差分方程模型（一）：模型介绍与Z变换

浅夏110

1 差分方程简介



满足一差分方程的序列 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。

) t4 B" S2 T  ^( x. N! d! W& l n 阶常系数线性差分方程及求解
; j8 x3 t9 j/ ]$ W3 P& l- m0 ?3 q
4 U) B4 j6 m, G' K8 {

3 \, L$ u6 `! l  \  h( B6 k7 U7 r
# v5 u6 n) N3 G3 j. L
两个例题

; V" g% m6 U( N3 Q  _) h


: D* Y1 g$ w9 n# U/ c
; }+ }, B% e& h9 D. L0 q' P解的稳定性
: Z1 @, P2 v; B
% V* W. \+ `; P. o- h
6 u& t: o, N5 e4 m& ]% _, t
" K- R2 F4 H/ b5 U# @6 p程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。
+ f. e: Y) m) X5 K% @
3 i5 n. X$ @5 Q9 V4 S$ R8 }: o
6 j* t( |4 K5 n  X; I
8 U! n+ r) e1 {( k) }) ?4 @2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法
0 f3 u# \% j& v, h% i, `常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。

  k3 x$ Z, F" \6 J* Y' p7 q

( r8 i! \  ~9 Z- G! Y' U# [" D2.1 几个常用离散函数的 Z 变换
（i）单位冲激函数δ (k) 的 Z 变换
- s" W- }2 u3 A; i- d9 T
" Z( v' E& `/ b

（ii）单位阶跃函数U(k) 的 Z 变换

8 }1 a( j' D" A3 T) Z" t+ ^" k
+ W7 |0 R- x$ Z0 k( E' _# \  B
" H( A7 i: v; e$ e' q（iii）单边指数函数   的 Z 变换（a 为不等于 1 的正常数）


  p! [; {. _+ ?' n7 z
2.2    Z 变换的性质
3 T# I/ h, P) M9 @! b（i）线性性质

7 `6 h; P6 z' g" N

（ii）平移性


" K; a1 R5 v6 f3 k2 }: T- G5 S
例 3  求齐次差分方程

1 {, {4 d! N2 k  N" d! J* v+ G

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