偏最小二乘回归（三）：身体特征与体能训练结果的 案例分析

浅夏110

本节采用兰纳胡德（Linnerud）给出的关于体能训练的数据进行偏最小二乘回归建 模。在这个数据系统中被测的样本点，是某健身俱乐部的 20 位中年男子。被测变量分 为两组。第一组是身体特征指标 X ，包括：体重、腰围、脉搏。第二组变量是训练结 果指标Y ，包括：单杠、弯曲、跳高。原始数据见表 1。
3 \1 P" n0 q! N2 D7 k

1 f) o- k4 n! s& {& L

1 \, E" I4 d8 N1 A  p

表 2 给出了这 6 个变量的简单相关系数矩阵。从相关系数矩阵可以看出，体重与腰 围是正相关的；体重、腰围与脉搏负相关；而在单杠、弯曲与跳高之间是正相关的。从 两组变量间的关系看，单杠、弯曲和跳高的训练成绩与体重、腰围负相关，与脉搏正相 关。

. ~) Y+ u9 H( }/ E9 h. p
% s" w* r" z7 Z% {
8 {4 r  B2 ?( T$ x3 d利用如下的 MATLAB 程序：

% Q8 l( ~% ~, U% e7 l+ ~1 Pclc,clear
( E; l& \/ P" `2 S7 s7 Q. l9 gload pz.txt %原始数据存放在纯文本文件 pz.txt 中
1 ^$ e$ [  K0 Y7 h- D2 R  }mu=mean(pz);sig=std(pz); %求均值和标准差
rr=corrcoef(pz); %求相关系数矩阵
; A+ h3 n; r+ Y! o& Sdata=zscore(pz); %数据标准化
) L# F0 Y( q. }9 g" _  v1 Y4 G4 nn=3;m=3; %n 是自变量的个数,m 是因变量的个数
5 `, U4 r- T" s+ ~x0=pz(:,1:n);y0=pz(:,n+1:end);
0 \* \- I1 }0 u6 P9 j5 l) m' [1 i% Re0=data(:,1:n);f0=data(:,n+1:end);
) Z& T' ]# F, n! x/ Nnum=size(e0,1);%求样本点的个数
& i" h' K- O! e8 M8 B/ Uchg=eye(n); %w 到 w*变换矩阵的初始化
for i=1:n
1 C4 O3 r, f" }8 p- W%以下计算 w，w*和 t 的得分向量，
/ Q& ~3 h7 ~6 r, K1 ?( Z+ ^    matrix=e0'*f0*f0'*e0;
    [vec,val]=eig(matrix); %求特征值和特征向量
    val=diag(val); %提出对角线元素
4 i) ~2 E: v: u, O$ o    [val,ind]=sort(val,'descend');
  ^5 [/ ~; n5 H* L) E    w(:,i)=vec(:,ind(1)); %提出最大特征值对应的特征向量
5 D& F% M3 K/ Z$ [! `1 `% z. N' d    w_star(:,i)=chg*w(:,i); %计算 w*的取值
    t(:,i)=e0*w(:,i); %计算成分 ti 的得分
    alpha=e0'*t(:,i)/(t(:,i)'*t(:,i)); %计算 alpha_i
    chg=chg*(eye(n)-w(:,i)*alpha'); %计算 w 到 w*的变换矩阵
    e=e0-t(:,i)*alpha'; %计算残差矩阵
    e0=e;
3 a! F! _4 L+ g) s: x/ l%以下计算 ss(i)的值
* S3 a# v  J  |5 b: p    beta=[t(:,1:i),ones(num,1)]\f0; %求回归方程的系数
    beta(end,=[]; %删除回归分析的常数项
2 ~& T, Q8 j, b: o9 z, i    cancha=f0-t(:,1:i)*beta; %求残差矩阵
& M* g- i* [5 k    ss(i)=sum(sum(cancha.^2)); %求误差平方和
%以下计算 press(i)
    for j=1:num
2 v4 f- J: U2 T* X        t1=t(:,1:i);f1=f0;
5 i% h( X1 S" u4 Z        she_t=t1(j,;she_f=f1(j,; %把舍去的第 j 个样本点保存起来
        t1(j,=[];f1(j,=[]; %删除第 j 个观测值
        beta1=[t1,ones(num-1,1)]\f1; %求回归分析的系数
( i3 k9 h4 f& c        beta1(end,=[]; %删除回归分析的常数项
        cancha=she_f-she_t*beta1; %求残差向量
3 Q5 `# Y1 ~6 f8 N7 ]# @0 v5 O- I1 @        press_i(j)=sum(cancha.^2);
    end
    press(i)=sum(press_i);
    if i>1
% a/ P% Q6 |" a) i( N: q        Q_h2(i)=1-press(i)/ss(i-1);
    else
        Q_h2(1)=1;
    end
; o3 B4 l2 a) V# z( l    if Q_h2(i)<0.0975
* ~7 p* R9 J2 a! a  C! U$ b        fprintf('提出的成分个数 r=%d',i);
        r=i;
2 I  d8 g2 z; v0 C- w  [        break
' s$ |! E3 @# m8 n/ ]1 e2 I5 B    end
% [5 o  X2 q  ^3 w" g& ^end
beta_z=[t(:,1:r),ones(num,1)]\f0; %求 Y 关于 t 的回归系数
beta_z(end,=[]; %删除常数项
xishu=w_star(:,1:r)*beta_z; %求Y关于X的回归系数，且是针对标准数据的回归系数，
每一列是一个回归方程
: a8 u9 _" q" H6 D/ i- cmu_x=mu(1:n);mu_y=mu(n+1:end);
+ A' `/ I& n: B( }7 f& a5 H- A+ tsig_x=sig(1:n);sig_y=sig(n+1:end);
  W6 Q& s0 I5 hfor i=1:m
( ^$ }: z, W+ A8 ?" B. _' {: e0 m    ch0(i)=mu_y(i)-mu_x./sig_x*sig_y(i)*xishu(:,i); %计算原始数据的回归方程的常数项
end
& ?, R6 ^5 x, A0 [for i=1:m
4 H3 V( l: j2 h8 k1 Q% x2 {: `& l( I    xish(:,i)=xishu(:,i)./sig_x'*sig_y(i); %计算原始数据的回归方程的系数，每一列是一个回归方程
end
& F7 D1 e$ c( }sol=[ch0;xish] %显示回归方程的系数，每一列是一个方程，每一列的第一个数是常数项
save mydata x0 y0 num xishu ch0 xish
3 |! v# _# o" E
9 G* G6 w8 G* L& u3 i5 A) Z8 d5 J


