排队论模型（四）：M / M / s 混合制排队模型

浅夏110

1 单服务台混合制模型
3 `- p1 P5 N( P单服务台混合制模型 M / M /1/ K 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指数 分布，服务台个数为1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统的空间为 K ，当 K 个位置已被顾客占用时，新到的顾客自动离去，当系统中有空位置时，新到的顾客进入系统排队等待。



- J; M- R3 R6 p6 a/ m

- s! }5 R$ E0 {$ K+ ]2 G% a2 C2 [由于排队系统的容量有限，只有 K −1个排队位置，因此，当系统空间被占满时， 再来的顾客将不能进入系统排队，也就是说不能保证所有到达的顾客都能进入系统等待服务。假设顾客的到达率（单位时间内来到系统的顾客的平均数）为 λ ，则当系统处 于状态 K 时，顾客不能进入系统，即顾客可进入系统的概率是  。因此，单位时 间内实际可进入系统的顾客的平均数为：
/ \/ c$ w8 O1 \4 B6 f/ g, w$ x


例 5 某修理站只有一个修理工，且站内最多只能停放 4 台待修的机器。设待修机 器按 Poisson 流到达修理站，平均每分钟到达 1 台；修理时间服从负指数分布，平均每 1.25 分钟可修理 1 台，试求该系统的有关指标。

" A" o# B' h5 z' Z解 该系统可看成是一个 M / M /1/ 4 排队系统，其中



! h+ s3 J0 {0 Q: w) j/ v

编写 LINGO 程序如下：

model:
% z4 i8 m+ z, psets:
: g3 @. L: ?/ @. i+ U1 c. e  W, [state/1..4/:p;
endsets
: D: Z: ?  B+ U7 l% K# Vlamda=1;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;k=4;
5 W7 X: `% T0 r  Clamda*p0=mu*p(1);
0 Y+ h' Y* j! n: `" b  f(lamda+mu)*p(1)=lamda*p0+mu*p(2);
# i% P$ `* V3 h- B& ~@for(state(i)|i #gt#1 #and# i #lt#
" Y' K1 J5 p* w- V5 p' C: [+ hklamda+mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+mu*p(i+1));
8 E7 P+ s. Z4 V& nlamda*p(k-1)=mu*p(k);
1 N/ a/ z) r( W4 Y  h  v: _p0+@sum(state:p)=1;
P_lost=p(k);lamda_e=lamda*(1-P_lost);
L_s=@sum(state(i)|i #le#k:i*p(i));
& M6 |0 m- e9 p  y9 k9 UL_q=L_s-(1-p0);
- q( D) q* ^- \/ u0 [W_s=L_s/lamda_e;
2 _4 G9 g4 E% ~1 gW_q=W_s-1/mu;
) g" N) [% j0 r3 ^+ {2 z4 _! \end
2 多服务台混合制模型
5 ^' Z1 d/ A+ v3 _: o% q! {' Y, {多服务台混合制模型 M / M / s/ K 是指顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布，服务台个数为 s ，每个服务台服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分 布，系统的空间为 K 。
5 _* s9 j. C3 e
由式（4），式（5）和式（6），并注意到在本模型中
- y  M+ S/ e9 H$ ~1 \: g' K% V5 }

8 Y- W3 f1 O& T5 C- y/ f* g
于是
& m. |1 K' `0 c5 S  b

5 M4 E+ D' y2 P4 U- r$ R

5 [1 t  e. \1 o, r6 A7 S0 h' v" l
/ E& U) |. P+ Z* ^
2 c6 k/ k4 c8 A. ]' Q
6 ~5 S  U& x: M# W+ ~例 6 某汽车加油站设有两个加油机，汽车按 Poisson 流到达，平均每分钟到达 2 辆；汽车加油时间服从负指数分布，平均加油时间为 2 分钟。又知加油站上最多只能停 放 3 辆等待加油的汽车，汽车到达时，若已满员，则必须开到别的加油站去，试对该系 统进行分析。

解 可将该系统看作一个 M / M / 2 / 5 排队系统，其中
# u& s( G" Z7 V/ |1 k6 B: J5 o

  r( ~+ e; e/ B/ y5 a2 K
编写 LINGO 程序如下：
9 b& f/ G" K; M" g
model:
sets:
state/1..5/:p;
endsets
7 k  a" Q$ e0 ?: b6 y! P7 Ilamda=2;mu=0.5;rho=lamda/mu;s=2;k=5;
lamda*p0=mu*p(1);
6 M1 S, ?( d; i(lamda+mu)*p(1)=lamda*p0+2*mu*p(2);
@for(state(i)|i #gt#1 #and# i #lt# s:
(lamda+i*mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+(i+1)*mu*p(i+1));
@for(state(i)|i #ge# s #and# i #lt# k:
(lamda+s*mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+s*mu*p(i+1));
5 N& s* B4 }+ H7 |4 r2 Jlamda*p(k-1)=s*mu*p(k);
( T* O* o. V( B8 T% k+ }# yp0+@sum(state:p)=1;
P_lost=p(k);lamda_e=lamda*(1-P_lost);
L_s=@sum(state(i):i*p(i));
L_q=L_s-lamda_e/mu;
. J# q. a: f/ q- b1 oW_s=L_s/lamda_e;
W_q=W_s-1/mu;
& V% q8 K2 b- l7 x5 g" X! \end
在对上述多服务台混合制排队模型 M / M / s/ K 的讨论中，当 s = K 时，即为多 服务台损失制系统。对损失制系统，有

1 b0 O# f( J/ Z8 v+ ]" {9 t5 U

式（52）称为 Erlang 损失公式， B(s, ρ) 亦表示了到达系统后由于系统空间已被占满 而不能进入系统的顾客的百分比。

对损失制系统，平均被占用的服务台数（正在接受服务的顾客的平均数）为
! E. g, F  I* j4 @; l( |- G
+ H2 [, P. |1 @5 t% E+ [" v* V

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