偏最小二乘回归（三）：身体特征与体能训练结果的 案例分析

浅夏110

本节采用兰纳胡德（Linnerud）给出的关于体能训练的数据进行偏最小二乘回归建 模。在这个数据系统中被测的样本点，是某健身俱乐部的 20 位中年男子。被测变量分 为两组。第一组是身体特征指标 X ，包括：体重、腰围、脉搏。第二组变量是训练结 果指标Y ，包括：单杠、弯曲、跳高。原始数据见表 1。
( |  P9 g' U; ]' g0 i) d

4 }) Y: ^9 a3 b8 o- D9 _
! T  C- Y% C8 k8 m! ?  Y1 l% t+ m


& M8 {$ {, l" r. P表 2 给出了这 6 个变量的简单相关系数矩阵。从相关系数矩阵可以看出，体重与腰 围是正相关的；体重、腰围与脉搏负相关；而在单杠、弯曲与跳高之间是正相关的。从 两组变量间的关系看，单杠、弯曲和跳高的训练成绩与体重、腰围负相关，与脉搏正相 关。

" I4 z5 s/ s$ G' Q' x2 P
& {6 r( i6 B6 @9 s+ ], i! n
% @) E" ?9 T2 A, x/ N* X利用如下的 MATLAB 程序：

/ x; R( L" u3 C/ aclc,clear
; g) j1 U# g: ^. O  Sload pz.txt %原始数据存放在纯文本文件 pz.txt 中
mu=mean(pz);sig=std(pz); %求均值和标准差
+ V& w: b/ T4 a4 _rr=corrcoef(pz); %求相关系数矩阵
" D7 w6 C! q0 o. O; q& v% {data=zscore(pz); %数据标准化
8 ^+ }( B. T  M0 tn=3;m=3; %n 是自变量的个数,m 是因变量的个数
8 D% ^3 ?' Z4 }6 X& v$ y: lx0=pz(:,1:n);y0=pz(:,n+1:end);
8 k% j  ^* Z% ]4 U8 c( W6 Ke0=data(:,1:n);f0=data(:,n+1:end);
num=size(e0,1);%求样本点的个数
chg=eye(n); %w 到 w*变换矩阵的初始化
; u5 n3 W1 G8 g" A7 Sfor i=1:n
%以下计算 w，w*和 t 的得分向量，
    matrix=e0'*f0*f0'*e0;
    [vec,val]=eig(matrix); %求特征值和特征向量
2 e  x4 C" C( J5 l    val=diag(val); %提出对角线元素
    [val,ind]=sort(val,'descend');
  z7 ^( a3 v4 L" v) l" l1 J    w(:,i)=vec(:,ind(1)); %提出最大特征值对应的特征向量
4 L3 d/ N0 A2 D/ k) W+ I7 v( E    w_star(:,i)=chg*w(:,i); %计算 w*的取值
4 Y; S4 m4 Y: W" E    t(:,i)=e0*w(:,i); %计算成分 ti 的得分
    alpha=e0'*t(:,i)/(t(:,i)'*t(:,i)); %计算 alpha_i
    chg=chg*(eye(n)-w(:,i)*alpha'); %计算 w 到 w*的变换矩阵
    e=e0-t(:,i)*alpha'; %计算残差矩阵
    e0=e;
%以下计算 ss(i)的值
    beta=[t(:,1:i),ones(num,1)]\f0; %求回归方程的系数
- x+ ~) q5 {* y# B: c  ~    beta(end,=[]; %删除回归分析的常数项
6 H( c2 y8 V% z  m/ D    cancha=f0-t(:,1:i)*beta; %求残差矩阵
$ |: B9 R- H# e% d" E/ |    ss(i)=sum(sum(cancha.^2)); %求误差平方和
%以下计算 press(i)
    for j=1:num
        t1=t(:,1:i);f1=f0;
        she_t=t1(j,;she_f=f1(j,; %把舍去的第 j 个样本点保存起来
        t1(j,=[];f1(j,=[]; %删除第 j 个观测值
        beta1=[t1,ones(num-1,1)]\f1; %求回归分析的系数
        beta1(end,=[]; %删除回归分析的常数项
5 a% W2 D& ]$ l  r        cancha=she_f-she_t*beta1; %求残差向量
        press_i(j)=sum(cancha.^2);
    end
# |4 E: r( \: M. f3 C/ S" P    press(i)=sum(press_i);
    if i>1
        Q_h2(i)=1-press(i)/ss(i-1);
/ n9 ?) g+ p+ b- q/ r    else
        Q_h2(1)=1;
    end
    if Q_h2(i)<0.0975
        fprintf('提出的成分个数 r=%d',i);
        r=i;
        break
9 U, k  r" A) B7 p7 B9 @+ x    end
end
beta_z=[t(:,1:r),ones(num,1)]\f0; %求 Y 关于 t 的回归系数
beta_z(end,=[]; %删除常数项
xishu=w_star(:,1:r)*beta_z; %求Y关于X的回归系数，且是针对标准数据的回归系数，
! X! J  l# t( Y3 _1 l5 U- @每一列是一个回归方程
0 K* ]) H5 G8 Y# Z2 o6 Imu_x=mu(1:n);mu_y=mu(n+1:end);
/ N! |  p. V2 Y' ?sig_x=sig(1:n);sig_y=sig(n+1:end);
1 V( \$ O/ }# j4 Afor i=1:m
+ W$ y0 Z' O  H! z3 Z! i# b    ch0(i)=mu_y(i)-mu_x./sig_x*sig_y(i)*xishu(:,i); %计算原始数据的回归方程的常数项
end
' C/ W6 j5 V4 c, w1 M! B* V1 _& tfor i=1:m
    xish(:,i)=xishu(:,i)./sig_x'*sig_y(i); %计算原始数据的回归方程的系数，每一列是一个回归方程
end
sol=[ch0;xish] %显示回归方程的系数，每一列是一个方程，每一列的第一个数是常数项
; i+ j  @$ c, jsave mydata x0 y0 num xishu ch0 xish