从回归系数图中可以立刻观察到，腰围变量在解释三个回归方程时起到了极为重要 的作用。然而，与单杠及弯曲相比，跳高成绩的回归方程显然不够理想，三个自变量对 它的解释能力均很低。

7 L% O# M% c. c8 T( k
* Z* Q- ]2 f4 Y; {

画直方图的 MATLAB 程序为：bar(xishu')

画体能训练的预测图的 MATLAB 程序如下：

load mydata
num
ch0=repmat(ch0,num,1);
yhat=ch0+x0*xish; %计算 y 的预测值
y1max=max(yhat);
; ~# H$ f( `) j+ \9 Jy2max=max(y0);
# o# o$ M" Y0 T, Z5 K) kymax=max([y1max;y2max])
5 \1 P: V  b8 Jcancha=yhat-y0; %计算残差
. \0 Y' x2 ~+ H3 fsubplot(2,2,1)
* ^: ^# [. a1 c, n6 r7 Z! M( {plot(0:ymax(1),0:ymax(1),yhat(:,1),y0(:,1),'*')
9 S1 j! q, y( @* a6 H& t7 h" |subplot(2,2,2)
plot(0:ymax(2),0:ymax(2),yhat(:,2),y0(:,2),'O')
$ s4 ?5 W4 a, @; y: |$ Nsubplot(2,2,3)
* ^9 G% b5 ^; ~5 {3 v8 W; Qplot(0:ymax(3),0:ymax(3),yhat(:,3),y0(:,3),'H')
2 E- w2 @  C0 T7 a( N
$ g4 v, R# U# f1 e
) q& x7 J  ]1 m, i' u————————————————
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1 X+ F$ t& m8 l, ~8 U1 T2 O