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TA的每日心情 | 开心 2020-11-14 17:15 |
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签到天数: 74 天 [LV.6]常住居民II
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动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题,这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时,问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
8 m% T N7 J; K! ^6 v) j# c4 m& `1 ?4 k d- G* J$ B' Z
变分法简介
/ S% G" C: p* ^/ Z1 R1 A* ~( S- P2 {% U7 c7 B
变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法,有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果,然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。9 D9 ?1 Z) X2 s4 y/ y3 ~5 h
+ ~7 P6 L% {) H& ]1 变分法的基本概念; U& a9 U, ] a9 O- w
1.1 泛函
" W ~5 @, y7 H6 ^; |) ~
# q; B1 g2 K+ }7 D 7 F! k! V6 v" \) s, x: P" f
8 B1 @" |& m3 g2 ?; k4 h6 l
: |8 y1 m( m) e0 d
1.2 泛函的极值
4 L, D* {1 j& j4 p) X' c* S3 n$ J# L
& ~ z* H& M) O& k1 r1 A0 U, w
/ v- V9 f5 a& `, N' y! \1.3 泛函的变分
8 n" m: Z' E' @! l1 m6 Z
' d! r, T) H: S0 r& ~ 8 v& B9 M9 J2 E/ r; E5 p
( k# J) ~' F/ p/ r![]()
+ {' X5 T5 H: D8 I6 a
I5 K" F* G) I" M2 @1.4 极值与变分
" a0 w: s) |1 |; ?% f& o利用变分的表达式(4)可以得到泛函极值与变分的关系:
2 Z; \; z' v$ T2 ~" t8 O; u' ^( z) Q! v
3 g v$ j4 e; q7 r
; O& j1 |/ R. O, m# l6 | D
1.5. 变分法的基本引理5 _9 a, k# o: z- K# C
1 _. ~" c) K t. b( M0 ~: `
![]()
4 F$ b6 Y8 ?5 C% w {2 b" p2 g3 o2 ?* I& {5 \8 U
2 无约束条件的泛函极值6 |$ I0 T1 ]# W0 b& ]+ \
: e, s; ?" ?8 X8 Q0 x![]()
- |: P1 Y7 h' a2 w! R6 T. \9 _$ Q1 c; `. n8 }! A2 \
2.1 端点固定的情况
# Q6 R) y" b- y5 u. A- j6 s9 f7 V0 W3 |! } _4 ]+ N& n
![]()
8 n4 r- L+ S. [: `: Z* d8 x: G1 k
6 L8 h6 E9 R: A/ H( P
& o, a3 h# w, E$ d2.2 最简泛函的几种特殊情形
5 F" D" C/ w. ~2 [3 s+ L" }
' u/ d* W5 D" x* U4 I9 a![]()
! @6 |4 J6 w1 P+ l
. _, p* p! K9 l6 ^" v5 e N1 G![]()
' V. D- @* _0 L$ |5 g/ \: s例 1 (最速降线问题)
1 |4 Z( _1 Q, X' {. x/ `9 P最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里(J. Bernoulli)于 1696 年提出的。问题的提法是这样的:设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点,在所有连结 A 和 B 的平面曲线中,求一曲线,当 质点仅受重力作用,且初速为零,沿此曲线从 A 滑行至 B 时,使所需时间最短。( K7 \$ M7 d. g: m( _0 s& v$ d
$ z# @! j, R/ f2 f2 j3 O8 w. v t) X A
![]() ' z+ c5 V0 o1 f/ T/ }2 o
) {# W$ u4 j& g' u! Y% V% ]4 \
* E/ l3 d2 A, Y3 x6 `$ g例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程, G* T0 j8 I( ?6 d( m" S
0 e7 `% j* T/ `7 H5 a5 `4 ]. C
1 Q7 i- Q! T& C
% u f. J3 A: s n& e! R2.3 最简泛函的推广
3 i5 G7 B- C+ S8 E" x: u最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。
, p/ j% j% G L- T. G4 m0 A G9 {$ o# C5 l! t
(ⅰ)含多个函数的泛函1 d( v' _) I. a1 _$ `. E, z& A. t
5 v+ X- X$ B ]. s% K0 Q9 G
![]()
4 g, i+ g4 o% A! A
: y1 j n" p; N. |- A% L(ii)含高阶导数的泛函5 D& Z( o) q+ X" ~
; x5 u6 w7 p7 ?; }' I2 ?9 o( }
![]()
3 i* r$ {4 R' N8 {" q& G. j" C& b
(iii) 含多元函数的泛函、奥式方程
/ }4 e: ^6 E/ q' \7 l( a' P) K( Q3 D& Q: M$ s9 O
![]()
3 }0 z2 T7 O2 Q: F2 K7 v# l6 t# j5 E1 H; c& s b: d: s
2.4 端点变动的情况(横截条件)
, C: v1 d5 \4 G9 \3 S9 r8 o* r9 U7 E" E
![]()
1 Z+ X# N7 V. J5 E& e0 j/ A% C( x; T+ \- O" g/ ~$ P! K
6 q9 C, t& |% |, \6 A/ O9 ?
横截条件有两种常见的特殊情况:( g4 o4 A" x4 f3 r
3 Q0 F! t) ]0 [) @" g2 A
: I. L$ o" M) X L0 ]- }: b+ b
1 W& Y Y8 B0 L9 a
注意,横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
! k, U, h8 _- [+ T2 c! t; n9 B% y3 C6 i: [% w/ W- w
3 有约束条件的泛函极值
b3 b; q5 a+ p$ T! ^在最优控制系统中,常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题,其典型形式是对动态系统
$ A; a2 n, T8 T Z4 y
" r2 u6 @3 J" K6 u# D " K+ a3 m' j" @
" Y0 R. q: N/ j. w8 z( Y, M4 Y
# B, \; U/ t- x
?) c3 m6 @& J$ L9 T% v
/ ~* m; F. \( }1 d
![]()
, K7 r) m+ e& j' M4 h% W% E8 i0 g2 N/ E4 I$ C
: S" E( D8 p) ?. |4 最大(小)值原理
( m0 I- b, {9 B; G" D; J' t) ]
1 h w5 w8 R9 W- H0 X" _![]()
! w+ n k5 c, z# h" D9 v% v7 f8 \: H9 z( ^6 Z) ?6 h3 g
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/ J: f5 ]; s) s: q' ^3 W3 `
+ g; R6 G( V6 L+ v* F6 L6 d3 R |
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