排队论模型（二）：生灭过程 、 M / M /s 等待制排队模型、多服务台模型

浅夏110

1 生灭过程
一类非常重要且广泛存在的排队系统是生灭过程排队系统。生灭过程是一类特殊的随机过程，在生物学、物理学、运筹学中有广泛的应用。在排队论中，如果 N(t) 表示 时刻t 系统中的顾客数，则{N(t),t ≥ 0}就构成了一个随机过程。如果用“生”表示顾 客的到达，“灭”表示顾客的离去，则对许多排队过程来说，{N(t),t ≥ 0}就是一类特殊的随机过程－生灭过程。

下面结合排队论的术语给出生灭过程的定义。
* o# i2 ~. P/ ~1 G# _$ V

, S- y) p; y: W0 K& h! L
# h: E& _) _% T为求平稳分布，考虑系统可能处的任一状态 n 。假设记录了一段时间内系统进入状 态n 和离开状态 n 的次数，则因为“进入”和“离开”是交替发生的，所以这两个数要么相等，要么相差为 1。但就这两种事件的平均发生率来说，可以认为是相等的。即当 系统运行相当时间而到达平衡状态后，对任一状态 n 来说，单位时间内进入该状态的平 均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应该相等，这就是系统在统计平衡下的“流 入＝流出”原理。根据这一原理，可得到任一状态下的平衡方程如下：
* [$ r' x- V  B3 i% k- }: B, G

, D! J) X2 [; K9 q$ W6 d


述公式得到平稳状态的概率分布。

1 o6 s* P5 Q+ U8 q! T2 k$ F2   M / M /s 等待制排队模型
  R  [! I9 J" V! F& O3 M2.1 单服务台模型
单服务台等待制模型 M / M /1/ ∞ 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布，服务台个数为 1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统空间无限， 允许无限排队，这是一类最简单的排队系统。
. S, Z3 j" \5 P/ b) U/ C# K
7 B( ]% i# G/ a) F$ [% g/ P2.1 队长的分布


9 C6 [' D6 Y  M) G& o
; H& X+ `8 h+ g2.2 几个主要数量指标
对单服务台等待制排队系统，由已得到的平稳状态下队长的分布，可以得到平均队 长

" {2 F- W8 I. \



0 R2 p0 `- D; K* U式（14）和式（15）通常称为 Little 公式，是排队论中一个非常重要的公式。

2.3 忙期和闲期

3 E* j0 e$ l. b. _" w/ j8 Q
" }6 H2 c1 u( s; m$ b, ]
: W2 e! O4 P) |& b0 ]0 |7 [个顾客在系统内的平均逗留时间应等于服务员平均连续忙的时间。

3 与排队论模型有关的 LINGO 函数
! X- F8 F. O. N# h（1）@peb(load,S) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且允许排队时系 统繁忙的概率，也就是顾客等待的概率。

3 Y4 ?. B" W2 m4 J, k$ `5 t（2）@pel（load,S） 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且不允许排队时 系统损失概率，也就是顾客得不到服务离开的概率。
: w: e  [8 h! [* c, X0 ?
) b1 ?' l1 K! h4 f% V（3）@pfs(load,S,K) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，顾客数为 K，平行服务台数量为 S 时，有限 源的 Poisson 服务系统等待或返修顾客数的期望值。
/ F' J- ~% ]' x! K2 Z
1 B# M9 H3 H' b/ H4 f, [7 v; S例 1 某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达过程为 Poisson 流，平均 4 人 /h；修理时间服从负指数分布，平均需要 6min。试求：（1）修理店空闲的概率；（2） 店内恰有 3 个顾客的概率；（3）店内至少有 1 个顾客的概率；（4）在店内的平均顾客数； （5）每位顾客在店内的平均逗留时间；（6）等待服务的平均顾客数；（7）每位顾客平 均等待服务时间；（8）顾客在店内等待时间超过 10min 的概率。



编写 LINGO 程序如下：
7 q/ v0 K4 X  T$ N
+ i9 ]+ G1 ^( p( A; Mmodel:
  l  u, |! _9 F7 H1 _s=1;lamda=4;mu=10;rho=lamda/mu;
3 t6 H  S5 ^1 j5 g. B: dPwait=@peb(rho,s);
8 E& v! o% {8 A; Ap0=1-Pwait;
+ O8 D1 g  n  i7 v5 Q7 LPt_gt_10=@exp(-1);
end
- e% @% R0 [) _. i" c4 多服务台模型（ M / M /s/ ∞ ）
设顾客单个到达，相继到达时间间隔服从参数为λ 的负指数分布，系统中共有 s 个 服务台，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分布。当顾客到 达时，若有空闲的服务台则马上接受服务，否则便排成一个队列等待，等待时间为无限。



! E) N+ Y" _/ m$ Z) ^8 T公式（19）和式（20）给出了在平衡条件下系统中顾客数为 n 的概率，当 n ≥ s 时，即 系统中顾客数大于或等于服务台个数，这时再来的顾客必须等待，因此记
* c; Q: \( A# E: p6 d

, W2 b$ u* o/ I1 T: `8 z3 B/ r
式（21）称为 Erlang 等待公式，它给出了顾客到达系统时需要等待的概率。 对多服务台等待制排队系统，由已得到的平稳分布可得平均排队长 Lq 为：



* T$ f; B5 A9 q, y7 |0 z; a1 [
5 e$ g3 ^* Z% A6 X6 v* Y# S) g; [+ X
, f7 K5 v" ~( m$ |) J对多服务台系统，Little 公式依然成立，即有

+ b7 h$ d4 d2 r# Y# j
: r; k+ F2 B4 z* S9 D# ^
  N- u9 p, }$ Z* s6 Q例 2   某售票处有 3 个窗口，顾客的到达为 Poisson 流，平均到达率为 λ = 0.9人/ min ；服务（售票）时间服从负指数分布，平均服务率 μ = 0.4人/ min 。 现设顾客到达后排成一个队列，依次向空闲的窗口购票，这一排队系统可看成是一个

M / M / s/ ∞ 系统，其中
& f1 ^# o5 G# `
* u8 `4 j# Y8 t5 W8 w

6 R4 s3 G; }1 j( _
  t5 Y3 h) a% ^  ?0 n* g- l# K0 o5 n
求解的 LINGO 程序如下：
$ P9 i2 w7 C+ A; [' i. ?
model:
# m. i/ J! b. t; C; r  ws=3;lamda=0.9;mu=0.4;rho=lamda/mu;rho_s=rho/s;
. |# I/ ?) X8 h* H3 u; W$ F# ^0 NP_wait=@peb(rho,s);
0 @7 p+ j) i. d* z) C& t8 Lp0=6*(1-rho_s)/rho^3*P_wait;
+ B8 e: }4 S9 k/ b1 B1 s; dL_q=P_wait*rho_s/(1-rho_s);
L_s=L_q+rho;
W_q=L_q/lamda;
W_s=L_s/lamda;
0 B2 M$ u. G8 w( S1 ~end
2 \# I# m# v& Q; H: M6 q
. }  a) h  R6 ?8 F( v* x- d8 |————————————————
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  d2 z: I, v9 A% ^6 A

3 B0 L; }9 Q6 l+ ^/ v+ m1 M

SHINee0525

感觉很好 很实用