偏微分方程的数值解(六)： 偏微分方程的 pdetool 解法

浅夏110

1 图形界面解法简介
- I8 i! n+ H  c+ x9 b对于一般的区域，任意边界条件的偏微分方程，我们可以利用 MATLAB 中 pdetool 提供的偏微分方程用户图形界面解法。 图形界面解法步骤大致上为：

（1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。

（2）产生离散化之点，并将原 PDE 方程式离散化。
" p3 M1 T- c1 P; b) m  X
5 Y5 M" W2 k4 R+ i（3）利用有限元素法(finite element method；FEM)求解并显示答案。

在说明此解法工具之前，先介绍此 PDE 图形界面的菜单下方的功能图标(icon)按 钮。

( L' H' X! t2 }+ U! Y2 K
& Y  w  Q7 c' w. r
( G( y/ _; B# W$ l  Q+ T! R, h% ?- W2 图形界面解法的使用步骤
要利用 pdetool 接口求解之前，需先定义 PDE 问题，其包含三大部份：

（1）利用绘图(draw)模式，定义 需要求解的问题的空间范围(domain)Ω 。

（2）利用 boundary 模式，指定边界条件。

) e9 m+ E0 b; [( P5 `- P1 a6 f（3）利用 PDE 模式，指定 PDE 系数，即输入 c，a，f 和 d 等 PDE 模式中的系数。

5 I$ m9 ^7 M, B( |6 Y8 p! `2 y在定义 PDE 问题之后，可依以下两个步骤求解

% T& n) [. l. `, s（1）在 mesh 模式下，产生 mesh 点，以便将原问题离散化。
, e6 T* e$ n' P# G5 q# J
6 \2 j3 e5 }5 Y2 L* J! r2 J（2）在 solve 模式下，求解。
" X/ l9 a' j# x" t, q
（3）最后，在 Plot 模式下，显示答案。

6 c" Q! T. h: N- X& K$ W  `/ {2 j9 g

2 h& W2 s: t# Z: g& s$ [- ]9 R# {


. J5 H# j) P- E7 ]



注意：
' l) L/ ~' y0 b, Q. F) a
7 \5 [) O- y( l1. MATLAB 会以图形的方式展示结果，使用者亦可点选 plot 下之“parameters”功 能，选择适当的方式显示图形及数据。例如用 3D 方式显示求解结果。参数设置见图 10， 显示结果见图 11。
# R, n) W: t+ c
. I! m4 s+ g* e" N

% [! ]  B5 K8 t8 v7 ?7 i) T2. 另外，若使用者欲将结果输出到命令窗口中，以供后续处理，可利用 solve 功能 项下之“export solution”指定变量名称来完成。
- h- p' T; x, v/ M. h# Q" G: v0 W
( y& r' q! Z$ }% {" B# @2 Q. b3. 如果求抛物型或双曲型方程的数值解，还需要通过“solve”菜单下的 “parameters…”选项设置初值条件。
. `3 ~6 I2 t. ]0 {/ a' C  `8 T
; q6 V. c  I+ P( z2 k5 p/ o- C! A* N4. 在上面定义边界条件和初始条件时，可以使用一些内置变量。
' ]. }; ?+ V* y) T! j- b
（1）在边界条件输入框中，可以使用如下变量： 二维坐标 x 和 y，边界线段长度参数（s s 是以箭头的方向沿边界线段从 0 增加到 1）， 外法向矢量的分量 nx 和 ny（如果需要边界的切线方向，可以通过 tx=-ny 和 ty=nx 表示）， 解 u。

+ S9 G$ u' X$ ^6 n4 y; t1 a" v（2）在初值条件的输入框中，也可以输入用户定义的 MATLAB 可接受变量（p， e，t，x，y）的函数。
4 x8 @. X% U) S8 M  T
* S& w  |% m& `* m$ v8 p4 X例 11 使用 PDETOOL 重新求例 8 的数值解。

                例8  求解正方形区域{(x, y) | −1 ≤ x, y ≤ 1}上的热传导方程
) K7 u; F( n7 l/ z
( I: F* `3 a' {; F
" n8 W$ B' c1 y4 t
: O# A: X2 N8 E5 T边界条件为Dirichlet条件u = 0。
9 C; I8 {: o' Q
解 这里是抛物型方程，其中c = 1, a = 0, f = 0, d = 1。
; F( z# z! f! F" b/ p
1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。我们这里就 省略了。
1 L% |% F2 p- r3 {; |  G
8 Y3 ?9 s' Q/ A2 K2 @2）区域剖分以后，通过“Mesh”菜单下的“Export Mesh…”选项可以把 p，e，t 三个参数分别输出到工作间。

, m$ T- }" B" q! }1 q3）然后编写函数 fun1(x,y)如下：

function f=fun1(x,y);
0 \) V- a2 F. R# G& D+ {f=zeros(length(x),1);
% c# P4 Z9 G  @  P7 yix=find(x.^2+y.^2<0.16);
f(ix)=1;

其中的变量 x，y 是 MATLAB 可接受的内置变量。 设置“solve”菜单下的“parameters…”选项如下：

, q5 A0 F$ h/ S5 {7 G$ }5 V时间框中输入：linspace(0,0.1,20)；

' f0 z- ?/ R1 V* |1 i# x/ q初值框中输入：fun1。

3 E# P! `& a# q4 G3 k# `( }4）设置“plot"菜单下的“parameters…”选项如下：选择 Height(3-D plot) 和 Animation 两项。

. }+ G% l/ `$ u% e$ a2 {: I" l5）用鼠标点一下工具栏上的“＝”按钮，就可以画出数值解的 3-D 图形。

5 H- x4 X8 _. D6 G  O
+ U: h6 j: T6 v————————————————
6 R9 ]5 `& m, v. i: ~" t2 L' e版权声明：本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
2 S) y7 \8 n+ h3 f原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89712663

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5 a3 v6 V$ s* R' z  _