从回归系数图中可以立刻观察到，腰围变量在解释三个回归方程时起到了极为重要 的作用。然而，与单杠及弯曲相比，跳高成绩的回归方程显然不够理想，三个自变量对 它的解释能力均很低。
9 `1 j4 X( X5 @$ w  S, L( T

画直方图的 MATLAB 程序为：bar(xishu')

画体能训练的预测图的 MATLAB 程序如下：

" t% T4 t4 U$ g9 Y3 y: u- kload mydata
num
# V2 J4 r: T  m& ~% A) O/ q* Bch0=repmat(ch0,num,1);
yhat=ch0+x0*xish; %计算 y 的预测值
! `8 r/ E: z6 l3 X% qy1max=max(yhat);
# x9 ]" G$ G2 i3 x6 zy2max=max(y0);
ymax=max([y1max;y2max])
cancha=yhat-y0; %计算残差
- D% G/ B9 k' f% Y; n! u0 I; wsubplot(2,2,1)
plot(0:ymax(1),0:ymax(1),yhat(:,1),y0(:,1),'*')
" Q' _( |  b9 }6 Y$ Z, x& dsubplot(2,2,2)
3 Y  u7 p6 ?- [$ A( F6 V. ^plot(0:ymax(2),0:ymax(2),yhat(:,2),y0(:,2),'O')
subplot(2,2,3)
plot(0:ymax(3),0:ymax(3),yhat(:,3),y0(:,3),'H')
; h) m* f/ ~0 F: l% I( W2 @7 [6 `

: h" O0 h" w1 P+ N————————————————
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1 ~' x6 _4 y  |, K' W" Z6 v, z% A

9 _8 H, F7 c, K; p1 l" K