动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
7 J! {( Y% b3 x
+ ~' s( C+ [5 O" Z* M变分法简介

变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。
( j! u5 c4 G6 _1 |3 k9 P9 P- R# O
! p: Q) g7 ]/ i0 x6 f7 M1 变分法的基本概念
1.1 泛函
; ]4 p+ H; K. }6 j. Q


/ J8 v: x5 r1 H" g% S2 y
( D/ f. y/ h- e7 a, X) @ 1.2 泛函的极值



% \( z* w9 f% i1.3 泛函的变分


8 x2 ^3 H5 i8 A/ I. _2 U  i2 s


1.4 极值与变分
8 c7 M2 U& @' J) V2 b6 P利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：


3 p$ D: @$ D8 n- h4 l% F' j+ A
1.5. 变分法的基本引理
0 ?7 O, o! k' h6 u6 k6 q, H
7 j9 b+ D0 N$ N$ r) V

2 K/ L8 \; H; v, ?/ x2 无约束条件的泛函极值

; u6 Q+ H! W  ]2 r7 D3 t. Q( I
4 z7 ^# p* \6 X# w) B
% L3 ?' v7 k0 f  R2 s4 d2.1 端点固定的情况
/ o; M0 S7 s% U5 h( P( D5 P
) Z% c$ p4 l; d& g) |' _1 H- j, i


2.2 最简泛函的几种特殊情形
5 t; s, L3 l  R" x' g) v8 h* K% U/ Q
3 Q0 c; u( }, T5 [: z2 l
- g' F, p# E6 S1 v+ u5 C- ]% _

6 h- S* f% x- f/ g0 V; ~5 [0 P例 1 (最速降线问题)  
4 L* z) J' E' {9 l1 v" `最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。

2 Z/ j; n* Q; K& z
7 y" D6 e# o4 Q0 m( L, b4 W: x- w

& W  l8 {* [! A; m
8 [9 e" r) L8 Y& ~6 T例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程
# c3 R) \3 N0 l
' r2 B, i: h0 x* l' a3 F0 Q
. V3 m6 x9 I6 u& S
5 N  q$ j" [% y7 C( K, a# T2.3 最简泛函的推广
$ Y4 q7 S% R7 \: F. i4 K最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。
4 _$ K9 {8 s9 Y/ C% J2 C5 p* L
（ⅰ）含多个函数的泛函
6 w% M- O; T( e5 B) T4 @8 _: m. A/ H

6 {) p8 F# G3 r/ q" L& C
（ii）含高阶导数的泛函

! u$ Z& i$ Y% J2 B& a! a6 F

! ^1 n" T! f7 X8 k（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程
% g7 ]) r! Q( k  h  N- m! n


2.4 端点变动的情况（横截条件）

" ]- h4 `% _4 D  a
9 `8 ^% h2 D. \. {

  ]  h5 F$ q3 \% z横截条件有两种常见的特殊情况：

+ D1 i8 G6 L, s0 F3 l

注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
( R  D) e) X" \3 t2 O! F
3 有约束条件的泛函极值
$ g3 B2 D0 y8 K; V( r在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统

/ I% H1 E1 O; J# L" z% o0 t


9 S8 q! ?9 `( C$ U  `- H



0 G8 }: a$ z% q/ ~0 O2 H$ ?0 q! ^
1 d' C4 o5 K- m1 W+ c" d- O/ |4 最大（小）值原理


2 _( U2 e8 j  @( X
! W! @1 r- d& f% s+ v. f————————————————
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