排队论模型（七）：排队系统的优化

浅夏110

排队系统中的优化模型，一般可分为系统设计的优化和系统控制的优化。前者为静 态优化，即在服务系统设置以前根据一定的质量指标，找出参数的最优值，从而使系统 最为经济。后者为动态优化，即对已有的排队系统寻求使其某一目标函数达到最优的运 营机制。由于对后一类问题的阐述需要较多的数学知识，所以本节着重介绍静态最优问 题。

在优化问题的处理方法上，一般根据变量的类型是离散的还是连续的，相应地采用 边际分析方法或经典的微分法，对较为复杂的优化问题需要用非线性规划或动态规划等 方法。
  ~2 k& x# J3 H- a! k
1.  M / M /1模型中的最优服务率 μ
0 k/ a# r  T( _' H先考虑 M / M /1/ ∞ 模型，取目标函数 z 为单位时间服务成本与顾客在系统中逗留 费用之和的期望值，即


" G) D8 F( O* n
3 B4 a: W' d, F0 c
8 i( _3 x, U6 V. ^' q

: K2 {6 d2 L- ?1 S; d
- `# w8 L6 |' ?2 I" I* G) ^编写 LINGO 程序如下：

model:
9 {: t% U: |0 Z* s. v$ Vs=1;k=4;lamda=1;
L_s=@pfs(k*lamda/mu,s,k);
8 U# M+ G& q: W( Jmax=100*(k-L_s)-75*mu;
end
% w; G, ^, D  o+ y* X% N" A+ N6 z


& Y# ~7 U- m, d! p2 K1 S- S
) w" ]! G5 g$ W- d" @8 s4 _3 G编写 LINGO 程序如下：
9 @8 T0 N  ?! s0 K# m2 K9 v
7 G% j) Z) z8 T6 ?% wmodel:
sets:
state/1..3/:p;
endsets
  K$ A( |( J8 y1 v/ v, z1 z5 I9 l; glamda=3.6;k=3;
lamda*p0=p(1)/t;
6 |; I) V$ e$ y(lamda+1/t)*p(1)=lamda*p0+p(2)/t;
4 T7 }  ]# ^* ~- D@for(state(i)|i #gt# 1 #and# i #lt# k:
+ X2 f2 E4 H+ R0 O' l(lamda+1/t)*p(i)=lamda*p(i-1)+p(i+1)/t);
lamda*p(k-1)=p(k)/t;
" r' C" c, ~1 a6 R$ J; Fp0+@sum(state:p)=1;
max=2*lamda*(1-p(k))-0.5/t;
end
求得系统为每位顾客最佳服务时间是0.2238h，系统每小时赢利3.70元。
; q1 S9 T# D0 }/ l9 C* ?' Q
! A0 d3 X  O7 ]2   M / M / s 模型中的最优的服务台数  


. |9 @5 H4 A2 H: a" I
# h+ h5 b; `) }3 N0 {
例 13 某检验中心为各工厂服务，要求进行检验的工厂（顾客）的到来服从 Poisson 流，平均到达率为λ = 48（次/d）；每天来检验由于停工等原因损失 6 元；服务（检验） 时间服从负指数分布，平均服务率为 μ = 25（次/d）；每设置一个检验员的服务成本为 4 元/d，其它条件均适合 M / M / s/ ∞ 系统。问应设几个检验员可使总费用的平均值最 少？



7 z; k1 Z& U" j8 o7 s/ S/ s6 ?求解的 LINGO 程序如下：

% j7 }0 e) Y% Tmodel:
lamda=48;mu=25;rho=lamda/mu;
P_wait=@peb(rho,s);
L_q=P_wait*rho/(s-rho);
0 S8 _# T+ N9 y% a7 cL_s=L_q+rho;
min=4*s+6*L_s;
+ r8 v2 r6 |; G- m, K. R$ e@gin(s);@bnd(2,s,5);
; c) n1 ^- W2 s& h  @end

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