K$ ?
7 t( q/ P) G/ n; J. Q+ `下面给出数值的例子： 某地区有 10%的黑人是镰状网性贫血症隐性患者，如果控制结合，根据（24）式 可知下一代（大约 27 年）的隐性患者将减少到 5%；如果随机结合，根据（25）式， 可以预言下一代人中有 9.5%是隐性患者，并且可计算出大约每出生 400 个黑人孩子， 其中有一个是显性患者。
) U! K- ?& F# ]7 ^( ^' v
9 R. q2 ?; S/ W3   X − 链遗传模型
6 L" t& V! r3 N" w2 G4 EX − 链遗传是指雄性具有一个基因 A 或a ，雌性具有两个基因 AA，或 Aa ，或 aa 。 其遗传规律是雄性后代以相等概率得到母体两个基因中的一个，雌性后代从父体中得到 一个基因，并从母体的两个基因中等可能地得到一个。下面，研究与 X − 链遗传有关 的近亲繁殖过程。
& f+ f9 {- U" H" K1 C5 J" I! [
（a）假设
+ N& }1 I3 j' z' H7 `（i）从一对雌雄结合开始，在它们的后代中，任选雌雄各一个成配偶，然后在它 们产生的后代中任选两个结成配偶。如此继续下去。

0 y  D  \& R- _  h9 G（ii）父体与母体的基因型组成同胞对，同胞对的形式有 (A, AA) ， (A, Aa) ， (A,aa) ， (a, AA) ，(a, Aa) ，(a,aa) 六种。初始一对雌雄的同胞对，是这六种类型 中的任一种，其后代的基因型如下表所示。
. v: q3 R  q/ _5 u6 N5 M  m( y

) x; ^  ^% w2 X# T9 |0 B




$ L: N, e/ e3 X" R) Q. f3 L% b
编写如下 Matlab 程序：

2 h) B0 ]4 s' E( }, zsyms n a0 b0 c0 d0 e0 f0
. s1 p0 d) j9 G6 T/ QM=[1 1/4 0 0 0 0;0 1/4 0 1 1/4 0;0 0 0 0 1/4 0;
' p4 y2 q* b7 d7 l5 \+ f0 p 0 1/4 0 0 0 0;0 1/4 1 0 1/4 0;0 0 0 0 1/4 1];
+ W! [# u% _$ J- JM=sym(M);
9 |4 L# I9 ~) h" i% o[p,lamda]=eig(M);
x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0;d0;e0;f0];
x=simple(x)
. |2 e1 c# ^- f" c3 V4 Y
8 p  `% F: R. B1 Q5 V9 L由上述程序计算结果可以看出

8 }9 |" e" Q" H8 }4 a! }
" \5 [+ O9 P$ f, B
5 _  s, t, K" r2 q习 题
+ V6 F9 k9 t: z$ U* Q: H, t1. （汉诺塔问题）n 个大小不同的圆盘依其半径大小依次套在桩 A 上，大的在下， 小的在上。现要将此 n 个盘移到空桩 B 或C 上，但要求一次只能移动一个盘且移动过 程中，始终保持大盘在下，小盘在上。移动过程中桩 A 也可利用。设移动 n 个盘的次 数为  ，试建立关于  的差分方程，并求  的通项公式。

* I- F/ {2 s. S2 A1 Q8 @. I2. 设第一月初有雌雄各一的一对小兔。假定两月后长成成兔，同时（即第三月） 开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增小兔也按此规律繁殖。设第n 月末共有  对 兔子，试建立关于  的差分方程，并求  的通项公式。
8 Z2 l- E) G0 i& g/ g% O& Y
3. 在常染色体遗传的问题中，假设植物总是和基因型是 Aa 的植物结合。求在第n 代中，基因型为 AA, Aa 和 aa 的植物的百分率，并求当 n 趋于无穷大时，基因型分布 的极限。



+ M  X2 d" R+ x% g% ~5 }/ {
3 `6 f" |% K. ]( `& s) u————————————————
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7 [3 [) [# A$ `* a6 x* H$ l. t原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89646596
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2 ]1 L) w( K& t