排队论模型（二）：生灭过程 、 M / M /s 等待制排队模型、多服务台模型

浅夏110

1 生灭过程
1 R2 V* [' y- c# J1 T一类非常重要且广泛存在的排队系统是生灭过程排队系统。生灭过程是一类特殊的随机过程，在生物学、物理学、运筹学中有广泛的应用。在排队论中，如果 N(t) 表示 时刻t 系统中的顾客数，则{N(t),t ≥ 0}就构成了一个随机过程。如果用“生”表示顾 客的到达，“灭”表示顾客的离去，则对许多排队过程来说，{N(t),t ≥ 0}就是一类特殊的随机过程－生灭过程。
5 c% q" O0 f' m) K4 i% j7 c
' Z5 m" R# j+ m! x" b- g3 \! v下面结合排队论的术语给出生灭过程的定义。

- g% F) a2 A: F/ p
# n5 C0 V' w4 y6 P" J
  O  ?! |2 D2 D  H) Z4 y为求平稳分布，考虑系统可能处的任一状态 n 。假设记录了一段时间内系统进入状 态n 和离开状态 n 的次数，则因为“进入”和“离开”是交替发生的，所以这两个数要么相等，要么相差为 1。但就这两种事件的平均发生率来说，可以认为是相等的。即当 系统运行相当时间而到达平衡状态后，对任一状态 n 来说，单位时间内进入该状态的平 均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应该相等，这就是系统在统计平衡下的“流 入＝流出”原理。根据这一原理，可得到任一状态下的平衡方程如下：
3 W5 f7 B- D, Y  p
$ E- x# ^6 `- U* `% l; S


0 Q3 x$ P& Z2 Y, d& u' }, Q' r3 b& X
$ {! [# O" r" l4 F+ ]+ r述公式得到平稳状态的概率分布。
4 a+ T% \4 ]  o4 h' k0 l. t' S/ l
2   M / M /s 等待制排队模型
  M0 E9 y; z' |- ~" G5 B5 S2.1 单服务台模型
单服务台等待制模型 M / M /1/ ∞ 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布，服务台个数为 1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统空间无限， 允许无限排队，这是一类最简单的排队系统。

) u( C- s8 a7 o2 L: W2.1 队长的分布



5 }' G% S# y6 g( C+ D2.2 几个主要数量指标
对单服务台等待制排队系统，由已得到的平稳状态下队长的分布，可以得到平均队 长
* a; y$ e1 ]! C; C/ @5 C# ]/ y+ Y4 c

1 s7 g/ g; f) M* {6 S/ V; ^4 m
$ B8 M+ i, Q& z. s
1 c9 ^/ u3 w! k# {* ?
) F, P, @: \% I3 x0 G+ ^( X式（14）和式（15）通常称为 Little 公式，是排队论中一个非常重要的公式。
  z' @4 ^1 P1 j. N; o
2.3 忙期和闲期


( |! ]' e3 @4 Q$ ~
5 y2 {! Q- x: M4 O! G个顾客在系统内的平均逗留时间应等于服务员平均连续忙的时间。
* T" L" z5 {% A( E; [4 \
' d3 g1 b1 \% A3 |3 与排队论模型有关的 LINGO 函数
（1）@peb(load,S) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且允许排队时系 统繁忙的概率，也就是顾客等待的概率。

: U3 h0 d2 V* k3 _- J5 S（2）@pel（load,S） 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且不允许排队时 系统损失概率，也就是顾客得不到服务离开的概率。
7 s8 [/ d9 `4 t
4 S0 c/ P& g, T3 b! v（3）@pfs(load,S,K) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，顾客数为 K，平行服务台数量为 S 时，有限 源的 Poisson 服务系统等待或返修顾客数的期望值。

- J/ P4 g8 l& H& g  G, s* A1 Y! T例 1 某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达过程为 Poisson 流，平均 4 人 /h；修理时间服从负指数分布，平均需要 6min。试求：（1）修理店空闲的概率；（2） 店内恰有 3 个顾客的概率；（3）店内至少有 1 个顾客的概率；（4）在店内的平均顾客数； （5）每位顾客在店内的平均逗留时间；（6）等待服务的平均顾客数；（7）每位顾客平 均等待服务时间；（8）顾客在店内等待时间超过 10min 的概率。
' s% Q4 m9 p7 D6 q1 m1 T1 [

6 V3 M. U% m& P
! I* i4 F( \5 m2 Y3 K编写 LINGO 程序如下：
- l- ]# l5 W' x. i
3 [7 y7 H4 B$ I) ~8 U  F4 K1 Cmodel:
s=1;lamda=4;mu=10;rho=lamda/mu;
Pwait=@peb(rho,s);
7 n( \7 F4 H$ Y" b0 u6 w: w9 op0=1-Pwait;
Pt_gt_10=@exp(-1);
8 S$ }& r: k6 i! w6 bend
4 多服务台模型（ M / M /s/ ∞ ）
设顾客单个到达，相继到达时间间隔服从参数为λ 的负指数分布，系统中共有 s 个 服务台，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分布。当顾客到 达时，若有空闲的服务台则马上接受服务，否则便排成一个队列等待，等待时间为无限。


" u( X" }( b: O/ d) [
! B" X/ t. Z% ~! M2 f% D. Y* j0 l公式（19）和式（20）给出了在平衡条件下系统中顾客数为 n 的概率，当 n ≥ s 时，即 系统中顾客数大于或等于服务台个数，这时再来的顾客必须等待，因此记

9 L' E9 K) Y6 s3 Y  _5 E
+ Z6 o! F5 w% `8 \
式（21）称为 Erlang 等待公式，它给出了顾客到达系统时需要等待的概率。 对多服务台等待制排队系统，由已得到的平稳分布可得平均排队长 Lq 为：

6 l# ~( o$ V+ A# C  L* ^, l2 T

: d. Y, S0 r" i. O7 O# t
$ o# Y  Y( G2 c' t# s$ X* ^: [. u$ t
对多服务台系统，Little 公式依然成立，即有
4 ]# ]4 p# V: B


" }' p* a* b" N2 x# k+ q例 2   某售票处有 3 个窗口，顾客的到达为 Poisson 流，平均到达率为 λ = 0.9人/ min ；服务（售票）时间服从负指数分布，平均服务率 μ = 0.4人/ min 。 现设顾客到达后排成一个队列，依次向空闲的窗口购票，这一排队系统可看成是一个

M / M / s/ ∞ 系统，其中
+ v0 R3 {0 R  [/ b6 F; s( H
" W8 r( }2 ^/ M

& L* `7 }6 ?% Z# ]$ Q3 a

求解的 LINGO 程序如下：
# g8 ~: d9 b6 a' q  O1 n
/ r3 ?0 L. U1 y' [# Qmodel:
s=3;lamda=0.9;mu=0.4;rho=lamda/mu;rho_s=rho/s;
. N$ j) [# Z% ?7 BP_wait=@peb(rho,s);
p0=6*(1-rho_s)/rho^3*P_wait;
8 u1 x; `5 A4 ~$ V" F- Q% x" u' o6 _L_q=P_wait*rho_s/(1-rho_s);
L_s=L_q+rho;
& ~& J2 A! G; l8 D5 h& S2 vW_q=L_q/lamda;
6 j# e! H0 E9 m6 T6 `W_s=L_s/lamda;
end

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6 g5 i1 n0 o5 S/ K& Y, p+ `8 G
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SHINee0525

感觉很好 很实用