排队论模型（四）：M / M / s 混合制排队模型

浅夏110

1 单服务台混合制模型
单服务台混合制模型 M / M /1/ K 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指数 分布，服务台个数为1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统的空间为 K ，当 K 个位置已被顾客占用时，新到的顾客自动离去，当系统中有空位置时，新到的顾客进入系统排队等待。
) n5 Z. z% v" C& e

* R) w# y! ~, B$ n* L9 N" B
' ~& U4 b/ B, O. {+ n1 R
$ c2 L$ }& z( g& ^& N8 o
' i, Z; l( T6 |5 g  p) D8 x由于排队系统的容量有限，只有 K −1个排队位置，因此，当系统空间被占满时， 再来的顾客将不能进入系统排队，也就是说不能保证所有到达的顾客都能进入系统等待服务。假设顾客的到达率（单位时间内来到系统的顾客的平均数）为 λ ，则当系统处 于状态 K 时，顾客不能进入系统，即顾客可进入系统的概率是  。因此，单位时 间内实际可进入系统的顾客的平均数为：
: }+ O$ i- i2 E% g4 I% J

: v5 c2 M; U/ G1 @
例 5 某修理站只有一个修理工，且站内最多只能停放 4 台待修的机器。设待修机 器按 Poisson 流到达修理站，平均每分钟到达 1 台；修理时间服从负指数分布，平均每 1.25 分钟可修理 1 台，试求该系统的有关指标。
( l. z0 x: B* O
解 该系统可看成是一个 M / M /1/ 4 排队系统，其中


  ^; U4 n1 t. Y5 C  h, S9 r1 v3 R  F


编写 LINGO 程序如下：
* l( ]) L% c3 ~, n
model:
, g4 t, y1 p2 E, Tsets:
state/1..4/:p;
endsets
+ F& G% W5 S7 O' F/ i/ B; w! z$ y1 @lamda=1;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;k=4;
6 n# D- r6 f9 W! @+ w1 F4 T4 S4 f: \/ blamda*p0=mu*p(1);
& y& K6 I* T4 ^- C: S" c  K: S(lamda+mu)*p(1)=lamda*p0+mu*p(2);
& ~6 d: v+ ~- i1 E2 c# Y@for(state(i)|i #gt#1 #and# i #lt#
! ]/ y) q) }+ n4 t- xklamda+mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+mu*p(i+1));
! L7 j9 g2 v7 y. Plamda*p(k-1)=mu*p(k);
' F* \+ a2 P# P6 f1 D: x( bp0+@sum(state:p)=1;
+ }) M  I9 S& K' V9 ~, a8 M4 IP_lost=p(k);lamda_e=lamda*(1-P_lost);
+ R. S9 y  s/ I! o5 hL_s=@sum(state(i)|i #le#k:i*p(i));
L_q=L_s-(1-p0);
W_s=L_s/lamda_e;
W_q=W_s-1/mu;
end
' V3 t6 d/ N# s  g3 Z4 V9 X2 多服务台混合制模型
多服务台混合制模型 M / M / s/ K 是指顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布，服务台个数为 s ，每个服务台服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分 布，系统的空间为 K 。
& @- V: n$ [! ]( P
; ]- t) a- Z  H: _5 z$ B由式（4），式（5）和式（6），并注意到在本模型中
- G4 S" Z5 i$ J7 `


; i7 B3 `+ \4 g) ^% x9 P# N% y% S0 u. g于是


5 F2 K' U8 y0 E3 n: H3 t  S


4 C/ j+ r# F2 @9 r5 K' o5 p$ a: A
* m7 H1 |) K/ e9 l% @
3 z# t7 a$ `% S; q5 }2 h例 6 某汽车加油站设有两个加油机，汽车按 Poisson 流到达，平均每分钟到达 2 辆；汽车加油时间服从负指数分布，平均加油时间为 2 分钟。又知加油站上最多只能停 放 3 辆等待加油的汽车，汽车到达时，若已满员，则必须开到别的加油站去，试对该系 统进行分析。

) ]+ `' S9 M6 e8 K1 @9 @9 ?) f解 可将该系统看作一个 M / M / 2 / 5 排队系统，其中

. q1 a7 O+ D2 J. j4 F' u/ ]: v+ A

编写 LINGO 程序如下：

  T) _3 V2 F/ Pmodel:
sets:
state/1..5/:p;
endsets
0 Y1 X8 W, r, \, M: c! Ulamda=2;mu=0.5;rho=lamda/mu;s=2;k=5;
lamda*p0=mu*p(1);
- g9 y" `9 o4 y+ V7 H& O! I(lamda+mu)*p(1)=lamda*p0+2*mu*p(2);
! H5 p, y- ~- y! a0 X. H@for(state(i)|i #gt#1 #and# i #lt# s:
, i6 S# {1 \# E+ {  o) _$ }(lamda+i*mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+(i+1)*mu*p(i+1));
1 \- N% O; y! ~; p+ F0 I" }@for(state(i)|i #ge# s #and# i #lt# k:
+ J& I% L& N3 \! t5 Y  ]' J) N' P(lamda+s*mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+s*mu*p(i+1));
lamda*p(k-1)=s*mu*p(k);
p0+@sum(state:p)=1;
# F: l9 p1 a* X& J, o% Q  WP_lost=p(k);lamda_e=lamda*(1-P_lost);
8 u5 ]# |, ^) P; S/ z7 G+ @L_s=@sum(state(i):i*p(i));
. x3 P" t9 @1 [6 [, ?6 lL_q=L_s-lamda_e/mu;
- r8 |- \$ U8 Y- E5 m1 L' c' h" bW_s=L_s/lamda_e;
- B' q2 C9 H2 W4 T7 x/ CW_q=W_s-1/mu;
end
! r$ S' r5 }2 U7 j! x8 V在对上述多服务台混合制排队模型 M / M / s/ K 的讨论中，当 s = K 时，即为多 服务台损失制系统。对损失制系统，有



# Y. o: G' M6 f9 `! w1 z. r式（52）称为 Erlang 损失公式， B(s, ρ) 亦表示了到达系统后由于系统空间已被占满 而不能进入系统的顾客的百分比。

/ q! Z* u' }% M; w: |对损失制系统，平均被占用的服务台数（正在接受服务的顾客的平均数）为
  B: q" J. l. U0 S( w
5 ^$ d# b8 T% J

& `4 a9 E; J' m6 O& k4 a/ Z4 \$ |————————————————
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8 Y/ G9 W4 R# m0 G/ n7 @