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[建模教程] 排队论模型(二):生灭过程 、 M / M /s 等待制排队模型、多服务台模型

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    1#
    发表于 2020-6-12 09:59 |只看该作者 |倒序浏览
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    1 生灭过程 ) ~, `. w) {- Z, i4 y
    一类非常重要且广泛存在的排队系统是生灭过程排队系统。生灭过程是一类特殊的随机过程,在生物学、物理学、运筹学中有广泛的应用。在排队论中,如果 N(t) 表示 时刻t 系统中的顾客数,则{N(t),t ≥ 0}就构成了一个随机过程。如果用“生”表示顾 客的到达,“灭”表示顾客的离去,则对许多排队过程来说,{N(t),t ≥ 0}就是一类特殊的随机过程-生灭过程。. X6 l7 J$ S6 g. _7 k4 F& i
    ; N( r( c5 G, c" |' E# {: i
    下面结合排队论的术语给出生灭过程的定义。
    * o# i2 ~. P/ ~1 G# _$ V" I$ S) e8 ?8 ~/ a* Y$ ?# S

    , S- y) p; y: W0 K& h! L
    # h: E& _) _% T为求平稳分布,考虑系统可能处的任一状态 n 。假设记录了一段时间内系统进入状 态n 和离开状态 n 的次数,则因为“进入”和“离开”是交替发生的,所以这两个数要么相等,要么相差为 1。但就这两种事件的平均发生率来说,可以认为是相等的。即当 系统运行相当时间而到达平衡状态后,对任一状态 n 来说,单位时间内进入该状态的平 均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应该相等,这就是系统在统计平衡下的“流 入=流出”原理。根据这一原理,可得到任一状态下的平衡方程如下:
    * [$ r' x- V  B3 i% k- }: B, G/ \- o2 s% z0 h9 |% b

    , D! J) X2 [; K9 q$ W6 d+ }7 o) D+ E7 a. n" t! L# \
      ?; J- t  \8 F0 s8 q( f$ x6 ]
    # W+ |9 R: t. l) a1 D
    述公式得到平稳状态的概率分布。+ n) d9 n4 {% c9 z

    1 o6 s* P5 Q+ U8 q! T2 k$ F2   M / M /s 等待制排队模型
      R  [! I9 J" V! F& O3 M2.1 单服务台模型" H- w+ a6 N4 X8 T, E0 P1 a
    单服务台等待制模型 M / M /1/ ∞ 是指:顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布,服务台个数为 1,服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布,系统空间无限, 允许无限排队,这是一类最简单的排队系统。
    . S, Z3 j" \5 P/ b) U/ C# K
    7 B( ]% i# G/ a) F$ [% g/ P2.1 队长的分布+ l$ U: [5 a. e7 c. N$ X
    ) w6 F/ v% l3 ~4 T. q2 e9 ]6 c; _

    9 C6 [' D6 Y  M) G& o
    ; H& X+ `8 h+ g2.2 几个主要数量指标, o" L9 {: q% {
    对单服务台等待制排队系统,由已得到的平稳状态下队长的分布,可以得到平均队 长$ J* k: B7 b) v% r# x* A

    " {2 F- W8 I. \. S  H, Q: A* b2 _3 v6 U; U1 m
    6 O1 D' ~1 s: Y( ?9 A0 l; i
    : o% T. n3 @( U2 T* j

    0 R2 p0 `- D; K* U式(14)和式(15)通常称为 Little 公式,是排队论中一个非常重要的公式。1 `1 p1 o; l. l! P: [. F
    6 h+ _# ?8 o4 U: Q
    2.3 忙期和闲期7 i8 E! A; T# f( ~

    3 E* j0 e$ l. b. _" w/ j8 Q
    " }6 H2 c1 u( s; m$ b, ]
    : W2 e! O4 P) |& b0 ]0 |7 [个顾客在系统内的平均逗留时间应等于服务员平均连续忙的时间。6 \5 y$ c, a0 @9 X
    2 S& \7 M- K3 [* g7 u
    3 与排队论模型有关的 LINGO 函数
    ! X- F8 F. O. N# h(1)@peb(load,S) 该函数的返回值是当到达负荷为 load,服务系统中有 S 个服务台且允许排队时系 统繁忙的概率,也就是顾客等待的概率。# s& t( B2 c; }6 d: U1 y! z2 r# k

