偏最小二乘回归（三）：身体特征与体能训练结果的 案例分析

浅夏110

本节采用兰纳胡德（Linnerud）给出的关于体能训练的数据进行偏最小二乘回归建 模。在这个数据系统中被测的样本点，是某健身俱乐部的 20 位中年男子。被测变量分 为两组。第一组是身体特征指标 X ，包括：体重、腰围、脉搏。第二组变量是训练结 果指标Y ，包括：单杠、弯曲、跳高。原始数据见表 1。
! w  f2 c6 D! w% H3 S6 q! m( y
8 ^! ]: k$ D3 Q0 N3 I

- b0 G/ O' s2 _! @% y8 A9 J

; Q0 a  I1 b7 W8 M/ `+ S
  x; A1 R( ^9 o" ~8 `, _表 2 给出了这 6 个变量的简单相关系数矩阵。从相关系数矩阵可以看出，体重与腰 围是正相关的；体重、腰围与脉搏负相关；而在单杠、弯曲与跳高之间是正相关的。从 两组变量间的关系看，单杠、弯曲和跳高的训练成绩与体重、腰围负相关，与脉搏正相 关。
) w+ e& k8 c; Q% o4 S
+ ^7 ^. i; i5 P5 @" c; @; x" W
  N! `5 m: z* v* V: d% m  s
利用如下的 MATLAB 程序：

+ i) l2 T1 @) Wclc,clear
load pz.txt %原始数据存放在纯文本文件 pz.txt 中
mu=mean(pz);sig=std(pz); %求均值和标准差
rr=corrcoef(pz); %求相关系数矩阵
data=zscore(pz); %数据标准化
+ v* l# ?7 a; r. D. D9 sn=3;m=3; %n 是自变量的个数,m 是因变量的个数
0 c- K0 b+ [' p( I; _4 rx0=pz(:,1:n);y0=pz(:,n+1:end);
e0=data(:,1:n);f0=data(:,n+1:end);
num=size(e0,1);%求样本点的个数
chg=eye(n); %w 到 w*变换矩阵的初始化
for i=1:n
$ q9 E. M3 S" s8 X+ o0 `1 }# ^% X: w) u%以下计算 w，w*和 t 的得分向量，
$ o- E0 p0 P) |/ N( d6 w    matrix=e0'*f0*f0'*e0;
2 y9 v* v( C; }' _, B    [vec,val]=eig(matrix); %求特征值和特征向量
2 K5 K- ^' R' Q. J- k    val=diag(val); %提出对角线元素
    [val,ind]=sort(val,'descend');
  N* n  D% |6 \    w(:,i)=vec(:,ind(1)); %提出最大特征值对应的特征向量
) O8 N# a7 u- W) f$ q0 U    w_star(:,i)=chg*w(:,i); %计算 w*的取值
, n$ i! y$ j6 p    t(:,i)=e0*w(:,i); %计算成分 ti 的得分
    alpha=e0'*t(:,i)/(t(:,i)'*t(:,i)); %计算 alpha_i
    chg=chg*(eye(n)-w(:,i)*alpha'); %计算 w 到 w*的变换矩阵
    e=e0-t(:,i)*alpha'; %计算残差矩阵
    e0=e;
6 n& L& ^9 v  d2 M" ]0 x; q%以下计算 ss(i)的值
    beta=[t(:,1:i),ones(num,1)]\f0; %求回归方程的系数
    beta(end,=[]; %删除回归分析的常数项
    cancha=f0-t(:,1:i)*beta; %求残差矩阵
    ss(i)=sum(sum(cancha.^2)); %求误差平方和
( e% }" H3 @0 `! a& L2 y9 B%以下计算 press(i)
    for j=1:num
        t1=t(:,1:i);f1=f0;
        she_t=t1(j,;she_f=f1(j,; %把舍去的第 j 个样本点保存起来
% P+ A, O" c- a/ f        t1(j,=[];f1(j,=[]; %删除第 j 个观测值
        beta1=[t1,ones(num-1,1)]\f1; %求回归分析的系数
        beta1(end,=[]; %删除回归分析的常数项
  f  \, r$ i$ K, T+ C+ ^        cancha=she_f-she_t*beta1; %求残差向量
        press_i(j)=sum(cancha.^2);
. ~# ?3 L& K. @& w8 P3 `0 B    end
    press(i)=sum(press_i);
! p) [* M1 s( M9 p) B    if i>1
        Q_h2(i)=1-press(i)/ss(i-1);
/ d7 W8 D- _. w2 z& h, j    else
* j6 M9 D/ _9 p( K, l        Q_h2(1)=1;
& a( l& W0 W: P    end
4 v! \6 z( f( z0 S1 ?    if Q_h2(i)<0.0975
/ {; d9 L* X- o1 R# v. p3 {  z- ?        fprintf('提出的成分个数 r=%d',i);
        r=i;
        break
: D! F" u9 _/ l; p    end
end
* p. E5 `$ D$ N: H8 _. U# l6 ~beta_z=[t(:,1:r),ones(num,1)]\f0; %求 Y 关于 t 的回归系数
beta_z(end,=[]; %删除常数项
xishu=w_star(:,1:r)*beta_z; %求Y关于X的回归系数，且是针对标准数据的回归系数，
7 a1 Y% U! y6 Q; @6 ^每一列是一个回归方程
mu_x=mu(1:n);mu_y=mu(n+1:end);
, l) z0 h% D& t" O! xsig_x=sig(1:n);sig_y=sig(n+1:end);
for i=1:m
    ch0(i)=mu_y(i)-mu_x./sig_x*sig_y(i)*xishu(:,i); %计算原始数据的回归方程的常数项
0 l; w/ T' i% u: X5 \* U+ Xend
for i=1:m
    xish(:,i)=xishu(:,i)./sig_x'*sig_y(i); %计算原始数据的回归方程的系数，每一列是一个回归方程
end
7 H+ L8 q) n& ysol=[ch0;xish] %显示回归方程的系数，每一列是一个方程，每一列的第一个数是常数项
3 w9 Z5 V, m* ]/ S8 f, Tsave mydata x0 y0 num xishu ch0 xish
6 \$ R# X  ~- a$ ]# z& t+ Q


