动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。

变分法简介

/ \) x0 [' m4 b6 C" x  Z变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。
+ b+ `& ?3 E( d3 F
1 变分法的基本概念
1.1 泛函

! r& F! h+ g1 r& i8 \- u
8 n( @7 L3 ~5 S+ B9 C3 S( a
; u0 t% J6 x1 t: G- @ 1.2 泛函的极值
' a4 I' u- J  g
5 f/ ?+ ~9 ^8 [& `( a9 g6 O

1.3 泛函的变分
, `2 w1 q1 ?" @0 ]' Y- y" E


1 _, j6 R! O6 q" k, a: o; _
0 m# u  S7 d' |7 K; ?9 U$ u# Q1.4 极值与变分
0 \4 W4 T) j9 t" [" g2 h利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：

+ p+ o7 Y2 ?( a

1.5. 变分法的基本引理



2 无约束条件的泛函极值
* ~5 g2 \, D. n# L


( K, q3 _! m* L9 I3 ^1 q2.1 端点固定的情况
3 J4 l. y5 C' C; W# u& s* t: M
# Y5 A8 j1 k1 D7 u; s% F$ u


2.2 最简泛函的几种特殊情形


# ]" K/ \( I' c

4 {4 s% S" R4 M
例 1 (最速降线问题)  
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。



2 p; J& U" e7 I2 L4 f

例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程


0 N, A8 r# q& D# ]7 u8 Y
2.3 最简泛函的推广
最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。

（ⅰ）含多个函数的泛函
+ q# F; {% e8 a; d6 _& I6 g* i1 e
3 v- ?* Z$ }3 o0 w- K$ _9 V& }

" E) Q" o$ h0 d4 ^! }, I  U1 U（ii）含高阶导数的泛函
9 b, n2 |1 q+ \& I9 d, ]4 g
4 s: M6 i/ @) J  {+ H& x
6 I8 S1 u0 }) r% {2 G9 n
（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程
5 P7 C  w# h8 x9 h1 `" o
9 _+ X2 o9 c  v/ Q+ Y  ^3 ?
* R' _$ K8 u0 i8 o5 Z
2.4 端点变动的情况（横截条件）
- G  ^, l  Z+ k% D! a
/ e3 n1 ~& L' M
, b+ L; G" w, x: Z

7 L  |2 [( j* w( O; A横截条件有两种常见的特殊情况：
( a; \" i5 L5 s, {7 p

2 n  F8 j' `: s# M- `
注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
. t) ~. ^( K/ d( g
$ K  m, c$ e& c 3 有约束条件的泛函极值
在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统



, M2 m: O) C0 f# B& K
+ K0 R% g1 C. }% c" O3 X% \9 M, d7 g




4 最大（小）值原理



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