稳定状态模型 （一）： 微分方程稳定性理论简介

浅夏110

虽然动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述，但是对于某些 实际问题，建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬时的性态，而是研究某种意义下稳定状态的特征，特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势。譬如在什么情况下 描述过程的变量会越来越接近某些确定的数值，在什么情况下又会越来越远离这些数值 而导致过程不稳定。为了分析这种稳定与不稳定的规律常常不需要求解微分方程，而可以利用微分方程稳定性理论，直接研究平衡状态的稳定性就行了。
, C  y% H. ^, ?6 h" h/ L
0 z6 k' g) [/ n% ~% D1 u本章先介绍平衡状态与稳定性的概念，然后列举几个这方面的建模例子。
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8 n; g5 S: t7 ~/ Y" U0 u7 z3 Z. h6 v自治系统、动力系统
  P# A+ `! G( W+ r* f
6 n; u$ ^/ M6 w
- z+ _/ Z& O" i5 Y' r0 o
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5 Q4 h6 f/ a7 e: O 相平面、相图、轨线
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- k  Q+ m  C- m, U
8 Q) O$ C8 ~& \# O
奇点、孤立奇点
4 ?* Q% V& q% {

$ S6 p: A" G$ |# ^1 r' |

! t- `* v+ {' f" l  _
定义 5         一个奇点不是稳定的，则称这个奇点是不稳定的。

( g0 e4 Q0 W$ t0 l对于常系数齐次线性系统（3）有下述定理。

) q/ k- g# R4 O: K定理2    设 x = x(t)是系统（3）的通解。则
: p0 g% ]$ _: J7 \! x6 H
（i）如果系统（3）的系数矩阵 A 的一切特征根的实部都是负的，则系统（3）的 零解是渐近稳定的。

1 V! C3 H. ~6 k7 g$ G8 e, S1 C（ii）如果 A 的特征根中至少有一个根的实部是正的，则系统（3）的零解是不稳 定的。
, b  b, z% H9 j1 a
（iii）如果 A 的一切特征根的实部都不是正的，但有零实部，则系统（3）的零解 可能是稳定的，也可能是不稳定的，但总不会是渐近稳定的。

/ b' I8 a# U0 w6 G( t6 ~定理2 告诉我们：系统（3）的零解渐近稳定的充分必要条件是 A 的一切特征根的 实部都是负的。
+ q! m* x2 p) L6 X8 Z
! Z$ E5 v5 B0 h9 r9 w" `对于非线性系统，一般不可能找出其积分曲线或轨迹，也就不可能直接导出奇点的 稳定性。为克服这一困难，在奇点附近用一个线性系统来近似这个非线性系统，用这个 近似系统的解来给出这个奇点的稳定解.
9 [2 I% b2 {/ p
9 b- y9 y$ j1 Z8 f- H- \# ^' J& l* ]

称为系统（2）的线性近似。一开始，人们以为总可以用线性近似系统来代替所研究的原系统。但后来人们发现，这种看法是不对的，或至少说是不全面的，非线性系统中的 许多性质，在它的线性近似中不再保留。即使象零解稳定性这样一个问题，也要在一定 条件下，才可用它的线性近似系统代替原系统来研究。关于这个问题，我们有下述定理：
7 I4 Y* I$ H3 G. x8 U
" Z7 P/ C! E0 |# E; `, X定理 3   如果系统（4）的零解是渐近稳定的，或不稳定的，则原系统的零解也是 渐近稳定的或不稳定的。然而，如果系统（4）的零解是稳定的，则原系统的零解是不 定的，即此时不能从线性化的系统来导出原系统的稳定性。


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& }8 Z6 j# h2 e0 L' D5 I

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