动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。

变分法简介
( z3 y, y5 D0 J) L
变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。

# \: u. s" H- T& m: k) S+ V9 L1 变分法的基本概念
1.1 泛函



& c, a+ f8 k) a$ g
1.2 泛函的极值



1.3 泛函的变分
; W8 B. q4 m- D9 u. c5 O1 V4 _
' T4 a0 H8 P( ^/ T% j
: g+ h  Y( t* Y" a6 B9 |* F" }


, o! ^1 f& k' h* V* F8 ]1.4 极值与变分
/ w0 v) y$ a/ O- c1 D2 D利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：
* G- E0 R/ I6 S: }


8 Y# n9 T: m  V+ Z1.5. 变分法的基本引理
% B- ^' ^; a; i& F4 N( S

; W1 J+ k8 f6 Q$ ?0 L4 Z4 n
6 a3 I) ~) {  T' N+ p7 x8 j0 Z2 无约束条件的泛函极值
; d: ]8 B- E% M& v0 e
! O$ n) |) }& D6 M% m" O0 ?, [) Z

  K3 b" B4 H4 B( p  m- _  D+ ^2.1 端点固定的情况


( e! V8 v7 x! q( ?

4 d5 n- g  Q! y2.2 最简泛函的几种特殊情形
* x/ _+ T& b6 R
9 }% I6 @8 r$ ^* Y. o

- r8 D. x- t! Y4 f, R; M$ }
  T7 x  m* u5 W3 [8 M例 1 (最速降线问题)  
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。
1 h2 x+ D. E7 G, G4 w  x' E& q6 n1 D
* {$ E% m% w- H5 E

; c7 H; _$ ~, `* K
8 ?9 a7 g) }% u& f- ], w" v$ q
例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程
9 u) x! a. l& N3 b6 D) f

( Z+ W+ f1 a( D- N5 x
2.3 最简泛函的推广
最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。
" x8 i( F! c5 }( p9 y  b
0 |7 o! T; Z. O0 e9 `（ⅰ）含多个函数的泛函


6 @4 W3 f4 w; M6 ~5 Y
（ii）含高阶导数的泛函
7 r( J8 G* q$ g
9 Y1 H) R- o. t9 s. `1 c) g) f3 s# j. {
/ R1 a0 X- Q' l3 g  H9 D
% Y9 E* A& F6 f- B6 A* c* w+ S（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程

6 D5 Q; r4 W7 H4 a* N  N: B' X
$ K- n2 D& e6 N+ L' X4 L
% s( y0 b0 A. A( _, n9 i6 k2.4 端点变动的情况（横截条件）
. S1 e! j' y1 H( K3 S/ d7 H; q  i
" J: C$ {: Z+ |* |8 V& y
5 C( X6 R! G7 _+ c0 N$ l9 a) b% Z

横截条件有两种常见的特殊情况：


/ p; C' b' U9 V. c' I& h5 m# k
$ y" t4 F; O3 Y. ]7 C注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。

3 有约束条件的泛函极值
) X  `* p! ?, T9 H; @$ j, l8 {在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统




! j4 R- S. l# M" U6 @# s
" I. S* v0 M. h$ F' t5 _4 r
6 ~3 [. q5 Y; x
8 Z" F5 I7 T# u. B. R
, ~% n# g$ G/ @" {' d+ s
4 最大（小）值原理

" Q# V% _. L5 b8 a
: s; C+ }5 k) [) l1 D0 L" i, t
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