排队论模型（二）：生灭过程 、 M / M /s 等待制排队模型、多服务台模型

浅夏110

1 生灭过程
4 P3 Y3 y1 z  C# T5 {& ?3 z* V一类非常重要且广泛存在的排队系统是生灭过程排队系统。生灭过程是一类特殊的随机过程，在生物学、物理学、运筹学中有广泛的应用。在排队论中，如果 N(t) 表示 时刻t 系统中的顾客数，则{N(t),t ≥ 0}就构成了一个随机过程。如果用“生”表示顾 客的到达，“灭”表示顾客的离去，则对许多排队过程来说，{N(t),t ≥ 0}就是一类特殊的随机过程－生灭过程。

+ i+ o% T  A" T9 b& Y下面结合排队论的术语给出生灭过程的定义。

* l+ y1 \3 Y& y; X1 y( x0 l
1 g" w3 V3 `& ~1 j3 M8 _
为求平稳分布，考虑系统可能处的任一状态 n 。假设记录了一段时间内系统进入状 态n 和离开状态 n 的次数，则因为“进入”和“离开”是交替发生的，所以这两个数要么相等，要么相差为 1。但就这两种事件的平均发生率来说，可以认为是相等的。即当 系统运行相当时间而到达平衡状态后，对任一状态 n 来说，单位时间内进入该状态的平 均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应该相等，这就是系统在统计平衡下的“流 入＝流出”原理。根据这一原理，可得到任一状态下的平衡方程如下：


+ X3 O' \2 ~# _/ O- o5 R
# P% x& ~% P* `! H7 o, U

述公式得到平稳状态的概率分布。

2   M / M /s 等待制排队模型
1 r+ h% E1 h" o1 l! k2.1 单服务台模型
单服务台等待制模型 M / M /1/ ∞ 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布，服务台个数为 1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统空间无限， 允许无限排队，这是一类最简单的排队系统。

2.1 队长的分布



2.2 几个主要数量指标
! Z; R3 i6 O3 h. D3 [1 e 对单服务台等待制排队系统，由已得到的平稳状态下队长的分布，可以得到平均队 长

# l7 i" X  z3 t9 I+ B( P
8 [) k( j- }8 i0 f# I! Z6 M/ \
6 o+ N9 J7 x$ Q4 _: C$ S
# N( W, i; H  @/ P
: z  n) v; k2 X" k2 ^式（14）和式（15）通常称为 Little 公式，是排队论中一个非常重要的公式。

& e/ V; B9 W& Q& Y- S2.3 忙期和闲期



个顾客在系统内的平均逗留时间应等于服务员平均连续忙的时间。
+ y- N" `+ f1 u- {
3 与排队论模型有关的 LINGO 函数
' M8 y5 J6 l3 P7 w（1）@peb(load,S) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且允许排队时系 统繁忙的概率，也就是顾客等待的概率。

$ C1 s" s: L' M  {（2）@pel（load,S） 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且不允许排队时 系统损失概率，也就是顾客得不到服务离开的概率。
6 C  c$ V$ I; J3 \
3 O. ~  }" c- q( Y; o  H（3）@pfs(load,S,K) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，顾客数为 K，平行服务台数量为 S 时，有限 源的 Poisson 服务系统等待或返修顾客数的期望值。

0 T8 V& _! _# d. J4 v例 1 某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达过程为 Poisson 流，平均 4 人 /h；修理时间服从负指数分布，平均需要 6min。试求：（1）修理店空闲的概率；（2） 店内恰有 3 个顾客的概率；（3）店内至少有 1 个顾客的概率；（4）在店内的平均顾客数； （5）每位顾客在店内的平均逗留时间；（6）等待服务的平均顾客数；（7）每位顾客平 均等待服务时间；（8）顾客在店内等待时间超过 10min 的概率。

' S4 h! H$ D, _' L' y$ A1 J

  d2 @5 f+ y$ o2 B8 h( A: G% J编写 LINGO 程序如下：
% q% f5 g7 W2 m; s) X  {
6 z/ Y' T4 }4 S: a1 |" [7 `model:
s=1;lamda=4;mu=10;rho=lamda/mu;
  J% w- \# }- X" IPwait=@peb(rho,s);
p0=1-Pwait;
$ ]( U  c4 C/ \2 P4 {8 ?6 n7 }Pt_gt_10=@exp(-1);
, @# Q, v# y4 E( {+ fend
1 ?  e" }, }4 w6 o/ `0 c; z" i  f0 z! z4 多服务台模型（ M / M /s/ ∞ ）
8 S- S2 ]/ l! u/ p+ R, v/ a设顾客单个到达，相继到达时间间隔服从参数为λ 的负指数分布，系统中共有 s 个 服务台，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分布。当顾客到 达时，若有空闲的服务台则马上接受服务，否则便排成一个队列等待，等待时间为无限。
# }8 Q& a9 Z' P- X

1 }% A- T/ ^0 _3 M
9 x- Q; a% n( ]* ]0 p公式（19）和式（20）给出了在平衡条件下系统中顾客数为 n 的概率，当 n ≥ s 时，即 系统中顾客数大于或等于服务台个数，这时再来的顾客必须等待，因此记
) X5 ]2 w; b2 }3 ?

% j, f2 `' x, E
6 S: q' b& K- e* k; b) Y: n' n式（21）称为 Erlang 等待公式，它给出了顾客到达系统时需要等待的概率。 对多服务台等待制排队系统，由已得到的平稳分布可得平均排队长 Lq 为：

& O5 G  @) G- C& K6 {/ C

0 d- E9 X+ |3 _% P5 D/ ~

0 t# b& G8 Z$ J3 o对多服务台系统，Little 公式依然成立，即有


+ O9 P# @$ G  C" R
+ A* r* q) T5 N$ W例 2   某售票处有 3 个窗口，顾客的到达为 Poisson 流，平均到达率为 λ = 0.9人/ min ；服务（售票）时间服从负指数分布，平均服务率 μ = 0.4人/ min 。 现设顾客到达后排成一个队列，依次向空闲的窗口购票，这一排队系统可看成是一个

M / M / s/ ∞ 系统，其中
$ y9 s8 B& q+ ?% A



0 o+ I6 e% T7 b, r' F0 I! @9 r
6 A& i2 I: \; m  r" S$ L求解的 LINGO 程序如下：

model:
s=3;lamda=0.9;mu=0.4;rho=lamda/mu;rho_s=rho/s;
P_wait=@peb(rho,s);
4 ]7 f* E) J9 ^, C9 b& h" }p0=6*(1-rho_s)/rho^3*P_wait;
L_q=P_wait*rho_s/(1-rho_s);
L_s=L_q+rho;
W_q=L_q/lamda;
W_s=L_s/lamda;
% r/ {& E5 E1 v; D% ?end

0 E$ i+ [5 `2 N————————————————
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4 s( K  h8 c2 l4 s. P5 E1 o原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89735349


# x. O" {8 g( b) ^" c$ S

SHINee0525

感觉很好 很实用