    3 Y4 ?. B" W2 m4 J, k$ `5 t(2)@pel(load,S) 该函数的返回值是当到达负荷为 load,服务系统中有 S 个服务台且不允许排队时 系统损失概率,也就是顾客得不到服务离开的概率。
    : w: e  [8 h! [* c, X0 ?
    ) b1 ?' l1 K! h4 f% V(3)@pfs(load,S,K) 该函数的返回值是当到达负荷为 load,顾客数为 K,平行服务台数量为 S 时,有限 源的 Poisson 服务系统等待或返修顾客数的期望值。
    / F' J- ~% ]' x! K2 Z
    1 B# M9 H3 H' b/ H4 f, [7 v; S例 1 某修理店只有一个修理工,来修理的顾客到达过程为 Poisson 流,平均 4 人 /h;修理时间服从负指数分布,平均需要 6min。试求:(1)修理店空闲的概率;(2) 店内恰有 3 个顾客的概率;(3)店内至少有 1 个顾客的概率;(4)在店内的平均顾客数; (5)每位顾客在店内的平均逗留时间;(6)等待服务的平均顾客数;(7)每位顾客平 均等待服务时间;(8)顾客在店内等待时间超过 10min 的概率。9 G- L" T. c% U! {0 D; `. N6 X0 H: |
    8 T6 J3 w' g* ^/ ~& O: d* S
    8 `* f' c% G6 {
    $ i9 t9 y, Q4 p2 X+ R& h; {* }
    编写 LINGO 程序如下:
    7 q/ v0 K4 X  T$ N
    + i9 ]+ G1 ^( p( A; Mmodel:
      l  u, |! _9 F7 H1 _s=1;lamda=4;mu=10;rho=lamda/mu;
    3 t6 H  S5 ^1 j5 g. B: dPwait=@peb(rho,s);
    8 E& v! o% {8 A; Ap0=1-Pwait;
    + O8 D1 g  n  i7 v5 Q7 LPt_gt_10=@exp(-1);5 x* z% v0 e' f8 d9 k
    end
    - e% @% R0 [) _. i" c4 多服务台模型( M / M /s/ ∞ )6 `  }9 K1 e. A$ v& |( v
    设顾客单个到达,相继到达时间间隔服从参数为λ 的负指数分布,系统中共有 s 个 服务台,每个服务台的服务时间相互独立,且服从参数为 μ 的负指数分布。当顾客到 达时,若有空闲的服务台则马上接受服务,否则便排成一个队列等待,等待时间为无限。3 Q- m5 }/ @: r
    ( W' ?9 I$ Y* Z" l9 k
    , L: S1 ^# S; n# ~5 ^- _3 h: b

    ! E) N+ Y" _/ m$ Z) ^8 T公式(19)和式(20)给出了在平衡条件下系统中顾客数为 n 的概率,当 n ≥ s 时,即 系统中顾客数大于或等于服务台个数,这时再来的顾客必须等待,因此记
    * c; Q: \( A# E: p6 d0 a2 J' v* |" u. j# h

    , W2 b$ u* o/ I1 T: `8 z3 B/ r8 B: ~) d6 g1 r
    式(21)称为 Erlang 等待公式,它给出了顾客到达系统时需要等待的概率。 对多服务台等待制排队系统,由已得到的平稳分布可得平均排队长 Lq 为:1 t5 t, k7 L5 w/ }+ _
    ) k! [, b8 z9 M! Q7 Z5 o0 l4 h
    5 {+ W/ c, I9 ^" \& S! m, e' l; k

    * T$ f; B5 A9 q, y7 |0 z; a1 [
    5 e$ g3 ^* Z% A6 X6 v* Y# S) g; [+ X
    , f7 K5 v" ~( m$ |) J对多服务台系统,Little 公式依然成立,即有4 y  ]1 b0 D! q. v

    + b7 h$ d4 d2 r# Y# j
    : r; k+ F2 B4 z* S9 D# ^
      N- u9 p, }$ Z* s6 Q例 2   某售票处有 3 个窗口,顾客的到达为 Poisson 流,平均到达率为 λ = 0.9人/ min ;服务(售票)时间服从负指数分布,平均服务率 μ = 0.4人/ min 。 现设顾客到达后排成一个队列,依次向空闲的窗口购票,这一排队系统可看成是一个) }; O$ i5 S4 ]: H# ?) t/ L3 L- ?
    5 e0 O0 u0 T3 P
    M / M / s/ ∞ 系统,其中
    & f1 ^# o5 G# `
    * u8 `4 j# Y8 t5 W8 w/ i/ r' U! R7 P: F7 ?

    6 R4 s3 G; }1 j( _
      t5 Y3 h) a% ^  ?0 n* g- l# K0 o5 n- P  D( O: s- W0 w" N. ?! \; [
    求解的 LINGO 程序如下:
    $ P9 i2 w7 C+ A; [' i. ?6 v& d& X5 S. J- o+ [8 F
    model:
    # m. i/ J! b. t; C; r  ws=3;lamda=0.9;mu=0.4;rho=lamda/mu;rho_s=rho/s;
    . |# I/ ?) X8 h* H3 u; W$ F# ^0 NP_wait=@peb(rho,s);
    0 @7 p+ j) i. d* z) C& t8 Lp0=6*(1-rho_s)/rho^3*P_wait;
    + B8 e: }4 S9 k/ b1 B1 s; dL_q=P_wait*rho_s/(1-rho_s);7 D6 J- m! `" E% K
    L_s=L_q+rho;) P& Y6 w# B. Z, c& \2 H
    W_q=L_q/lamda;; g  I" w+ f9 V' T) Q8 d
    W_s=L_s/lamda;
    0 B2 M$ u. G8 w( S1 ~end
    2 \# I# m# v& Q; H: M6 q
    . }  a) h  R6 ?8 F( v* x- d8 |————————————————: K2 A5 v! V- b- ~. z
    版权声明:本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。4 O3 a* u- D3 ~# ~) x$ l* ^5 R
    原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89735349
      d2 z: I, v9 A% ^6 A+ ^" j5 G1 [& u

    3 B0 L; }9 Q6 l+ ^/ v+ m1 M
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