偏最小二乘回归（三）：身体特征与体能训练结果的 案例分析

浅夏110

本节采用兰纳胡德（Linnerud）给出的关于体能训练的数据进行偏最小二乘回归建 模。在这个数据系统中被测的样本点，是某健身俱乐部的 20 位中年男子。被测变量分 为两组。第一组是身体特征指标 X ，包括：体重、腰围、脉搏。第二组变量是训练结 果指标Y ，包括：单杠、弯曲、跳高。原始数据见表 1。
) y/ C6 c/ N* o1 h- _1 ?7 g. T
- x, y7 ]! W5 q; |) ~  s/ K
1 w3 P! z( k. l2 B5 D- L

$ ?# q! A' u1 N1 O* k# ?& k* W) A

, M8 y( m3 Y6 e9 @/ v% D表 2 给出了这 6 个变量的简单相关系数矩阵。从相关系数矩阵可以看出，体重与腰 围是正相关的；体重、腰围与脉搏负相关；而在单杠、弯曲与跳高之间是正相关的。从 两组变量间的关系看，单杠、弯曲和跳高的训练成绩与体重、腰围负相关，与脉搏正相 关。


  E5 z( s2 z9 V# o7 G/ S7 v
+ [7 `, `, S8 }; `% X利用如下的 MATLAB 程序：

9 G, h4 \+ I( a; o; O; Hclc,clear
load pz.txt %原始数据存放在纯文本文件 pz.txt 中
) g" H5 m% @. a0 ?) m; r! Bmu=mean(pz);sig=std(pz); %求均值和标准差
rr=corrcoef(pz); %求相关系数矩阵
data=zscore(pz); %数据标准化
n=3;m=3; %n 是自变量的个数,m 是因变量的个数
x0=pz(:,1:n);y0=pz(:,n+1:end);
1 n, H# X: l/ y) C3 Y) l, pe0=data(:,1:n);f0=data(:,n+1:end);
num=size(e0,1);%求样本点的个数
chg=eye(n); %w 到 w*变换矩阵的初始化
for i=1:n
! q: B0 |1 K- g! U%以下计算 w，w*和 t 的得分向量，
1 T/ n7 I7 ?( {5 N" l. N- J    matrix=e0'*f0*f0'*e0;
    [vec,val]=eig(matrix); %求特征值和特征向量
4 r  J; ^& n1 Z8 T2 M. C" N  u    val=diag(val); %提出对角线元素
    [val,ind]=sort(val,'descend');
    w(:,i)=vec(:,ind(1)); %提出最大特征值对应的特征向量
    w_star(:,i)=chg*w(:,i); %计算 w*的取值
    t(:,i)=e0*w(:,i); %计算成分 ti 的得分
  o) g4 z! x. f$ e" W' `9 A    alpha=e0'*t(:,i)/(t(:,i)'*t(:,i)); %计算 alpha_i
    chg=chg*(eye(n)-w(:,i)*alpha'); %计算 w 到 w*的变换矩阵
" O, A) {! a$ |. |% J0 N5 W" Y2 y2 W/ L    e=e0-t(:,i)*alpha'; %计算残差矩阵
! _0 j9 q% l  {5 ^/ Y    e0=e;
  T  F5 H7 B9 B# K5 g; g) i- q7 K%以下计算 ss(i)的值
    beta=[t(:,1:i),ones(num,1)]\f0; %求回归方程的系数
    beta(end,=[]; %删除回归分析的常数项
    cancha=f0-t(:,1:i)*beta; %求残差矩阵
    ss(i)=sum(sum(cancha.^2)); %求误差平方和
& T) g! @7 ~# D! o2 h% y%以下计算 press(i)
" J2 A  u! m+ I( ^7 Q4 w, Q    for j=1:num
        t1=t(:,1:i);f1=f0;
        she_t=t1(j,;she_f=f1(j,; %把舍去的第 j 个样本点保存起来
9 n$ t5 t+ g/ C& o3 s* t        t1(j,=[];f1(j,=[]; %删除第 j 个观测值
6 n0 f( |( r# h" r* i, k5 ~        beta1=[t1,ones(num-1,1)]\f1; %求回归分析的系数
: g' o% Y: Y3 e5 F5 r( s) X' a        beta1(end,=[]; %删除回归分析的常数项
        cancha=she_f-she_t*beta1; %求残差向量
4 X  H8 H. v$ ]7 j; A        press_i(j)=sum(cancha.^2);
    end
6 B2 e* T, w$ B    press(i)=sum(press_i);
    if i>1
        Q_h2(i)=1-press(i)/ss(i-1);
    else
        Q_h2(1)=1;
2 H( q1 A4 t5 c+ F' F/ T4 k/ t    end
( D1 h% n* o5 a' D    if Q_h2(i)<0.0975
9 \* F; W2 e4 R# I( V* [3 v& s        fprintf('提出的成分个数 r=%d',i);
% n0 T+ Y+ i* u2 j        r=i;
+ V# Y, S  ~* g3 l        break
    end
3 f+ C; I0 J. G# S7 G0 kend
5 z+ y1 w' S6 n  {) ]; fbeta_z=[t(:,1:r),ones(num,1)]\f0; %求 Y 关于 t 的回归系数
. L( i( Q3 f+ D5 Nbeta_z(end,=[]; %删除常数项
xishu=w_star(:,1:r)*beta_z; %求Y关于X的回归系数，且是针对标准数据的回归系数，
每一列是一个回归方程
5 Y/ v9 ?! y& K8 _( o# e& Ymu_x=mu(1:n);mu_y=mu(n+1:end);
! U) k3 S& z7 H" z! d" e4 e- Gsig_x=sig(1:n);sig_y=sig(n+1:end);
for i=1:m
    ch0(i)=mu_y(i)-mu_x./sig_x*sig_y(i)*xishu(:,i); %计算原始数据的回归方程的常数项
end
for i=1:m
    xish(:,i)=xishu(:,i)./sig_x'*sig_y(i); %计算原始数据的回归方程的系数，每一列是一个回归方程
; o# }( `$ D) `end
' \/ ^- s! A: Z: ~* @0 E' u  lsol=[ch0;xish] %显示回归方程的系数，每一列是一个方程，每一列的第一个数是常数项
  I  H( ^5 \. a# e" ~4 X/ N: dsave mydata x0 y0 num xishu ch0 xish
- U1 H6 H) s- h& o; M! s& z
) e: g) @( o" q. t8 Q2 d

