排队论模型（四）：M / M / s 混合制排队模型

浅夏110

1 单服务台混合制模型
单服务台混合制模型 M / M /1/ K 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指数 分布，服务台个数为1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统的空间为 K ，当 K 个位置已被顾客占用时，新到的顾客自动离去，当系统中有空位置时，新到的顾客进入系统排队等待。

& g  P! l- j( U1 W# s( ~
9 B8 b. }# v0 F" K' d
7 \# A6 b& t) `, }/ [3 [
, s; N8 z$ _; E& a5 a8 H4 K
- z" K$ _4 v7 V由于排队系统的容量有限，只有 K −1个排队位置，因此，当系统空间被占满时， 再来的顾客将不能进入系统排队，也就是说不能保证所有到达的顾客都能进入系统等待服务。假设顾客的到达率（单位时间内来到系统的顾客的平均数）为 λ ，则当系统处 于状态 K 时，顾客不能进入系统，即顾客可进入系统的概率是  。因此，单位时 间内实际可进入系统的顾客的平均数为：
  |; {) f! e% Q" }1 y' M


例 5 某修理站只有一个修理工，且站内最多只能停放 4 台待修的机器。设待修机 器按 Poisson 流到达修理站，平均每分钟到达 1 台；修理时间服从负指数分布，平均每 1.25 分钟可修理 1 台，试求该系统的有关指标。

解 该系统可看成是一个 M / M /1/ 4 排队系统，其中
/ v! h# A/ H) {4 W$ f& `* X3 u


" z9 |4 l" \# c9 |  G9 P

' m9 ~+ z! s. U6 e+ j编写 LINGO 程序如下：

model:
; T( h1 d9 l2 ]+ M+ i  wsets:
state/1..4/:p;
endsets
lamda=1;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;k=4;
lamda*p0=mu*p(1);
(lamda+mu)*p(1)=lamda*p0+mu*p(2);
@for(state(i)|i #gt#1 #and# i #lt#
: J6 T+ N3 _- i/ l0 h& B+ [5 @klamda+mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+mu*p(i+1));
6 ^4 w% I& y3 K3 p% I9 alamda*p(k-1)=mu*p(k);
p0+@sum(state:p)=1;
+ H' C% t+ E& i- mP_lost=p(k);lamda_e=lamda*(1-P_lost);
. @& C: [4 x" zL_s=@sum(state(i)|i #le#k:i*p(i));
6 v5 s  F# I+ s" q! O4 x2 HL_q=L_s-(1-p0);
W_s=L_s/lamda_e;
8 {0 ~, Y; w3 ~- D) v# [, fW_q=W_s-1/mu;
5 Z! E# @+ ~# [* Mend
, A# |" S" p- n* T- m- ~. j2 多服务台混合制模型
  l9 \/ g: }& m- Q8 |( ~! y& d多服务台混合制模型 M / M / s/ K 是指顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布，服务台个数为 s ，每个服务台服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分 布，系统的空间为 K 。

由式（4），式（5）和式（6），并注意到在本模型中
6 N& b: z+ ^1 A! V' e# O) H
; B$ L5 J2 w, p# n" Y7 H1 A8 t9 @
6 K- x7 p4 k3 ~2 w+ r
于是






5 ^( F' k$ g: H" O8 [7 _8 X2 J9 `4 k
例 6 某汽车加油站设有两个加油机，汽车按 Poisson 流到达，平均每分钟到达 2 辆；汽车加油时间服从负指数分布，平均加油时间为 2 分钟。又知加油站上最多只能停 放 3 辆等待加油的汽车，汽车到达时，若已满员，则必须开到别的加油站去，试对该系 统进行分析。
' E1 t+ p) [; y* K6 [
$ u# G5 q! f7 ?解 可将该系统看作一个 M / M / 2 / 5 排队系统，其中
: P6 X4 s9 x9 o
. Y1 a4 t; T9 L
7 `, Z6 V( S1 ^3 A8 [* A
" r6 V1 ]9 H  s编写 LINGO 程序如下：

. u, j3 |& |% j7 y+ }model:
sets:
state/1..5/:p;
endsets
lamda=2;mu=0.5;rho=lamda/mu;s=2;k=5;
lamda*p0=mu*p(1);
(lamda+mu)*p(1)=lamda*p0+2*mu*p(2);
@for(state(i)|i #gt#1 #and# i #lt# s:
(lamda+i*mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+(i+1)*mu*p(i+1));
+ h( W5 E- y$ v- @@for(state(i)|i #ge# s #and# i #lt# k:
(lamda+s*mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+s*mu*p(i+1));
' m$ ]# i3 Y+ _$ k( o  W7 ^lamda*p(k-1)=s*mu*p(k);
5 [  }: q6 v* f  xp0+@sum(state:p)=1;
/ |6 M  |+ k5 d+ K- V. _P_lost=p(k);lamda_e=lamda*(1-P_lost);
L_s=@sum(state(i):i*p(i));
  H5 g: G- U; `4 d5 L6 n; sL_q=L_s-lamda_e/mu;
5 x# y& C9 ^& b3 _W_s=L_s/lamda_e;
6 S' K" }+ ^) g9 K# ^W_q=W_s-1/mu;
end
& y3 {4 q7 I* U- o  h3 P在对上述多服务台混合制排队模型 M / M / s/ K 的讨论中，当 s = K 时，即为多 服务台损失制系统。对损失制系统，有

* A5 h3 u8 Y; c& b9 i

: t: B- i+ [# f, j2 V式（52）称为 Erlang 损失公式， B(s, ρ) 亦表示了到达系统后由于系统空间已被占满 而不能进入系统的顾客的百分比。

2 ^9 j, J& A/ l6 K6 H对损失制系统，平均被占用的服务台数（正在接受服务的顾客的平均数）为

! C  ^8 x2 m! K# x6 G0 C8 k
  C: q5 ^/ h$ U3 [7 h
, ]1 ~  ~3 A  n* j: \————————————————
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6 \+ p8 s7 P" Y' A: K! l3 \1 ?