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TA的每日心情 | 开心 2020-11-14 17:15 |
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1 生灭过程
4 P3 Y3 y1 z C# T5 {& ?3 z* V一类非常重要且广泛存在的排队系统是生灭过程排队系统。生灭过程是一类特殊的随机过程,在生物学、物理学、运筹学中有广泛的应用。在排队论中,如果 N(t) 表示 时刻t 系统中的顾客数,则{N(t),t ≥ 0}就构成了一个随机过程。如果用“生”表示顾 客的到达,“灭”表示顾客的离去,则对许多排队过程来说,{N(t),t ≥ 0}就是一类特殊的随机过程-生灭过程。 z) }# [. U1 L8 [( D$ p
+ i+ o% T A" T9 b& Y下面结合排队论的术语给出生灭过程的定义。" a/ W# G% m' s7 ^6 M4 F, q
* l+ y1 \3 Y& y; X1 y( x0 l![]()
1 g" w3 V3 `& ~1 j3 M8 _: {8 g' ]$ A* @
为求平稳分布,考虑系统可能处的任一状态 n 。假设记录了一段时间内系统进入状 态n 和离开状态 n 的次数,则因为“进入”和“离开”是交替发生的,所以这两个数要么相等,要么相差为 1。但就这两种事件的平均发生率来说,可以认为是相等的。即当 系统运行相当时间而到达平衡状态后,对任一状态 n 来说,单位时间内进入该状态的平 均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应该相等,这就是系统在统计平衡下的“流 入=流出”原理。根据这一原理,可得到任一状态下的平衡方程如下:( F$ C& B6 H- w R0 v
1 c( r; z1 u0 E T
![]()
+ X3 O' \2 ~# _/ O- o5 R
# P% x& ~% P* `! H7 o, U & V5 R4 f3 g+ k: F7 Y
2 K6 o+ C$ `2 W# _( v% E
述公式得到平稳状态的概率分布。2 d- O9 ?- W& [+ _# T6 o1 X
% A( V8 O! i: G& t6 |2 ]/ q4 m5 q
2 M / M /s 等待制排队模型
1 r+ h% E1 h" o1 l! k2.1 单服务台模型% O% g$ n! D. K6 j. p; r( ?6 [
单服务台等待制模型 M / M /1/ ∞ 是指:顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布,服务台个数为 1,服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布,系统空间无限, 允许无限排队,这是一类最简单的排队系统。& c9 t/ Z% F0 J) u- P; u/ s- Y3 a
, W$ B8 n: A+ u; o; P
2.1 队长的分布5 m" Y x& t! \
5 }6 N- i) ^/ m
+ Z/ I4 _. i0 e8 G
2 U3 P; l* h! I6 `/ ~$ b1 \
2.2 几个主要数量指标
! Z; R3 i6 O3 h. D3 [1 e 对单服务台等待制排队系统,由已得到的平稳状态下队长的分布,可以得到平均队 长$ r) o1 l$ ]' L+ u6 D2 e
# l7 i" X z3 t9 I+ B( P![]()
8 [) k( j- }8 i0 f# I! Z6 M/ \
6 o+ N9 J7 x$ Q4 _: C$ S![]()
# N( W, i; H @/ P
: z n) v; k2 X" k2 ^式(14)和式(15)通常称为 Little 公式,是排队论中一个非常重要的公式。: i* n5 l3 p' Z% Z- G
& e/ V; B9 W& Q& Y- S2.3 忙期和闲期" ~2 {7 N0 E' \9 l; H7 u* ?9 H
0 i! ^6 J; S* M2 C9 L
% Q7 }; |3 B* u. ?& r% g4 v
; c3 ]! b* {& ]' V+ B8 K- U
个顾客在系统内的平均逗留时间应等于服务员平均连续忙的时间。
+ y- N" `+ f1 u- {7 b3 P: Z: r0 [: }* ?9 F
3 与排队论模型有关的 LINGO 函数
' M8 y5 J6 l3 P7 w(1)@peb(load,S) 该函数的返回值是当到达负荷为 load,服务系统中有 S 个服务台且允许排队时系 统繁忙的概率,也就是顾客等待的概率。5 `6 W" ?( J; P6 [9 O6 n
$ C1 s" s: L' M {(2)@pel(load,S) 该函数的返回值是当到达负荷为 load,服务系统中有 S 个服务台且不允许排队时 系统损失概率,也就是顾客得不到服务离开的概率。
6 C c$ V$ I; J3 \
3 O. ~ }" c- q( Y; o H(3)@pfs(load,S,K) 该函数的返回值是当到达负荷为 load,顾客数为 K,平行服务台数量为 S 时,有限 源的 Poisson 服务系统等待或返修顾客数的期望值。) U' o2 i( }' c* |
