差分方程模型（一）：模型介绍与Z变换

浅夏110

1 差分方程简介

: q2 \8 j; D& Q
, \, R* Y) w. y) x: \  O  R
) E. I% h6 o% j; E% [, `满足一差分方程的序列 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。
2 P' Q; r& `1 d- n; g
$ e+ e9 P+ S) o0 A n 阶常系数线性差分方程及求解
5 C/ _5 i  K6 F( b
0 p$ y4 W$ x! q4 ]


7 ~6 V# m( Z: n  Z/ B
, C5 Q9 Z2 A, P3 O- J两个例题
5 u  y0 G+ R  I8 p

8 [- p% J8 n$ s. L; b

& J2 v) S% g9 l: S" f, `% }2 V
9 H) J3 ]' }) S% ]  i解的稳定性
8 i  O* `- g- _; |
+ |7 C1 d& p9 R

程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。



/ R, G0 {7 {# W2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法
+ R7 L/ j9 h! T/ p+ j* j* v9 V常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。
) ^; }% L! V, p& |

' ^. N. D5 K1 h  E* p# K: C
! `" x9 I0 |: ~% w6 x2.1 几个常用离散函数的 Z 变换
（i）单位冲激函数δ (k) 的 Z 变换
  O+ N/ Z; c$ j6 C


（ii）单位阶跃函数U(k) 的 Z 变换
: r- o/ U1 v0 m( G8 N2 Q) |8 l
8 Q3 [6 e# Q, K' G& M; q

（iii）单边指数函数   的 Z 变换（a 为不等于 1 的正常数）
5 G6 C# ]0 N$ h5 |) b

- o! z- E: a. o: |% @: ?
- L* m1 D# d+ x; V# s( T. i8 _2.2    Z 变换的性质
+ z6 w$ Z( W6 z) e; s: q1 t0 p+ \2 Z（i）线性性质
" [3 O, v8 j6 ~& V# K' A2 [

' `  O) x1 o) z% g
（ii）平移性

7 E; L7 m9 j% m
8 }0 ?" \+ P# t: p8 i9 S
例 3  求齐次差分方程
) G7 m9 d+ _6 u/ _

3 x6 z7 o- _- l# ]" h8 I4 v
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4 D$ z; |0 {0 m' K+ w
7 J1 [! S4 X9 x- _9 a5 ~  p7 F! }