排队论模型（四）：M / M / s 混合制排队模型

浅夏110

1 单服务台混合制模型
+ L- @' a. D9 R2 e单服务台混合制模型 M / M /1/ K 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指数 分布，服务台个数为1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统的空间为 K ，当 K 个位置已被顾客占用时，新到的顾客自动离去，当系统中有空位置时，新到的顾客进入系统排队等待。

6 Q$ n8 L$ I4 Q8 ~7 u

2 U( j9 N5 m. x

$ q. f( }+ {* v" c- ?9 K" t8 g1 N# b由于排队系统的容量有限，只有 K −1个排队位置，因此，当系统空间被占满时， 再来的顾客将不能进入系统排队，也就是说不能保证所有到达的顾客都能进入系统等待服务。假设顾客的到达率（单位时间内来到系统的顾客的平均数）为 λ ，则当系统处 于状态 K 时，顾客不能进入系统，即顾客可进入系统的概率是  。因此，单位时 间内实际可进入系统的顾客的平均数为：
6 w7 ]7 E$ l5 z  Z
: @$ z* y* M; p9 t5 d& ]" k
6 k9 j' l" q. P- b4 l' ?
例 5 某修理站只有一个修理工，且站内最多只能停放 4 台待修的机器。设待修机 器按 Poisson 流到达修理站，平均每分钟到达 1 台；修理时间服从负指数分布，平均每 1.25 分钟可修理 1 台，试求该系统的有关指标。

  z5 w3 E; [3 V0 l) a解 该系统可看成是一个 M / M /1/ 4 排队系统，其中
% A3 [$ b+ m' x0 f+ D( ^# A
; j% v. ^% R2 i4 }8 i3 a

8 F2 o( o  d! D3 x7 p6 J$ S9 U6 p

编写 LINGO 程序如下：

( n/ e9 s5 A( B8 a" B4 Lmodel:
6 d# g% T; e; S! a9 H! L, asets:
state/1..4/:p;
endsets
lamda=1;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;k=4;
8 [3 }1 ?9 [. O8 F4 olamda*p0=mu*p(1);
( f0 N( v7 ^4 m9 A7 A- [(lamda+mu)*p(1)=lamda*p0+mu*p(2);
@for(state(i)|i #gt#1 #and# i #lt#
klamda+mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+mu*p(i+1));
lamda*p(k-1)=mu*p(k);
p0+@sum(state:p)=1;
P_lost=p(k);lamda_e=lamda*(1-P_lost);
L_s=@sum(state(i)|i #le#k:i*p(i));
" s5 y- x% E4 i. X( cL_q=L_s-(1-p0);
  F( }5 h" S. [/ I) y7 dW_s=L_s/lamda_e;
W_q=W_s-1/mu;
end
6 ^. C' z8 x* b- i6 d0 {2 多服务台混合制模型
% M9 I9 d! G, T7 Z多服务台混合制模型 M / M / s/ K 是指顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布，服务台个数为 s ，每个服务台服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分 布，系统的空间为 K 。
; |" x% x" B% x
: u% v  e) t! I$ X! n( Z, {4 C由式（4），式（5）和式（6），并注意到在本模型中



+ \/ M7 ?5 a! e于是

" _9 X0 j  e( _% \


4 M, }* S4 F. T  U3 k* |

7 f9 g6 {# N  X9 I5 T: p7 v8 E
例 6 某汽车加油站设有两个加油机，汽车按 Poisson 流到达，平均每分钟到达 2 辆；汽车加油时间服从负指数分布，平均加油时间为 2 分钟。又知加油站上最多只能停 放 3 辆等待加油的汽车，汽车到达时，若已满员，则必须开到别的加油站去，试对该系 统进行分析。
* b* r9 {0 j2 z5 H( ^) ]3 C  r
; g$ i* R; S: Y% D# ]( ?5 O解 可将该系统看作一个 M / M / 2 / 5 排队系统，其中



' ^# i/ g/ s1 \  D( v编写 LINGO 程序如下：

2 ]4 m+ x* M# @1 j1 S% Zmodel:
2 ~8 f! o5 N: P6 _2 Osets:
+ ]% H0 ^% {3 {4 M3 o) Rstate/1..5/:p;
# D) T; g9 `/ K8 F& ?' {) n/ vendsets
lamda=2;mu=0.5;rho=lamda/mu;s=2;k=5;
lamda*p0=mu*p(1);
(lamda+mu)*p(1)=lamda*p0+2*mu*p(2);
3 @9 u- m  S, e/ Z  H9 Y. ~@for(state(i)|i #gt#1 #and# i #lt# s:
3 }/ F- a, T, y(lamda+i*mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+(i+1)*mu*p(i+1));
. B+ e8 D! D: g$ y* C@for(state(i)|i #ge# s #and# i #lt# k:
(lamda+s*mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+s*mu*p(i+1));
lamda*p(k-1)=s*mu*p(k);
* K0 K( k$ C2 [2 ]1 g3 `p0+@sum(state:p)=1;
+ g$ }( J/ B' W; P( u: E" QP_lost=p(k);lamda_e=lamda*(1-P_lost);
L_s=@sum(state(i):i*p(i));
L_q=L_s-lamda_e/mu;
5 u9 R* ~1 a: u, a& z/ \W_s=L_s/lamda_e;
: {8 H# J4 K, }W_q=W_s-1/mu;
5 J/ m8 U& @3 f9 m" gend
& `6 I4 p( l+ \) p在对上述多服务台混合制排队模型 M / M / s/ K 的讨论中，当 s = K 时，即为多 服务台损失制系统。对损失制系统，有

8 b8 V* s- H/ @4 g

式（52）称为 Erlang 损失公式， B(s, ρ) 亦表示了到达系统后由于系统空间已被占满 而不能进入系统的顾客的百分比。

对损失制系统，平均被占用的服务台数（正在接受服务的顾客的平均数）为
* P$ W5 X6 p1 }: ~' \

' a7 w/ u* K3 [
1 J5 j2 ?- Y% q' K. T————————————————
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2 i6 ~1 @4 g) z7 }% \# m. p原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89735728

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