差分方程模型（一）：模型介绍与Z变换

浅夏110

1 差分方程简介
8 W7 v( h( l$ p( X
6 V! z- a3 @: B+ j
9 T7 s- d; H% ^# _
满足一差分方程的序列 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。
( T5 v% r/ c) ?/ T% R- Y
+ J. Q, S5 r' R n 阶常系数线性差分方程及求解
( C# B0 J1 }% ~# i7 l+ {
' y$ c# K& ]$ |% i+ `' A1 Q4 e



两个例题
/ k8 |2 l; U. T5 Y4 }

- T- z/ X1 |# [1 e( }

4 V8 N. d& d' ~8 e0 @! f. i9 r+ w, i
解的稳定性
# C9 X: c8 c! s# m; c! C* X
4 y+ \4 i" v- [" Z

程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。

2 j3 ~( o8 q! I; ^- }
: s( f! c$ H5 Z" o; {8 f
& y! l8 N- i/ J* C: t7 f. H) o9 h2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法
4 H8 Q5 J) J% k2 C常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。
( R1 }5 @  |- M4 c6 W
/ r8 n2 \4 ^5 f& ]/ y. m) z* h
$ w) @5 Z2 `: ~
% N; e. ]" C1 g! N. P0 d' N0 S8 O2.1 几个常用离散函数的 Z 变换
（i）单位冲激函数δ (k) 的 Z 变换



（ii）单位阶跃函数U(k) 的 Z 变换
# Q9 E9 E6 a6 ^) N
  A, u7 B& Z& P7 `* Z8 V" ], a
+ o4 J$ [9 v, |, a) k% J# g* O: _
（iii）单边指数函数   的 Z 变换（a 为不等于 1 的正常数）
) o, q! ?0 L1 }' H6 n( c


! `( p  A: `# Q; n+ j5 N3 N2.2    Z 变换的性质
（i）线性性质

! K) O8 F8 q2 N3 l8 u

' f+ V/ R$ r* d' g" ?) c6 |$ b. X& o（ii）平移性


0 P' B8 q6 J8 X$ s- G
例 3  求齐次差分方程
4 D$ v) o# u0 z# m; P1 S0 I: \
# b, q& T8 V+ M; e% X7 u2 p
# t! Y2 }4 J1 g% `1 G# y% g! x) h: w
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