偏微分方程的数值解(六)： 偏微分方程的 pdetool 解法

浅夏110

1 图形界面解法简介
, k7 b7 ^* N9 ]" R' K- v对于一般的区域，任意边界条件的偏微分方程，我们可以利用 MATLAB 中 pdetool 提供的偏微分方程用户图形界面解法。 图形界面解法步骤大致上为：

# L1 a9 B3 }% G; o7 X/ p2 x3 H（1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。
. d4 Q$ J/ I$ t: Z/ v4 t
6 ?$ U. l' B1 J4 m（2）产生离散化之点，并将原 PDE 方程式离散化。

2 b( V: v* x7 X  E5 {（3）利用有限元素法(finite element method；FEM)求解并显示答案。

在说明此解法工具之前，先介绍此 PDE 图形界面的菜单下方的功能图标(icon)按 钮。
  M3 S4 w  ?$ Y( F
" ^: J. i$ k+ ?% E7 F) _& f

$ l4 H" t. O; J# z& m: N2 图形界面解法的使用步骤
要利用 pdetool 接口求解之前，需先定义 PDE 问题，其包含三大部份：
; i( d$ a/ y4 q4 \' o7 w% `
（1）利用绘图(draw)模式，定义 需要求解的问题的空间范围(domain)Ω 。

+ C/ w( N) }% N. G, z$ ~$ z（2）利用 boundary 模式，指定边界条件。

（3）利用 PDE 模式，指定 PDE 系数，即输入 c，a，f 和 d 等 PDE 模式中的系数。
1 l% g8 q) X* K+ j
5 D2 N; P+ O  w3 M  a! v在定义 PDE 问题之后，可依以下两个步骤求解
" T2 k6 n) p- A7 P
; E$ c, E8 S1 {0 P6 |+ J6 A（1）在 mesh 模式下，产生 mesh 点，以便将原问题离散化。
. i; g. j2 ~  s. n! U
（2）在 solve 模式下，求解。
% [' [+ A3 @/ H/ S9 f
9 i. z$ f: [) k5 r（3）最后，在 Plot 模式下，显示答案。

: S/ B( q2 R$ a: }) h% e


. n% z2 Y6 K$ T  }$ E+ `+ o
9 x* p+ @6 p6 x/ Q3 a

; K8 C5 p# ~7 }# ~0 B1 D

# [9 U; b: g& N. \
注意：

1. MATLAB 会以图形的方式展示结果，使用者亦可点选 plot 下之“parameters”功 能，选择适当的方式显示图形及数据。例如用 3D 方式显示求解结果。参数设置见图 10， 显示结果见图 11。
1 N8 b0 L% Q. o& w# z2 t2 J


2. 另外，若使用者欲将结果输出到命令窗口中，以供后续处理，可利用 solve 功能 项下之“export solution”指定变量名称来完成。

3. 如果求抛物型或双曲型方程的数值解，还需要通过“solve”菜单下的 “parameters…”选项设置初值条件。

+ ]8 O0 h+ v' {2 i5 F6 p4. 在上面定义边界条件和初始条件时，可以使用一些内置变量。
5 z% j3 q8 z/ u1 q, e
% a  O' o$ u/ m  J+ l- E# k（1）在边界条件输入框中，可以使用如下变量： 二维坐标 x 和 y，边界线段长度参数（s s 是以箭头的方向沿边界线段从 0 增加到 1）， 外法向矢量的分量 nx 和 ny（如果需要边界的切线方向，可以通过 tx=-ny 和 ty=nx 表示）， 解 u。

（2）在初值条件的输入框中，也可以输入用户定义的 MATLAB 可接受变量（p， e，t，x，y）的函数。

例 11 使用 PDETOOL 重新求例 8 的数值解。

& d& t/ z: c! _9 F5 \2 G8 @4 V                例8  求解正方形区域{(x, y) | −1 ≤ x, y ≤ 1}上的热传导方程



; k* k5 u% j4 v边界条件为Dirichlet条件u = 0。
4 g# n+ c9 e0 k, c& @0 M7 y
' X0 R( H2 O7 r解 这里是抛物型方程，其中c = 1, a = 0, f = 0, d = 1。
$ Y/ T8 ~7 j! i2 i2 W, t
, A/ @$ f4 r* x) l6 w$ ^5 x1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。我们这里就 省略了。

2）区域剖分以后，通过“Mesh”菜单下的“Export Mesh…”选项可以把 p，e，t 三个参数分别输出到工作间。
* s, \5 Z" N8 h# y9 w# m
: S% `$ ^* e4 |( L/ ]/ |3）然后编写函数 fun1(x,y)如下：

function f=fun1(x,y);
f=zeros(length(x),1);
ix=find(x.^2+y.^2<0.16);
4 y% W! q% F5 n9 X& uf(ix)=1;

其中的变量 x，y 是 MATLAB 可接受的内置变量。 设置“solve”菜单下的“parameters…”选项如下：
. v# w2 E, b! t2 M% N
( D0 r; F% K" v! [1 Z  Z9 W时间框中输入：linspace(0,0.1,20)；
) S* G- p9 b( m* d7 H2 e
初值框中输入：fun1。

4）设置“plot"菜单下的“parameters…”选项如下：选择 Height(3-D plot) 和 Animation 两项。

0 k. ?2 T. V, x/ \5）用鼠标点一下工具栏上的“＝”按钮，就可以画出数值解的 3-D 图形。
6 r2 K/ |/ S0 U9 H  g' ?

' D2 |5 v# H7 Z. O* V2 s0 D————————————————
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