动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
- B5 P: S9 ~! Z3 o$ E; s7 B
. R$ C0 h9 W( j$ H变分法简介

变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。

1 变分法的基本概念
* R+ d* B1 F0 D" i1.1 泛函
$ @% i6 x# ?( c  k3 l$ D4 M1 f
+ X/ j+ W; F5 b$ d- l' X+ L: }, x
# z) h& O' D' j
# V+ ^" U! Q- L& W2 z3 D 1.2 泛函的极值
1 o/ u) C- z, k5 w& t5 S; E6 y9 S

5 X/ w  Z5 n/ G7 O
# |0 x7 P4 Y5 c) y4 Z, L/ N. r1.3 泛函的变分


; X$ d- o! z9 _* I( E* C* ]" _

1.4 极值与变分
利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：
. ~! E6 n# g0 V: A/ w, R# ]

% Z8 ]! y, ^6 _+ _1 p
% ~3 i4 y# W# M7 N4 Q1.5. 变分法的基本引理
5 D1 R7 L4 W. \0 L) Y( b


! O9 L9 \# G* s% |$ ?% i* [2 无约束条件的泛函极值
* W1 d# d5 L, g9 [( {
) R0 _8 H0 p& [: d" z0 R2 j
. q( `) v7 ?9 y2 o- T
2 m# L2 K3 e* J% l2 j2.1 端点固定的情况
) @5 r: R+ Z  A
# K) W1 x9 X! {


2.2 最简泛函的几种特殊情形

! S0 Y$ j$ ?  B9 V; |1 M
* S" |7 R0 q- Z4 X# R: z) l

8 v( M1 _7 D* C* D# n* e
例 1 (最速降线问题)  
( M8 I  S& F/ C  f, b; ^) A最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。
) _4 f% {/ w1 q3 g: p( Z

+ ^- D2 S3 l- N& ?2 M9 Z! w
" D9 [6 T9 F3 A* q0 H9 Q

( w' N- q/ Z) b# ~5 y例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程
; ^- z7 Y- H6 y+ S& c

. O9 T* y' M2 w2 t3 w0 L5 l
2.3 最简泛函的推广
8 f( L2 R% z6 y7 {/ [3 u最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。

（ⅰ）含多个函数的泛函



! x) g) s4 ]5 v3 z8 U7 k& U" Y（ii）含高阶导数的泛函
; G9 q: D) u; C7 ~& ?) u


（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程
# d6 l: \  d) R* O* l, Y
' v/ j7 s2 }9 ?/ b

2.4 端点变动的情况（横截条件）



  m4 g& u/ n5 J. N
横截条件有两种常见的特殊情况：
, v  O' U# Q, N* R+ W. g
' Z1 C( L" I# x4 m2 D/ P4 ~- m1 u
* u, d0 E+ @- o. ~
注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。

4 G- s/ W9 u" q7 N/ ] 3 有约束条件的泛函极值
在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统

; R# s1 H3 w- l" b1 Q% p
1 ^3 h& ~  F; `: K# E4 ~

3 D. e9 Q3 L  A4 _  ~( i

) u: `2 H3 I6 ^7 k) I( B4 w( i+ A1 R

5 N% y( o+ Y9 B. V# S+ d1 f1 [+ ?2 L
4 最大（小）值原理

1 J3 ?, B' S. y* k: T
3 N! U0 L3 \8 e  ~- D8 S7 M
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9 \2 D8 I* C2 _% N4 O* @
' g5 S' Z1 C# t3 F