动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。

变分法简介
2 p  W9 B) k9 ]( @! V* b3 n4 I
变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。
8 V) o: a( Q1 U. b9 L- _/ i1 ^7 Y! j
1 变分法的基本概念
/ M# k* A4 N  s4 A5 g* [1.1 泛函
0 }8 G9 s4 w8 _% ^1 B+ x! i
" j0 N6 i1 p( h7 j! L

) V4 ^7 g. l2 i( P1 M! |
1.2 泛函的极值
+ K* |( R: `  h+ w$ g


1.3 泛函的变分
5 [2 q. _' v! j. ^
& v4 a. ~9 T6 l% F# H% t
/ V7 ~" e' n4 |# K  x$ ?  D


- _2 e) n' l( h7 V1 K. v1.4 极值与变分
利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：
4 G5 }$ B$ N1 k( m% W9 v
2 _: m- D$ w5 p& c% b
. I, B/ H. v2 u( k
1.5. 变分法的基本引理
( t3 S" Y8 T% U+ `$ z# D8 y1 q


& X8 g4 \8 D6 n" [3 t* V* U& q' R8 i9 _2 无约束条件的泛函极值
+ p) w: o( @- t1 ^, f
+ M! e" z- j- N8 H! l3 z. }# z
* L1 a7 F9 y# U
6 W8 @) f% u) a4 [. N# o2.1 端点固定的情况

( s9 K' `' F, G4 p

7 F2 m. ]" C* J/ V6 |% C( K: e
* Z8 z9 I% I# D; T7 R' }, [2.2 最简泛函的几种特殊情形
5 [! N% o5 V' x1 K+ ?4 L
0 l0 t; Q' M# y6 x, u$ u1 L
! n5 c8 Q, D9 d. F+ q

例 1 (最速降线问题)  
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。

2 Q3 k  k6 i9 v# n( Y



- Z3 l, x4 U* f  U7 M; w例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程

7 J+ y- w2 e# I) q
) |  g, e# i0 w  m
" Q( p% T4 b1 O0 [, C2.3 最简泛函的推广
最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。

2 e" W' f$ R+ r; a（ⅰ）含多个函数的泛函



/ D3 t2 c0 {# m$ w3 x（ii）含高阶导数的泛函
. I8 h  ~# L9 ~* f- r7 @6 [
# K2 E& s! o& e# _
: y0 e; k3 i2 L) ^* F
+ A$ V% u) `2 `# P1 ~) L; ]（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程
" S- [/ ?7 m9 e7 Z; D
6 l8 t) v2 {% |8 ?" @
1 O4 U, }. ]( Y! ~! B% D! B0 ^
6 {8 v' i. `1 J3 H8 p1 E1 {7 \2.4 端点变动的情况（横截条件）

% {% M4 e$ R* P0 P* Q

6 x* I- l( ~" D, w( ~. L: I. A
9 [8 ~5 D% H/ c# y/ w% X( u横截条件有两种常见的特殊情况：


- l. ]$ i" |; r1 J' S8 k# q
注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
# T$ ]! h- w7 w5 Z) b; R  U
) c  f2 k5 N2 h* q! |# K( h 3 有约束条件的泛函极值
在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统


5 J1 C7 \5 d2 e6 w
6 R2 C3 f2 r3 c2 P
. b6 R+ S6 w" s6 S! l. u



* K  O2 m4 G6 u& g2 |) J3 w
4 最大（小）值原理

1 f0 Y# `- g) K2 ?

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0 b& X# N4 M5 O2 ~2 |

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