偏微分方程的数值解(六)： 偏微分方程的 pdetool 解法

浅夏110

1 图形界面解法简介
* Z( _% l* L8 m. Q- G& T. P对于一般的区域，任意边界条件的偏微分方程，我们可以利用 MATLAB 中 pdetool 提供的偏微分方程用户图形界面解法。 图形界面解法步骤大致上为：

（1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。

（2）产生离散化之点，并将原 PDE 方程式离散化。
$ D7 {' \* e* b
（3）利用有限元素法(finite element method；FEM)求解并显示答案。

在说明此解法工具之前，先介绍此 PDE 图形界面的菜单下方的功能图标(icon)按 钮。


: p+ h  C; V& n6 k
9 e( q; N9 D3 X& s! u4 n2 图形界面解法的使用步骤
要利用 pdetool 接口求解之前，需先定义 PDE 问题，其包含三大部份：

  ^1 B: l+ E) t: n6 E7 e& f$ P（1）利用绘图(draw)模式，定义 需要求解的问题的空间范围(domain)Ω 。
* g2 ~- K4 Z/ Q$ ~) l
& C! T  L2 m  r) b( d. O' H' o（2）利用 boundary 模式，指定边界条件。

（3）利用 PDE 模式，指定 PDE 系数，即输入 c，a，f 和 d 等 PDE 模式中的系数。
( F# O  i" {( R! f
在定义 PDE 问题之后，可依以下两个步骤求解
* g+ n- P$ @( @/ u0 t
. r8 @& L7 C# ~0 [（1）在 mesh 模式下，产生 mesh 点，以便将原问题离散化。

: _7 \) E# O8 t1 @/ Q（2）在 solve 模式下，求解。

（3）最后，在 Plot 模式下，显示答案。

! ?. S9 V5 G+ Z5 i  ~1 K

8 b4 a. K" O/ j" Z


3 v$ ?- Z# p- }5 d3 p8 ^



注意：
1 u6 M6 W8 F4 i
1. MATLAB 会以图形的方式展示结果，使用者亦可点选 plot 下之“parameters”功 能，选择适当的方式显示图形及数据。例如用 3D 方式显示求解结果。参数设置见图 10， 显示结果见图 11。
  j# [/ T: U9 X% g8 D( C' ~  [
5 @1 I- V/ a* Y; S9 I* B
5 \5 o, p6 q+ x& Y" H* r$ z( G
6 F  j: O! H5 N  S8 [- q' D2. 另外，若使用者欲将结果输出到命令窗口中，以供后续处理，可利用 solve 功能 项下之“export solution”指定变量名称来完成。
0 C+ i# @& q6 v. m8 y) q! Q8 G
7 k: z" T$ r0 y5 Q: C+ k9 P3. 如果求抛物型或双曲型方程的数值解，还需要通过“solve”菜单下的 “parameters…”选项设置初值条件。
3 p; C( N4 x8 z
4. 在上面定义边界条件和初始条件时，可以使用一些内置变量。
! m6 [/ W& a6 M, |  v8 W
（1）在边界条件输入框中，可以使用如下变量： 二维坐标 x 和 y，边界线段长度参数（s s 是以箭头的方向沿边界线段从 0 增加到 1）， 外法向矢量的分量 nx 和 ny（如果需要边界的切线方向，可以通过 tx=-ny 和 ty=nx 表示）， 解 u。
' h' `, [! C5 k( ]
5 n& t0 m; ^% F3 K1 Q（2）在初值条件的输入框中，也可以输入用户定义的 MATLAB 可接受变量（p， e，t，x，y）的函数。
& e% o/ n9 s5 w5 x7 M- S
7 j# w: R$ b. j) R! ^& o例 11 使用 PDETOOL 重新求例 8 的数值解。

                例8  求解正方形区域{(x, y) | −1 ≤ x, y ≤ 1}上的热传导方程
! |7 [" j; s/ F1 A6 [

3 d0 B. B3 A/ Q) `8 u1 w
5 }* W: P! K# A+ e- ^" Q; L( }2 @边界条件为Dirichlet条件u = 0。
1 s+ o  [- x* X+ ?1 V4 ~5 J# x
( j- n( Z' l+ ]/ L! O/ D" m解 这里是抛物型方程，其中c = 1, a = 0, f = 0, d = 1。

6 _. a! Y6 V. t4 D  r8 a0 \1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。我们这里就 省略了。
& W+ |/ o# P' U* U6 X
2）区域剖分以后，通过“Mesh”菜单下的“Export Mesh…”选项可以把 p，e，t 三个参数分别输出到工作间。
; }8 d9 B! l+ j8 Y% `3 T3 y
, ?/ B7 m+ f/ @  i3）然后编写函数 fun1(x,y)如下：
0 o; p# D9 f- W+ a4 p5 X
" V! f$ [$ l/ ~( K( E( V0 h# u8 x% Qfunction f=fun1(x,y);
  g  T4 _, |: _/ Ff=zeros(length(x),1);
ix=find(x.^2+y.^2<0.16);
4 G2 n  |& p" Mf(ix)=1;
* R; B2 V# z5 o# Z, y1 i3 x
其中的变量 x，y 是 MATLAB 可接受的内置变量。 设置“solve”菜单下的“parameters…”选项如下：
' M0 \4 @& P0 K1 Q- V- G9 k2 G
1 w) j: ^. D0 Z- y. s8 Y* \时间框中输入：linspace(0,0.1,20)；

" Z+ j4 J; r, m3 P& h3 s初值框中输入：fun1。
3 T, [9 x3 s8 I
4）设置“plot"菜单下的“parameters…”选项如下：选择 Height(3-D plot) 和 Animation 两项。
; Z) R0 Q" ?; |* {3 N5 y8 x; M
1 C7 @. {9 E+ j3 Q9 t, L; ~5）用鼠标点一下工具栏上的“＝”按钮，就可以画出数值解的 3-D 图形。

$ B) o, n- b4 A/ |5 o
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6 U) Y6 |* U' ^  V3 u9 F: u* s6 T
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