动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
  K+ A% f) E+ V: S  X/ a) y* w
3 W3 A- Z4 `3 y变分法简介

变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。

1 z1 ]' v- _1 f1 f: j8 D1 变分法的基本概念
. K" x: M' h. E5 y5 N/ F1.1 泛函

; R! s( n$ H" O- t7 H. @5 S7 t

1.2 泛函的极值
( S& [2 U. S& Z3 v8 J
9 k- y" O. i; s. [* N7 E( L5 f

1.3 泛函的变分



0 J2 a  A: V- x& Q
1.4 极值与变分
利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：
+ [# P; W8 V- j
) P( t0 Y6 b2 E  K; Z* ?2 U
. v, H' i7 I  w. [9 c; p8 G
1.5. 变分法的基本引理



) J- h8 k, f) \2 无约束条件的泛函极值

6 v5 s2 \4 _2 J. t! C( P

0 G- v6 Z; U+ d8 o6 [5 \9 z* B! n2.1 端点固定的情况
6 x" k! h. S( B' P
7 O5 h( I' g# f& j8 M  [4 B/ f3 h) i2 W
) J5 E: S  V8 F/ e+ Y, @

1 N7 O3 b* L, ]; |' M2.2 最简泛函的几种特殊情形

' Z6 y5 u6 Y  V2 r

9 n) e" `- p& {5 h8 H, G0 ]6 y

例 1 (最速降线问题)  
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。
4 W9 n1 l3 C1 t$ H/ p; l3 O
* L6 D1 b1 w: O' B0 E( Y+ [

5 y( U! V" D7 ]3 e( s. P5 ~0 V; s
4 q# F) f, Y8 q* Z  O2 I6 f( m
* w6 m5 K) t* ]. w. F1 j* J例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程

; N" G6 M9 O1 ]4 g1 V# ~5 y

9 q& j; u9 k1 j& z4 K5 D! r, _2.3 最简泛函的推广
7 d; R' l! N% B! N* G8 R2 M最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。
, L, i# L# a8 k! I
（ⅰ）含多个函数的泛函

5 [3 U9 Q  _% a- {+ [- T* Y
- Z; Q- a5 w/ ~
" o4 F' k: I: t$ V（ii）含高阶导数的泛函



（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程
! E4 b: x/ b0 q7 D, @: V& K
; u& o/ w. `0 V

2.4 端点变动的情况（横截条件）
+ c7 y, Y3 [# C

! L7 w5 f2 ~8 @2 N2 Z# E

横截条件有两种常见的特殊情况：

0 ^' ]9 {6 `, s# p6 i

( H3 u' }% F$ i& ]$ e( c0 O2 a注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。

9 Z$ _0 ~& Y/ I. P4 p, \ 3 有约束条件的泛函极值
0 {. u$ O2 Y" @8 ~. @4 s( d& J在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统
2 ]0 G4 S1 ^* f  O
2 Q0 c" i9 }7 t3 m2 p
6 }6 j/ o( B( M# ^$ ?& E3 A9 Y




" e! a$ u2 z. _$ |- y* D3 O
8 z0 \- a$ h2 E' F
' F) n+ T1 A1 `  v9 [4 最大（小）值原理
: w' a( X6 r1 t. l  p


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