差分方程模型（一）：模型介绍与Z变换

浅夏110

1 差分方程简介



满足一差分方程的序列 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。

n 阶常系数线性差分方程及求解
; h8 K6 {9 L$ z, k7 m
8 q) z0 }* }9 u% U- Q# [( B6 ^; s
" y! ]' M6 `/ z3 Z5 ?; m


两个例题
/ x8 ]" ?0 {2 u' s' V* S

" t( {5 v8 }7 h" \3 t& F# a


解的稳定性
( Q' N4 H6 Q* T! T2 c

7 C; X3 |% b: L3 S8 v( X
+ B) E5 W5 @4 x程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。



/ Y& j" I1 E5 ~# E2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法
' x' x0 m$ n( R; S. N+ v3 u常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。



% _$ j& k  T6 X. Z7 Z3 E2.1 几个常用离散函数的 Z 变换
（i）单位冲激函数δ (k) 的 Z 变换
0 s/ e7 |+ g! ?+ C7 b3 D3 l# O

9 h8 o' e. B/ F0 O3 G$ y( t1 c  x
（ii）单位阶跃函数U(k) 的 Z 变换

% O" @  x% e$ b, `8 d, Y& b; D  h
& R0 g6 b& n& ~
（iii）单边指数函数   的 Z 变换（a 为不等于 1 的正常数）
* g- l' |; s6 y) h# @0 u
! q( ?/ |/ `' @; U
: i1 ^0 Q5 p% ]0 Z: j# _+ p
2.2    Z 变换的性质
（i）线性性质
2 \* |+ @% G5 W! _" [6 _
- B+ S( I2 n' n; H- _) X

6 H0 b! N+ K3 U- J5 a（ii）平移性


5 U  i: k" b5 h  S. z4 I
例 3  求齐次差分方程



3 A: ]4 f) e4 M9 V" E+ [————————————————
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