偏微分方程的数值解(六)： 偏微分方程的 pdetool 解法

浅夏110

1 图形界面解法简介
/ S- g6 r8 }* `5 Z9 Y9 V7 Y对于一般的区域，任意边界条件的偏微分方程，我们可以利用 MATLAB 中 pdetool 提供的偏微分方程用户图形界面解法。 图形界面解法步骤大致上为：
2 u, R6 [7 ?/ j' `2 @( z
（1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。

（2）产生离散化之点，并将原 PDE 方程式离散化。
* \5 g" i# C9 x2 Z- I
" I4 u/ {1 x* H（3）利用有限元素法(finite element method；FEM)求解并显示答案。

. F, b  J: {8 s- @在说明此解法工具之前，先介绍此 PDE 图形界面的菜单下方的功能图标(icon)按 钮。



. T* M; d4 _8 P2 图形界面解法的使用步骤
3 p+ {( l3 ]( _' u要利用 pdetool 接口求解之前，需先定义 PDE 问题，其包含三大部份：
  y( z* w, w8 q/ K
% }0 W0 O+ |; w* b（1）利用绘图(draw)模式，定义 需要求解的问题的空间范围(domain)Ω 。

（2）利用 boundary 模式，指定边界条件。
8 V- e+ M1 b# S
, @5 s( L9 V4 [( P" T$ p" V9 I6 F0 m. K（3）利用 PDE 模式，指定 PDE 系数，即输入 c，a，f 和 d 等 PDE 模式中的系数。

在定义 PDE 问题之后，可依以下两个步骤求解

6 A  m2 E8 q9 V  R" V（1）在 mesh 模式下，产生 mesh 点，以便将原问题离散化。
1 S- ^; m" f) l; w5 T
7 N$ D1 b& e, v5 b# Z（2）在 solve 模式下，求解。
1 K# Y! _7 a0 w; G9 _5 p
（3）最后，在 Plot 模式下，显示答案。


6 H9 O, M- q8 w& Q2 A" h: {

) N8 |' r6 L# n% t% [( R
- D4 R1 A, e$ }
* Z4 G( |" O' \! V0 c
* B# M- O6 N6 `( T

1 W( {4 F" A) e9 F9 U
注意：

) R* x( C, ^# |+ e4 w4 |1. MATLAB 会以图形的方式展示结果，使用者亦可点选 plot 下之“parameters”功 能，选择适当的方式显示图形及数据。例如用 3D 方式显示求解结果。参数设置见图 10， 显示结果见图 11。

; Y! o* n8 ~( N6 w0 I9 P/ C

+ o9 i) B: _# z' _' k" {2. 另外，若使用者欲将结果输出到命令窗口中，以供后续处理，可利用 solve 功能 项下之“export solution”指定变量名称来完成。

4 t7 m& h  }3 }' S4 S$ s3. 如果求抛物型或双曲型方程的数值解，还需要通过“solve”菜单下的 “parameters…”选项设置初值条件。
: L, ~& Y8 m. C/ W) l
3 G2 T. F% q% z4 Z" Z+ o6 M  k- b4. 在上面定义边界条件和初始条件时，可以使用一些内置变量。
, m5 A6 @  O- g
: O( Y" j! _) a9 z) B: n4 l（1）在边界条件输入框中，可以使用如下变量： 二维坐标 x 和 y，边界线段长度参数（s s 是以箭头的方向沿边界线段从 0 增加到 1）， 外法向矢量的分量 nx 和 ny（如果需要边界的切线方向，可以通过 tx=-ny 和 ty=nx 表示）， 解 u。
/ Q" _8 o. y# i1 u3 L: O" @
; v. o% Q( ^0 q$ B$ D0 J9 f% u" I（2）在初值条件的输入框中，也可以输入用户定义的 MATLAB 可接受变量（p， e，t，x，y）的函数。

- j. B7 v8 v: O1 T0 m例 11 使用 PDETOOL 重新求例 8 的数值解。
" M' T9 _# j$ z8 L8 ~
                例8  求解正方形区域{(x, y) | −1 ≤ x, y ≤ 1}上的热传导方程
+ a% r5 j+ ^4 ?5 i( y
$ F7 Y% ]3 |& C" v

3 Z& n( p# o9 d9 }, |- ~: C6 j边界条件为Dirichlet条件u = 0。
7 G# k" A/ Q* A( e9 o9 {; L
2 N' M% q$ M) g9 Q6 s" X解 这里是抛物型方程，其中c = 1, a = 0, f = 0, d = 1。
+ {1 P8 f7 i, W% ^" \3 D, }7 l
1 U* E& u& w6 W2 P( y8 L  j1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。我们这里就 省略了。

! j2 `0 _; l* v2）区域剖分以后，通过“Mesh”菜单下的“Export Mesh…”选项可以把 p，e，t 三个参数分别输出到工作间。

. w' C% A, \' Q3 V) m' s* N3）然后编写函数 fun1(x,y)如下：
( M% c  t3 W" _
function f=fun1(x,y);
: ^9 [" [4 y# ?3 Rf=zeros(length(x),1);
" Y% W- K- i* K4 N- oix=find(x.^2+y.^2<0.16);
f(ix)=1;

5 A4 T. p. Z. V1 u, W其中的变量 x，y 是 MATLAB 可接受的内置变量。 设置“solve”菜单下的“parameters…”选项如下：
: R) ?# y( M2 K0 p  A% A
时间框中输入：linspace(0,0.1,20)；

+ d. _" [( ]0 l5 b$ [3 d初值框中输入：fun1。
2 f- ]' Y1 c6 l) x) @& L. X
4）设置“plot"菜单下的“parameters…”选项如下：选择 Height(3-D plot) 和 Animation 两项。
4 q( F5 n2 w+ E' \3 c$ k, i- {7 Y
4 {) u8 W2 H$ e7 E  ]6 V5）用鼠标点一下工具栏上的“＝”按钮，就可以画出数值解的 3-D 图形。
: |! k& U# _! n; z! Q# s& C% |4 H
( S. T( j' Y& f, Y5 Z
8 p& X* l/ D+ g( l! z————————————————
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1 d. e% {7 O* X+ ~, [) K" q原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89712663

2 U& |1 \. N. C0 u' G6 u" s
; U# l8 d1 u2 I1 X6 H: Q6 T