动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
. }) y+ X& J. q
2 @. q7 I7 c$ w( V6 w. v5 d变分法简介

变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。

6 C8 [3 c& {3 u/ C9 S1 变分法的基本概念
1.1 泛函
3 J0 p7 S) E( A* z

8 c8 P% h* Q5 Y" r! a" ]
. Z9 B" l1 ^  P) w
* }- h2 c# p8 T3 I' O" B5 i 1.2 泛函的极值

) y) ~2 f9 Q& m# E: ?6 G) u( z1 v

1.3 泛函的变分


: G  [( ~+ o( X- ^


1.4 极值与变分
) F0 }' e# v1 R: U利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：

3 Q# W$ P& \$ O' F9 a
) G' Q. Q7 k0 V9 ~: e
1.5. 变分法的基本引理


- _% l& I  f* L8 ~% J/ s; u
' ]: l0 \4 ?5 G2 无约束条件的泛函极值

& \7 p! \6 ?. j) w$ |
4 S" y7 H. t$ }1 [5 N
2.1 端点固定的情况

5 z" w7 u6 L' A* v' i; |4 t# U


0 g9 U" l, m/ A+ l+ ^2.2 最简泛函的几种特殊情形



8 l, z7 q* B- O  j7 b9 K) Q* Y. Y
例 1 (最速降线问题)  
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。


2 S0 X0 {) v. i& P8 ~* R  p; t

. y& J- }6 m9 `0 l" Y" m
例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程

" O. ?: \8 L9 ]: Q% g, {5 g' E
$ c) V# e+ t4 d. d
' S( {- L# m& I2.3 最简泛函的推广
最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。
/ H0 O8 |# n+ {6 _
（ⅰ）含多个函数的泛函

1 O( `7 j/ M* i! K) [: s" T
# S7 k, i$ q+ M$ s, u$ p  z1 S
（ii）含高阶导数的泛函
5 ~6 Q. W8 F: @1 l4 |# }. e
: b! n; s! V0 h5 ~( ]
& M7 o" `7 j! I8 ~$ K
（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程
7 p3 ]- B0 f0 r7 l) F9 Y

, `3 N" b( r3 ?7 t. F
2.4 端点变动的情况（横截条件）




横截条件有两种常见的特殊情况：



; N( z% d7 ]. `/ d; ]  x7 Y注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。

3 有约束条件的泛函极值
在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统
$ Q5 o; b2 o: H: P' E& O$ r: ^

! Q5 _+ h1 I2 }  `0 b& d
5 k* F5 Y3 @6 z, J
9 y" F+ M) G1 f7 H5 Y( O' T& _& g
7 {2 O9 u0 [( b


9 ]0 z7 e% s; c6 P! V" [) X4 J& H
4 最大（小）值原理


4 b% Y( p/ P+ X, _- H- Q5 N
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