排队论模型（四）：M / M / s 混合制排队模型

浅夏110

1 单服务台混合制模型
- Z2 w1 K+ X$ R" |; E' Q8 k0 s2 }6 ~单服务台混合制模型 M / M /1/ K 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指数 分布，服务台个数为1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统的空间为 K ，当 K 个位置已被顾客占用时，新到的顾客自动离去，当系统中有空位置时，新到的顾客进入系统排队等待。
# T/ c& S/ [& l- m! ]: Z
6 V: t1 e5 Y& I

' B: y% i( `. B% N

# q9 m( ?2 W0 ]8 f3 u4 s2 T由于排队系统的容量有限，只有 K −1个排队位置，因此，当系统空间被占满时， 再来的顾客将不能进入系统排队，也就是说不能保证所有到达的顾客都能进入系统等待服务。假设顾客的到达率（单位时间内来到系统的顾客的平均数）为 λ ，则当系统处 于状态 K 时，顾客不能进入系统，即顾客可进入系统的概率是  。因此，单位时 间内实际可进入系统的顾客的平均数为：
1 b' Y9 h1 N" O: U, L/ J

5 a7 V5 K2 }" n) `6 M
例 5 某修理站只有一个修理工，且站内最多只能停放 4 台待修的机器。设待修机 器按 Poisson 流到达修理站，平均每分钟到达 1 台；修理时间服从负指数分布，平均每 1.25 分钟可修理 1 台，试求该系统的有关指标。
" @& [5 f: S3 ^! ^- T$ F
" _& G, S4 c6 L2 W! [2 y解 该系统可看成是一个 M / M /1/ 4 排队系统，其中




8 Y$ c+ ?9 q! s4 Z7 p
编写 LINGO 程序如下：
% z" Y3 O: E# i. s
model:
1 u' I4 o; g2 H' R! zsets:
2 K( d  I% b, m& s  Cstate/1..4/:p;
endsets
lamda=1;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;k=4;
) A. A4 X& c1 @lamda*p0=mu*p(1);
1 K. q7 j: m5 P! y2 f5 L0 m( r' @(lamda+mu)*p(1)=lamda*p0+mu*p(2);
* F0 z: r; i. P/ K' j# y- T@for(state(i)|i #gt#1 #and# i #lt#
" Y, z+ L# k  R% rklamda+mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+mu*p(i+1));
lamda*p(k-1)=mu*p(k);
p0+@sum(state:p)=1;
P_lost=p(k);lamda_e=lamda*(1-P_lost);
% i% a, a, ^+ t) A; t& s. DL_s=@sum(state(i)|i #le#k:i*p(i));
' m! `1 K  g& C. C4 cL_q=L_s-(1-p0);
: g$ c) O+ q3 W9 b; ?7 d3 a, lW_s=L_s/lamda_e;
. a' \/ q4 l/ l  A' pW_q=W_s-1/mu;
0 A$ W# I- P9 E$ ^: y: @end
, Z/ V" @; R/ }7 }. l, U4 E# {2 多服务台混合制模型
多服务台混合制模型 M / M / s/ K 是指顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布，服务台个数为 s ，每个服务台服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分 布，系统的空间为 K 。

由式（4），式（5）和式（6），并注意到在本模型中

* L1 t0 h7 B% L3 O
! L7 p/ _9 [2 H' n$ V. H4 h  V
/ t; Z" [, M% G) ?+ N( U7 p8 N! A& j' ?于是
4 O* V7 ?2 J2 y6 C% s/ r6 k





! C" P; m3 h/ X& }4 g5 `
例 6 某汽车加油站设有两个加油机，汽车按 Poisson 流到达，平均每分钟到达 2 辆；汽车加油时间服从负指数分布，平均加油时间为 2 分钟。又知加油站上最多只能停 放 3 辆等待加油的汽车，汽车到达时，若已满员，则必须开到别的加油站去，试对该系 统进行分析。

0 F+ ^& t3 X) ]( C解 可将该系统看作一个 M / M / 2 / 5 排队系统，其中
! F5 t% A0 X0 |* u+ ^& R
. p  V+ _7 l- g% G: m, U! x. v
2 A+ }6 H* [2 g+ b9 E" {2 I
编写 LINGO 程序如下：

. \$ i4 g$ G. {/ [/ r/ a! J7 G% ymodel:
; a: p% ]/ y( u7 P; zsets:
state/1..5/:p;
1 v; C! H, Q! R, B' _endsets
lamda=2;mu=0.5;rho=lamda/mu;s=2;k=5;
2 ~4 u* R8 {2 e* j8 p- w5 A' b3 ulamda*p0=mu*p(1);
( u0 g' |- B+ V" N5 Z) E# C(lamda+mu)*p(1)=lamda*p0+2*mu*p(2);
: H3 }8 Q0 U( P) E; I@for(state(i)|i #gt#1 #and# i #lt# s:
(lamda+i*mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+(i+1)*mu*p(i+1));
@for(state(i)|i #ge# s #and# i #lt# k:
: t* g0 a! a: ]. o6 R(lamda+s*mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+s*mu*p(i+1));
1 T: R7 m# ]/ m! z+ Dlamda*p(k-1)=s*mu*p(k);
4 {  L. R" l; X8 |p0+@sum(state:p)=1;
7 [$ o2 [1 z$ j( o9 H$ u0 G) s# GP_lost=p(k);lamda_e=lamda*(1-P_lost);
L_s=@sum(state(i):i*p(i));
L_q=L_s-lamda_e/mu;
9 w4 K+ p9 n2 j. O' j& V8 WW_s=L_s/lamda_e;
W_q=W_s-1/mu;
9 f8 V1 G' n+ W" D/ V- e" hend
在对上述多服务台混合制排队模型 M / M / s/ K 的讨论中，当 s = K 时，即为多 服务台损失制系统。对损失制系统，有
) p0 L2 D: n* j$ o# D* Z0 Z


* _) }: N: M$ p/ y! Y6 n0 u2 G8 B, j式（52）称为 Erlang 损失公式， B(s, ρ) 亦表示了到达系统后由于系统空间已被占满 而不能进入系统的顾客的百分比。

6 y/ }$ }0 Y4 S对损失制系统，平均被占用的服务台数（正在接受服务的顾客的平均数）为
% F. [) K. c6 ]9 E
' a9 x% n6 G; p. L0 D

5 H6 M4 \' k& i* M: n! B2 u& N————————————————
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