在线时间 791 小时 最后登录 2022-11-28 注册时间 2017-6-12 听众数 15 收听数 0 能力 120 分 体力 36352 点 威望 11 点 阅读权限 255 积分 13866 相册 0 日志 0 记录 1 帖子 616 主题 542 精华 12 分享 0 好友 225
TA的每日心情 开心 2020-11-14 17:15
签到天数: 74 天
[LV.6]常住居民II
群组 : 2019美赛冲刺课程
群组 : 站长地区赛培训
群组 : 2019考研数学 桃子老师
群组 : 2018教师培训(呼伦贝
群组 : 2019考研数学 站长系列
1 图形界面解法简介
/ S- g6 r8 }* `5 Z9 Y9 V7 Y 对于一般的区域,任意边界条件的偏微分方程,我们可以利用 MATLAB 中 pdetool 提供的偏微分方程用户图形界面解法。 图形界面解法步骤大致上为:
2 u, R6 [7 ?/ j' `2 @( z % m# [' j6 K0 G* D& h v' r) X4 s+ e
(1)定义 PDE 问题,包括二维空间范围,边界条件以及 PDE 系数等。/ U. z1 i* Z# `, I' v. s5 Q
2 G3 D1 O; M# s7 J& J, t% f* t
(2)产生离散化之点,并将原 PDE 方程式离散化。
* \5 g" i# C9 x2 Z- I
" I4 u/ {1 x* H (3)利用有限元素法(finite element method;FEM)求解并显示答案。' {3 Z1 z% A/ [' E9 M/ ~ a; i+ Y
. F, b J: {8 s- @ 在说明此解法工具之前,先介绍此 PDE 图形界面的菜单下方的功能图标(icon)按 钮。; l. E; l' c W' M$ j0 ]3 K
, ^* ?% p4 x$ W, c
3 u, |* D1 s2 E
. T* M; d4 _8 P 2 图形界面解法的使用步骤
3 p+ {( l3 ]( _' u 要利用 pdetool 接口求解之前,需先定义 PDE 问题,其包含三大部份:
y( z* w, w8 q/ K
% }0 W0 O+ |; w* b (1)利用绘图(draw)模式,定义 需要求解的问题的空间范围(domain)Ω 。3 |+ S F6 M/ q, ]% n0 @% e
5 C+ H( y( ~/ }2 X6 f
(2)利用 boundary 模式,指定边界条件。
8 V- e+ M1 b# S
, @5 s( L9 V4 [( P" T$ p" V9 I6 F0 m. K (3)利用 PDE 模式,指定 PDE 系数,即输入 c,a,f 和 d 等 PDE 模式中的系数。$ M+ p, F- c1 O
! e6 z6 ]/ [' X+ W) S3 b
在定义 PDE 问题之后,可依以下两个步骤求解& L3 V/ ]! F" R9 M
6 A m2 E8 q9 V R" V (1)在 mesh 模式下,产生 mesh 点,以便将原问题离散化。
1 S- ^; m" f) l; w5 T
7 N$ D1 b& e, v5 b# Z (2)在 solve 模式下,求解。
1 K# Y! _7 a0 w; G9 _5 p / ~- O7 J7 x4 [- Q6 g) \
(3)最后,在 Plot 模式下,显示答案。9 p; T/ K0 F/ @8 `0 t% ^
1 h9 h' a0 v1 K3 a* M( X% X
6 H9 O, M- q8 w& Q2 A" h: { 9 q4 O' [& x% K8 @
) N8 |' r6 L# n% t% [( R
- D4 R1 A, e$ }
* Z4 G( |" O' \! V0 c
* B# M- O6 N6 `( T 7 h: ^* ?" Z0 `* N5 r
1 W( {4 F" A) e9 F9 U " J9 x. W) X3 f4 q& h9 m! N# v. q; @
注意:% O: c' K/ H6 C: ^, B+ Z. X; ^4 e. m
) R* x( C, ^# |+ e4 w4 | 1. MATLAB 会以图形的方式展示结果,使用者亦可点选 plot 下之“parameters”功 能,选择适当的方式显示图形及数据。例如用 3D 方式显示求解结果。参数设置见图 10, 显示结果见图 11。3 Q1 I& i6 _1 l: o! D. g
; Y! o* n8 ~( N6 w0 I9 P/ C * ]/ E, K( q4 N6 ?1 C
+ o9 i) B: _# z' _' k" { 2. 另外,若使用者欲将结果输出到命令窗口中,以供后续处理,可利用 solve 功能 项下之“export solution”指定变量名称来完成。2 m9 i9 b* d/ }# A% c; i
