排队论模型（五）： 有限源排队模型、服务率或到达率依赖状态的排队模型

浅夏110

1. 有限源排队模型
  s; s2 R8 B! T7 T现在，来分析一下顾客源为有限的排队问题。这类排队问题的主要特征是顾客总数 是有限的，如果有 m 个顾客。每个顾客来到系统中接受服务后仍回到原来的总体，还 有可能再来，这类排队问题的典型例子是机器看管问题。如一个工人同时看管 m 台机 器，当机器发生故障时即停下来等待维修，修好后再投入使用，且仍然可能再发生故障。 类似的例子还有m 个终端共用一台打印机等，如图 2 所示。
* I. m0 A) s$ v, \
  ^: [8 h0 m; T& z
- L9 E1 C* h: o
; A6 h- j" |$ Y关于顾客的平均到达率，在无限源的情形中是按全体顾客来考虑的，而在有限源的 情形下，必须按每一顾客来考虑。设每个顾客的到达率都是相同的，均为λ（这里λ 的 含义是指单位时间内该顾客来到系统请求服务的次数），且每一顾客在系统外的时间均 服从参数为 λ 的负指数分布。由于在系统外的顾客的平均数为 m − Ls ，故系统的有效到达率为



下面给出系统的有关运行指标
% @# N# @1 o1 R' Y$ i( z& u9 Y- a  h

) R% ]- l8 q* T7 L. ?
例 7 设有一工人看管 5 台机器，每台机器正常运转的时间服从负指数分布，平均 为 15 分钟。当发生故障后，每次修理时间服从负指数分布，平均为 12 分钟，试求该系 统的有关运行指标。
: S% J! r. K  K5 v. A, G  _3 U
; J- v3 |; ^' n5 }5 {3 F! C3 [解 用有限源排队模型处理本问题。已知
4 v4 L& ^; C/ ^0 o
% K- X( E5 \/ e  H* r

7 U  x1 R% H) o9 c

即该工人每小时可修理机器的平均台数为0.083× 60 = 4.96台。 上述结果表面，机器停工时间过长，看管工人几乎没有空闲时间，应采取措施提高 服务率或增加工人。 LINGO 计算程序如下
/ d9 G* {: Q, }$ [! V8 l0 r1 B+ D
. F5 g% v1 o: Y: k1 Imodel:
lamda=1/15;mu=1/12;rho=lamda/mu;s=1;m=5;
0 i5 a! s/ A/ r& uload=m*rho;
3 v6 S$ @) ]" ?! ?L_s=@pfs(load,s,m);
+ q% f" c! P6 A! t3 n" I* U: Jp_0=1-(m-L_s)*rho;
. B8 X: O* @) K) X  M% O* Blamda_e=lamda*(m-L_s);
" @7 Y: f! C+ _p_5=@exp(@lgm(6))*0.8^5*p_0;
L_q=L_s-(1-p_0);
w_s=L_s/lamda_e;w_q=L_q/lamda_e;
; L% g1 p9 @. L0 V/ q) Y. G& x; Mend
5 K; n, N* P. t- [! `9 Q2 服务率或到达率依赖状态的排队模型
9 d; U( [( b4 E8 X: V6 d% f在前面的各类排队模型的分析中，均假设顾客的到达率为常数 λ ，服务台的服务 率也为常数 μ 。而在实际的排队问题中，到达率或服务率可能是随系统的状态而变化 的。例如，当系统中顾客数已经比较多时，后来的顾客可能不愿意再进入系统；服务员 的服务率当顾客较多时也可能会提高。因此，对单服务台系统，实际的到达率和服务率 （它们均依赖于系统所处的状态n ）可假设为

2 [/ f# {9 {* Q4 `, {/ [7 n; `7 ^2 v




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