稳定状态模型 （一）： 微分方程稳定性理论简介

浅夏110

虽然动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述，但是对于某些 实际问题，建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬时的性态，而是研究某种意义下稳定状态的特征，特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势。譬如在什么情况下 描述过程的变量会越来越接近某些确定的数值，在什么情况下又会越来越远离这些数值 而导致过程不稳定。为了分析这种稳定与不稳定的规律常常不需要求解微分方程，而可以利用微分方程稳定性理论，直接研究平衡状态的稳定性就行了。

本章先介绍平衡状态与稳定性的概念，然后列举几个这方面的建模例子。

自治系统、动力系统
9 ^/ l1 f" G; s

& A  I8 ]/ m7 Q! e8 ]


相平面、相图、轨线
, U+ m) t- D  v4 Y/ L


" \" {, ~/ U+ [+ B6 |! r奇点、孤立奇点

# r! E' w6 U- I. i
8 q1 U+ Z7 A  s$ l' v' K
3 W2 _$ \+ r. x+ f# o" X. s1 a3 W
& |9 F& H* ~, r5 [# r% K3 d
定义 5         一个奇点不是稳定的，则称这个奇点是不稳定的。

对于常系数齐次线性系统（3）有下述定理。

- @  y- q5 n. d$ f  y5 R定理2    设 x = x(t)是系统（3）的通解。则
4 U1 F! m, c5 x9 y
（i）如果系统（3）的系数矩阵 A 的一切特征根的实部都是负的，则系统（3）的 零解是渐近稳定的。
! F- S2 T% T- V
（ii）如果 A 的特征根中至少有一个根的实部是正的，则系统（3）的零解是不稳 定的。

（iii）如果 A 的一切特征根的实部都不是正的，但有零实部，则系统（3）的零解 可能是稳定的，也可能是不稳定的，但总不会是渐近稳定的。
. J2 O/ \! ]' m3 W
$ g! r1 @1 Q4 {" N0 Z定理2 告诉我们：系统（3）的零解渐近稳定的充分必要条件是 A 的一切特征根的 实部都是负的。
, R0 n* c5 ?1 y0 f: w7 R9 X9 w. c
对于非线性系统，一般不可能找出其积分曲线或轨迹，也就不可能直接导出奇点的 稳定性。为克服这一困难，在奇点附近用一个线性系统来近似这个非线性系统，用这个 近似系统的解来给出这个奇点的稳定解.


2 y6 [6 N! D% x& W( S3 z
- O. X' u& U% h称为系统（2）的线性近似。一开始，人们以为总可以用线性近似系统来代替所研究的原系统。但后来人们发现，这种看法是不对的，或至少说是不全面的，非线性系统中的 许多性质，在它的线性近似中不再保留。即使象零解稳定性这样一个问题，也要在一定 条件下，才可用它的线性近似系统代替原系统来研究。关于这个问题，我们有下述定理：

% f' q, ?' V* Q定理 3   如果系统（4）的零解是渐近稳定的，或不稳定的，则原系统的零解也是 渐近稳定的或不稳定的。然而，如果系统（4）的零解是稳定的，则原系统的零解是不 定的，即此时不能从线性化的系统来导出原系统的稳定性。
$ j) C/ w8 T& Y- \7 V
9 n$ N  R3 H- ]+ f  |" V
; L0 U. z9 d# k- x0 E1 Q3 Y


————————————————
版权声明：本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89715602
7 q8 b9 p. x9 |/ [, B/ W
+ x; u7 U& \  ^8 ~! r3 o, v* I