稳定状态模型 （一）： 微分方程稳定性理论简介

浅夏110

虽然动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述，但是对于某些 实际问题，建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬时的性态，而是研究某种意义下稳定状态的特征，特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势。譬如在什么情况下 描述过程的变量会越来越接近某些确定的数值，在什么情况下又会越来越远离这些数值 而导致过程不稳定。为了分析这种稳定与不稳定的规律常常不需要求解微分方程，而可以利用微分方程稳定性理论，直接研究平衡状态的稳定性就行了。

本章先介绍平衡状态与稳定性的概念，然后列举几个这方面的建模例子。
0 Y! V# t+ ?- y# e/ x3 A, U- e, I. g
9 n( Y: U2 L" C( ]' g自治系统、动力系统

5 U9 y* g* ^! X8 m, m

. c- c9 V1 U' p3 B# D

相平面、相图、轨线



: |9 N) E. A8 O# a6 Z: {( e2 f奇点、孤立奇点


) _4 V( [( [% E8 l


定义 5         一个奇点不是稳定的，则称这个奇点是不稳定的。

0 b( H* U$ T' V- z% T! t. t$ Q对于常系数齐次线性系统（3）有下述定理。
( `7 `( {1 Q* l, j  J0 V/ g8 \& E/ g
2 U& O# a/ C, u" x2 R9 \4 H9 {定理2    设 x = x(t)是系统（3）的通解。则
4 p4 g3 n( [3 T1 t6 {0 U
" a, x& H1 _0 K+ T" S& f; g（i）如果系统（3）的系数矩阵 A 的一切特征根的实部都是负的，则系统（3）的 零解是渐近稳定的。

（ii）如果 A 的特征根中至少有一个根的实部是正的，则系统（3）的零解是不稳 定的。

（iii）如果 A 的一切特征根的实部都不是正的，但有零实部，则系统（3）的零解 可能是稳定的，也可能是不稳定的，但总不会是渐近稳定的。
  K1 s5 M1 W, s: F
% N& P% h. W! Y9 y: b" h0 G) f定理2 告诉我们：系统（3）的零解渐近稳定的充分必要条件是 A 的一切特征根的 实部都是负的。
( I/ Q; Z/ z8 j! h" [
, R! G1 I' C5 d. e9 A4 `对于非线性系统，一般不可能找出其积分曲线或轨迹，也就不可能直接导出奇点的 稳定性。为克服这一困难，在奇点附近用一个线性系统来近似这个非线性系统，用这个 近似系统的解来给出这个奇点的稳定解.
+ o, q+ s8 v/ Y6 x, Q
$ i' ]: _3 P4 K6 f

& ]7 ]  N5 }0 Y0 H称为系统（2）的线性近似。一开始，人们以为总可以用线性近似系统来代替所研究的原系统。但后来人们发现，这种看法是不对的，或至少说是不全面的，非线性系统中的 许多性质，在它的线性近似中不再保留。即使象零解稳定性这样一个问题，也要在一定 条件下，才可用它的线性近似系统代替原系统来研究。关于这个问题，我们有下述定理：

# W6 {& @1 T3 b' O/ o' h/ K1 h) x定理 3   如果系统（4）的零解是渐近稳定的，或不稳定的，则原系统的零解也是 渐近稳定的或不稳定的。然而，如果系统（4）的零解是稳定的，则原系统的零解是不 定的，即此时不能从线性化的系统来导出原系统的稳定性。

  X- M9 y9 z( ?5 z' p% x3 X

0 Y4 s7 b' C7 j1 h( }% _$ D% [( J

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