偏微分方程的数值解(六)： 偏微分方程的 pdetool 解法

浅夏110

1 图形界面解法简介
8 G$ I* U- Y4 I) R对于一般的区域，任意边界条件的偏微分方程，我们可以利用 MATLAB 中 pdetool 提供的偏微分方程用户图形界面解法。 图形界面解法步骤大致上为：

（1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。
" G" k  D# V! t1 }* E/ e
（2）产生离散化之点，并将原 PDE 方程式离散化。
( u! p# ?% J, `2 Z( Z; T
（3）利用有限元素法(finite element method；FEM)求解并显示答案。
; ^4 m$ d4 X) H. \
在说明此解法工具之前，先介绍此 PDE 图形界面的菜单下方的功能图标(icon)按 钮。

4 R& L: l+ P# z& w
4 o0 ?: x- `" u9 a* A( [" T
8 g! W1 U9 t' p4 X  g# I4 U2 图形界面解法的使用步骤
2 |# z2 q, Q+ s% {" w, ^要利用 pdetool 接口求解之前，需先定义 PDE 问题，其包含三大部份：
/ D9 W& d, @3 D6 e
% X' R& q4 N4 @. I5 b（1）利用绘图(draw)模式，定义 需要求解的问题的空间范围(domain)Ω 。
! Z) A! J- v; c0 E" v7 i# E0 Z9 E
6 e- _$ w& j# g. o! s7 u（2）利用 boundary 模式，指定边界条件。
9 S6 l% \4 r, T
（3）利用 PDE 模式，指定 PDE 系数，即输入 c，a，f 和 d 等 PDE 模式中的系数。
, m3 @( c6 j! H9 l6 Q
在定义 PDE 问题之后，可依以下两个步骤求解
$ P& r7 K  H8 A  K7 ?
5 |9 w& d2 f' E2 d/ e5 X+ A（1）在 mesh 模式下，产生 mesh 点，以便将原问题离散化。
% e: P5 N; [, d# T
（2）在 solve 模式下，求解。

& t! M2 T! [6 @, Q) V（3）最后，在 Plot 模式下，显示答案。
$ l6 Y4 ~5 n: s) O& c2 m# q6 v

0 ~$ M9 h( v$ j' v
; b- K; A  l& N0 z
' M8 h( a- b9 Z1 M! t3 p

9 f' e- E7 P, E6 f9 l3 G, K



6 _8 T5 a: _9 O' c注意：

) l" `' Y$ H) W, Z1 `1. MATLAB 会以图形的方式展示结果，使用者亦可点选 plot 下之“parameters”功 能，选择适当的方式显示图形及数据。例如用 3D 方式显示求解结果。参数设置见图 10， 显示结果见图 11。

; g3 \5 w( ~: T* z" a3 [' I: N

- t% J6 m9 o: i) \& Q6 v. E2. 另外，若使用者欲将结果输出到命令窗口中，以供后续处理，可利用 solve 功能 项下之“export solution”指定变量名称来完成。

3. 如果求抛物型或双曲型方程的数值解，还需要通过“solve”菜单下的 “parameters…”选项设置初值条件。

  Y" x8 \* J- D* Y# T4. 在上面定义边界条件和初始条件时，可以使用一些内置变量。
$ d: D& M; _. ^4 l8 Y+ _
9 D4 A' j- ~  F% l' t（1）在边界条件输入框中，可以使用如下变量： 二维坐标 x 和 y，边界线段长度参数（s s 是以箭头的方向沿边界线段从 0 增加到 1）， 外法向矢量的分量 nx 和 ny（如果需要边界的切线方向，可以通过 tx=-ny 和 ty=nx 表示）， 解 u。

（2）在初值条件的输入框中，也可以输入用户定义的 MATLAB 可接受变量（p， e，t，x，y）的函数。
" z: E) }% w; f7 v- J0 }
( P" d* R, G7 W" R$ f. Q$ I3 [例 11 使用 PDETOOL 重新求例 8 的数值解。
. E9 {- }/ I  D; a
2 |$ P. J" T* ]6 d                例8  求解正方形区域{(x, y) | −1 ≤ x, y ≤ 1}上的热传导方程
* H2 w4 b% c! G$ [


边界条件为Dirichlet条件u = 0。
0 ~) ~. Q/ o/ P, i4 O+ X' F
解 这里是抛物型方程，其中c = 1, a = 0, f = 0, d = 1。
) Z8 t) l: z; o; ?
5 k7 C* x: x/ @1 ]" ]. Y: B1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。我们这里就 省略了。
3 V6 Y$ T: B& C, s+ E) ^0 m4 l
2）区域剖分以后，通过“Mesh”菜单下的“Export Mesh…”选项可以把 p，e，t 三个参数分别输出到工作间。

- |4 v; z  T+ H3）然后编写函数 fun1(x,y)如下：

/ W. J9 y. y3 P$ u, G7 c  t+ xfunction f=fun1(x,y);
f=zeros(length(x),1);
ix=find(x.^2+y.^2<0.16);
f(ix)=1;

7 W5 B! N4 G# X2 V4 }  @; G7 O) Z/ t其中的变量 x，y 是 MATLAB 可接受的内置变量。 设置“solve”菜单下的“parameters…”选项如下：
- X7 }! o8 ~8 k# w
* v7 d0 G. s2 v; @0 g8 [- z4 l时间框中输入：linspace(0,0.1,20)；

; s# F0 }& U7 [% E( i: K9 K6 C/ [初值框中输入：fun1。

* q0 A8 }, A) F# a* F4）设置“plot"菜单下的“parameters…”选项如下：选择 Height(3-D plot) 和 Animation 两项。
" V) ?0 n/ K, q$ P. z* S* O
5 i9 d, B; G9 k/ Z: ]7 S$ R0 ?5）用鼠标点一下工具栏上的“＝”按钮，就可以画出数值解的 3-D 图形。
- U8 h) `' R1 ~

7 F9 {( x- K1 `% d————————————————
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9 r5 V: S2 T: V( e