偏微分方程的数值解(六)： 偏微分方程的 pdetool 解法

浅夏110

1 图形界面解法简介
对于一般的区域，任意边界条件的偏微分方程，我们可以利用 MATLAB 中 pdetool 提供的偏微分方程用户图形界面解法。 图形界面解法步骤大致上为：
6 @4 E- `! I! w! |
（1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。

6 b+ B" H. z5 C+ X6 {6 J（2）产生离散化之点，并将原 PDE 方程式离散化。

$ `6 l1 c$ r' i2 _（3）利用有限元素法(finite element method；FEM)求解并显示答案。
. Z3 F- Z2 F7 X0 ?( a$ h0 m  T/ D+ K' J
, S8 H0 o* K/ V+ B9 o/ q" g在说明此解法工具之前，先介绍此 PDE 图形界面的菜单下方的功能图标(icon)按 钮。
6 J/ e7 O! [  ?4 b, B0 @9 U


5 s, S4 i5 G& N+ _" B2 图形界面解法的使用步骤
要利用 pdetool 接口求解之前，需先定义 PDE 问题，其包含三大部份：
* o, w, w4 g# l: i) X6 H0 E
1 |1 K/ _% d8 J- i8 L! i4 `2 ]0 R（1）利用绘图(draw)模式，定义 需要求解的问题的空间范围(domain)Ω 。
' T/ [- M$ N1 X
% S, Y* E. m' ~# p7 F（2）利用 boundary 模式，指定边界条件。

（3）利用 PDE 模式，指定 PDE 系数，即输入 c，a，f 和 d 等 PDE 模式中的系数。
& n. i5 {" U3 Q- M. B7 n3 L
在定义 PDE 问题之后，可依以下两个步骤求解
/ z' x& f+ g1 o* h* z" W1 Y$ H/ {2 Z
! Z* ^: J: M' G3 b. t7 Q! O- a（1）在 mesh 模式下，产生 mesh 点，以便将原问题离散化。
0 S; Z2 Y5 @1 V2 R
（2）在 solve 模式下，求解。
: I- B1 k3 b" h, b8 c. Y
（3）最后，在 Plot 模式下，显示答案。
. S0 V* h; @. ~( B+ J! G4 g6 A. w
" Z3 S: h8 ~4 Z% K
2 G$ S3 s& K; W& O
( t. {9 \. R- V4 X

* Y) b& |7 |  K3 w

* p6 }2 B$ m: d" F$ c5 t

  t. z' F/ O# Y3 o; e; Y3 j" d
注意：

* Z/ \$ b& U: m' G) `) I0 z7 ?* r1. MATLAB 会以图形的方式展示结果，使用者亦可点选 plot 下之“parameters”功 能，选择适当的方式显示图形及数据。例如用 3D 方式显示求解结果。参数设置见图 10， 显示结果见图 11。



2. 另外，若使用者欲将结果输出到命令窗口中，以供后续处理，可利用 solve 功能 项下之“export solution”指定变量名称来完成。
5 A5 M: E$ G) ?: U
0 _; |7 e9 q& u3. 如果求抛物型或双曲型方程的数值解，还需要通过“solve”菜单下的 “parameters…”选项设置初值条件。

4. 在上面定义边界条件和初始条件时，可以使用一些内置变量。
/ y, H. b  I8 V' K  h9 q9 B
（1）在边界条件输入框中，可以使用如下变量： 二维坐标 x 和 y，边界线段长度参数（s s 是以箭头的方向沿边界线段从 0 增加到 1）， 外法向矢量的分量 nx 和 ny（如果需要边界的切线方向，可以通过 tx=-ny 和 ty=nx 表示）， 解 u。
, B2 ~2 n8 {) L8 ]; R% A
3 q% o7 i0 s% W! q% l) R) P（2）在初值条件的输入框中，也可以输入用户定义的 MATLAB 可接受变量（p， e，t，x，y）的函数。

例 11 使用 PDETOOL 重新求例 8 的数值解。
0 A- C, N$ o' N' v; `! y
  }/ L9 W% _: a% J# i                例8  求解正方形区域{(x, y) | −1 ≤ x, y ≤ 1}上的热传导方程



边界条件为Dirichlet条件u = 0。

解 这里是抛物型方程，其中c = 1, a = 0, f = 0, d = 1。

' K0 c* y& f$ L/ {( q, n1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。我们这里就 省略了。

5 M( v* l; @( [3 S) I2）区域剖分以后，通过“Mesh”菜单下的“Export Mesh…”选项可以把 p，e，t 三个参数分别输出到工作间。

3）然后编写函数 fun1(x,y)如下：
) }6 t  p1 l, S2 h% C
2 u: X! ~' F0 k) ofunction f=fun1(x,y);
f=zeros(length(x),1);
ix=find(x.^2+y.^2<0.16);
f(ix)=1;

- H/ t# [3 N' z% W* I其中的变量 x，y 是 MATLAB 可接受的内置变量。 设置“solve”菜单下的“parameters…”选项如下：
/ W3 ~# H" ?3 o  }- z7 t
时间框中输入：linspace(0,0.1,20)；
: V% y% K  Z1 v" Y# b3 w
初值框中输入：fun1。
) k7 i5 v0 k1 y3 l7 z
" l  e& a9 [& d( L1 ^, S4）设置“plot"菜单下的“parameters…”选项如下：选择 Height(3-D plot) 和 Animation 两项。
0 T' k& D9 B; }  Q4 T8 T+ T( L$ L! q
5）用鼠标点一下工具栏上的“＝”按钮，就可以画出数值解的 3-D 图形。
4 Q" E$ w7 j5 [
: [7 F; u7 v$ X- D8 N% s4 [" d
7 h! Q7 P$ j, K2 W! E' o9 K————————————————
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1 Y! N' b, \9 P+ r