稳定状态模型 （一）： 微分方程稳定性理论简介

浅夏110

虽然动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述，但是对于某些 实际问题，建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬时的性态，而是研究某种意义下稳定状态的特征，特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势。譬如在什么情况下 描述过程的变量会越来越接近某些确定的数值，在什么情况下又会越来越远离这些数值 而导致过程不稳定。为了分析这种稳定与不稳定的规律常常不需要求解微分方程，而可以利用微分方程稳定性理论，直接研究平衡状态的稳定性就行了。

" D! r3 i% w9 B+ V8 w) |本章先介绍平衡状态与稳定性的概念，然后列举几个这方面的建模例子。

9 `+ R2 I1 S2 }6 w自治系统、动力系统



8 T% Q2 y1 A8 z2 L# _+ B

2 F- S" ~2 x% {" `) } 相平面、相图、轨线
: z/ e% ]& v# _$ d8 O- q4 `  E5 I

/ N3 n, g5 s. y& h3 N* e
奇点、孤立奇点

, k$ `; g1 X0 o8 ]4 t! Y1 p$ V+ j  m

/ u- r% K9 r% P  W" V& W7 q
9 E5 V6 M& J" h! \- D) v
定义 5         一个奇点不是稳定的，则称这个奇点是不稳定的。

对于常系数齐次线性系统（3）有下述定理。
, d& l7 M# [, C: e
定理2    设 x = x(t)是系统（3）的通解。则

! r& H# L9 |* n- T/ Q! \（i）如果系统（3）的系数矩阵 A 的一切特征根的实部都是负的，则系统（3）的 零解是渐近稳定的。

（ii）如果 A 的特征根中至少有一个根的实部是正的，则系统（3）的零解是不稳 定的。

8 W7 _$ q/ @# v8 \（iii）如果 A 的一切特征根的实部都不是正的，但有零实部，则系统（3）的零解 可能是稳定的，也可能是不稳定的，但总不会是渐近稳定的。
) l. E6 R' D7 G. a& R) R. s
: F7 j* L$ k& N' c& f定理2 告诉我们：系统（3）的零解渐近稳定的充分必要条件是 A 的一切特征根的 实部都是负的。

3 d& d. ~0 c+ t- J+ c" V. k! v对于非线性系统，一般不可能找出其积分曲线或轨迹，也就不可能直接导出奇点的 稳定性。为克服这一困难，在奇点附近用一个线性系统来近似这个非线性系统，用这个 近似系统的解来给出这个奇点的稳定解.
% ^- u" b3 C/ V! Q4 M. M  h* q( i) B
7 z& d7 I6 _3 G5 b* N# ?/ R
9 x+ V3 a+ Q3 O* I1 Q; u
& P( ~! T, J! l$ T) s称为系统（2）的线性近似。一开始，人们以为总可以用线性近似系统来代替所研究的原系统。但后来人们发现，这种看法是不对的，或至少说是不全面的，非线性系统中的 许多性质，在它的线性近似中不再保留。即使象零解稳定性这样一个问题，也要在一定 条件下，才可用它的线性近似系统代替原系统来研究。关于这个问题，我们有下述定理：

定理 3   如果系统（4）的零解是渐近稳定的，或不稳定的，则原系统的零解也是 渐近稳定的或不稳定的。然而，如果系统（4）的零解是稳定的，则原系统的零解是不 定的，即此时不能从线性化的系统来导出原系统的稳定性。

( E$ y, m# t2 S4 F: c0 C  q1 e, K/ F


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