动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
1 b/ I4 n) n: k
. @4 }5 Z; p# f$ t5 w! l, s2 i# m. i变分法简介
5 r1 }* Z6 c+ V/ T9 L8 _2 _/ }# W
! _3 c* J! g$ T变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。
9 N  u7 D) s' p! B  M3 w& j# F; R, @/ C
1 变分法的基本概念
1.1 泛函
% d9 Y4 j" K6 f! Q# t+ t( W4 V
  Y8 ?! s. U# O& ~$ u
4 t: D5 S7 U. j0 s7 r/ x" G. ^7 A
. C5 A  J" I- h6 y  f# z/ S6 e
+ o$ j, J5 p1 t$ U( {( }5 z6 ^8 V 1.2 泛函的极值


3 y0 [9 F2 \' t0 r+ ]2 x3 u
% w+ y8 ]4 q( {: O, k1.3 泛函的变分
+ U! }* s& ?7 E# [: i

9 B: [% p) S7 A: W

0 f/ S2 [3 \. `5 H# A
1 L7 L$ E8 L# |; M, O' J/ F9 R1.4 极值与变分
利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：


# N) R' J8 H8 s. ]/ o3 w, p
, d. S6 n* I7 |6 g! s! ^1.5. 变分法的基本引理
0 s( q4 r! z- H8 G! V, n  n* |! R
" A3 ]0 z3 `0 z5 d: n

2 无约束条件的泛函极值



2.1 端点固定的情况
7 E  M2 f) h' m& u: C; h
) Y6 N# R7 S9 Q- F% e" U& d3 q( M

* f6 A) B7 f+ q
/ M! m) L' W3 h  ~6 s" ?: N2.2 最简泛函的几种特殊情形
0 G% B' r5 W% o% m& K$ s+ O
, y/ f( `' s! }
# B9 y5 W- l* k( ~; d# w! L% G/ S9 E

例 1 (最速降线问题)  
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。

# u; c# [* g$ y; u$ Z/ O
5 t; j4 J! [. R. a+ W
% F! h, g& C$ s& Y! ]" w9 ?7 w
  W- x3 Y0 c# ]+ Y+ n* @
例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程

1 S: P2 |& Q7 Y
: S. X0 ~( E! k) N* R
2.3 最简泛函的推广
+ S% X- ], Z8 P/ E( C/ S最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。

9 o" h% h! @5 x4 F8 T; y7 e7 j+ I（ⅰ）含多个函数的泛函
! l% O( Q& l+ w6 t& h

1 D2 h  @9 I9 q- [# E4 b. c  R
（ii）含高阶导数的泛函

2 o: N  O& {8 h8 m

* G3 e* q% C* M* n* H% T+ V5 A9 w（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程



2.4 端点变动的情况（横截条件）
; c: s% O2 ?: j% d  H/ L& y' O. E

& N+ K* k. D( s- s# x

* x6 a: @" @: W* ~横截条件有两种常见的特殊情况：
& h  l  Q$ p" i* s

; ]8 ?6 E. P" G/ Z6 N! v
' ?/ u) I$ M* z注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。

3 有约束条件的泛函极值
' k6 |' W. S  P' V% D在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统

$ L  e) d" O9 m2 S: s


- O, c6 s  a2 C( Q; `. h

/ o" U9 A+ b. i/ T  h* D0 a
+ x9 E3 N! m( z) ^# `1 X9 i! g5 D

7 I+ o/ U: \' K3 ~, \4 最大（小）值原理
# W. G' e, }: L5 P/ W2 x


' i8 g. \4 ]# j* W————————————————
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' v. b+ A- i6 x# c, m7 b
/ K/ L+ l' m  G6 |" R- L5 T6 q  `
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