排队论模型（二）：生灭过程 、 M / M /s 等待制排队模型、多服务台模型

浅夏110

1 生灭过程
一类非常重要且广泛存在的排队系统是生灭过程排队系统。生灭过程是一类特殊的随机过程，在生物学、物理学、运筹学中有广泛的应用。在排队论中，如果 N(t) 表示 时刻t 系统中的顾客数，则{N(t),t ≥ 0}就构成了一个随机过程。如果用“生”表示顾 客的到达，“灭”表示顾客的离去，则对许多排队过程来说，{N(t),t ≥ 0}就是一类特殊的随机过程－生灭过程。

+ B' [/ Z1 q/ p; M. z下面结合排队论的术语给出生灭过程的定义。

. M) b0 g5 W- E$ e

为求平稳分布，考虑系统可能处的任一状态 n 。假设记录了一段时间内系统进入状 态n 和离开状态 n 的次数，则因为“进入”和“离开”是交替发生的，所以这两个数要么相等，要么相差为 1。但就这两种事件的平均发生率来说，可以认为是相等的。即当 系统运行相当时间而到达平衡状态后，对任一状态 n 来说，单位时间内进入该状态的平 均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应该相等，这就是系统在统计平衡下的“流 入＝流出”原理。根据这一原理，可得到任一状态下的平衡方程如下：

5 ~7 F0 `7 [/ R" F- M
8 M5 ]$ u! C$ N$ ]" C" {
# [  a6 S+ ]: v2 a* J# \+ Z* j4 q$ L4 A

述公式得到平稳状态的概率分布。

6 R, k; v/ i1 T: g' ~: L6 E2   M / M /s 等待制排队模型
' s8 q9 p; o$ {! n2.1 单服务台模型
# E( Y0 C4 z% T2 P单服务台等待制模型 M / M /1/ ∞ 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布，服务台个数为 1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统空间无限， 允许无限排队，这是一类最简单的排队系统。
& h7 i) `; P+ W
" z$ Q4 p8 h$ v0 {  c" I3 I2.1 队长的分布
; B0 X& _% Y+ B3 O7 S
) F) M& M# j. o* d) J9 ]1 a6 Q, g
1 H% a8 f0 s: I! r" C
2.2 几个主要数量指标
对单服务台等待制排队系统，由已得到的平稳状态下队长的分布，可以得到平均队 长

. f9 T6 w$ Y4 S' I5 n
- q, U, j/ d: w" X  I3 f5 X& L
- @/ i% a0 R" j0 D' y4 V

3 o7 x: `, X. L+ w+ M3 X, G  _+ E式（14）和式（15）通常称为 Little 公式，是排队论中一个非常重要的公式。

/ a+ w- }: Y; _+ C2.3 忙期和闲期
: K, F3 @+ A1 h4 C' y' G
6 ^& t7 ~/ [; f
3 z3 C2 o8 r# D& J3 T
个顾客在系统内的平均逗留时间应等于服务员平均连续忙的时间。

3 与排队论模型有关的 LINGO 函数
5 T5 ^- q. J, l, d( c- h（1）@peb(load,S) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且允许排队时系 统繁忙的概率，也就是顾客等待的概率。
% V- x& }6 B: O, F. l8 q% y$ k
（2）@pel（load,S） 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且不允许排队时 系统损失概率，也就是顾客得不到服务离开的概率。

（3）@pfs(load,S,K) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，顾客数为 K，平行服务台数量为 S 时，有限 源的 Poisson 服务系统等待或返修顾客数的期望值。

9 b# Q/ s9 W7 j4 E/ W例 1 某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达过程为 Poisson 流，平均 4 人 /h；修理时间服从负指数分布，平均需要 6min。试求：（1）修理店空闲的概率；（2） 店内恰有 3 个顾客的概率；（3）店内至少有 1 个顾客的概率；（4）在店内的平均顾客数； （5）每位顾客在店内的平均逗留时间；（6）等待服务的平均顾客数；（7）每位顾客平 均等待服务时间；（8）顾客在店内等待时间超过 10min 的概率。

$ t+ ^' w5 k  I, L$ t- F& p* H& K
6 y) Y7 x5 g7 L2 A+ @/ e
编写 LINGO 程序如下：
- _' x0 u; L8 N% ?
model:
s=1;lamda=4;mu=10;rho=lamda/mu;
Pwait=@peb(rho,s);
7 O* P% H" W; d1 s  D/ O4 Gp0=1-Pwait;
, W; H- ]) _5 V$ T9 {( h, sPt_gt_10=@exp(-1);
! ]0 }- M$ g$ d3 R5 c' l% nend
4 多服务台模型（ M / M /s/ ∞ ）
设顾客单个到达，相继到达时间间隔服从参数为λ 的负指数分布，系统中共有 s 个 服务台，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分布。当顾客到 达时，若有空闲的服务台则马上接受服务，否则便排成一个队列等待，等待时间为无限。

: P) H$ G7 W2 R" L. O
( o% l  S# d4 ^( {
公式（19）和式（20）给出了在平衡条件下系统中顾客数为 n 的概率，当 n ≥ s 时，即 系统中顾客数大于或等于服务台个数，这时再来的顾客必须等待，因此记
& A/ P. k0 l& J# g


式（21）称为 Erlang 等待公式，它给出了顾客到达系统时需要等待的概率。 对多服务台等待制排队系统，由已得到的平稳分布可得平均排队长 Lq 为：
7 y- K' P+ @& \* j" r* y

/ _% v- X7 ?: |6 g' ^! q
- p& I5 S+ b# r
2 \% A8 A  [: G" \# \# D3 w7 q1 y$ Z
对多服务台系统，Little 公式依然成立，即有

5 m6 L$ G  }6 @6 _- M' s  r- @2 E
6 w' s7 ?$ _. E# r0 |
例 2   某售票处有 3 个窗口，顾客的到达为 Poisson 流，平均到达率为 λ = 0.9人/ min ；服务（售票）时间服从负指数分布，平均服务率 μ = 0.4人/ min 。 现设顾客到达后排成一个队列，依次向空闲的窗口购票，这一排队系统可看成是一个
9 @/ J# ?8 P' z9 e  U
& e3 v' B& k( y6 M2 L7 G9 ^# H% oM / M / s/ ∞ 系统，其中


# u7 X& w8 v. M6 U8 U0 U
' V4 ?7 n  W# X6 v+ L- x

求解的 LINGO 程序如下：

( }. D1 T: I2 o; c" ]' z. V, ^model:
& I" D* f* K: g+ T2 _, Us=3;lamda=0.9;mu=0.4;rho=lamda/mu;rho_s=rho/s;
* e5 K: J+ h4 Q+ _0 iP_wait=@peb(rho,s);
+ V) _8 g- L4 s- q% R/ Fp0=6*(1-rho_s)/rho^3*P_wait;
L_q=P_wait*rho_s/(1-rho_s);
L_s=L_q+rho;
( z* \% ^1 D+ z# R0 ]2 {; l! HW_q=L_q/lamda;
W_s=L_s/lamda;
end

. G& o% C+ p* {. k( f9 V8 ~————————————————
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" `* u( l3 k8 k. [, c

SHINee0525

感觉很好 很实用
" N8 J) k% R# h6 s7 \