排队论模型（五）： 有限源排队模型、服务率或到达率依赖状态的排队模型

浅夏110

1. 有限源排队模型
" Q2 T" H2 O! x$ _现在，来分析一下顾客源为有限的排队问题。这类排队问题的主要特征是顾客总数 是有限的，如果有 m 个顾客。每个顾客来到系统中接受服务后仍回到原来的总体，还 有可能再来，这类排队问题的典型例子是机器看管问题。如一个工人同时看管 m 台机 器，当机器发生故障时即停下来等待维修，修好后再投入使用，且仍然可能再发生故障。 类似的例子还有m 个终端共用一台打印机等，如图 2 所示。


, m$ v" T9 k5 z9 `4 @0 _5 G4 ?2 T
) ?2 F+ O8 C% ^& ]9 U关于顾客的平均到达率，在无限源的情形中是按全体顾客来考虑的，而在有限源的 情形下，必须按每一顾客来考虑。设每个顾客的到达率都是相同的，均为λ（这里λ 的 含义是指单位时间内该顾客来到系统请求服务的次数），且每一顾客在系统外的时间均 服从参数为 λ 的负指数分布。由于在系统外的顾客的平均数为 m − Ls ，故系统的有效到达率为



下面给出系统的有关运行指标
, a6 n: |& t$ u' U( X: o
0 I/ ^  @8 b( Z  s( b! g6 i- ~
! @' G2 S1 z# s  t: p5 q2 M
例 7 设有一工人看管 5 台机器，每台机器正常运转的时间服从负指数分布，平均 为 15 分钟。当发生故障后，每次修理时间服从负指数分布，平均为 12 分钟，试求该系 统的有关运行指标。
/ M; F2 Y: f* `* z
2 H4 V3 _& |0 V  I/ ]7 V; M/ L5 @% W解 用有限源排队模型处理本问题。已知
1 z% Z' F5 Q3 j/ {
+ d+ i: x$ ]& K
1 p+ [4 S& J( M: U* S0 o

; ?! O7 w# [( ?0 Z3 a3 \8 G' N
( b; R1 z. ^* y4 |即该工人每小时可修理机器的平均台数为0.083× 60 = 4.96台。 上述结果表面，机器停工时间过长，看管工人几乎没有空闲时间，应采取措施提高 服务率或增加工人。 LINGO 计算程序如下
0 d7 G; `$ a" C" o8 p6 c  ]3 D$ M
model:
* d% e6 |( v% r' elamda=1/15;mu=1/12;rho=lamda/mu;s=1;m=5;
load=m*rho;
L_s=@pfs(load,s,m);
0 J$ @' p1 r; |, [p_0=1-(m-L_s)*rho;
lamda_e=lamda*(m-L_s);
& z! H% A6 r; D: |# gp_5=@exp(@lgm(6))*0.8^5*p_0;
. ]3 Z, o! r  l  M( {L_q=L_s-(1-p_0);
: m; U; E" C$ i; C) V( Z& kw_s=L_s/lamda_e;w_q=L_q/lamda_e;
end
' w  c9 p- E8 R, A2 G2 服务率或到达率依赖状态的排队模型
$ C/ C$ g, z1 s2 o, E, c在前面的各类排队模型的分析中，均假设顾客的到达率为常数 λ ，服务台的服务 率也为常数 μ 。而在实际的排队问题中，到达率或服务率可能是随系统的状态而变化 的。例如，当系统中顾客数已经比较多时，后来的顾客可能不愿意再进入系统；服务员 的服务率当顾客较多时也可能会提高。因此，对单服务台系统，实际的到达率和服务率 （它们均依赖于系统所处的状态n ）可假设为


9 b7 z) n# b0 Z

% x/ _: S( n, O1 E3 O1 O
1 p% J6 r, c! h8 ~# [
/ ?  |- U, s0 I4 T" }————————————————
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8 b" T9 B' Y' z% a) Q# r$ u) {原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89735908
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