0 T8 V& _! _# d. J4 v例 1 某修理店只有一个修理工,来修理的顾客到达过程为 Poisson 流,平均 4 人 /h;修理时间服从负指数分布,平均需要 6min。试求:(1)修理店空闲的概率;(2) 店内恰有 3 个顾客的概率;(3)店内至少有 1 个顾客的概率;(4)在店内的平均顾客数; (5)每位顾客在店内的平均逗留时间;(6)等待服务的平均顾客数;(7)每位顾客平 均等待服务时间;(8)顾客在店内等待时间超过 10min 的概率。! ^) p1 o" r. \' R
' S4 h! H$ D, _' L' y$ A1 J $ Y/ L3 z8 Z: D y/ U2 W
d2 @5 f+ y$ o2 B8 h( A: G% J编写 LINGO 程序如下:
% q% f5 g7 W2 m; s) X {
6 z/ Y' T4 }4 S: a1 |" [7 `model:0 d. d$ f5 c2 `8 ^% V7 I& k( H6 F
s=1;lamda=4;mu=10;rho=lamda/mu;
J% w- \# }- X" IPwait=@peb(rho,s);) Y" t- E6 d% T2 N0 |2 X1 e
p0=1-Pwait;
$ ]( U c4 C/ \2 P4 {8 ?6 n7 }Pt_gt_10=@exp(-1);
, @# Q, v# y4 E( {+ fend
1 ? e" }, }4 w6 o/ `0 c; z" i f0 z! z4 多服务台模型( M / M /s/ ∞ )
8 S- S2 ]/ l! u/ p+ R, v/ a设顾客单个到达,相继到达时间间隔服从参数为λ 的负指数分布,系统中共有 s 个 服务台,每个服务台的服务时间相互独立,且服从参数为 μ 的负指数分布。当顾客到 达时,若有空闲的服务台则马上接受服务,否则便排成一个队列等待,等待时间为无限。
# }8 Q& a9 Z' P- X; |1 o$ m. i' R
![]()
1 }% A- T/ ^0 _3 M
9 x- Q; a% n( ]* ]0 p公式(19)和式(20)给出了在平衡条件下系统中顾客数为 n 的概率,当 n ≥ s 时,即 系统中顾客数大于或等于服务台个数,这时再来的顾客必须等待,因此记
) X5 ]2 w; b2 }3 ?3 S" ~* e' U# a4 { w. g9 \
![]()
% j, f2 `' x, E
6 S: q' b& K- e* k; b) Y: n' n式(21)称为 Erlang 等待公式,它给出了顾客到达系统时需要等待的概率。 对多服务台等待制排队系统,由已得到的平稳分布可得平均排队长 Lq 为:+ s: O( P% J0 p/ Q+ e
& O5 G @) G- C& K6 {/ C - ~+ C! i! o0 L$ K
0 d- E9 X+ |3 _% P5 D/ ~( R5 K' x7 l5 g3 q2 G
0 t# b& G8 Z$ J3 o对多服务台系统,Little 公式依然成立,即有1 U- K/ X; _, @# c u- q
6 b" c- o/ A8 w6 I m
![]()
+ O9 P# @$ G C" R
+ A* r* q) T5 N$ W例 2 某售票处有 3 个窗口,顾客的到达为 Poisson 流,平均到达率为 λ = 0.9人/ min ;服务(售票)时间服从负指数分布,平均服务率 μ = 0.4人/ min 。 现设顾客到达后排成一个队列,依次向空闲的窗口购票,这一排队系统可看成是一个7 u, M* W6 q% E# O, s) u0 N2 W
- y" C0 K* r- `9 g! h: k( D1 ~6 ?
M / M / s/ ∞ 系统,其中
$ y9 s8 B& q+ ?% A- w0 H: P8 X9 i3 T8 t' p
8 a0 Z# z' X/ P2 ^0 K
. r/ i7 |3 M# W0 ^: N3 M
![]()
0 o+ I6 e% T7 b, r' F0 I! @9 r
6 A& i2 I: \; m r" S$ L求解的 LINGO 程序如下:( O: u0 n Y5 A0 h" e
' U# W& D3 |" a4 [
model:. g* D9 e" x6 W, F/ }+ c; R* C. t
s=3;lamda=0.9;mu=0.4;rho=lamda/mu;rho_s=rho/s;5 A- q' f+ Y- K t
P_wait=@peb(rho,s);
4 ]7 f* E) J9 ^, C9 b& h" }p0=6*(1-rho_s)/rho^3*P_wait;8 H/ R: r8 B' P x I
L_q=P_wait*rho_s/(1-rho_s);5 }; X- k' ~$ a2 `8 Q
L_s=L_q+rho;3 B c7 H# p$ [3 I
W_q=L_q/lamda;+ {$ v# X3 t7 \3 B- R1 n
W_s=L_s/lamda;
% r/ {& E5 E1 v; D% ?end' F+ X7 p; i, i2 F2 v1 x
0 E$ i+ [5 `2 N————————————————; ^: ~9 W% e" y/ r0 x$ v9 p
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4 s( K h8 c2 l4 s. P5 E1 o原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89735349/ H. S% ]" V0 {
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