排队论模型（七）：排队系统的优化

浅夏110

排队系统中的优化模型，一般可分为系统设计的优化和系统控制的优化。前者为静 态优化，即在服务系统设置以前根据一定的质量指标，找出参数的最优值，从而使系统 最为经济。后者为动态优化，即对已有的排队系统寻求使其某一目标函数达到最优的运 营机制。由于对后一类问题的阐述需要较多的数学知识，所以本节着重介绍静态最优问 题。
( S) B4 [  ]7 O
" ~8 @; `9 E: I# w3 L& P$ P在优化问题的处理方法上，一般根据变量的类型是离散的还是连续的，相应地采用 边际分析方法或经典的微分法，对较为复杂的优化问题需要用非线性规划或动态规划等 方法。

' T! n0 Q( K( ]" j# Z& t, O1.  M / M /1模型中的最优服务率 μ
先考虑 M / M /1/ ∞ 模型，取目标函数 z 为单位时间服务成本与顾客在系统中逗留 费用之和的期望值，即
9 {1 Q  i( v$ p3 g/ u3 K0 d

8 [" s: i2 |1 d6 ^! |7 N

5 c0 f, P9 X! y* o  |

) C% O: Z4 s3 E# d
+ s% }& Y7 [$ {; i编写 LINGO 程序如下：
) J& C$ ]0 d* ?  I, m
model:
s=1;k=4;lamda=1;
; Y4 i# U0 W# T: gL_s=@pfs(k*lamda/mu,s,k);
max=100*(k-L_s)-75*mu;
end

- {3 A+ o% d9 L0 F, {2 H7 n
# w. Z# u% c' `% Y0 @4 R6 s0 w
% b1 w3 R1 k3 P, y! J+ j; }8 w
5 F" P4 G- L- c/ B编写 LINGO 程序如下：

# x, f  i' M$ p. E' Wmodel:
) D9 n' `4 k1 e6 csets:
state/1..3/:p;
endsets
5 y, J, {2 o% p% ~& p; glamda=3.6;k=3;
  E. c7 X- \% {" I- ~lamda*p0=p(1)/t;
(lamda+1/t)*p(1)=lamda*p0+p(2)/t;
@for(state(i)|i #gt# 1 #and# i #lt# k:
3 K- H: j* Y7 E3 c. A4 e(lamda+1/t)*p(i)=lamda*p(i-1)+p(i+1)/t);
lamda*p(k-1)=p(k)/t;
3 }2 J$ w3 V7 [p0+@sum(state:p)=1;
max=2*lamda*(1-p(k))-0.5/t;
end
3 }+ q4 ?/ C) @- o求得系统为每位顾客最佳服务时间是0.2238h，系统每小时赢利3.70元。
( o+ x5 U* @: f
2   M / M / s 模型中的最优的服务台数  
% l5 R# V8 @7 o- p4 [4 ~

8 I( C8 F' E! f$ M4 `' U; f+ _
# F3 y  m5 |, }# G8 G
例 13 某检验中心为各工厂服务，要求进行检验的工厂（顾客）的到来服从 Poisson 流，平均到达率为λ = 48（次/d）；每天来检验由于停工等原因损失 6 元；服务（检验） 时间服从负指数分布，平均服务率为 μ = 25（次/d）；每设置一个检验员的服务成本为 4 元/d，其它条件均适合 M / M / s/ ∞ 系统。问应设几个检验员可使总费用的平均值最 少？

& g% A+ [$ m- x
0 S2 i+ K9 a. n, {% e
# f+ y8 J! b  w3 f4 @$ J( r! T求解的 LINGO 程序如下：

- k8 b' g2 g& U  U- T  Omodel:
lamda=48;mu=25;rho=lamda/mu;
P_wait=@peb(rho,s);
L_q=P_wait*rho/(s-rho);
0 ]# N7 h  }/ O) vL_s=L_q+rho;
: d1 `  y2 ^- a% K0 e; tmin=4*s+6*L_s;
' t1 d5 T# D9 ~@gin(s);@bnd(2,s,5);
end
: \* N$ I6 L2 V( ]7 |8 ~
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; N* `* _  |9 R6 s* |$ F1 w+ a: d  [原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89736116
2 a) z' Y! Q$ e3 J0 |. z( j; T
7 X0 h; j3 |- f
1 T. s: x+ w  i9 ^