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TA的每日心情 | 开心 2020-11-14 17:15 |
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签到天数: 74 天 [LV.6]常住居民II
 群组: 2019美赛冲刺课程 群组: 站长地区赛培训 群组: 2019考研数学 桃子老师 群组: 2018教师培训(呼伦贝 群组: 2019考研数学 站长系列 |
动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题,这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时,问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。5 ~ o' f! S7 V ?" \
+ L: q. o7 Y. t6 j
变分法简介
2 p W9 B) k9 ]( @! V* b3 n4 I! Z: j [$ y6 D1 _/ _9 ~
变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法,有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果,然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。
8 V) o: a( Q1 U. b9 L- _/ i1 ^7 Y! j& _' E; d$ B7 t: G+ G6 W: Y
1 变分法的基本概念
/ M# k* A4 N s4 A5 g* [1.1 泛函
0 }8 G9 s4 w8 _% ^1 B+ x! i
" j0 N6 i1 p( h7 j! L 9 N4 s2 [. B' v
) V4 ^7 g. l2 i( P1 M! |! K/ b& O% P4 O
1.2 泛函的极值
+ K* |( R: ` h+ w$ g, @7 a: t4 u5 H$ d4 G2 V
2 X. r8 W) h. Z0 I" u6 d' u9 ]
, \. x) E+ b5 N# m' w
1.3 泛函的变分
5 [2 q. _' v! j. ^
& v4 a. ~9 T6 l% F# H% t![]()
/ V7 ~" e' n4 |# K x$ ? D( G, C" u6 {0 x* V- i4 F; n" n6 K* V
1 U) z) p9 A1 n, }. \
- _2 e) n' l( h7 V1 K. v1.4 极值与变分& R7 l l8 j" r& l# z5 S6 C
利用变分的表达式(4)可以得到泛函极值与变分的关系:
4 G5 }$ B$ N1 k( m% W9 v
2 _: m- D$ w5 p& c% b![]()
. I, B/ H. v2 u( k/ ~: z. A3 _6 v. y$ I
1.5. 变分法的基本引理
( t3 S" Y8 T% U+ `$ z# D8 y1 q+ n" J! Y( a8 L) d
2 k+ f; k; Y* k/ [- g
& X8 g4 \8 D6 n" [3 t* V* U& q' R8 i9 _2 无约束条件的泛函极值
+ p) w: o( @- t1 ^, f
+ M! e" z- j- N8 H! l3 z. }# z![]()
* L1 a7 F9 y# U
6 W8 @) f% u) a4 [. N# o2.1 端点固定的情况* u0 Q& l8 l( E9 s- K0 T, P
( s9 K' `' F, G4 p + F4 v1 h* s7 `$ ~$ R6 b/ K
7 F2 m. ]" C* J/ V6 |% C( K: e
* Z8 z9 I% I# D; T7 R' }, [2.2 最简泛函的几种特殊情形
5 [! N% o5 V' x1 K+ ?4 L
0 l0 t; Q' M# y6 x, u$ u1 L![]()
! n5 c8 Q, D9 d. F+ q0 N7 W. X3 t& l/ R" @
' o2 H" ?2 d6 V4 x$ Q
例 1 (最速降线问题) 0 {# S+ y: u" y) ]& L
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里(J. Bernoulli)于 1696 年提出的。问题的提法是这样的:设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点,在所有连结 A 和 B 的平面曲线中,求一曲线,当 质点仅受重力作用,且初速为零,沿此曲线从 A 滑行至 B 时,使所需时间最短。- _+ E+ }) h. T8 h2 y8 F
2 Q3 k k6 i9 v# n( Y" N |4 E1 q* r; L/ X. n
![]() 8 b% u* _( x0 ^3 j& w1 S( E
1 H& J6 Z% w1 ^- C) s6 r
- Z3 l, x4 U* f U7 M; w例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程( s4 z, R4 u- Y: I- |
7 J+ y- w2 e# I) q![]()
) | g, e# i0 w m
" Q( p% T4 b1 O0 [, C2.3 最简泛函的推广" G( D+ t1 K: N# F% U
最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。1 {% E F5 y7 l+ `' V3 W% v
2 e" W' f$ R+ r; a(ⅰ)含多个函数的泛函8 w- I& V" L' P# k. s
: m6 B9 a* @$ N+ r# @5 Y. O0 H
) `4 A9 Y, A) a2 D
/ D3 t2 c0 {# m$ w3 x(ii)含高阶导数的泛函
. I8 h ~# L9 ~* f- r7 @6 [
# K2 E& s! o& e# _![]()
: y0 e; k3 i2 L) ^* F
+ A$ V% u) `2 `# P1 ~) L; ](iii) 含多元函数的泛函、奥式方程
" S- [/ ?7 m9 e7 Z; D
6 l8 t) v2 {% |8 ?" @![]()
1 O4 U, }. ]( Y! ~! B% D! B0 ^
6 {8 v' i. `1 J3 H8 p1 E1 {7 \2.4 端点变动的情况(横截条件), ] `! g7 y3 p" G) L. h
% {% M4 e$ R* P0 P* Q ( i: Q; @6 j4 J0 l! ?
6 x* I- l( ~" D, w( ~. L: I. A![]()
9 [8 ~5 D% H/ c# y/ w% X( u横截条件有两种常见的特殊情况:' Y/ X! {9 G8 K9 w7 ~
$ Y) Q6 A0 x* j b1 }! m( u
![]()
- l. ]$ i" |; r1 J' S8 k# q/ y$ q! S& `; R e
注意,横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
# T$ ]! h- w7 w5 Z) b; R U
) c f2 k5 N2 h* q! |# K( h 3 有约束条件的泛函极值* Q3 r4 J+ w8 e) N0 {
在最优控制系统中,常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题,其典型形式是对动态系统. {7 I! t' p; V* a) T) i
( f; D1 P2 [5 o! X
![]()
5 J1 C7 \5 d2 e6 w
6 R2 C3 f2 r3 c2 P![]()
. b6 R+ S6 w" s6 S! l. u3 I( U! B- I6 m) N: d4 \: O
* l# a. ?3 Q8 p+ o
4 R$ u9 W& |. d% a) o/ y; C
* K O2 m4 G6 u& g2 |) J3 w$ W0 C5 y" f, G6 y- w
4 最大(小)值原理( I# L2 P( \9 C" ~* S
1 f0 Y# `- g) K2 ? ! m. b# I* D& R, b
* W0 a: L0 l9 [- ~
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