动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。

变分法简介

! c: k/ N. n( A$ E, l& B变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。
7 i! Y  [6 M8 ^; r) n
% s% L: D( @9 n; U0 A9 V3 y1 变分法的基本概念
: F2 ~" X* h! R1.1 泛函
* s5 ]8 R- O2 S) T) B
+ Y5 S1 K. \, @

& b# u& b9 Q  S9 W6 \6 {  w0 Y6 ~* I! Z
$ u! b1 N7 f4 k; ~4 h" x& N) m, J# w 1.2 泛函的极值
- T4 Y0 o: b& K% L$ t5 R7 ?
, p! Q9 c$ k; t* u( L

4 a! q( e) d5 M7 M1.3 泛函的变分
7 a& u# q$ [% a# R
* Q( O" y" u: a$ V( F
* N4 r5 n) z1 S


1.4 极值与变分
利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：

9 g' N& F, T' Y( D6 n

1.5. 变分法的基本引理
2 I1 e" _) ]2 B, }$ P1 G: d" q# R8 K


2 无约束条件的泛函极值
+ }; @4 m; R! y) c


2 N5 x# Y# z' M- Q- M  x2.1 端点固定的情况


" ]8 t9 ]4 z# w
8 A: J$ ?7 u* X3 l0 U/ C- D" p! d
2.2 最简泛函的几种特殊情形
9 z. O- y3 u4 a' L
  A6 e9 S+ n- }8 D6 @( D

, g6 m7 D1 @4 `9 p# B
9 j3 p; \7 l2 b) y4 f例 1 (最速降线问题)  
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。
+ Z3 y0 G1 o; N1 y; _" `+ E( `



9 k3 U$ A  p* Y0 ^3 a& ~8 e; D; C' R
- _' l, a: t" \3 p, @2 l例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程
. q( U: i6 q- Q" \- j& g, ]) ^
7 D# r& r8 ^  `* S* w4 t

2.3 最简泛函的推广
/ a" N" o7 S  U) p: E" ^$ ]最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。

（ⅰ）含多个函数的泛函



（ii）含高阶导数的泛函
* N! C) J2 ]& Y; l' e/ ?' n0 I

( A+ a7 I, C* I* H$ Y8 X2 [
（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程
) l* Q4 s# D6 q( P- a

0 k( H, I! j3 E2 ^. [
2.4 端点变动的情况（横截条件）



. F1 D  y  v: X. N; D
横截条件有两种常见的特殊情况：
8 H$ g7 ?3 {! v& }" P


" j- j9 ^- [: `8 N; l注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
! z4 \7 I' ]! R( l4 F
3 有约束条件的泛函极值
在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统
5 i0 h% S' z) R2 C; q/ Q
1 W6 {+ d! o: r" o( k, f7 C% ~



4 A. p: e  U% u3 o

4 }' U! W+ n: s6 B2 I8 `

4 最大（小）值原理
: Q# n' L5 U7 t; n
4 l; p) q+ g9 ]

* D9 d( C4 Q7 _* @————————————————
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* `# Z$ V+ }6 T  I, H# D
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