排队论模型（二）：生灭过程 、 M / M /s 等待制排队模型、多服务台模型

浅夏110

1 生灭过程
一类非常重要且广泛存在的排队系统是生灭过程排队系统。生灭过程是一类特殊的随机过程，在生物学、物理学、运筹学中有广泛的应用。在排队论中，如果 N(t) 表示 时刻t 系统中的顾客数，则{N(t),t ≥ 0}就构成了一个随机过程。如果用“生”表示顾 客的到达，“灭”表示顾客的离去，则对许多排队过程来说，{N(t),t ≥ 0}就是一类特殊的随机过程－生灭过程。

) g0 n3 Q2 @+ i下面结合排队论的术语给出生灭过程的定义。



为求平稳分布，考虑系统可能处的任一状态 n 。假设记录了一段时间内系统进入状 态n 和离开状态 n 的次数，则因为“进入”和“离开”是交替发生的，所以这两个数要么相等，要么相差为 1。但就这两种事件的平均发生率来说，可以认为是相等的。即当 系统运行相当时间而到达平衡状态后，对任一状态 n 来说，单位时间内进入该状态的平 均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应该相等，这就是系统在统计平衡下的“流 入＝流出”原理。根据这一原理，可得到任一状态下的平衡方程如下：

/ f6 K# K: {) a; s1 L- `( H# X$ ^' F6 Z

7 L! q9 R, S6 r; p# a" u
+ W& I; I! r( ~: I, u4 T
' s( }1 h& r0 Q述公式得到平稳状态的概率分布。
) M; a6 v; H2 c1 Z
2   M / M /s 等待制排队模型
2.1 单服务台模型
- w3 X1 j; k, |: f7 [单服务台等待制模型 M / M /1/ ∞ 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布，服务台个数为 1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统空间无限， 允许无限排队，这是一类最简单的排队系统。
  h5 d, K7 H8 V4 C4 c) K5 u
2.1 队长的分布

" x" b' ~7 h1 C8 u: D* X( k

" H  i: |/ n$ t) G+ \9 n. p2.2 几个主要数量指标
- Q; j; T( H% r. v& i- b 对单服务台等待制排队系统，由已得到的平稳状态下队长的分布，可以得到平均队 长

! M6 E" ~# ^) v, n
; F, \" P. ]1 [: m7 p/ L3 }% @- R
8 S3 {& q6 K' u2 u3 X  T

. D/ t, G- |( X' C1 c$ U4 F# w* o) ^  W式（14）和式（15）通常称为 Little 公式，是排队论中一个非常重要的公式。
' Z% I6 D% a) C: i
: r, Y$ B6 E1 x  a) ^2.3 忙期和闲期
9 L/ n/ s- o( W

2 F2 u8 C4 w3 i! N+ W
个顾客在系统内的平均逗留时间应等于服务员平均连续忙的时间。
) m% z# X4 S' t3 g; o
3 与排队论模型有关的 LINGO 函数
（1）@peb(load,S) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且允许排队时系 统繁忙的概率，也就是顾客等待的概率。

（2）@pel（load,S） 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且不允许排队时 系统损失概率，也就是顾客得不到服务离开的概率。

) K9 o3 I4 X# ]0 }9 Z5 |! y（3）@pfs(load,S,K) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，顾客数为 K，平行服务台数量为 S 时，有限 源的 Poisson 服务系统等待或返修顾客数的期望值。
* ?/ |$ G1 q8 `, c6 E6 f# [
例 1 某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达过程为 Poisson 流，平均 4 人 /h；修理时间服从负指数分布，平均需要 6min。试求：（1）修理店空闲的概率；（2） 店内恰有 3 个顾客的概率；（3）店内至少有 1 个顾客的概率；（4）在店内的平均顾客数； （5）每位顾客在店内的平均逗留时间；（6）等待服务的平均顾客数；（7）每位顾客平 均等待服务时间；（8）顾客在店内等待时间超过 10min 的概率。

+ ?2 g7 m) x+ M0 J9 Z3 k4 k, a

编写 LINGO 程序如下：

model:
s=1;lamda=4;mu=10;rho=lamda/mu;
7 B+ A# i/ I% wPwait=@peb(rho,s);
+ y& g3 g" i8 a. g# Hp0=1-Pwait;
: d0 i0 |+ B$ Z+ [* ~1 K& NPt_gt_10=@exp(-1);
end
4 多服务台模型（ M / M /s/ ∞ ）
设顾客单个到达，相继到达时间间隔服从参数为λ 的负指数分布，系统中共有 s 个 服务台，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分布。当顾客到 达时，若有空闲的服务台则马上接受服务，否则便排成一个队列等待，等待时间为无限。



1 ?9 E7 p/ s$ N* r6 F' ^; h, [公式（19）和式（20）给出了在平衡条件下系统中顾客数为 n 的概率，当 n ≥ s 时，即 系统中顾客数大于或等于服务台个数，这时再来的顾客必须等待，因此记
  S' t6 d+ Z+ U" J4 D' h


1 i6 Y% a0 [7 c4 v/ [式（21）称为 Erlang 等待公式，它给出了顾客到达系统时需要等待的概率。 对多服务台等待制排队系统，由已得到的平稳分布可得平均排队长 Lq 为：
  y; r$ c- y: U0 f, o. `


$ c/ k: W2 U  }

对多服务台系统，Little 公式依然成立，即有


( A( \) T& W% b4 @% K, S
, }. o  D( `1 j& I$ T* l5 B. a例 2   某售票处有 3 个窗口，顾客的到达为 Poisson 流，平均到达率为 λ = 0.9人/ min ；服务（售票）时间服从负指数分布，平均服务率 μ = 0.4人/ min 。 现设顾客到达后排成一个队列，依次向空闲的窗口购票，这一排队系统可看成是一个

2 W, {  |/ g7 f& aM / M / s/ ∞ 系统，其中
* I% P5 w7 B5 U2 m




求解的 LINGO 程序如下：

" |  [+ c9 H9 |; A- }model:
s=3;lamda=0.9;mu=0.4;rho=lamda/mu;rho_s=rho/s;
5 X: o8 A8 E0 N( y: h6 |$ [P_wait=@peb(rho,s);
( R; {8 z! v' {% R& k( H1 Jp0=6*(1-rho_s)/rho^3*P_wait;
L_q=P_wait*rho_s/(1-rho_s);
" x% D1 Y% j" B8 A0 TL_s=L_q+rho;
W_q=L_q/lamda;
W_s=L_s/lamda;
9 c9 {$ g2 r" v! B3 Pend
' \5 X( O6 r" K* @: T  u" F
) J; {3 x6 @# k4 }————————————————
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) U- u" e7 E& c4 ^( [, r

. ^% t1 q) ]8 V9 V! f+ `* k0 N* d$ \0 w0 r

SHINee0525

感觉很好 很实用
' B/ b, A/ }3 E. s- p" j