动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。

变分法简介
. f0 d6 P4 H' X+ l
% X5 ~" q# R4 N3 ?/ A变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。

1 变分法的基本概念
* {( N8 j" b8 d4 |* u+ `1 `) A, Z1.1 泛函




1.2 泛函的极值
; }, ?" J; M6 k( }- k7 j  u


& W) A) @/ U& \  y" [6 C1.3 泛函的变分


1 p7 `3 F2 Y# n4 n, @
. W# y7 ~" N" \! u1 [2 g9 r

1.4 极值与变分
3 J% c' R* p5 I& w' s利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：



1.5. 变分法的基本引理
# o, P7 J: i, M


# X2 Q) w! F- K3 C0 w$ Q. s; T2 无约束条件的泛函极值


8 l" O7 U+ ?" H+ K' o
2.1 端点固定的情况



3 i+ C. J& @: c$ I7 _
9 F4 v! \6 h; i+ d6 l. n2.2 最简泛函的几种特殊情形

5 a& h" q% v. M1 H

6 h2 C8 Q  o) R% v+ Z0 ~- z
7 b6 z6 P# H5 E% B) D, H5 @. A例 1 (最速降线问题)  
/ W$ F4 }6 Z; ]) R8 B最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。
% x3 V" g4 X( p3 Z* u7 v

6 Y; T* K" ?3 g) w
0 x# x; R, C, J# m4 X0 s
, [& X4 \0 _! K' l
' D/ x( T; M0 i5 a例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程

  h; ]9 l. h; _# P

2.3 最简泛函的推广
最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。
- z. m0 J0 v2 D! C  h! p0 u3 y' o
- z/ a) J0 z" O. r" p8 O（ⅰ）含多个函数的泛函
5 ^% ~' N1 Q( h4 f+ q# g
+ J7 h' E/ h/ m0 g  o5 b

3 N, @2 S4 E  W4 `# j: F" X（ii）含高阶导数的泛函


; |1 X: V! \/ T6 m4 ]8 o2 W( S  C. t
1 \, H; o- v2 f8 b（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程
0 v. U9 U! E: _3 P( r( q% t* s* \
3 B' H2 i/ W+ E& w5 C8 o; f

  ?; a6 g  G, z2.4 端点变动的情况（横截条件）
6 t7 J' V" Q3 m9 S

6 ]; M4 L) m, t6 q  h% ]

横截条件有两种常见的特殊情况：

9 ]% @/ Y9 h! a( h+ [  k

注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。

3 有约束条件的泛函极值
在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统
- e  [8 Z" Y, W) z7 Q( b/ I# n
7 I8 [2 Y/ c$ x3 x1 B. A% B; O
% J8 h* u# |& @9 D4 \

. R3 A4 L! y' \9 _. M  Q- O
! u2 o2 q$ |! M2 b% c6 G  \


* m2 Q. J  E# Z/ E  t
5 D8 @& Y0 t) @+ Q6 ?# m4 最大（小）值原理



. }; y$ E; P5 P% F. P) L————————————————
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