动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。

变分法简介
) i7 S" v. t  l3 o& ]
变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。

  H- a5 f) N8 [: q7 M1 变分法的基本概念
2 ]+ e2 {/ f3 R8 x2 r% B  I5 F1.1 泛函


% U; j4 S! v4 e: j( m  q, K3 H
1.2 泛函的极值


. S9 X" m+ B" Y9 T) z
# H0 ~! n  F2 I1 G+ U  @+ v' w5 r0 ^1.3 泛函的变分
. @6 F5 D+ D- p% h


1 J1 L" h7 E4 P( Q
3 j2 h) P$ i8 E! @4 q1.4 极值与变分
利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：
' w3 m: p4 f8 q- C


/ q' S! C5 @- i1.5. 变分法的基本引理
9 p0 }  ]" Q# E

( _: G3 @3 P! I. ]$ G0 Z8 [
1 L# a2 z7 [- P4 e, _! R2 O2 无约束条件的泛函极值
$ |, m+ p) R; p2 h

# T& E7 [- Y1 N. J
2.1 端点固定的情况
* v! ?% x% |' r* K  r- `9 C


- r1 D4 s. V+ N+ ?' L- T  f
2.2 最简泛函的几种特殊情形

( z" o- d: c8 }; o+ G

. X+ r( q- T5 d: D2 A7 q

' V2 ?. ?4 h. Q6 ?- `, U- }) E* C例 1 (最速降线问题)  
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。
( I# R3 k) k" T" r" f% {! r8 @
, {2 Y# v: ^  B& [3 [7 n% h/ [5 z

0 k5 p& g0 X0 z  O* C

例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程
3 O3 [. }6 n0 q0 T8 U
! Q4 N8 M: k; m0 ]/ X0 y& k  Y) s

$ u8 X, h+ m: R8 M! w2.3 最简泛函的推广
6 R# C, q; t- Z+ Y5 r! _; x最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。

* w( K" j% Q2 F# c: @4 a2 [! Q（ⅰ）含多个函数的泛函


. A4 ]; ~! b8 R3 q7 i
（ii）含高阶导数的泛函
% s5 i. B4 \3 f3 D' R


, f2 P& f5 ^: y7 O  [（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程


/ O* e% s* [, Z5 T
2.4 端点变动的情况（横截条件）
% W" g1 P& Q; ]) |+ D2 R5 f- |. N3 _1 Y
. A; n# R$ y6 I; r& O3 m4 P


横截条件有两种常见的特殊情况：



注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。

3 有约束条件的泛函极值
在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统
* Y' v" v) k% _# a7 `, G" {' K

0 o6 U3 L; z! e" G) I% T


, R0 M" }! \4 A. V5 Y# \



4 最大（小）值原理
6 q! H9 X. u: |& F7 g1 W2 e


: A: j! c( c- o% R9 w& _————————————————
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3 X# s7 n5 j9 [3 `原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89644497

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