常微分方程的解法 (一): 常微分方程的离散化 :差商近似导数、数值积分方法、Taylor...

浅夏110

建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并 加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线 性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解， 而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的 方程如  ，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十 分重要的手段.

1 常微分方程的离散化
下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是
& ?- e  h: I; N/ T8 H/ A, k
: X7 a+ @2 K" R. H0 H! s; E" H0 O
+ n! k1 L/ Y/ S2 v9 Y6 }0 u) N
8 n+ _) Q* A6 T6 ]1 U( s5 ~9 y在下面的讨论中，我们总假定函数 f (x, y) 连续，且关于 y 满足李普希兹(Lipschitz)条 件，即存在常数 L ，使得


2 j" H  b( b' w& Z! s/ x
这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。

' _6 Q4 i, r5 U数值解法
所谓数值解法，就是求问题（1）的解 y(x) 在若干点           

# @3 K2 G" |; {- ]1 T

建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法：

（i）用差商近似导数------差分方程初值问题
' [1 d8 j4 s6 A' q


$ n  w7 `( U1 t$ L
" k& L0 w2 a0 J8 D1 y. e. W需要说明的是，用不同的差商近似导数，将得到不同的计算公式。
7 w% n* [: P) s% x& A6 j
（ii）用数值积分方法
将问题（1）的解表成积分形式，用数值积分方法离散化。例如，对微分方程两端 积分，得


0 m0 f! S: Y8 c- J4 J6 y& Y& U
* u2 F4 `" N$ e# {6 o右边的积分用矩形公式或梯形公式计算。
  h& @2 `3 Q) ~+ }* N4 c# ]- u
, t1 I" i$ y9 ~& T, T6 h3 }/ G（iii）Taylor 多项式近似
8 L1 G1 z' R! s' |( {3 g. |
' u: e5 `2 S4 w4 f( m' ^

9 e% D0 {5 s# \9 x( J以上三种方法都是将微分方程离散化的常用方法，每一类方法又可导出不同形式的 计算公式。其中的 Taylor 展开法，不仅可以得到求数值解的公式，而且容易估计截断 误差。
2 I! t1 G: R' f8 e6 ]4 S, }& e, F————————————————
8 B% k# n% @' u3 J) P, t版权声明：本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
2 Z4 i: _  N+ @; A9 n" o! b原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89703074
% u% k/ A1 Z9 \* {. A. V

4 ?: Z2 Z4 Z2 y5 J