偏最小二乘回归（三）：身体特征与体能训练结果的 案例分析

浅夏110

本节采用兰纳胡德（Linnerud）给出的关于体能训练的数据进行偏最小二乘回归建 模。在这个数据系统中被测的样本点，是某健身俱乐部的 20 位中年男子。被测变量分 为两组。第一组是身体特征指标 X ，包括：体重、腰围、脉搏。第二组变量是训练结 果指标Y ，包括：单杠、弯曲、跳高。原始数据见表 1。
' O9 C/ G0 c+ a
! f0 Z6 T# q% Z* \8 ~* ^! G( L' x7 E
- ^8 a& D. f* x# y3 c) u0 i2 p

* ^* x( @7 X! O) V

0 m5 @3 n/ O4 p% h6 n) u表 2 给出了这 6 个变量的简单相关系数矩阵。从相关系数矩阵可以看出，体重与腰 围是正相关的；体重、腰围与脉搏负相关；而在单杠、弯曲与跳高之间是正相关的。从 两组变量间的关系看，单杠、弯曲和跳高的训练成绩与体重、腰围负相关，与脉搏正相 关。
9 {3 }  E6 X0 O+ R5 J: X
& x& U! I/ O7 L( }) }% J6 R8 j

) d% p2 C0 H6 J. S0 A$ @& p利用如下的 MATLAB 程序：

, W7 ~- }- f; E; _8 [clc,clear
4 {9 F$ R5 G. s4 D/ Gload pz.txt %原始数据存放在纯文本文件 pz.txt 中
2 Z. y" E, F; B5 y% Q5 `: B+ q: ?mu=mean(pz);sig=std(pz); %求均值和标准差
rr=corrcoef(pz); %求相关系数矩阵
data=zscore(pz); %数据标准化
3 z5 R) @4 d7 Q9 M% A+ Cn=3;m=3; %n 是自变量的个数,m 是因变量的个数
) H4 o  m* ~' J% N, `) M2 g$ Rx0=pz(:,1:n);y0=pz(:,n+1:end);
8 O6 Y& V7 O3 k0 P( @; ie0=data(:,1:n);f0=data(:,n+1:end);
num=size(e0,1);%求样本点的个数
* d8 [- m7 V! m( j9 R  F" Wchg=eye(n); %w 到 w*变换矩阵的初始化
for i=1:n
0 l+ U+ Q1 @- |! t3 I%以下计算 w，w*和 t 的得分向量，
1 [* i9 W7 X) Z3 O9 D  j/ w    matrix=e0'*f0*f0'*e0;
    [vec,val]=eig(matrix); %求特征值和特征向量
5 Q7 z4 r) R; c; V% I8 G' L% c    val=diag(val); %提出对角线元素
+ J- I3 D3 f* X    [val,ind]=sort(val,'descend');
    w(:,i)=vec(:,ind(1)); %提出最大特征值对应的特征向量
+ z2 A3 D8 w# r    w_star(:,i)=chg*w(:,i); %计算 w*的取值
* H8 S' p" |& [& N* H* u# N    t(:,i)=e0*w(:,i); %计算成分 ti 的得分
; N& R+ i7 |% B6 w% H" }% `    alpha=e0'*t(:,i)/(t(:,i)'*t(:,i)); %计算 alpha_i
' l0 g& g: G1 D# Z: M3 U# ^    chg=chg*(eye(n)-w(:,i)*alpha'); %计算 w 到 w*的变换矩阵
! c' d  n' V: @+ s1 c! d! }    e=e0-t(:,i)*alpha'; %计算残差矩阵
    e0=e;
%以下计算 ss(i)的值
    beta=[t(:,1:i),ones(num,1)]\f0; %求回归方程的系数
7 x- W$ P( y* o0 W* y. ~" w  I    beta(end,=[]; %删除回归分析的常数项
    cancha=f0-t(:,1:i)*beta; %求残差矩阵
    ss(i)=sum(sum(cancha.^2)); %求误差平方和
%以下计算 press(i)
0 j6 V; }, |5 r0 u5 g: W    for j=1:num
5 z' C6 h& v/ `7 d8 V( O0 `% ]        t1=t(:,1:i);f1=f0;
        she_t=t1(j,;she_f=f1(j,; %把舍去的第 j 个样本点保存起来
        t1(j,=[];f1(j,=[]; %删除第 j 个观测值
        beta1=[t1,ones(num-1,1)]\f1; %求回归分析的系数
3 _" W, q1 L9 ~8 l8 H4 T        beta1(end,=[]; %删除回归分析的常数项
        cancha=she_f-she_t*beta1; %求残差向量
        press_i(j)=sum(cancha.^2);
) ]2 b" f) n$ a: `  b, L    end
/ F1 n! g& `/ v    press(i)=sum(press_i);
    if i>1
        Q_h2(i)=1-press(i)/ss(i-1);
    else
        Q_h2(1)=1;
    end
    if Q_h2(i)<0.0975
        fprintf('提出的成分个数 r=%d',i);
        r=i;
$ Q3 v* m9 m3 G( d* e3 Q/ f! m- Q        break
    end
end
beta_z=[t(:,1:r),ones(num,1)]\f0; %求 Y 关于 t 的回归系数
# Y* {$ @# B! _0 x8 gbeta_z(end,=[]; %删除常数项
xishu=w_star(:,1:r)*beta_z; %求Y关于X的回归系数，且是针对标准数据的回归系数，
每一列是一个回归方程
mu_x=mu(1:n);mu_y=mu(n+1:end);
sig_x=sig(1:n);sig_y=sig(n+1:end);
for i=1:m
    ch0(i)=mu_y(i)-mu_x./sig_x*sig_y(i)*xishu(:,i); %计算原始数据的回归方程的常数项
end
- m' t+ S; }+ J5 v% ffor i=1:m
    xish(:,i)=xishu(:,i)./sig_x'*sig_y(i); %计算原始数据的回归方程的系数，每一列是一个回归方程
end
' J5 k6 A; S% x8 F& Z4 }sol=[ch0;xish] %显示回归方程的系数，每一列是一个方程，每一列的第一个数是常数项
) Q4 m. z1 ?2 R: Ssave mydata x0 y0 num xishu ch0 xish




