偏微分方程的数值解(六)： 偏微分方程的 pdetool 解法

浅夏110

1 图形界面解法简介
' X' {+ d9 J' j6 l5 _- o对于一般的区域，任意边界条件的偏微分方程，我们可以利用 MATLAB 中 pdetool 提供的偏微分方程用户图形界面解法。 图形界面解法步骤大致上为：
# K# T* |. R( s
. W9 B6 m; K* ^4 \: r6 z2 ?（1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。
% w- Y( K3 u( |* L( s& g
+ z4 u* q; j4 D3 t6 A（2）产生离散化之点，并将原 PDE 方程式离散化。

（3）利用有限元素法(finite element method；FEM)求解并显示答案。

5 j; L0 L1 ^9 ?3 n在说明此解法工具之前，先介绍此 PDE 图形界面的菜单下方的功能图标(icon)按 钮。
* _$ m7 f+ q2 L& N8 w8 m2 m
! W3 ^, }1 w- E6 Y" b/ A

  ]6 W' V4 w4 v' k+ J" K2 图形界面解法的使用步骤
: W3 B9 S6 M7 K( M1 c) b# M要利用 pdetool 接口求解之前，需先定义 PDE 问题，其包含三大部份：
% h8 x' f3 C0 L  X# h  S0 g  U
* Q2 e, u6 x$ F8 c# Q/ T（1）利用绘图(draw)模式，定义 需要求解的问题的空间范围(domain)Ω 。
- y5 G7 c3 N9 `7 V+ v9 |& O
（2）利用 boundary 模式，指定边界条件。

（3）利用 PDE 模式，指定 PDE 系数，即输入 c，a，f 和 d 等 PDE 模式中的系数。

2 u, }& s5 q4 C# ]: d% s8 {7 |# M在定义 PDE 问题之后，可依以下两个步骤求解

（1）在 mesh 模式下，产生 mesh 点，以便将原问题离散化。

（2）在 solve 模式下，求解。

（3）最后，在 Plot 模式下，显示答案。





* I& w0 B6 ~$ {7 l( G  E


! o' E, |- b& u! u

注意：

1. MATLAB 会以图形的方式展示结果，使用者亦可点选 plot 下之“parameters”功 能，选择适当的方式显示图形及数据。例如用 3D 方式显示求解结果。参数设置见图 10， 显示结果见图 11。

9 t3 V$ I5 `# X) C/ |; e  @4 g
  T, G! p' q. I
2 q" H9 N; Q5 k( U2. 另外，若使用者欲将结果输出到命令窗口中，以供后续处理，可利用 solve 功能 项下之“export solution”指定变量名称来完成。

3. 如果求抛物型或双曲型方程的数值解，还需要通过“solve”菜单下的 “parameters…”选项设置初值条件。
) x0 V; A9 M( a2 I
' o, R2 w/ X- d; E- S$ d& k4. 在上面定义边界条件和初始条件时，可以使用一些内置变量。

. B& ^3 U& K! S( p1 a7 }. d（1）在边界条件输入框中，可以使用如下变量： 二维坐标 x 和 y，边界线段长度参数（s s 是以箭头的方向沿边界线段从 0 增加到 1）， 外法向矢量的分量 nx 和 ny（如果需要边界的切线方向，可以通过 tx=-ny 和 ty=nx 表示）， 解 u。

5 Y% S2 _- Z2 j（2）在初值条件的输入框中，也可以输入用户定义的 MATLAB 可接受变量（p， e，t，x，y）的函数。
$ v, B/ s" G) `
例 11 使用 PDETOOL 重新求例 8 的数值解。
: D" [8 u/ Y% z& j) m. j- Q
                例8  求解正方形区域{(x, y) | −1 ≤ x, y ≤ 1}上的热传导方程

2 D/ P8 W) @0 N- y2 `

边界条件为Dirichlet条件u = 0。
( B- z3 Z( w1 u. n7 v9 z
* r" N0 E& I1 t) ?% c& y解 这里是抛物型方程，其中c = 1, a = 0, f = 0, d = 1。
$ G+ e4 @; C' y
1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。我们这里就 省略了。
8 F8 B2 @/ M& E1 M
* w8 ~# F0 {4 h+ |0 y( z1 T2）区域剖分以后，通过“Mesh”菜单下的“Export Mesh…”选项可以把 p，e，t 三个参数分别输出到工作间。
. o- g- K6 y/ m: y( D6 o; W
3）然后编写函数 fun1(x,y)如下：
2 ?. D5 W+ N% J& `" H
function f=fun1(x,y);
$ `- F3 |4 y6 P+ z( a4 rf=zeros(length(x),1);
  T# u3 t$ w; g8 Q% T( t7 |ix=find(x.^2+y.^2<0.16);
f(ix)=1;

" K% {; P" _2 n其中的变量 x，y 是 MATLAB 可接受的内置变量。 设置“solve”菜单下的“parameters…”选项如下：
# ]' d' u3 ?  `; p
* V$ n+ A8 Y' N/ o时间框中输入：linspace(0,0.1,20)；

初值框中输入：fun1。

1 q1 ~/ P, R( I. J3 K4 w4）设置“plot"菜单下的“parameters…”选项如下：选择 Height(3-D plot) 和 Animation 两项。

5）用鼠标点一下工具栏上的“＝”按钮，就可以画出数值解的 3-D 图形。


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8 T* ]# G- Y7 x3 Z# F5 U
  u& s9 E4 R6 Z: X' o
9 v/ t  L: p# O  E0 o/ w