7 q# b& W" [$ m& c; D
  E# _. q( X; l' T6 h从回归系数图中可以立刻观察到，腰围变量在解释三个回归方程时起到了极为重要 的作用。然而，与单杠及弯曲相比，跳高成绩的回归方程显然不够理想，三个自变量对 它的解释能力均很低。

画直方图的 MATLAB 程序为：bar(xishu')

画体能训练的预测图的 MATLAB 程序如下：

" M, R. @) d) p# q# Cload mydata
num
+ D5 D$ Y, S# [0 A3 x- p$ o3 Ach0=repmat(ch0,num,1);
7 x3 X. h/ c7 t, O: I3 c- `  r1 uyhat=ch0+x0*xish; %计算 y 的预测值
5 t8 ~, X  [* x+ F; I7 Z4 h. a8 V: Fy1max=max(yhat);
y2max=max(y0);
ymax=max([y1max;y2max])
cancha=yhat-y0; %计算残差
( t/ u2 F9 e  j7 Usubplot(2,2,1)
plot(0:ymax(1),0:ymax(1),yhat(:,1),y0(:,1),'*')
! M4 Q- D8 ?, E: gsubplot(2,2,2)
plot(0:ymax(2),0:ymax(2),yhat(:,2),y0(:,2),'O')
. x5 @" ]* ?& f! e5 tsubplot(2,2,3)
plot(0:ymax(3),0:ymax(3),yhat(:,3),y0(:,3),'H')

4 v# j+ |- ~. \4 V
2 _7 ]# u4 Y2 J8 R8 ?  ~6 u8 Z————————————————
% |) s" {% R1 z/ q! T! R8 v版权声明：本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
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