4 t7 m& h }3 }' S4 S$ s 3. 如果求抛物型或双曲型方程的数值解,还需要通过“solve”菜单下的 “parameters…”选项设置初值条件。
: L, ~& Y8 m. C/ W) l
3 G2 T. F% q% z4 Z" Z+ o6 M k- b 4. 在上面定义边界条件和初始条件时,可以使用一些内置变量。
, m5 A6 @ O- g
: O( Y" j! _) a9 z) B: n4 l (1)在边界条件输入框中,可以使用如下变量: 二维坐标 x 和 y,边界线段长度参数(s s 是以箭头的方向沿边界线段从 0 增加到 1), 外法向矢量的分量 nx 和 ny(如果需要边界的切线方向,可以通过 tx=-ny 和 ty=nx 表示), 解 u。
/ Q" _8 o. y# i1 u3 L: O" @
; v. o% Q( ^0 q$ B$ D0 J9 f% u" I (2)在初值条件的输入框中,也可以输入用户定义的 MATLAB 可接受变量(p, e,t,x,y)的函数。 M! _, ]$ p) Q4 Q
- j. B7 v8 v: O1 T0 m 例 11 使用 PDETOOL 重新求例 8 的数值解。
" M' T9 _# j$ z8 L8 ~ * a: {- Y) }1 q) L% t/ z% k, b: a
例8 求解正方形区域{(x, y) | −1 ≤ x, y ≤ 1}上的热传导方程
+ a% r5 j+ ^4 ?5 i( y
$ F7 Y% ]3 |& C" v 7 t$ D) P8 G. V% J
3 Z& n( p# o9 d9 }, |- ~: C6 j 边界条件为Dirichlet条件u = 0。
7 G# k" A/ Q* A( e9 o9 {; L
2 N' M% q$ M) g9 Q6 s" X 解 这里是抛物型方程,其中c = 1, a = 0, f = 0, d = 1。
+ {1 P8 f7 i, W% ^" \3 D, }7 l
1 U* E& u& w6 W2 P( y8 L j 1)定义 PDE 问题,包括二维空间范围,边界条件以及 PDE 系数等。我们这里就 省略了。% i* Q+ K/ B% T3 o( b6 v6 u7 U
! j2 `0 _; l* v 2)区域剖分以后,通过“Mesh”菜单下的“Export Mesh…”选项可以把 p,e,t 三个参数分别输出到工作间。" p) J* A0 J4 Y+ l+ G6 }) C2 G
. w' C% A, \' Q3 V) m' s* N 3)然后编写函数 fun1(x,y)如下:
( M% c t3 W" _ ' H4 v5 l' q% a: O
function f=fun1(x,y);
: ^9 [" [4 y# ?3 R f=zeros(length(x),1);
" Y% W- K- i* K4 N- o ix=find(x.^2+y.^2<0.16);" H5 {5 p! `. l8 e( G$ ^/ i9 w
f(ix)=1; 2 {( e3 @! F$ R! M( N+ j, o
5 A4 T. p. Z. V1 u, W 其中的变量 x,y 是 MATLAB 可接受的内置变量。 设置“solve”菜单下的“parameters…”选项如下:
: R) ?# y( M2 K0 p A% A " m, b7 k5 L G
时间框中输入:linspace(0,0.1,20);; o; ~3 ~9 @' c5 A+ N- g
+ d. _" [( ]0 l5 b$ [3 d 初值框中输入:fun1。
2 f- ]' Y1 c6 l) x) @& L. X 5 J9 j. v5 u! E( i+ w# ^! P& f
4)设置“plot"菜单下的“parameters…”选项如下:选择 Height(3-D plot) 和 Animation 两项。
4 q( F5 n2 w+ E' \3 c$ k, i- {7 Y
4 {) u8 W2 H$ e7 E ]6 V 5)用鼠标点一下工具栏上的“=”按钮,就可以画出数值解的 3-D 图形。
: |! k& U# _! n; z! Q# s& C% |4 H
( S. T( j' Y& f, Y5 Z
8 p& X* l/ D+ g( l! z ————————————————( r9 M9 U# ?) O1 P: B
版权声明:本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
1 d. e% {7 O* X+ ~, [) K" q 原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89712663/ q- P/ g8 W7 T
2 U& |1 \. N. C0 u' G6 u" s
; U# l8 d1 u2 I1 X6 H: Q6 T
zan