动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。

变分法简介
2 ^0 ^, ^% I# g- o4 Y/ B0 p
, o: K3 j" |4 k4 W, h# h6 p( a变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。

. L2 |  v/ r; ?" ~+ G* f2 a( v1 变分法的基本概念
8 w* ]7 Y) h/ h1.1 泛函
- F* U- k! v8 M; _
0 w- q) d4 Z: H# A# N
  H% Y3 F+ v# j# r: H! X5 L
2 h  Q, Z7 X! d+ J$ Y" e4 a9 |  o
1.2 泛函的极值
6 H5 i3 C6 m7 P5 z$ Z) s7 R
6 P% i2 ]' d+ ~/ W+ s( S& j: Q- q
% `1 d* g1 `. Y: v. q) r4 t6 |
% f* \/ z6 v# p6 d  E1.3 泛函的变分
$ L2 f" Z7 m9 X4 e6 @6 K1 ^

+ U! O2 v& h! O5 G6 Q+ w
! R3 T) }# C  J1 S; r
# q- v+ @, O: a! G4 q
( m! v' o, j2 h. a. l( F. U+ J1.4 极值与变分
利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：

2 o+ R( ^5 {) U5 R, F. }( q/ }4 n
* b& ~! Q( P1 V. Q9 e5 \
) }8 z2 n7 h6 P# H8 b1.5. 变分法的基本引理

3 I' e. y* Z/ Z" F* w4 z; y
. l4 S/ [2 A! |* }: A! {6 k
2 无约束条件的泛函极值

9 ]$ P2 L* B* H" Z! s

2.1 端点固定的情况
- z* L/ ^' X4 W6 o* N4 \


, t* J( R! b+ [  J- R: B
* I& e! x* ~" b) y, G/ {/ y2.2 最简泛函的几种特殊情形



  k4 f# B5 J3 t7 M. G% r
# b* a, R- {$ e例 1 (最速降线问题)  
# r5 p) f% ^6 `& R9 e$ d/ p最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。
% F6 R. P$ c  n5 p5 T
  d# J0 m' t8 ^
1 e% T( x1 e9 i
7 p3 Q9 O- M# H

% ]2 {7 q8 v$ X% m/ ]1 E例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程
& l5 ~( J- a5 m

; F1 d9 ^( F$ R" K/ {. p- g
7 r+ _* z: W) q$ o2.3 最简泛函的推广
# g4 E& A/ F+ ]  K' a  q最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。
# O+ f/ U2 W' B& b, P" _$ E
（ⅰ）含多个函数的泛函
6 ^; ^# V- {8 H1 j8 B  f: @

, X6 a; V9 ?7 b6 y
（ii）含高阶导数的泛函
+ R& z- [' T" u! L6 r) t9 r9 _


4 S( N- S4 C- O( L. Q（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程
" {" g8 \/ X9 A8 e; W4 Q


2.4 端点变动的情况（横截条件）


) p1 P2 O+ o0 Y

横截条件有两种常见的特殊情况：

2 h5 Y5 `2 b. e8 X
3 i1 ]) m6 P6 M+ U# Q; e$ ?
1 [( U: a1 k8 X* M& Y, J+ q5 u5 T注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
$ z$ p: V) z* {  ~" b
7 C8 u5 E; e9 M 3 有约束条件的泛函极值
5 A+ L1 A0 x4 d9 [在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统
5 i9 M" D, G& i7 {7 P; o# j


" ?5 E$ Y) ^. k# _6 i$ U; C7 o% d





4 最大（小）值原理



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