排队论模型（七）：排队系统的优化

浅夏110

排队系统中的优化模型，一般可分为系统设计的优化和系统控制的优化。前者为静 态优化，即在服务系统设置以前根据一定的质量指标，找出参数的最优值，从而使系统 最为经济。后者为动态优化，即对已有的排队系统寻求使其某一目标函数达到最优的运 营机制。由于对后一类问题的阐述需要较多的数学知识，所以本节着重介绍静态最优问 题。

在优化问题的处理方法上，一般根据变量的类型是离散的还是连续的，相应地采用 边际分析方法或经典的微分法，对较为复杂的优化问题需要用非线性规划或动态规划等 方法。
) ~$ ]6 k) @( P% B9 F: P5 s& `
1.  M / M /1模型中的最优服务率 μ
先考虑 M / M /1/ ∞ 模型，取目标函数 z 为单位时间服务成本与顾客在系统中逗留 费用之和的期望值，即



; l+ N3 f5 ~* i; H  N! Q! l

7 J  Q- i2 ~1 A7 s7 f) x8 d

9 Z0 z2 b. @4 ~. g编写 LINGO 程序如下：
* s% a  S) G6 J$ W
model:
s=1;k=4;lamda=1;
L_s=@pfs(k*lamda/mu,s,k);
$ v3 u" c4 H( x# i; r; Bmax=100*(k-L_s)-75*mu;
end

0 u7 W! v  w4 `. I0 H6 ~1 O0 Z
0 F6 a+ ?4 g$ w8 a/ j$ [3 D

编写 LINGO 程序如下：

model:
sets:
/ X& J- K# E& Y8 m# t$ o/ Gstate/1..3/:p;
endsets
lamda=3.6;k=3;
7 V" e; d; b6 H2 Elamda*p0=p(1)/t;
(lamda+1/t)*p(1)=lamda*p0+p(2)/t;
@for(state(i)|i #gt# 1 #and# i #lt# k:
) D6 `6 A# \* G(lamda+1/t)*p(i)=lamda*p(i-1)+p(i+1)/t);
lamda*p(k-1)=p(k)/t;
p0+@sum(state:p)=1;
max=2*lamda*(1-p(k))-0.5/t;
end
求得系统为每位顾客最佳服务时间是0.2238h，系统每小时赢利3.70元。

$ I: j* r* M  `. @" w2   M / M / s 模型中的最优的服务台数  

' n! n$ z) X# u* n& J
$ b4 G8 m8 D, @3 v9 d/ ?+ u  k
9 W) ~  @  W9 T  G9 y
/ i7 x/ W/ @0 A. E, U" A+ k例 13 某检验中心为各工厂服务，要求进行检验的工厂（顾客）的到来服从 Poisson 流，平均到达率为λ = 48（次/d）；每天来检验由于停工等原因损失 6 元；服务（检验） 时间服从负指数分布，平均服务率为 μ = 25（次/d）；每设置一个检验员的服务成本为 4 元/d，其它条件均适合 M / M / s/ ∞ 系统。问应设几个检验员可使总费用的平均值最 少？
" T- i3 V/ r; `5 e0 y' N


求解的 LINGO 程序如下：
% C! k7 h; b* p$ C6 b2 Y% A5 F' n
2 e: r/ O/ A4 `! Dmodel:
7 b1 o! B  R# x3 F6 Klamda=48;mu=25;rho=lamda/mu;
* {1 p1 _8 ?, _5 u4 yP_wait=@peb(rho,s);
L_q=P_wait*rho/(s-rho);
L_s=L_q+rho;
2 F4 H  ]2 g. T, ^6 Tmin=4*s+6*L_s;
! z7 K7 |0 c$ y9 B& F* @@gin(s);@bnd(2,s,5);
end

5 c8 Y6 X4 a! q: O' I$ S+ ]! u. }————————————————
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. e: z: s) R) p* s( p3 W5 i+ f