偏微分方程的数值解(六)： 偏微分方程的 pdetool 解法

浅夏110

1 图形界面解法简介
对于一般的区域，任意边界条件的偏微分方程，我们可以利用 MATLAB 中 pdetool 提供的偏微分方程用户图形界面解法。 图形界面解法步骤大致上为：

9 i8 |6 @7 F) ~（1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。

* i  d# ^! ~: [9 X（2）产生离散化之点，并将原 PDE 方程式离散化。

（3）利用有限元素法(finite element method；FEM)求解并显示答案。
' [! v! l# T8 w0 O0 w
& J- S- A2 R$ x! l$ i5 P' [' i5 c在说明此解法工具之前，先介绍此 PDE 图形界面的菜单下方的功能图标(icon)按 钮。
5 S" N$ \6 h5 O6 F& u  |, I% n0 K0 D


2 图形界面解法的使用步骤
  N/ I$ R( q. C: \: m- E: [, W要利用 pdetool 接口求解之前，需先定义 PDE 问题，其包含三大部份：

; M" l8 M8 j8 _8 H（1）利用绘图(draw)模式，定义 需要求解的问题的空间范围(domain)Ω 。

0 R1 W% h5 d/ U9 t（2）利用 boundary 模式，指定边界条件。

2 C% M5 s5 b8 {: S（3）利用 PDE 模式，指定 PDE 系数，即输入 c，a，f 和 d 等 PDE 模式中的系数。
2 Q# W3 k- T; N
在定义 PDE 问题之后，可依以下两个步骤求解
4 s. q5 z8 ~  y  M/ b+ C
（1）在 mesh 模式下，产生 mesh 点，以便将原问题离散化。
+ M" j) T( r3 t, b
（2）在 solve 模式下，求解。
% u3 ^) t; U9 R- T2 D/ r" H
& |" r" V3 ?- e) v5 i$ f. f# Y- M（3）最后，在 Plot 模式下，显示答案。
9 z: E$ f2 w5 Q+ c
6 _$ C3 ~: {" n, F6 Y- }6 e  r
+ h' [& _% M" q9 E! `9 c* Y  r: N# n
+ u, [# ]" }' |: f
9 [6 t+ J" Z8 n% I- c$ J; t
1 @$ s3 q0 n) y; r4 o  V* }


3 I! }3 U5 H0 J+ U( n

注意：
1 d5 l. I2 V6 l
" b0 W" W3 L. F% Q1. MATLAB 会以图形的方式展示结果，使用者亦可点选 plot 下之“parameters”功 能，选择适当的方式显示图形及数据。例如用 3D 方式显示求解结果。参数设置见图 10， 显示结果见图 11。
& u. O& J- q& W2 f6 T2 S
# s9 i3 K. \( G
  q% m% B7 n, Z6 p  M
2. 另外，若使用者欲将结果输出到命令窗口中，以供后续处理，可利用 solve 功能 项下之“export solution”指定变量名称来完成。

7 g6 _5 U8 ?7 K$ U- X1 C$ W3. 如果求抛物型或双曲型方程的数值解，还需要通过“solve”菜单下的 “parameters…”选项设置初值条件。

4. 在上面定义边界条件和初始条件时，可以使用一些内置变量。

（1）在边界条件输入框中，可以使用如下变量： 二维坐标 x 和 y，边界线段长度参数（s s 是以箭头的方向沿边界线段从 0 增加到 1）， 外法向矢量的分量 nx 和 ny（如果需要边界的切线方向，可以通过 tx=-ny 和 ty=nx 表示）， 解 u。

（2）在初值条件的输入框中，也可以输入用户定义的 MATLAB 可接受变量（p， e，t，x，y）的函数。

例 11 使用 PDETOOL 重新求例 8 的数值解。
5 u; t8 P1 d4 C. R( V
, j' h- j1 }& @8 U8 R3 c                例8  求解正方形区域{(x, y) | −1 ≤ x, y ≤ 1}上的热传导方程



边界条件为Dirichlet条件u = 0。
9 P" J1 A% c3 L0 N" S
' _, A' f) u& W! V/ l解 这里是抛物型方程，其中c = 1, a = 0, f = 0, d = 1。
* u" Y( Y& Q: j/ P7 M+ O8 y3 j( P
1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。我们这里就 省略了。
2 l2 X6 Y" W9 P; v* v+ V
- Q. K) u: _& b. o2）区域剖分以后，通过“Mesh”菜单下的“Export Mesh…”选项可以把 p，e，t 三个参数分别输出到工作间。
5 n# N, r4 m" j1 Y. Y4 G' w0 z- O
8 {) {9 ~) q2 X7 |5 h3）然后编写函数 fun1(x,y)如下：
8 a: v- i8 T) p- ^' ^- f
( w6 L: u' l& A- h, }' Dfunction f=fun1(x,y);
f=zeros(length(x),1);
ix=find(x.^2+y.^2<0.16);
f(ix)=1;
( J& G5 ?6 Y/ W) X
其中的变量 x，y 是 MATLAB 可接受的内置变量。 设置“solve”菜单下的“parameters…”选项如下：

. x4 _4 m1 [. K* ~% U时间框中输入：linspace(0,0.1,20)；
  A/ \7 H; f% ?8 `* V* V$ \7 Q
初值框中输入：fun1。
$ Z! {) ?5 Y, h8 X) G' A2 G& x6 P
4）设置“plot"菜单下的“parameters…”选项如下：选择 Height(3-D plot) 和 Animation 两项。

% u4 g' i) |! V" k7 E4 D5）用鼠标点一下工具栏上的“＝”按钮，就可以画出数值解的 3-D 图形。
* e4 x/ O* E2 L' }1 `! b' [' Q

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0 f' ?/ @0 |! ~原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89712663

- }& ~" p2 y# Q7 p' l- S' s6 `- L$ E  M
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