常微分方程的解法 (一): 常微分方程的离散化 :差商近似导数、数值积分方法、Taylor...

浅夏110

建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并 加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线 性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解， 而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的 方程如  ，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十 分重要的手段.
, V+ m! W' x2 V- ?. j- Z
9 B- Q% ?  O- U" b1 常微分方程的离散化
9 C1 t8 r' r) Y# y下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是


  B# A1 v; B$ g! j- M0 C
* r) L, e/ s9 d) Q在下面的讨论中，我们总假定函数 f (x, y) 连续，且关于 y 满足李普希兹(Lipschitz)条 件，即存在常数 L ，使得
; E& Q5 r; R5 s& ~& g2 Z


9 Z% p( T0 s+ t3 d' ^* @0 c% p2 C这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。

数值解法
$ y9 P1 f7 r& E. j# z( @所谓数值解法，就是求问题（1）的解 y(x) 在若干点           


/ ~4 a8 Y0 n7 C; ]5 O* F
建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法：

& q; X% _4 J4 M1 u  u; s. u' W（i）用差商近似导数------差分方程初值问题
, t( u* Z' \& v1 t0 g# H

# N9 b8 s" j- Q4 Z

需要说明的是，用不同的差商近似导数，将得到不同的计算公式。
/ n* R5 x1 [  p% {! m  r$ t
（ii）用数值积分方法
7 @7 q3 o0 {; A, `/ i将问题（1）的解表成积分形式，用数值积分方法离散化。例如，对微分方程两端 积分，得
6 \0 k1 G$ i* i+ Y% B' |# O

$ b: F4 E% L# F# L" u3 E9 z8 U5 f
+ u% H2 n  N" _0 a右边的积分用矩形公式或梯形公式计算。

" }- w$ j2 B9 ?' F5 K% e（iii）Taylor 多项式近似
$ t: {# v4 g& m6 q2 E
+ K+ D# q. Z$ K: u# J

以上三种方法都是将微分方程离散化的常用方法，每一类方法又可导出不同形式的 计算公式。其中的 Taylor 展开法，不仅可以得到求数值解的公式，而且容易估计截断 误差。
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