常微分方程的解法 (一): 常微分方程的离散化 :差商近似导数、数值积分方法、Taylor...

浅夏110

建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并 加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线 性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解， 而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的 方程如  ，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十 分重要的手段.
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& c" I4 B4 x3 Q. N' ]) T1 常微分方程的离散化
下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是

  O' y8 [7 c! M" E, z% j. h

6 r0 n+ L4 O( J. j( ~) w7 O4 p* x在下面的讨论中，我们总假定函数 f (x, y) 连续，且关于 y 满足李普希兹(Lipschitz)条 件，即存在常数 L ，使得

# c4 t! x( Z2 h8 h& }- G

这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。
/ F# o: I( ?. c8 M7 ]. T
" o$ f: a# `( [数值解法
2 D% z5 N; S8 N" H: r  v/ k2 i. @所谓数值解法，就是求问题（1）的解 y(x) 在若干点           
* i' R0 a: e0 c0 H" Z
1 V+ t" i% J4 }0 O
' z, P. X1 U( G- ^
6 D2 y, e0 G+ D+ f" ~3 I- g建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法：
7 g  D' O8 r; D6 h! n, H
: c  {8 E% x8 Z（i）用差商近似导数------差分方程初值问题
/ ], w$ V' w5 J  M2 G2 p- |


! I3 j6 d' v: n" z
需要说明的是，用不同的差商近似导数，将得到不同的计算公式。
) [- d1 P) A* x6 F% C9 N# u4 N; N
（ii）用数值积分方法
. E, }! m. d" s* l将问题（1）的解表成积分形式，用数值积分方法离散化。例如，对微分方程两端 积分，得
3 D" [; {, X8 s: r8 i6 j

- |% Q* X! Z+ Z4 ?5 M# u4 X
! i: g# s9 o- n" Y右边的积分用矩形公式或梯形公式计算。

（iii）Taylor 多项式近似


" F1 ~) O, }2 E! o4 V% I* m
! B; s( g  w2 z以上三种方法都是将微分方程离散化的常用方法，每一类方法又可导出不同形式的 计算公式。其中的 Taylor 展开法，不仅可以得到求数值解的公式，而且容易估计截断 误差。
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