差分方程模型（一）：模型介绍与Z变换

浅夏110

1 差分方程简介
! L: w7 r* z5 u: t


( Q" P* W) _! c( ?+ t满足一差分方程的序列 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。

n 阶常系数线性差分方程及求解
& ^: R; H1 c1 `1 A1 X3 Z

; q1 E( e3 s! W' R+ @; d
; T, v$ u% |0 P/ M) z7 N- s+ l
# M; _' m$ e5 @# Z( p& w
两个例题
7 r$ }& w0 a+ {( v8 Y# h" d4 Z
8 O& j1 I" {7 q4 u! ^' x


/ n5 x' }* l" m
. q* ]0 L+ D3 L解的稳定性

3 ]6 Z4 K7 |7 W9 \% R; W& P+ }

程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。

7 v) s* l3 p) ]- `1 o( c
. H& R9 D4 G5 G2 Q7 X
0 A1 x- ]: f: P2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法
常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。

! C' U7 Q$ J, X: K

2.1 几个常用离散函数的 Z 变换
. {# J! d8 L: e" g. N3 C9 n（i）单位冲激函数δ (k) 的 Z 变换
9 u' |) m; E0 j3 F( M: B; R/ K$ e


# l  \; \. e" P9 n' J' C（ii）单位阶跃函数U(k) 的 Z 变换


1 ?* U, N+ B' {. |, b6 ]3 A+ I# Z
（iii）单边指数函数   的 Z 变换（a 为不等于 1 的正常数）
3 n+ }0 @4 l3 B3 g) L' ]
( P# E0 b# {% ^

8 B3 L5 H& k% t' y- S2.2    Z 变换的性质
（i）线性性质

! N- S% h* ~. G7 j

（ii）平移性



例 3  求齐次差分方程
3 _% J# N# \8 w' ?9 M. a+ S
7 V4 R% x5 t+ R) `; O$ a8 i
+ ]- m  M# U: m, K1 L. f3 s
$ V2 x/ f2 N5 \————————————————
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. \( G3 P" k3 K7 V  M6 p