排队论模型（七）：排队系统的优化

浅夏110

排队系统中的优化模型，一般可分为系统设计的优化和系统控制的优化。前者为静 态优化，即在服务系统设置以前根据一定的质量指标，找出参数的最优值，从而使系统 最为经济。后者为动态优化，即对已有的排队系统寻求使其某一目标函数达到最优的运 营机制。由于对后一类问题的阐述需要较多的数学知识，所以本节着重介绍静态最优问 题。

/ F6 N( R: @# V+ u在优化问题的处理方法上，一般根据变量的类型是离散的还是连续的，相应地采用 边际分析方法或经典的微分法，对较为复杂的优化问题需要用非线性规划或动态规划等 方法。
. [. \% }$ Z9 m  s: W4 k
. ], W  X/ o" _- Q1.  M / M /1模型中的最优服务率 μ
先考虑 M / M /1/ ∞ 模型，取目标函数 z 为单位时间服务成本与顾客在系统中逗留 费用之和的期望值，即
8 N0 ~' e; R2 `; G) |+ O( ?+ e
. U+ f- f" E# }* k/ V/ }9 Z6 \

+ ~& x; V1 w8 G" f6 e; y


: n$ w( P+ @( F5 f
编写 LINGO 程序如下：

model:
s=1;k=4;lamda=1;
L_s=@pfs(k*lamda/mu,s,k);
8 W9 T; _# S. I9 T& D8 {4 tmax=100*(k-L_s)-75*mu;
* r- p, {5 E# g* Vend


1 P7 C, E2 c' h. p4 X

# v) x$ {& g5 K# R' X, |! u编写 LINGO 程序如下：

' Q* D3 O9 W. _3 _& Y8 G9 _model:
sets:
state/1..3/:p;
( T2 o* x+ I/ R7 r+ j. tendsets
+ O5 y# i# O4 rlamda=3.6;k=3;
lamda*p0=p(1)/t;
# K3 U- m7 e9 z* x4 D; \(lamda+1/t)*p(1)=lamda*p0+p(2)/t;
@for(state(i)|i #gt# 1 #and# i #lt# k:
(lamda+1/t)*p(i)=lamda*p(i-1)+p(i+1)/t);
lamda*p(k-1)=p(k)/t;
$ ^8 D  j3 j8 t# Q, k/ zp0+@sum(state:p)=1;
max=2*lamda*(1-p(k))-0.5/t;
" p- ^- k* ~+ H2 x; fend
求得系统为每位顾客最佳服务时间是0.2238h，系统每小时赢利3.70元。
! s- b9 x, V( [  W" k3 k
2   M / M / s 模型中的最优的服务台数  

, B  S+ T. ^' Z
/ t- i4 C: R7 e' d

例 13 某检验中心为各工厂服务，要求进行检验的工厂（顾客）的到来服从 Poisson 流，平均到达率为λ = 48（次/d）；每天来检验由于停工等原因损失 6 元；服务（检验） 时间服从负指数分布，平均服务率为 μ = 25（次/d）；每设置一个检验员的服务成本为 4 元/d，其它条件均适合 M / M / s/ ∞ 系统。问应设几个检验员可使总费用的平均值最 少？
4 b5 p* T% V5 Y+ q! J' B- n# `8 ~
8 e% x" e7 w' `; |: A8 |

求解的 LINGO 程序如下：

. z8 s1 U5 n/ l* Y, |model:
lamda=48;mu=25;rho=lamda/mu;
' H! B! I7 j3 MP_wait=@peb(rho,s);
L_q=P_wait*rho/(s-rho);
4 `) q; ^4 d8 fL_s=L_q+rho;
min=4*s+6*L_s;
@gin(s);@bnd(2,s,5);
: m. N% q1 u! h6 Oend
5 \7 t, `/ L1 z# r* |
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