动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
* j0 ^0 {3 S, o: a) I- ^
2 ^, _: h5 [% i1 P3 S变分法简介
& J0 o5 ]/ W0 y4 d3 ]( x" ]
( C- c3 m" o! N9 u变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。
( p0 F8 m' V2 r6 h8 C6 C
1 变分法的基本概念
0 j# N8 m' Z5 z2 s0 N$ R8 I1.1 泛函

' ~! s6 o  J8 W- w% [

1.2 泛函的极值


6 c7 V8 a, Z& Q) h: f
  I# ?" p. R% O- J' x1.3 泛函的变分
5 t: J/ t! V  Q* S* S5 H9 ]5 H5 I! N+ n
2 X  R9 y5 q% ~6 V

4 V* I4 K/ i' c9 R5 T
2 e* F% T+ t. N. [1.4 极值与变分
利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：



8 x- S* g! l/ D1.5. 变分法的基本引理

+ i2 {1 ~( {& }' f9 o# D5 v
; D$ h' a. z" e' |% i0 V3 R9 F
9 ?( b+ m' o% G9 z* }& e# T2 无约束条件的泛函极值


7 U0 E/ s& c: W& F& F2 l
2.1 端点固定的情况




( d6 Y& W5 r7 H1 T2.2 最简泛函的几种特殊情形
7 H( Z! D6 J3 K! H# O% z4 \

; _' s( _; F+ o, ~- l; t
! X& E# X" d4 I' [- \% [

例 1 (最速降线问题)  
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。

; z$ g0 H2 d/ b
6 B1 f4 W0 o9 ?* S+ s: I6 O5 X/ m; `

' U0 o* S, }2 o9 X- Y
8 n  V5 n' K- t% N2 _8 ]例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程
2 D' b% k! C: H  i  }% J. o

0 U% P+ ~8 c1 j, y" m1 [. a1 _
+ n2 ~* k6 c' p! p2.3 最简泛函的推广
' j3 P1 K6 h$ n  @2 U; ?最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。

（ⅰ）含多个函数的泛函
" m" Q* ^' h5 N  b& B1 I% Y


$ f6 c' p8 Z5 z; |8 ~（ii）含高阶导数的泛函


1 k( O: E7 c, I
（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程



0 |# t- I, f& [! I* T0 o9 _2.4 端点变动的情况（横截条件）
  a, B" R. {# V
# V2 X1 T% w# s2 l: E2 _6 r
+ ^2 p4 \+ Z: S' ?& {7 _

横截条件有两种常见的特殊情况：

7 o* r! @8 G5 Q. ]4 j% L7 S0 a
5 i. ^; n+ B) Y% L
注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
2 I3 g3 c4 I& k7 \
, G1 ^/ U+ K, @3 e5 P$ }, d; s8 \: y* F 3 有约束条件的泛函极值
在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统
% g  F3 Q0 J1 l# i3 T) H% h* g
, A# V7 ~/ N/ o. H$ W


. a. K) d+ x2 l; l0 M+ O

  i1 @  U) ?) u% d# w1 I, ]  b
7 E6 l1 {9 Y$ l, t: M5 l- Z3 d
/ g. z: e# X7 T$ L- `/ s; ~( }
% j' r  G! @: b, m; a& I/ B  B8 Q4 最大（小）值原理

3 q! t8 r/ w# V. C7 ^
* @. {. X( O( ^4 f7 i' T( Q8 {3 j
% _& H6 o! F$ X3 ]! e0 b- i————————————————
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2 n( A% N/ ~) E