: k8 w3 Z+ i9 O5 y  j从回归系数图中可以立刻观察到，腰围变量在解释三个回归方程时起到了极为重要 的作用。然而，与单杠及弯曲相比，跳高成绩的回归方程显然不够理想，三个自变量对 它的解释能力均很低。


4 ^$ O& c' c9 m( Z

画直方图的 MATLAB 程序为：bar(xishu')

画体能训练的预测图的 MATLAB 程序如下：

load mydata
num
ch0=repmat(ch0,num,1);
/ ~: L1 b5 l( Y7 kyhat=ch0+x0*xish; %计算 y 的预测值
4 j, @2 u# N6 p2 N3 d1 c( {y1max=max(yhat);
1 G8 l4 o- O& W0 n" iy2max=max(y0);
ymax=max([y1max;y2max])
" M+ d7 |0 q. X) \5 C& [cancha=yhat-y0; %计算残差
subplot(2,2,1)
' I/ c: C4 p) E! U6 s) M$ n$ o. Fplot(0:ymax(1),0:ymax(1),yhat(:,1),y0(:,1),'*')
subplot(2,2,2)
' s6 u1 K! ~1 Q* Z/ iplot(0:ymax(2),0:ymax(2),yhat(:,2),y0(:,2),'O')
( |( m) m) w& }* `subplot(2,2,3)
plot(0:ymax(3),0:ymax(3),yhat(:,3),y0(:,3),'H')
/ l, R5 [  g! V$ _0 J
& t* s4 F0 @1 f% K3 D0 `. R
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- Q+ L8 u$ e! W$ }# d. u原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89669273
; j. Q1 h- @2 S, Z