常微分方程的解法 (一): 常微分方程的离散化 :差商近似导数、数值积分方法、Taylor...

浅夏110

建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并 加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线 性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解， 而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的 方程如  ，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十 分重要的手段.

) B$ |0 J) X; e; l0 r* X1 常微分方程的离散化
下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是
7 k# c) P+ |* [: ^; ^2 E5 u$ }; ~  K0 e
/ t! N: ~; ^2 F, H' S6 N

: K" h% h7 o+ c$ F" f& Z! q5 f在下面的讨论中，我们总假定函数 f (x, y) 连续，且关于 y 满足李普希兹(Lipschitz)条 件，即存在常数 L ，使得

6 E, o5 U3 \* c

( t. S4 R/ P+ h1 r! x这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。
8 k0 T3 d6 c7 R" j% n
数值解法
$ p9 q0 h* E% x所谓数值解法，就是求问题（1）的解 y(x) 在若干点           
* K1 O: h( N, Z


建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法：
5 d& K/ s7 `- I6 @+ _' ~
3 G7 l& C% o, `# T$ p（i）用差商近似导数------差分方程初值问题

2 u# ^. P* Z' N
. u3 F+ i* o, T5 b  w4 \7 D
3 a. Z$ }# A2 {6 x2 F  U5 c
) ]& R& d  r$ i2 P5 p( |需要说明的是，用不同的差商近似导数，将得到不同的计算公式。
5 [8 G7 [# c$ W
$ G, x8 N$ g7 c6 e0 F) W（ii）用数值积分方法
将问题（1）的解表成积分形式，用数值积分方法离散化。例如，对微分方程两端 积分，得
) Z$ t3 X  S# G5 b# \2 ~$ O7 W


& Z7 ^8 [4 P$ v" Z9 ^! H) g右边的积分用矩形公式或梯形公式计算。
: |2 L+ G/ @* f  O+ K# f4 Y7 v) W
- M; f# w2 _( m4 Z; h! D, _（iii）Taylor 多项式近似


4 v# J' D# j% Q" ~; }0 R6 G& i
% g/ k/ K5 l* X. |: @以上三种方法都是将微分方程离散化的常用方法，每一类方法又可导出不同形式的 计算公式。其中的 Taylor 展开法，不仅可以得到求数值解的公式，而且容易估计截断 误差。
, r+ x3 H: N4 S9 p9 H' x4 F# P————————————————
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5 Q* w. I7 K2 I0 n$ t

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