差分方程模型（一）：模型介绍与Z变换

浅夏110

1 差分方程简介
) y( k; i+ s5 V% @
8 u1 U" n* ?/ j0 e8 `" \' j3 e

7 v2 X5 d0 q3 y0 m1 t) H满足一差分方程的序列 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。

n 阶常系数线性差分方程及求解
- u4 N% u) r: U7 e4 g
6 j; V/ J, u, D# V% S9 |
. q  N& |& X! g6 {6 p  t$ m: `; f' p
  u6 O- B/ D" w) p* M4 l

两个例题
: R* X. E# Z) v


0 z, Z" U! g3 X. b6 o, i3 e
+ S4 c/ m' G8 M2 d# I
解的稳定性
9 v3 o! Z2 F& X

- Z) g8 d  K; _( ]) H
$ ^7 W  Q2 Y- ]# s. m" h程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。



) L7 w) e1 w/ F( _8 h) Z, ?4 z2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法
& r4 h/ r" J! f* X$ A/ t常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。



4 g+ f% {- \1 B9 R2 c1 i. C* ?4 A2.1 几个常用离散函数的 Z 变换
9 ^, t/ w% ?* v1 z1 J（i）单位冲激函数δ (k) 的 Z 变换
& g; d& z9 c# X+ g0 V. r


（ii）单位阶跃函数U(k) 的 Z 变换
0 I' \7 O! M( ]/ P; v$ E8 B
. m; }# L  q1 s

" a/ M/ Y  v! u( F/ L（iii）单边指数函数   的 Z 变换（a 为不等于 1 的正常数）


/ N% Y8 u) l8 I; {
2.2    Z 变换的性质
（i）线性性质

8 y- l! S- P. ^4 g: u! w
. g6 e8 }. q* y, P3 R
（ii）平移性
# n2 q  g% v0 c' A, G

6 b, S* Y7 n, L) i  @* F
* |% i5 z! F% S* O; F9 C( w例 3  求齐次差分方程
( ?0 {# M. \2 ~. ]% n8 P
5 M" `& H+ }7 ^, i  d  n% O
+ U0 g# F( c  v6 V$ E
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