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[建模教程] 偏微分方程的数值解(六): 偏微分方程的 pdetool 解法

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    发表于 2020-6-10 10:34 |只看该作者 |倒序浏览
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    1 图形界面解法简介
    - I8 i! n+ H  c+ x9 b对于一般的区域,任意边界条件的偏微分方程,我们可以利用 MATLAB 中 pdetool 提供的偏微分方程用户图形界面解法。 图形界面解法步骤大致上为:2 x& K8 \; y1 x
    * Y8 z, |, ?, h# B
    (1)定义 PDE 问题,包括二维空间范围,边界条件以及 PDE 系数等。$ z5 I3 o. `  B3 U# Z
    ! `1 n# \& j9 [& k  c" w* w$ n
    (2)产生离散化之点,并将原 PDE 方程式离散化。
    " p3 M1 T- c1 P; b) m  X
    5 Y5 M" W2 k4 R+ i(3)利用有限元素法(finite element method;FEM)求解并显示答案。2 n) n5 K0 m* n" b3 z
    ' F; l5 R2 g  ~5 S" R
    在说明此解法工具之前,先介绍此 PDE 图形界面的菜单下方的功能图标(icon)按 钮。7 ~% e5 @5 u% ]8 \! n9 j1 O

    ( L' H' X! t2 }+ U! Y2 K
    & Y  w  Q7 c' w. r
    ( G( y/ _; B# W$ l  Q+ T! R, h% ?- W2 图形界面解法的使用步骤1 G( L/ n* L, d/ N
    要利用 pdetool 接口求解之前,需先定义 PDE 问题,其包含三大部份:/ ]9 O: }  Z, s# e+ I: `6 F
    - U' k7 H/ K2 k+ Z
    (1)利用绘图(draw)模式,定义 需要求解的问题的空间范围(domain)Ω 。6 G# p9 n. g3 r% ~; N, W1 ?: F8 B+ ~0 s
    ! p- i' n1 n  k2 K! n( p& N( O
    (2)利用 boundary 模式,指定边界条件。* e' T# F( N/ D# W' ~- _

    ) e9 m+ E0 b; [( P5 `- P1 a6 f(3)利用 PDE 模式,指定 PDE 系数,即输入 c,a,f 和 d 等 PDE 模式中的系数。( ]4 c3 \" ^' |$ k- V# F

    5 I$ m9 ^7 M, B( |6 Y8 p! `2 y在定义 PDE 问题之后,可依以下两个步骤求解0 B! ^/ s+ F0 K# L4 n! Z5 ^0 [7 V

    % T& n) [. l. `, s(1)在 mesh 模式下,产生 mesh 点,以便将原问题离散化。
    , e6 T* e$ n' P# G5 q# J
    6 \2 j3 e5 }5 Y2 L* J! r2 J(2)在 solve 模式下,求解。
    " X/ l9 a' j# x" t, q7 x' ?! A3 @& ~/ Q) ?2 t- b
    (3)最后,在 Plot 模式下,显示答案。, i+ }( `4 R, k8 P" l7 z+ F# g3 G+ _

    6 c" Q! T. h: N- X& K$ W  `/ {2 j9 g) x4 T# Q$ L; A! ?5 k0 S

    2 h& W2 s: t# Z: g& s$ [- ]9 R# {. J7 R8 p5 `4 `6 i
    - C! b4 d* N9 O4 K6 {! t

    . J5 H# j) P- E7 ]/ X* F- H# Q. d9 p5 n
    ) d) h- G- A/ _( p0 X, Q- M8 q
      R/ @9 }/ N( d3 _, q( ?
    4 X, P, f" z9 C. {- [5 _% \
    注意:
    ' l) L/ ~' y0 b, Q. F) a
    7 \5 [) O- y( l1. MATLAB 会以图形的方式展示结果,使用者亦可点选 plot 下之“parameters”功 能,选择适当的方式显示图形及数据。例如用 3D 方式显示求解结果。参数设置见图 10, 显示结果见图 11。
    # R, n) W: t+ c
    . I! m4 s+ g* e" N! D' O! q& Z, N+ [- Z* ]' e* \

