差分方程模型（一）：模型介绍与Z变换

浅夏110

1 差分方程简介
5 z9 V) D" d/ |: C. K  z


& H: \4 O% r7 _+ Z( n! S' L3 y& Y, y满足一差分方程的序列 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。
! C" l7 h0 e0 F# @) J, b: Y
n 阶常系数线性差分方程及求解
8 |" v8 W/ t2 t2 N* A
, B3 O+ n7 ]* X; T7 Y" j6 o- x- c
9 u* m0 Y, z8 {6 M5 h
' n' s9 I3 [" ]( ^5 I- ]8 m

两个例题
! T. D: ?0 i7 `( p) r# w- _

& ~- o6 t6 V3 ]8 H& C+ {5 s# A
8 o& Q$ ~1 K* |+ g( C+ Q% [* b
+ [* r6 r; |0 j% u
解的稳定性

1 m) r6 T6 K+ ?: `

& `! ^2 e  g# o, B$ f程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。
: J/ x# I( Z7 n6 g
9 A, Y" K9 i" S$ b+ G8 p
) ]6 f  J$ T7 `9 n" i6 G* m
% b( @- G1 v1 G+ {. o2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法
常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。

0 I6 z2 [  x( y3 X' x

2.1 几个常用离散函数的 Z 变换
（i）单位冲激函数δ (k) 的 Z 变换

. V( W: G& j" y: e+ E
2 d, O" F' {" |- R8 H
- p* y# A! h8 n) z（ii）单位阶跃函数U(k) 的 Z 变换


. S: J# ]0 P" d% d6 }( V1 o
（iii）单边指数函数   的 Z 变换（a 为不等于 1 的正常数）
0 l& U( D  k! ~" E) A0 C7 l8 q
0 @  H; V5 h# Y& D; ^9 g; [% V, j" n
& j. S; y$ B$ y1 J. H9 b7 a8 F
* h4 A% y: Z/ ]2.2    Z 变换的性质
（i）线性性质


) l$ A, J2 ]4 @
（ii）平移性


- b' u: A: w4 m
例 3  求齐次差分方程
1 K- }, P/ F2 f" F


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: ?8 z+ f8 L3 ^7 W3 G8 y. u