排队论模型（七）：排队系统的优化

浅夏110

排队系统中的优化模型，一般可分为系统设计的优化和系统控制的优化。前者为静 态优化，即在服务系统设置以前根据一定的质量指标，找出参数的最优值，从而使系统 最为经济。后者为动态优化，即对已有的排队系统寻求使其某一目标函数达到最优的运 营机制。由于对后一类问题的阐述需要较多的数学知识，所以本节着重介绍静态最优问 题。

8 o7 I% _  M- p/ ^$ b# L在优化问题的处理方法上，一般根据变量的类型是离散的还是连续的，相应地采用 边际分析方法或经典的微分法，对较为复杂的优化问题需要用非线性规划或动态规划等 方法。
/ w( a" z  }' O8 Q5 t0 m4 _
1.  M / M /1模型中的最优服务率 μ
先考虑 M / M /1/ ∞ 模型，取目标函数 z 为单位时间服务成本与顾客在系统中逗留 费用之和的期望值，即

6 L/ r% t" l. a. y& i
$ |! d) S. H: q% T  [) @

+ Y  a: a9 z& j0 d% \: V
- v8 `' ?% x" I7 n4 X
: I9 G2 o5 @) A: ]& U2 ~
0 G2 y$ e  e2 F' q* }5 }) N/ G- x编写 LINGO 程序如下：
) |, Z/ V/ p4 f6 M$ l
) D: w: t) W! d0 n% C7 I( smodel:
s=1;k=4;lamda=1;
3 d5 R' H7 G4 u1 Z- F& X# xL_s=@pfs(k*lamda/mu,s,k);
max=100*(k-L_s)-75*mu;
end


6 b, }# n3 W8 n8 X5 v5 C
# E3 H* R' G9 J3 p, e9 {- z
编写 LINGO 程序如下：

9 v2 |/ S3 r# w8 V1 F3 umodel:
& z  j7 U# f, f3 Q0 ?0 Ysets:
7 q7 X% `1 Z1 |7 t$ {: c2 xstate/1..3/:p;
" z0 N. f5 E( g8 J6 Aendsets
% U1 j7 M8 g& ^0 n/ d+ J$ F# ulamda=3.6;k=3;
) U6 j8 q* K- I0 G+ ~& o7 Slamda*p0=p(1)/t;
2 \- A1 D" T  O3 t8 q. U8 j(lamda+1/t)*p(1)=lamda*p0+p(2)/t;
  w* m; z: r8 W+ H1 N  p/ P7 s: ^@for(state(i)|i #gt# 1 #and# i #lt# k:
(lamda+1/t)*p(i)=lamda*p(i-1)+p(i+1)/t);
lamda*p(k-1)=p(k)/t;
p0+@sum(state:p)=1;
) z" M# X& Y/ G9 kmax=2*lamda*(1-p(k))-0.5/t;
! x: }  r, ^- a4 {) ^end
求得系统为每位顾客最佳服务时间是0.2238h，系统每小时赢利3.70元。

1 j/ Y" ~8 L7 H" S2   M / M / s 模型中的最优的服务台数  

& |0 |, Q* V/ {; [5 ?$ n# o
" ~% F; X3 O# F% F$ t

例 13 某检验中心为各工厂服务，要求进行检验的工厂（顾客）的到来服从 Poisson 流，平均到达率为λ = 48（次/d）；每天来检验由于停工等原因损失 6 元；服务（检验） 时间服从负指数分布，平均服务率为 μ = 25（次/d）；每设置一个检验员的服务成本为 4 元/d，其它条件均适合 M / M / s/ ∞ 系统。问应设几个检验员可使总费用的平均值最 少？



( O8 T  K' }$ F. z求解的 LINGO 程序如下：

7 n2 o4 y/ q3 I5 @& d$ T8 }model:
# O* C* ]* K5 ~! T6 Nlamda=48;mu=25;rho=lamda/mu;
P_wait=@peb(rho,s);
L_q=P_wait*rho/(s-rho);
. L3 x! x9 r/ T- g/ IL_s=L_q+rho;
min=4*s+6*L_s;
) i. _0 N6 X& _5 C, V% f@gin(s);@bnd(2,s,5);
end

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