动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
1 T2 b! M* Q$ E9 x
变分法简介
' K2 F* `/ i7 C
变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。

" R* C( n/ T+ o; b, H' D1 变分法的基本概念
; u/ ^6 z7 q$ e1.1 泛函
0 Y" W* X- A4 R
7 ^7 o: L+ A7 n- ~
$ n4 r0 y. o3 O# K6 `6 b
1.2 泛函的极值

. v& H, b4 X, S( K; d/ v$ ^1 F% \
/ J& M# C$ Q, w! G8 b# e
" @& D: `' n1 j+ s4 z1.3 泛函的变分



+ a+ l, I+ G& s6 |
, g( R5 d: O- r+ t1 v/ z1.4 极值与变分
3 x' A$ d$ _% p& P4 v利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：
9 }# a1 d$ F- x% W/ J
# Z7 [& F* V# e# V5 N0 @: B6 w) S
3 q! C, s5 O. g; y  X( W9 S0 h/ x8 l
1.5. 变分法的基本引理
  S. H& E1 a. }6 I
5 _1 `5 N' A# Q

! |" B, {, y. f; Y7 O2 无约束条件的泛函极值
) g  i6 ?# e! S9 Z. Y0 `


- [* {/ L$ |' D2.1 端点固定的情况
  f% |: Y' [/ ]6 a

9 Z& W3 u( C' f; M

2.2 最简泛函的几种特殊情形


# b! Y+ A9 y. Z* J- V

5 I% c9 m# [6 @2 S6 p
2 T2 b7 _' g! m% C' l+ i例 1 (最速降线问题)  
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。

2 S( A6 U1 _1 D6 I
) @( V  p. _6 }' i4 G0 U, m: u


! C) b6 N  p: H. e* k$ c1 J例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程



0 N/ F3 K4 q# n3 y. d9 Y2.3 最简泛函的推广
最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。

（ⅰ）含多个函数的泛函
2 R7 U& |2 T3 v  u( J
" P$ q2 q; y: e$ _* W) r+ C3 M: ]

（ii）含高阶导数的泛函
7 _; H# w: w# i/ n/ I
, w9 U: ^% e6 U0 H( F3 k; M7 o" ^5 {
# K4 x* a. E3 m! N5 ~2 l6 g
（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程



  j% j5 I1 E) ?7 E2.4 端点变动的情况（横截条件）


2 |- M2 f5 y) L

8 W0 Y8 N4 `  L* T2 i横截条件有两种常见的特殊情况：
' v! }8 k( D: r8 b; t* N+ r

, D- P' c' _! z9 R$ a# Z  ~
/ [' b% ]& C7 a$ @+ @% H" p' `注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。

3 有约束条件的泛函极值
在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统


# y; B( s$ s5 G' [. M8 `7 F( a# j$ ~  K

( {( O4 B: x  j
+ ~# g' R. V7 {
: ^, e5 f$ H: s1 e1 q1 \1 q
* Q3 t& Q) V- f/ J% i  n; K# I
- [+ q4 t/ d7 r/ O4 S( t
4 最大（小）值原理
& T5 s( r9 g# m  p
1 U5 B) w9 H) E$ Q+ l% j, t
2 a7 m* a' v8 t3 d2 b6 S( Q
7 y% V; m" P2 ?————————————————
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