稳定状态模型 （一）： 微分方程稳定性理论简介

浅夏110

虽然动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述，但是对于某些 实际问题，建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬时的性态，而是研究某种意义下稳定状态的特征，特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势。譬如在什么情况下 描述过程的变量会越来越接近某些确定的数值，在什么情况下又会越来越远离这些数值 而导致过程不稳定。为了分析这种稳定与不稳定的规律常常不需要求解微分方程，而可以利用微分方程稳定性理论，直接研究平衡状态的稳定性就行了。

本章先介绍平衡状态与稳定性的概念，然后列举几个这方面的建模例子。
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自治系统、动力系统





( Z. b9 R" n$ f  c4 |' {6 e 相平面、相图、轨线

. y: K5 G7 l. u; N1 X. [+ U5 j
  f% a0 h; L6 K2 B
奇点、孤立奇点
, X$ E7 w. h; U' |
1 }' T' @1 V3 ~& _$ x. {' X
2 u! \( F- k4 u) T) b2 u8 \, W


定义 5         一个奇点不是稳定的，则称这个奇点是不稳定的。
; |, h) i7 f$ T# V
对于常系数齐次线性系统（3）有下述定理。

/ {/ ]7 Q7 L- Q定理2    设 x = x(t)是系统（3）的通解。则

（i）如果系统（3）的系数矩阵 A 的一切特征根的实部都是负的，则系统（3）的 零解是渐近稳定的。

4 F9 d# o  \6 q9 U4 r4 X# z9 v（ii）如果 A 的特征根中至少有一个根的实部是正的，则系统（3）的零解是不稳 定的。
8 k8 |8 X, ~, X+ X, o- W
2 D5 s+ w5 ~. u% r- a) l（iii）如果 A 的一切特征根的实部都不是正的，但有零实部，则系统（3）的零解 可能是稳定的，也可能是不稳定的，但总不会是渐近稳定的。

: e' ^. j2 y' H' a0 w/ q定理2 告诉我们：系统（3）的零解渐近稳定的充分必要条件是 A 的一切特征根的 实部都是负的。

对于非线性系统，一般不可能找出其积分曲线或轨迹，也就不可能直接导出奇点的 稳定性。为克服这一困难，在奇点附近用一个线性系统来近似这个非线性系统，用这个 近似系统的解来给出这个奇点的稳定解.

4 V5 r/ B* `1 S: l3 H" N

称为系统（2）的线性近似。一开始，人们以为总可以用线性近似系统来代替所研究的原系统。但后来人们发现，这种看法是不对的，或至少说是不全面的，非线性系统中的 许多性质，在它的线性近似中不再保留。即使象零解稳定性这样一个问题，也要在一定 条件下，才可用它的线性近似系统代替原系统来研究。关于这个问题，我们有下述定理：

定理 3   如果系统（4）的零解是渐近稳定的，或不稳定的，则原系统的零解也是 渐近稳定的或不稳定的。然而，如果系统（4）的零解是稳定的，则原系统的零解是不 定的，即此时不能从线性化的系统来导出原系统的稳定性。
/ ~: O8 V+ S7 q: K; t1 f6 b2 {


9 _- H1 O7 b( p% ?% ]

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