常微分方程的解法 (一): 常微分方程的离散化 :差商近似导数、数值积分方法、Taylor...

浅夏110

建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并 加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线 性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解， 而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的 方程如  ，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十 分重要的手段.

3 h* z, [9 y  }# `- k1 常微分方程的离散化
3 o9 S0 W' Z  q# h4 T下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是
6 H" d% @% f) v; o& |2 g* Y7 l

# i& b5 H. p' I
在下面的讨论中，我们总假定函数 f (x, y) 连续，且关于 y 满足李普希兹(Lipschitz)条 件，即存在常数 L ，使得
9 S4 R+ E8 z. ?4 b  P


/ G$ s- O* G9 Z5 r这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。

数值解法
所谓数值解法，就是求问题（1）的解 y(x) 在若干点           
; t7 d# s  N6 Q5 l, ?

4 x: Q) t1 W# k! ]# R  ^# d3 I6 H
建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法：
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（i）用差商近似导数------差分方程初值问题


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0 G% K7 P5 a" }! P需要说明的是，用不同的差商近似导数，将得到不同的计算公式。
  q, S1 B: ]) e, p& R
0 b' X4 G( J3 p# {- u3 @$ a（ii）用数值积分方法
- s" J, w% l/ r8 O: o& r将问题（1）的解表成积分形式，用数值积分方法离散化。例如，对微分方程两端 积分，得


: T/ z# u% W8 \+ I! A% `/ _" x' z
7 L# i8 G+ C9 Z) W" I( \8 U7 {右边的积分用矩形公式或梯形公式计算。

, X" x" q7 k$ a  H+ ^  n8 F（iii）Taylor 多项式近似

( \& e  _" z; t' Q$ c7 i

$ N1 C: z5 t* o. `& O8 u7 T9 L以上三种方法都是将微分方程离散化的常用方法，每一类方法又可导出不同形式的 计算公式。其中的 Taylor 展开法，不仅可以得到求数值解的公式，而且容易估计截断 误差。
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