排队论模型（二）：生灭过程 、 M / M /s 等待制排队模型、多服务台模型

浅夏110

1 生灭过程
一类非常重要且广泛存在的排队系统是生灭过程排队系统。生灭过程是一类特殊的随机过程，在生物学、物理学、运筹学中有广泛的应用。在排队论中，如果 N(t) 表示 时刻t 系统中的顾客数，则{N(t),t ≥ 0}就构成了一个随机过程。如果用“生”表示顾 客的到达，“灭”表示顾客的离去，则对许多排队过程来说，{N(t),t ≥ 0}就是一类特殊的随机过程－生灭过程。
9 }+ r. p9 V3 U
下面结合排队论的术语给出生灭过程的定义。
- {) \, L/ A4 t$ _
+ U+ n! A% M6 k0 O
" O) h8 I) e, Z* E8 C% q4 w
9 I( N6 |3 @6 @8 K; q0 {为求平稳分布，考虑系统可能处的任一状态 n 。假设记录了一段时间内系统进入状 态n 和离开状态 n 的次数，则因为“进入”和“离开”是交替发生的，所以这两个数要么相等，要么相差为 1。但就这两种事件的平均发生率来说，可以认为是相等的。即当 系统运行相当时间而到达平衡状态后，对任一状态 n 来说，单位时间内进入该状态的平 均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应该相等，这就是系统在统计平衡下的“流 入＝流出”原理。根据这一原理，可得到任一状态下的平衡方程如下：
/ f3 x& s: D2 H8 u  P$ ^
6 g7 b+ C: u' ~; y5 y2 E

1 g8 b) O- R% ]
7 ~4 ~4 z4 \* k' t
0 ]6 }# j5 l6 ?: A/ |0 D述公式得到平稳状态的概率分布。
) Q( b) i/ G2 w3 v( v$ b* V- G
* P8 U  Z' q9 r$ n; C  V3 a2   M / M /s 等待制排队模型
! V* h5 M4 |1 X2.1 单服务台模型
单服务台等待制模型 M / M /1/ ∞ 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布，服务台个数为 1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统空间无限， 允许无限排队，这是一类最简单的排队系统。
& f5 D' {5 ^2 m$ i5 N$ B; X
2.1 队长的分布
/ H4 m4 V) s, W/ ~. Y( i


2.2 几个主要数量指标
5 @% q8 W4 g, p# N! B 对单服务台等待制排队系统，由已得到的平稳状态下队长的分布，可以得到平均队 长
  S! z- _# D0 n! \5 L6 ]4 o

# v- K) w7 O$ o! y% W
$ h- p( i# i) y% Z6 M
% ?+ i) w$ p+ r% [. Y) F$ j
5 }8 S9 J. [7 b7 Y式（14）和式（15）通常称为 Little 公式，是排队论中一个非常重要的公式。

2.3 忙期和闲期
3 y' d+ z# Y4 C, M2 [+ w


, M8 |6 L$ _( R3 F! I8 K个顾客在系统内的平均逗留时间应等于服务员平均连续忙的时间。
5 ], o& D- L! [6 x
+ x( u. _8 v# i. [: H$ X0 v3 与排队论模型有关的 LINGO 函数
$ Q; a* A7 U6 h# `( b  f6 J/ K（1）@peb(load,S) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且允许排队时系 统繁忙的概率，也就是顾客等待的概率。
6 x8 k; J7 R" f2 Y0 k2 u) K# y
) g) y! s6 [9 @$ ?) y（2）@pel（load,S） 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且不允许排队时 系统损失概率，也就是顾客得不到服务离开的概率。
) [5 n9 Z' S9 F1 u/ s! P
（3）@pfs(load,S,K) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，顾客数为 K，平行服务台数量为 S 时，有限 源的 Poisson 服务系统等待或返修顾客数的期望值。

例 1 某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达过程为 Poisson 流，平均 4 人 /h；修理时间服从负指数分布，平均需要 6min。试求：（1）修理店空闲的概率；（2） 店内恰有 3 个顾客的概率；（3）店内至少有 1 个顾客的概率；（4）在店内的平均顾客数； （5）每位顾客在店内的平均逗留时间；（6）等待服务的平均顾客数；（7）每位顾客平 均等待服务时间；（8）顾客在店内等待时间超过 10min 的概率。
7 n4 d) y- e% [; {2 T# j0 G, F


& Z" T% ]2 I4 [2 N) H7 o  O编写 LINGO 程序如下：
/ A/ {7 y% ~7 z! s9 L3 ~3 T
model:
3 \) y- z, u/ i$ Gs=1;lamda=4;mu=10;rho=lamda/mu;
% l; \) U9 A6 V" G5 GPwait=@peb(rho,s);
4 R; l, ?' Z: d4 O: R3 ~. D+ rp0=1-Pwait;
+ _7 _; v/ F. ^+ U7 VPt_gt_10=@exp(-1);
end
9 @& l. }  J; X4 多服务台模型（ M / M /s/ ∞ ）
设顾客单个到达，相继到达时间间隔服从参数为λ 的负指数分布，系统中共有 s 个 服务台，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分布。当顾客到 达时，若有空闲的服务台则马上接受服务，否则便排成一个队列等待，等待时间为无限。


) M/ n* X6 y3 s$ Z
' X$ z+ B* c; Q0 ^) z. H$ g5 f公式（19）和式（20）给出了在平衡条件下系统中顾客数为 n 的概率，当 n ≥ s 时，即 系统中顾客数大于或等于服务台个数，这时再来的顾客必须等待，因此记



. X  g6 Y; c0 K, g式（21）称为 Erlang 等待公式，它给出了顾客到达系统时需要等待的概率。 对多服务台等待制排队系统，由已得到的平稳分布可得平均排队长 Lq 为：

/ u! r% q; l: T  s# W+ Y
1 d7 Q" @; `1 i# u$ g
0 g4 D: p4 Z8 W+ }5 P
: {% q# i7 u( [; A" m0 l% S0 l
. Y9 |4 K+ X$ x! R5 g对多服务台系统，Little 公式依然成立，即有


4 h0 s" a6 |- f5 R
2 |) v* p2 N$ \3 ^' c# [+ w+ K例 2   某售票处有 3 个窗口，顾客的到达为 Poisson 流，平均到达率为 λ = 0.9人/ min ；服务（售票）时间服从负指数分布，平均服务率 μ = 0.4人/ min 。 现设顾客到达后排成一个队列，依次向空闲的窗口购票，这一排队系统可看成是一个
9 a( H1 S; q2 T6 W& j( p
M / M / s/ ∞ 系统，其中




9 N- r4 b. t, l# A& [4 Z
求解的 LINGO 程序如下：

8 w2 r4 e: K( W2 R6 i. Lmodel:
" n6 F# D+ z! a' R* [$ ls=3;lamda=0.9;mu=0.4;rho=lamda/mu;rho_s=rho/s;
P_wait=@peb(rho,s);
p0=6*(1-rho_s)/rho^3*P_wait;
. l5 b4 J' z2 N/ A: E6 HL_q=P_wait*rho_s/(1-rho_s);
L_s=L_q+rho;
W_q=L_q/lamda;
W_s=L_s/lamda;
end

5 X- g% {) r' A% L4 v/ s4 e————————————————
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( C7 |$ S1 d/ l& Q
% m- ^6 z" P/ D6 d( w, s/ m

SHINee0525

感觉很好 很实用