排队论模型（二）：生灭过程 、 M / M /s 等待制排队模型、多服务台模型

浅夏110

1 生灭过程
一类非常重要且广泛存在的排队系统是生灭过程排队系统。生灭过程是一类特殊的随机过程，在生物学、物理学、运筹学中有广泛的应用。在排队论中，如果 N(t) 表示 时刻t 系统中的顾客数，则{N(t),t ≥ 0}就构成了一个随机过程。如果用“生”表示顾 客的到达，“灭”表示顾客的离去，则对许多排队过程来说，{N(t),t ≥ 0}就是一类特殊的随机过程－生灭过程。
3 I* z0 H0 P! o8 o) a7 w! D+ j
下面结合排队论的术语给出生灭过程的定义。
5 {$ w! ?, u* _
! b) l3 b& B9 l, w8 U  f* ^" J
( \( x1 `) Q# Q9 O
为求平稳分布，考虑系统可能处的任一状态 n 。假设记录了一段时间内系统进入状 态n 和离开状态 n 的次数，则因为“进入”和“离开”是交替发生的，所以这两个数要么相等，要么相差为 1。但就这两种事件的平均发生率来说，可以认为是相等的。即当 系统运行相当时间而到达平衡状态后，对任一状态 n 来说，单位时间内进入该状态的平 均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应该相等，这就是系统在统计平衡下的“流 入＝流出”原理。根据这一原理，可得到任一状态下的平衡方程如下：





述公式得到平稳状态的概率分布。
9 A6 z6 D2 S8 E& Z" H0 p! A: ?
1 {3 s" u! y5 v# a( f9 \  e2   M / M /s 等待制排队模型
2.1 单服务台模型
% e/ \: i9 Y2 V( y. F* x& g0 ~单服务台等待制模型 M / M /1/ ∞ 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布，服务台个数为 1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统空间无限， 允许无限排队，这是一类最简单的排队系统。

7 C8 S9 C1 ]0 o* E* K2.1 队长的分布
  N3 N7 Y6 j% N+ S0 @2 o- z

  S/ O6 W) q$ \
( c2 e4 M! a, c, |2.2 几个主要数量指标
, h+ g& j8 i- k0 c+ n' h 对单服务台等待制排队系统，由已得到的平稳状态下队长的分布，可以得到平均队 长


; f, n1 C! i" [/ p8 ?9 q2 O


式（14）和式（15）通常称为 Little 公式，是排队论中一个非常重要的公式。
" z% I, |! ^" d6 r/ X' Q0 ^" {) E( b
2.3 忙期和闲期
' V  k0 w2 F. T- Z4 ]/ x

/ L' F5 G" c1 g% }7 I
% r6 Q# m. x$ y" }: k  c9 i个顾客在系统内的平均逗留时间应等于服务员平均连续忙的时间。

* I8 t! S7 K' V+ P# p3 与排队论模型有关的 LINGO 函数
- Q  `  |  ?" `$ C, S8 h" n（1）@peb(load,S) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且允许排队时系 统繁忙的概率，也就是顾客等待的概率。
+ D# c$ J7 C5 K7 Q/ X2 m$ T
5 {  T$ O, L, ?% @（2）@pel（load,S） 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且不允许排队时 系统损失概率，也就是顾客得不到服务离开的概率。
. X" @: k- f% H5 l' ^2 j
（3）@pfs(load,S,K) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，顾客数为 K，平行服务台数量为 S 时，有限 源的 Poisson 服务系统等待或返修顾客数的期望值。
! _/ R% K3 A3 g! T/ r* K6 M; T9 X5 G5 {
例 1 某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达过程为 Poisson 流，平均 4 人 /h；修理时间服从负指数分布，平均需要 6min。试求：（1）修理店空闲的概率；（2） 店内恰有 3 个顾客的概率；（3）店内至少有 1 个顾客的概率；（4）在店内的平均顾客数； （5）每位顾客在店内的平均逗留时间；（6）等待服务的平均顾客数；（7）每位顾客平 均等待服务时间；（8）顾客在店内等待时间超过 10min 的概率。


* s, t* @8 o# O  Q- ?0 ^' Z
& N0 _# X8 |8 r4 X: i编写 LINGO 程序如下：

, O7 N" S1 T7 I! s& Smodel:
% I! u  @/ O1 u6 x  q3 ds=1;lamda=4;mu=10;rho=lamda/mu;
Pwait=@peb(rho,s);
p0=1-Pwait;
& O( x& U! h9 B6 J) yPt_gt_10=@exp(-1);
end
4 多服务台模型（ M / M /s/ ∞ ）
5 Z6 n- e; l5 z  T) F设顾客单个到达，相继到达时间间隔服从参数为λ 的负指数分布，系统中共有 s 个 服务台，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分布。当顾客到 达时，若有空闲的服务台则马上接受服务，否则便排成一个队列等待，等待时间为无限。
' @( d) W4 M8 J; ^( D
! p4 F: j# w: G7 Z) w5 e( U

公式（19）和式（20）给出了在平衡条件下系统中顾客数为 n 的概率，当 n ≥ s 时，即 系统中顾客数大于或等于服务台个数，这时再来的顾客必须等待，因此记


+ V' P1 ?7 C6 g# T5 N2 ]" a. e1 k/ [
5 r0 A: D7 K! r% [7 `式（21）称为 Erlang 等待公式，它给出了顾客到达系统时需要等待的概率。 对多服务台等待制排队系统，由已得到的平稳分布可得平均排队长 Lq 为：

5 @4 f. F( e( }- ?# b7 H$ x



对多服务台系统，Little 公式依然成立，即有

/ N: y# e' |5 E
- d6 [3 b- M" K9 J: r+ W1 s/ }2 y) M
. T; o$ _! t; w6 y9 g% o2 x例 2   某售票处有 3 个窗口，顾客的到达为 Poisson 流，平均到达率为 λ = 0.9人/ min ；服务（售票）时间服从负指数分布，平均服务率 μ = 0.4人/ min 。 现设顾客到达后排成一个队列，依次向空闲的窗口购票，这一排队系统可看成是一个
7 g' q3 X  D$ V: q9 ~
  r, y5 }* u, A$ b8 xM / M / s/ ∞ 系统，其中

6 o. C# k4 h" ]; K+ I; j& q; T
" y; P" ~9 v5 A
& Z% ^4 D7 ?, ]* Z' F2 X

求解的 LINGO 程序如下：

2 i; G- X* P4 }- }5 amodel:
s=3;lamda=0.9;mu=0.4;rho=lamda/mu;rho_s=rho/s;
+ B) b4 F. s+ Y( t- gP_wait=@peb(rho,s);
5 B3 K  a' P' v+ fp0=6*(1-rho_s)/rho^3*P_wait;
L_q=P_wait*rho_s/(1-rho_s);
& Z2 _( d. I9 I( ?' lL_s=L_q+rho;
: O! j' `/ q5 s4 j& w4 xW_q=L_q/lamda;
W_s=L_s/lamda;
end
2 B9 V9 F0 `7 B2 D- b# P
9 ~% I8 j" u. p0 |1 x————————————————
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! a' E. s1 t4 O, p原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89735349

7 M& m0 H- W" N. y! r
, x3 Z: L* w: `# z* B1 @

SHINee0525

感觉很好 很实用