差分方程模型（一）：模型介绍与Z变换

浅夏110

1 差分方程简介
, j. Z" C: y, \


满足一差分方程的序列 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。
# `3 [7 e) s5 d( H2 A5 O
  A. G( T7 I2 b; a/ v n 阶常系数线性差分方程及求解
' s$ Z0 G& I) I! \, |
, r% U3 k' W+ ^5 S
& n5 M3 U  c  C$ ]; A

8 I: _$ z4 \8 U1 I  T# s7 c
两个例题
" m* Z& I: h) G8 Z( g  |% o$ }$ f

* r2 \- W" q7 ?* A& \# ?; W" ^7 f


解的稳定性
# j# I: _3 C) Q; G
3 H# S: d; s* F7 c6 q. m' V$ ?
5 ?) O9 L* t3 a% O
& t% q, o0 \! e8 t3 @程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。
# h  z( `  P$ l$ d: W: m
" h' c0 v: j3 R1 c% B# h3 S2 _8 }

; x/ ]1 ~' n- ?" D" X2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法
: W5 c' W# A! c. [; w7 w0 f; A常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。
2 k+ u! h1 R; N1 E1 v9 ]* v- Y+ }
; u5 g6 Y0 t( L9 G( Y
$ ?3 t1 |/ {1 N7 `) v  @
2.1 几个常用离散函数的 Z 变换
* i4 s- G( i9 e（i）单位冲激函数δ (k) 的 Z 变换
, b. W" y$ t7 Y" y# |0 b7 ~
! N1 f( U  ~% N! I5 P- i" p

' m  U9 {/ K  @6 J! K; C) Q（ii）单位阶跃函数U(k) 的 Z 变换
7 _# ?0 c! r) w3 n" O  f$ {( ?
" n9 r. q" a$ ^8 m; k. r5 n0 ]7 @( K

（iii）单边指数函数   的 Z 变换（a 为不等于 1 的正常数）


2 C- p4 U! v# _. @
* ]* C. g( D& u/ z3 s7 k1 t' {2 d2.2    Z 变换的性质
（i）线性性质

: p) ]( ^0 c& ~
- \6 b0 I  R7 x1 h" n2 o' m/ e
; i4 f/ W3 e, F& M3 c（ii）平移性
0 n6 X$ }' n. O4 g
" C* T/ T8 D' B' S. E

例 3  求齐次差分方程
% F& t, U2 W; Y2 Z6 `- O' z2 u


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