排队论模型（七）：排队系统的优化

浅夏110

排队系统中的优化模型，一般可分为系统设计的优化和系统控制的优化。前者为静 态优化，即在服务系统设置以前根据一定的质量指标，找出参数的最优值，从而使系统 最为经济。后者为动态优化，即对已有的排队系统寻求使其某一目标函数达到最优的运 营机制。由于对后一类问题的阐述需要较多的数学知识，所以本节着重介绍静态最优问 题。
$ z1 {& H; G5 O; e; {
/ i2 f, t5 u& u7 R( N在优化问题的处理方法上，一般根据变量的类型是离散的还是连续的，相应地采用 边际分析方法或经典的微分法，对较为复杂的优化问题需要用非线性规划或动态规划等 方法。
1 H& N) I' }8 r
1.  M / M /1模型中的最优服务率 μ
3 e9 L: v5 T9 k8 n' K: J先考虑 M / M /1/ ∞ 模型，取目标函数 z 为单位时间服务成本与顾客在系统中逗留 费用之和的期望值，即

& W( {% K* x1 o3 N! E; m2 `


$ e' A$ v) q* F& Q


编写 LINGO 程序如下：
, l6 P) ?8 S0 u) y  `
model:
s=1;k=4;lamda=1;
" H! h. a* r+ `4 B, t7 [4 ^L_s=@pfs(k*lamda/mu,s,k);
max=100*(k-L_s)-75*mu;
end

. p1 \# u2 _$ E9 G! b7 A6 W1 c
' l( K" J; u' s# _- F9 {. b

编写 LINGO 程序如下：

3 a! O* _9 |: s7 P- J2 e" ?" t/ ]model:
sets:
state/1..3/:p;
endsets
9 m8 u2 a; F9 A; X" }lamda=3.6;k=3;
lamda*p0=p(1)/t;
(lamda+1/t)*p(1)=lamda*p0+p(2)/t;
@for(state(i)|i #gt# 1 #and# i #lt# k:
(lamda+1/t)*p(i)=lamda*p(i-1)+p(i+1)/t);
lamda*p(k-1)=p(k)/t;
p0+@sum(state:p)=1;
( z6 `- W9 Z" o& hmax=2*lamda*(1-p(k))-0.5/t;
8 x3 |- o2 G- B) tend
6 B! B9 z' P5 O5 x) W求得系统为每位顾客最佳服务时间是0.2238h，系统每小时赢利3.70元。

2   M / M / s 模型中的最优的服务台数  
' U& s; N) I" d& j5 Q9 I1 }) _
* y/ \+ v. O( P9 w; w( d
6 T. I+ \# _* g7 R  k& [

例 13 某检验中心为各工厂服务，要求进行检验的工厂（顾客）的到来服从 Poisson 流，平均到达率为λ = 48（次/d）；每天来检验由于停工等原因损失 6 元；服务（检验） 时间服从负指数分布，平均服务率为 μ = 25（次/d）；每设置一个检验员的服务成本为 4 元/d，其它条件均适合 M / M / s/ ∞ 系统。问应设几个检验员可使总费用的平均值最 少？
7 O( T9 y5 N0 Y1 B+ g* |9 e" G
. e9 s  K( U. r( |/ O
3 F( B( l' M2 Z: Z/ C  J
求解的 LINGO 程序如下：

model:
lamda=48;mu=25;rho=lamda/mu;
0 ~" w$ u+ z6 V. i* b( d0 {P_wait=@peb(rho,s);
2 ~$ }* W. I& X! {L_q=P_wait*rho/(s-rho);
L_s=L_q+rho;
4 l9 O. K% p( J5 Cmin=4*s+6*L_s;
@gin(s);@bnd(2,s,5);
: s2 [% i0 O7 p# w7 R: I- f0 send
5 Z6 T( ]; j' N: l% G
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