稳定状态模型 （一）： 微分方程稳定性理论简介

浅夏110

虽然动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述，但是对于某些 实际问题，建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬时的性态，而是研究某种意义下稳定状态的特征，特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势。譬如在什么情况下 描述过程的变量会越来越接近某些确定的数值，在什么情况下又会越来越远离这些数值 而导致过程不稳定。为了分析这种稳定与不稳定的规律常常不需要求解微分方程，而可以利用微分方程稳定性理论，直接研究平衡状态的稳定性就行了。
$ n3 d' d* \9 o& D, r, i
1 P2 x, o4 v9 R本章先介绍平衡状态与稳定性的概念，然后列举几个这方面的建模例子。
3 |( l2 \* [& N2 {% p; C, o; R
6 J/ Z8 X2 ~4 k$ Q' O/ r自治系统、动力系统
4 F1 P( v" ?$ U' V* C

- e2 F! G! _! u+ q% w( r


3 V" Y5 E  ]5 I! U0 b  X5 k 相平面、相图、轨线
) I: n& P: }  M, T/ W8 V4 W
* s1 i8 D- c4 Y1 }: ]' o% o$ }
+ {& t  ?/ P4 i, f# l. b4 {8 \# ~
奇点、孤立奇点


5 Z' B7 q" d) f% q. s
. e0 a1 o9 J$ q  V2 W

定义 5         一个奇点不是稳定的，则称这个奇点是不稳定的。
' d( i& U$ ^- T
对于常系数齐次线性系统（3）有下述定理。
; _+ ?) K/ |& V/ p9 O$ U
定理2    设 x = x(t)是系统（3）的通解。则

（i）如果系统（3）的系数矩阵 A 的一切特征根的实部都是负的，则系统（3）的 零解是渐近稳定的。
) t8 g. S+ D9 B" z0 H9 G
（ii）如果 A 的特征根中至少有一个根的实部是正的，则系统（3）的零解是不稳 定的。
* N: J4 X$ C- }7 k$ b' h
（iii）如果 A 的一切特征根的实部都不是正的，但有零实部，则系统（3）的零解 可能是稳定的，也可能是不稳定的，但总不会是渐近稳定的。
0 l7 J; l# }( l, ~6 ~9 e$ N) w
- a7 k( f9 H0 _. B定理2 告诉我们：系统（3）的零解渐近稳定的充分必要条件是 A 的一切特征根的 实部都是负的。

; k! Q" I' u  A对于非线性系统，一般不可能找出其积分曲线或轨迹，也就不可能直接导出奇点的 稳定性。为克服这一困难，在奇点附近用一个线性系统来近似这个非线性系统，用这个 近似系统的解来给出这个奇点的稳定解.


- l8 Z; r1 x4 [- E0 u+ E
; s+ j7 U8 j" |, e' {! m! G/ ^称为系统（2）的线性近似。一开始，人们以为总可以用线性近似系统来代替所研究的原系统。但后来人们发现，这种看法是不对的，或至少说是不全面的，非线性系统中的 许多性质，在它的线性近似中不再保留。即使象零解稳定性这样一个问题，也要在一定 条件下，才可用它的线性近似系统代替原系统来研究。关于这个问题，我们有下述定理：

定理 3   如果系统（4）的零解是渐近稳定的，或不稳定的，则原系统的零解也是 渐近稳定的或不稳定的。然而，如果系统（4）的零解是稳定的，则原系统的零解是不 定的，即此时不能从线性化的系统来导出原系统的稳定性。
" h/ U5 V, S2 ?9 q+ V




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