    % [! ]  B5 K8 t8 v7 ?7 i) T2. 另外,若使用者欲将结果输出到命令窗口中,以供后续处理,可利用 solve 功能 项下之“export solution”指定变量名称来完成。
    - h- p' T; x, v/ M. h# Q" G: v0 W
    ( y& r' q! Z$ }% {" B# @2 Q. b3. 如果求抛物型或双曲型方程的数值解,还需要通过“solve”菜单下的 “parameters…”选项设置初值条件。
    . `3 ~6 I2 t. ]0 {/ a' C  `8 T
    ; q6 V. c  I+ P( z2 k5 p/ o- C! A* N4. 在上面定义边界条件和初始条件时,可以使用一些内置变量。
    ' ]. }; ?+ V* y) T! j- b2 ?5 r- l. N) [! B2 M
    (1)在边界条件输入框中,可以使用如下变量: 二维坐标 x 和 y,边界线段长度参数(s s 是以箭头的方向沿边界线段从 0 增加到 1), 外法向矢量的分量 nx 和 ny(如果需要边界的切线方向,可以通过 tx=-ny 和 ty=nx 表示), 解 u。0 m2 I# f- A5 t. O* S& y

    + S9 G$ u' X$ ^6 n4 y; t1 a" v(2)在初值条件的输入框中,也可以输入用户定义的 MATLAB 可接受变量(p, e,t,x,y)的函数。
    4 x8 @. X% U) S8 M  T
    * S& w  |% m& `* m$ v8 p4 X例 11 使用 PDETOOL 重新求例 8 的数值解。4 _7 k9 [* F* E7 D: l9 t
    6 ~  k! ]1 L$ \6 k' ]3 _! w" o
                    例8  求解正方形区域{(x, y) | −1 ≤ x, y ≤ 1}上的热传导方程
    ) K7 u; F( n7 l/ z
    ( I: F* `3 a' {; F
    " n8 W$ B' c1 y4 t
    : O# A: X2 N8 E5 T边界条件为Dirichlet条件u = 0。
    9 C; I8 {: o' Q& x% S" k. u& _: {# ]/ w
    解 这里是抛物型方程,其中c = 1, a = 0, f = 0, d = 1。
    ; F( z# z! f! F" b/ p- w; t7 L$ l  J, @  R
    1)定义 PDE 问题,包括二维空间范围,边界条件以及 PDE 系数等。我们这里就 省略了。
    1 L% |% F2 p- r3 {; |  G
    8 Y3 ?9 s' Q/ A2 K2 @2)区域剖分以后,通过“Mesh”菜单下的“Export Mesh…”选项可以把 p,e,t 三个参数分别输出到工作间。1 V. w" o" G# F/ ?

    , m$ T- }" B" q! }1 q3)然后编写函数 fun1(x,y)如下:6 i/ P! v& n) ^% j2 ]8 R" o
    $ Q" j* e/ l% V4 j( G$ A1 h
    function f=fun1(x,y);
    0 \) V- a2 F. R# G& D+ {f=zeros(length(x),1);
    % c# P4 Z9 G  @  P7 yix=find(x.^2+y.^2<0.16);: v5 d- |7 ~. R
    f(ix)=1; " C" x; Q; e4 P" O* j$ g
    4 o# ]% ^  K. m: p
    其中的变量 x,y 是 MATLAB 可接受的内置变量。 设置“solve”菜单下的“parameters…”选项如下:' \' J% Q5 |7 A6 v: l

    , q5 A0 F$ h/ S5 {7 G$ }5 V时间框中输入:linspace(0,0.1,20);+ S+ o. H6 \# I0 k5 l2 b# R: u

    ' f0 z- ?/ R1 V* |1 i# x/ q初值框中输入:fun1。( @7 a) d" j' V: b5 V0 o/ h- M/ }; `

    3 E# P! `& a# q4 G3 k# `( }4)设置“plot"菜单下的“parameters…”选项如下:选择 Height(3-D plot) 和 Animation 两项。4 H+ e$ K! l1 b) o  n5 L/ Q

    . }+ G% l/ `$ u% e$ a2 {: I" l5)用鼠标点一下工具栏上的“=”按钮,就可以画出数值解的 3-D 图形。% K7 O& q  {( Q$ R+ ?

    5 H- x4 X8 _. D6 G  O
    + U: h6 j: T6 v————————————————
    6 R9 ]5 `& m, v. i: ~" t2 L' e版权声明:本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
    2 S) y7 \8 n+ h3 f原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89712663/ j5 Z$ H/ Z2 l* W- f  z

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    5 a3 v6 V$ s* R' z  _
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