排队论模型（五）： 有限源排队模型、服务率或到达率依赖状态的排队模型

浅夏110

1. 有限源排队模型
现在，来分析一下顾客源为有限的排队问题。这类排队问题的主要特征是顾客总数 是有限的，如果有 m 个顾客。每个顾客来到系统中接受服务后仍回到原来的总体，还 有可能再来，这类排队问题的典型例子是机器看管问题。如一个工人同时看管 m 台机 器，当机器发生故障时即停下来等待维修，修好后再投入使用，且仍然可能再发生故障。 类似的例子还有m 个终端共用一台打印机等，如图 2 所示。


& ?2 [5 S% V3 v4 _" v% }+ ^
关于顾客的平均到达率，在无限源的情形中是按全体顾客来考虑的，而在有限源的 情形下，必须按每一顾客来考虑。设每个顾客的到达率都是相同的，均为λ（这里λ 的 含义是指单位时间内该顾客来到系统请求服务的次数），且每一顾客在系统外的时间均 服从参数为 λ 的负指数分布。由于在系统外的顾客的平均数为 m − Ls ，故系统的有效到达率为



+ Z5 d6 M$ a8 p3 ^& b" n$ g' P6 \下面给出系统的有关运行指标

5 v6 V; `& o$ K& x
; D7 N8 j  u/ @) M2 e# E# Q+ h  T
6 \8 z) T. _( G. M" ]7 x( y4 @& X0 Q例 7 设有一工人看管 5 台机器，每台机器正常运转的时间服从负指数分布，平均 为 15 分钟。当发生故障后，每次修理时间服从负指数分布，平均为 12 分钟，试求该系 统的有关运行指标。
5 V0 }  t# \2 b4 P+ {# N- ?
解 用有限源排队模型处理本问题。已知
- [! j1 k$ J& k; v+ L




- A5 N  _$ A6 ?& G, D" A) J/ y& q即该工人每小时可修理机器的平均台数为0.083× 60 = 4.96台。 上述结果表面，机器停工时间过长，看管工人几乎没有空闲时间，应采取措施提高 服务率或增加工人。 LINGO 计算程序如下

model:
% E& R0 \1 s( J& H. |9 g7 Tlamda=1/15;mu=1/12;rho=lamda/mu;s=1;m=5;
load=m*rho;
4 P; t# g1 Q5 u+ LL_s=@pfs(load,s,m);
p_0=1-(m-L_s)*rho;
. W- C" E0 j+ Y0 zlamda_e=lamda*(m-L_s);
# I$ \' }$ X) _- ]# m" A6 yp_5=@exp(@lgm(6))*0.8^5*p_0;
% n5 Z9 e/ }( `) ^% X. nL_q=L_s-(1-p_0);
5 l; m/ t0 B# @5 R1 X+ K8 rw_s=L_s/lamda_e;w_q=L_q/lamda_e;
$ I5 ^: @/ i: @' u5 eend
3 o( o+ \, k' Y( {/ o2 服务率或到达率依赖状态的排队模型
在前面的各类排队模型的分析中，均假设顾客的到达率为常数 λ ，服务台的服务 率也为常数 μ 。而在实际的排队问题中，到达率或服务率可能是随系统的状态而变化 的。例如，当系统中顾客数已经比较多时，后来的顾客可能不愿意再进入系统；服务员 的服务率当顾客较多时也可能会提高。因此，对单服务台系统，实际的到达率和服务率 （它们均依赖于系统所处的状态n ）可假设为

) ]2 X  }4 V: `+ c! o7 Q( J

7 R/ Z* e7 z1 g3 d; y

& ]1 m' T% i# ^( G
; k( J) c! T5 d+ H- @————————————————
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