排队论模型（二）：生灭过程 、 M / M /s 等待制排队模型、多服务台模型

浅夏110

1 生灭过程
一类非常重要且广泛存在的排队系统是生灭过程排队系统。生灭过程是一类特殊的随机过程，在生物学、物理学、运筹学中有广泛的应用。在排队论中，如果 N(t) 表示 时刻t 系统中的顾客数，则{N(t),t ≥ 0}就构成了一个随机过程。如果用“生”表示顾 客的到达，“灭”表示顾客的离去，则对许多排队过程来说，{N(t),t ≥ 0}就是一类特殊的随机过程－生灭过程。
8 p- n0 O' S: d; k; w* T) W5 m
% g: B) o/ z' T4 D  D下面结合排队论的术语给出生灭过程的定义。

: u5 C- P3 [  {) W

为求平稳分布，考虑系统可能处的任一状态 n 。假设记录了一段时间内系统进入状 态n 和离开状态 n 的次数，则因为“进入”和“离开”是交替发生的，所以这两个数要么相等，要么相差为 1。但就这两种事件的平均发生率来说，可以认为是相等的。即当 系统运行相当时间而到达平衡状态后，对任一状态 n 来说，单位时间内进入该状态的平 均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应该相等，这就是系统在统计平衡下的“流 入＝流出”原理。根据这一原理，可得到任一状态下的平衡方程如下：

, r7 B: a0 @5 \3 y" f1 z* U

" @0 V: {% \6 H( a& Y1 H3 I
# W' l6 T9 U3 G) I7 H/ [
述公式得到平稳状态的概率分布。
# G! F0 y% v8 N3 z) c1 e6 X/ L6 Y
2   M / M /s 等待制排队模型
; R+ ^2 s3 w3 c" m* L/ b8 K7 U: N2.1 单服务台模型
单服务台等待制模型 M / M /1/ ∞ 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布，服务台个数为 1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统空间无限， 允许无限排队，这是一类最简单的排队系统。

+ R8 }" N6 H' f' P1 n% v( Z2.1 队长的分布


; u9 c5 e$ s' v
2.2 几个主要数量指标
对单服务台等待制排队系统，由已得到的平稳状态下队长的分布，可以得到平均队 长

# _6 [/ [8 u! u' b* A" v$ v9 ?
) \6 i3 E# h5 x. D" ]& g
  q  G, E( y% J9 z# K2 p& f

% K) T6 Z3 B' r0 g) {1 T式（14）和式（15）通常称为 Little 公式，是排队论中一个非常重要的公式。

2.3 忙期和闲期
+ G  S6 d# d- k( ]  H: K( j
: n7 V, ~! `. P2 c

5 L0 Q( D; A! m6 e7 K' s$ b个顾客在系统内的平均逗留时间应等于服务员平均连续忙的时间。
: |: X& b, Y" G6 J
9 G+ O& L. x4 {! B3 与排队论模型有关的 LINGO 函数
（1）@peb(load,S) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且允许排队时系 统繁忙的概率，也就是顾客等待的概率。

# w: c% d0 H  K; Z( E1 @6 P（2）@pel（load,S） 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且不允许排队时 系统损失概率，也就是顾客得不到服务离开的概率。

- \0 [, l7 ~# a+ N5 r: Y; b（3）@pfs(load,S,K) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，顾客数为 K，平行服务台数量为 S 时，有限 源的 Poisson 服务系统等待或返修顾客数的期望值。
/ K1 b9 b, F+ G1 h  ^* v
  T! `- v6 F# E. k例 1 某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达过程为 Poisson 流，平均 4 人 /h；修理时间服从负指数分布，平均需要 6min。试求：（1）修理店空闲的概率；（2） 店内恰有 3 个顾客的概率；（3）店内至少有 1 个顾客的概率；（4）在店内的平均顾客数； （5）每位顾客在店内的平均逗留时间；（6）等待服务的平均顾客数；（7）每位顾客平 均等待服务时间；（8）顾客在店内等待时间超过 10min 的概率。

% w( B" a5 ?, W- S9 Z4 z$ e( }
, ]* p3 j- J& T
# B2 w% F' ~* M编写 LINGO 程序如下：
9 Y; C0 v  t  F! k
% o6 z' Q' G. `2 U; z- B* ]model:
s=1;lamda=4;mu=10;rho=lamda/mu;
9 q7 Q) ?; D6 Q  T# wPwait=@peb(rho,s);
p0=1-Pwait;
Pt_gt_10=@exp(-1);
/ [* S, T: m5 Y  iend
4 多服务台模型（ M / M /s/ ∞ ）
) R0 S6 [9 a: Y% y7 F设顾客单个到达，相继到达时间间隔服从参数为λ 的负指数分布，系统中共有 s 个 服务台，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分布。当顾客到 达时，若有空闲的服务台则马上接受服务，否则便排成一个队列等待，等待时间为无限。
# P. t* _) P5 ^+ F$ u1 n


7 O) ?, ]3 X/ J2 P公式（19）和式（20）给出了在平衡条件下系统中顾客数为 n 的概率，当 n ≥ s 时，即 系统中顾客数大于或等于服务台个数，这时再来的顾客必须等待，因此记
% i2 c( p4 P+ X8 h

8 o- f# M" }4 C& X8 h! G" n
' N9 \1 v% a0 ?1 o7 h8 e3 m式（21）称为 Erlang 等待公式，它给出了顾客到达系统时需要等待的概率。 对多服务台等待制排队系统，由已得到的平稳分布可得平均排队长 Lq 为：
) f( G) V! A. M$ x- Z! z$ H1 l
" s) Z- G: B3 L* ]  X$ U; B
/ B8 r$ W3 {6 q) z/ L* x8 o


对多服务台系统，Little 公式依然成立，即有
! w. j/ K. b; d& U$ s
4 P, [. ?% S+ z7 ]: s1 A

4 Y" V/ u* o1 @8 {" w例 2   某售票处有 3 个窗口，顾客的到达为 Poisson 流，平均到达率为 λ = 0.9人/ min ；服务（售票）时间服从负指数分布，平均服务率 μ = 0.4人/ min 。 现设顾客到达后排成一个队列，依次向空闲的窗口购票，这一排队系统可看成是一个

5 c3 ?; w, |7 p! y4 x! y, f4 {M / M / s/ ∞ 系统，其中
8 P3 l% ]2 s6 ^# O! Y



) U1 t1 H% z8 ]6 M- _, b( }
求解的 LINGO 程序如下：
, |" B) j6 k6 O$ D# D# ^
; N; F2 o0 g9 k6 H- [6 i7 c) ?model:
s=3;lamda=0.9;mu=0.4;rho=lamda/mu;rho_s=rho/s;
9 L4 o, Z& [6 lP_wait=@peb(rho,s);
5 Y5 L/ d! f9 ?: sp0=6*(1-rho_s)/rho^3*P_wait;
L_q=P_wait*rho_s/(1-rho_s);
! ?$ M) v* ?: y) O1 iL_s=L_q+rho;
* Y# |1 l& s( A) p4 E5 h, m) LW_q=L_q/lamda;
) X4 d0 t  X/ |# mW_s=L_s/lamda;
& i1 j  U* m1 Lend

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) t0 Q  E7 t3 I2 n. P原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89735349

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! s7 r/ @2 Z: R, X8 A

SHINee0525

感觉很好 很实用
) F, t! L$ _5 Y7 O: P