动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
8 m% T  N7 J; K! ^6 v) j# c4 m& `
变分法简介
/ S% G" C: p* ^/ Z1 R
变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。

+ ~7 P6 L% {) H& ]1 变分法的基本概念
1.1 泛函
" W  ~5 @, y7 H6 ^; |) ~
# q; B1 g2 K+ }7 D


1.2 泛函的极值
4 L, D* {1 j& j4 p) X


/ v- V9 f5 a& `, N' y! \1.3 泛函的变分
8 n" m: Z' E' @! l1 m6 Z
' d! r, T) H: S0 r& ~

( k# J) ~' F/ p/ r
+ {' X5 T5 H: D8 I6 a
  I5 K" F* G) I" M2 @1.4 极值与变分
" a0 w: s) |1 |; ?% f& o利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：
2 Z; \; z' v$ T2 ~" t


1.5. 变分法的基本引理


4 F$ b6 Y8 ?5 C% w  {2 b" p
2 无约束条件的泛函极值

: e, s; ?" ?8 X8 Q0 x
- |: P1 Y7 h' a2 w! R6 T. \
2.1 端点固定的情况
# Q6 R) y" b- y5 u. A- j

8 n4 r- L+ S. [: `: Z* d8 x: G1 k
6 L8 h6 E9 R: A/ H( P
& o, a3 h# w, E$ d2.2 最简泛函的几种特殊情形
5 F" D" C/ w. ~2 [3 s+ L" }
' u/ d* W5 D" x* U4 I9 a
! @6 |4 J6 w1 P+ l
. _, p* p! K9 l6 ^" v5 e  N1 G
' V. D- @* _0 L$ |5 g/ \: s例 1 (最速降线问题)  
1 |4 Z( _1 Q, X' {. x/ `9 P最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。

$ z# @! j, R/ f2 f


) {# W$ u4 j& g' u! Y% V% ]4 \
* E/ l3 d2 A, Y3 x6 `$ g例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程



% u  f. J3 A: s  n& e! R2.3 最简泛函的推广
3 i5 G7 B- C+ S8 E" x: u最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。
, p/ j% j% G  L- T
（ⅰ）含多个函数的泛函


4 g, i+ g4 o% A! A
: y1 j  n" p; N. |- A% L（ii）含高阶导数的泛函


3 i* r$ {4 R' N
（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程
/ }4 e: ^6 E/ q' \7 l

3 }0 z2 T7 O2 Q: F2 K7 v
2.4 端点变动的情况（横截条件）
, C: v1 d5 \4 G9 \3 S

1 Z+ X# N7 V. J5 E& e0 j/ A

横截条件有两种常见的特殊情况：



注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
! k, U, h8 _- [+ T2 c! t
3 有约束条件的泛函极值
  b3 b; q5 a+ p$ T! ^在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统
$ A; a2 n, T8 T  Z4 y
" r2 u6 @3 J" K6 u# D





, K7 r) m+ e& j' M4 h% W

: S" E( D8 p) ?. |4 最大（小）值原理
( m0 I- b, {9 B; G" D; J' t) ]
1 h  w5 w8 R9 W- H0 X" _
! w+ n  k5 c, z# h" D9 v% v7 f
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+ g; R6 G( V6 L+ v* F6 L6 d3 R