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[LV.6]常住居民II
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1 单服务台混合制模型
3 `- p1 P5 N( P 单服务台混合制模型 M / M /1/ K 是指:顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指数 分布,服务台个数为1,服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布,系统的空间为 K ,当 K 个位置已被顾客占用时,新到的顾客自动离去,当系统中有空位置时,新到的顾客进入系统排队等待。1 _! @& s0 T+ W/ w7 M( s
9 i, c( E$ f2 X4 D3 z
6 C) S$ b: S. o5 ~2 Q# X
- J; M- R3 R6 p6 a/ m P% l+ R& z- k
- s! }5 R$ E0 {$ K+ ]2 G% a2 C2 [ 由于排队系统的容量有限,只有 K −1个排队位置,因此,当系统空间被占满时, 再来的顾客将不能进入系统排队,也就是说不能保证所有到达的顾客都能进入系统等待服务。假设顾客的到达率(单位时间内来到系统的顾客的平均数)为 λ ,则当系统处 于状态 K 时,顾客不能进入系统,即顾客可进入系统的概率是 。因此,单位时 间内实际可进入系统的顾客的平均数为:
/ \/ c$ w8 O1 \4 B6 f/ g, w$ x 2 }% F0 h% b2 r4 d
+ u( {' m' J+ M% e o" P
" }2 u+ }5 E* E) F4 Z# s
例 5 某修理站只有一个修理工,且站内最多只能停放 4 台待修的机器。设待修机 器按 Poisson 流到达修理站,平均每分钟到达 1 台;修理时间服从负指数分布,平均每 1.25 分钟可修理 1 台,试求该系统的有关指标。$ n3 i/ X- {9 |' K9 [
" A" o# B' h5 z' Z 解 该系统可看成是一个 M / M /1/ 4 排队系统,其中0 h2 ^5 n) |. f9 {4 O) U
" z' V" z8 ~. Q9 A- [8 E
; H! X' x' s5 X% ?, ]
! h+ s3 J0 {0 Q: w) j/ v 4 ~0 d( h/ g$ M# J9 ~
2 R( M# u: A5 ]$ @
编写 LINGO 程序如下:/ P% R3 R% X4 q$ B5 t! ?" A
* J) p4 X! k5 J
model:
% z4 i8 m+ z, p sets:
: g3 @. L: ?/ @. i+ U1 c. e W, [ state/1..4/:p;4 y% k3 r$ ] z& r: Y9 C" Q
endsets
: D: Z: ? B+ U7 l% K# V lamda=1;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;k=4;
5 W7 X: `% T0 r C lamda*p0=mu*p(1);
0 Y+ h' Y* j! n: `" b f (lamda+mu)*p(1)=lamda*p0+mu*p(2);
# i% P$ `* V3 h- B& ~ @for(state(i)|i #gt#1 #and# i #lt#
" Y' K1 J5 p* w- V5 p' C: [+ h k lamda+mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+mu*p(i+1));
8 E7 P+ s. Z4 V& n lamda*p(k-1)=mu*p(k);
1 N/ a/ z) r( W4 Y h v: _ p0+@sum(state:p)=1;& { {. p0 n' |% e( M
P_lost=p(k);lamda_e=lamda*(1-P_lost);6 X) b5 Q; P' |/ J7 s! w
L_s=@sum(state(i)|i #le#k:i*p(i));
& M6 |0 m- e9 p y9 k9 U L_q=L_s-(1-p0);
- q( D) q* ^- \/ u0 [ W_s=L_s/lamda_e;
2 _4 G9 g4 E% ~1 g W_q=W_s-1/mu;
) g" N) [% j0 r3 ^+ {2 z4 _! \ end( {0 s; V' W+ A2 W& Y
2 多服务台混合制模型
5 ^' Z1 d/ A+ v3 _: o% q! {' Y, { 多服务台混合制模型 M / M / s/ K 是指顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布,服务台个数为 s ,每个服务台服务时间相互独立,且服从参数为 μ 的负指数分 布,系统的空间为 K 。
5 _* s9 j. C3 e $ U: L+ v& n# p
