常微分方程的解法 (一): 常微分方程的离散化 :差商近似导数、数值积分方法、Taylor...

浅夏110

建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并 加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线 性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解， 而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的 方程如  ，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十 分重要的手段.

" q  T" T8 Q7 `2 i! g1 常微分方程的离散化
下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是
) G" W: g4 c& o$ W' @; J; T' E, y

1 ~% y  b) z0 j+ i, N" i! C" U
在下面的讨论中，我们总假定函数 f (x, y) 连续，且关于 y 满足李普希兹(Lipschitz)条 件，即存在常数 L ，使得

; L- k) a) F- l7 X, x* r' @

8 a9 ?- w- f1 j1 M0 M这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。

数值解法
所谓数值解法，就是求问题（1）的解 y(x) 在若干点           
4 J; [! Z; l+ y$ C5 h4 p
5 ^7 F$ a# n. V% ~; k$ t
  e# m  G4 R. c+ A. D# f% v
; X5 O2 w2 v) i0 d0 {) _" B建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法：
* h& V: F, Q0 @" m5 P( f9 x
（i）用差商近似导数------差分方程初值问题
# T( L6 ]* p3 `



需要说明的是，用不同的差商近似导数，将得到不同的计算公式。

（ii）用数值积分方法
$ ?2 |& g# z6 t- x" o将问题（1）的解表成积分形式，用数值积分方法离散化。例如，对微分方程两端 积分，得
- E, C( s# v5 U9 x" o, r
/ Y. ?. Q, L+ i6 g2 T
" y3 _) T9 b+ `: q; k
( [+ t8 y$ Q5 l2 ^. `$ M" t4 x2 \右边的积分用矩形公式或梯形公式计算。

（iii）Taylor 多项式近似

  B4 }; m8 y, d" b0 d, }  I

以上三种方法都是将微分方程离散化的常用方法，每一类方法又可导出不同形式的 计算公式。其中的 Taylor 展开法，不仅可以得到求数值解的公式，而且容易估计截断 误差。
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