% g# C6 ?0 U/ [+ E
从回归系数图中可以立刻观察到，腰围变量在解释三个回归方程时起到了极为重要 的作用。然而，与单杠及弯曲相比，跳高成绩的回归方程显然不够理想，三个自变量对 它的解释能力均很低。

画直方图的 MATLAB 程序为：bar(xishu')

画体能训练的预测图的 MATLAB 程序如下：

! e+ M' Y( q# ^0 ]3 F+ H2 y2 Iload mydata
num
- X& q6 U4 W' R* `8 T2 V! Och0=repmat(ch0,num,1);
% |+ g8 f# t+ @9 |& R, nyhat=ch0+x0*xish; %计算 y 的预测值
y1max=max(yhat);
y2max=max(y0);
4 F! w2 r- i$ A! X% h7 gymax=max([y1max;y2max])
4 S8 p( `7 K/ l4 y! W8 ?+ }cancha=yhat-y0; %计算残差
5 B0 @, H) N* B+ bsubplot(2,2,1)
plot(0:ymax(1),0:ymax(1),yhat(:,1),y0(:,1),'*')
( }' A% j6 d4 ]" Xsubplot(2,2,2)
' K: S# r0 U6 {9 Iplot(0:ymax(2),0:ymax(2),yhat(:,2),y0(:,2),'O')
: c: C2 i# b  J4 Fsubplot(2,2,3)
8 M# e2 a( B$ a- M( |plot(0:ymax(3),0:ymax(3),yhat(:,3),y0(:,3),'H')
  K* x4 t9 z7 n6 X- j
' w0 m4 o( a* m% M1 [
, X/ v9 K; h# c/ _+ x————————————————
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