动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
6 C3 x  C; m# k
变分法简介
% ]" h! {, G  ]3 i; D  a& D* h$ P
变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。
9 H, \  H7 o& W) |8 O
- J* p, P, J; r. K1 变分法的基本概念
* j8 P5 r( k+ S+ E: F/ H- e1.1 泛函
* |& s; B0 n* e* \4 T


1.2 泛函的极值

4 D4 I; E7 \6 o) @+ M, q! |3 o
( a; e7 U  J% f9 J0 F
1.3 泛函的变分

- H+ z5 I# g! L! M/ Z
, u2 u6 |! j$ V1 ]1 |0 s
7 F, ?" g/ `5 u2 V( X
1 }4 i2 y4 e, e- q' ]1 d9 y1.4 极值与变分
7 }' ~4 q, @$ i8 i% h3 Y利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：


6 t- [& }+ Z* n) W9 ]! l
/ ]( _4 d5 ]' i( o  F; w% A1.5. 变分法的基本引理
' s8 E- Y* A. F( O

# X# W9 `1 G. V- W( A
" ~( q/ @/ K- s2 i2 无约束条件的泛函极值

* u! m* c( e' [' K' L
& }2 R7 `; d7 n" U3 J
( y- T+ _" P/ b* U2.1 端点固定的情况

1 d+ h( S  r8 A6 q" u. H( v
3 L# _& G( a. V7 }% J3 g/ t
, Z# M3 j) |) Z
2.2 最简泛函的几种特殊情形
3 h0 n* \% y- N) Q7 A% Y
' j1 A, L, y- @, u! D- W, [

, x5 m! t2 B( ^+ x) \# w
" W* w# U8 K! ?
1 ~: [+ J) \0 x  v9 z例 1 (最速降线问题)  
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。

3 p6 Y: E6 T, ?9 s
! U- ^  P' a. V- X4 h* _7 d
. z, f. J1 ^7 V6 T
( Y- @! k/ |2 l) ~; o) e+ [
例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程


6 u& n7 C" l5 X' R; ~3 M
2.3 最简泛函的推广
最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。

（ⅰ）含多个函数的泛函

, a3 s+ z7 y9 a7 x. }7 M9 v
- y2 a6 B4 `" [4 k) z/ u
（ii）含高阶导数的泛函
! A* q! }* ~6 H5 o' O! k# T


（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程
  y( W4 Z0 @% j


3 _7 Q9 o3 A$ x3 f2.4 端点变动的情况（横截条件）
/ O( d. W, s/ X/ F6 i' s

# X: W" I& J7 r
7 s. g9 Z- ?0 I( q
4 e# m( j0 K  j" y" D3 o横截条件有两种常见的特殊情况：


0 ~8 M& w; z# l! ^, U/ D, g
  `+ f6 H$ L0 e0 X5 F" F# c! N注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
  N2 R$ v: @# u3 h$ P& K9 ]
3 有约束条件的泛函极值
; e% p; k. t5 j" m% }在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统
- D2 z, G3 x, R, ~4 R: p

! S; [: b) t7 x/ x+ n. _+ |

  p; \; E% @! y% ]  S, i
6 X6 B( ?" Y+ Z7 p8 P* X
$ K( A5 H+ h/ ~4 ~5 l


4 最大（小）值原理
+ ]# {! U% K/ d( `
* u& r; _4 J5 V( }! Y1 e

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