由式(4),式(5)和式(6),并注意到在本模型中
- y M+ S/ e9 H$ ~1 \: g' K% V5 } % k% |7 X: B" N- j' G6 _& K
8 Y- W3 f1 O& T5 C- y/ f* g : w! t' Z9 ~/ R k* |
于是
& m. |1 K' `0 c5 S b 3 w, ^6 D$ G0 k5 M
5 M4 E+ D' y2 P4 U- r$ R + ^, \7 o! x2 a6 ^; L
5 [1 t e. \1 o, r6 A7 S0 h' v" l
/ E& U) |. P+ Z* ^
2 c6 k/ k4 c8 A. ]' Q
6 ~5 S U& x: M# W+ ~ 例 6 某汽车加油站设有两个加油机,汽车按 Poisson 流到达,平均每分钟到达 2 辆;汽车加油时间服从负指数分布,平均加油时间为 2 分钟。又知加油站上最多只能停 放 3 辆等待加油的汽车,汽车到达时,若已满员,则必须开到别的加油站去,试对该系 统进行分析。" e h- |8 `) |. d; ] N2 P( ]
9 h/ ?+ t9 C, w; z6 X
解 可将该系统看作一个 M / M / 2 / 5 排队系统,其中
# u& s( G" Z7 V/ |1 k6 B: J5 o 5 ~, W7 T' P1 J# `8 @/ R5 P K
r( ~+ e; e/ B/ y5 a2 K " o5 ]8 \3 U; x. G( ?$ q
编写 LINGO 程序如下:
9 b& f/ G" K; M" g ; U2 N6 C& n9 D5 g! @3 w
model:% b) ]* a) \/ R2 @+ m: ~
sets:5 B1 @7 m& C7 N% b# c! b% B5 P+ ^2 F
state/1..5/:p;5 Y8 I. A" b9 h$ l
endsets
7 k a" Q$ e0 ?: b6 y! P7 I lamda=2;mu=0.5;rho=lamda/mu;s=2;k=5;! t3 Z: j/ C' ~
lamda*p0=mu*p(1);
6 M1 S, ?( d; i (lamda+mu)*p(1)=lamda*p0+2*mu*p(2); |% Y% f( b5 V5 f" c
@for(state(i)|i #gt#1 #and# i #lt# s:& i2 V& l) [) Z8 H3 R
(lamda+i*mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+(i+1)*mu*p(i+1)); + X' q$ N( y/ V$ c7 @. |
@for(state(i)|i #ge# s #and# i #lt# k:2 ]. G& Y) c1 A, a/ {+ t
(lamda+s*mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+s*mu*p(i+1));
5 N& s* B4 }+ H7 |4 r2 J lamda*p(k-1)=s*mu*p(k);
( T* O* o. V( B8 T% k+ }# y p0+@sum(state:p)=1;: Q) g2 J9 V) L6 h/ X
P_lost=p(k);lamda_e=lamda*(1-P_lost);7 b, q) ~1 o2 r" n! a3 e
L_s=@sum(state(i):i*p(i));1 x) S1 u4 `# W8 v3 G
L_q=L_s-lamda_e/mu;
. J# q. a: f/ q- b1 o W_s=L_s/lamda_e;3 N1 d) Z. o/ d+ D9 M2 G# F
W_q=W_s-1/mu;
& V% q8 K2 b- l7 x5 g" X! \ end& ?6 ^( z7 C; @6 D, d) D$ m W
在对上述多服务台混合制排队模型 M / M / s/ K 的讨论中,当 s = K 时,即为多 服务台损失制系统。对损失制系统,有5 b. i- I& ]6 s7 I: _
1 b0 O# f( J/ Z8 v+ ]" {9 t5 U 8 w1 n5 y) F7 D" Q* g3 e/ Y
& J) z2 a2 b, H/ N
式(52)称为 Erlang 损失公式, B(s, ρ) 亦表示了到达系统后由于系统空间已被占满 而不能进入系统的顾客的百分比。) m$ D% K( k5 h9 G
) t1 @4 Z0 i+ ?# j3 D" B) C5 M \
对损失制系统,平均被占用的服务台数(正在接受服务的顾客的平均数)为
! E. g, F I* j4 @; l( |- G
+ H2 [, P. |1 @5 t% E+ [" v* V 5 V9 A# H+ f* _! K* |+ [' _6 s8 z
( Y. ~) c- |& O, w4 p! @
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