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[建模教程] 动态优化模型/ 变分法:泛函、极值、变分

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    发表于 2020-6-13 09:50 |显示全部楼层
    |招呼Ta 关注Ta |邮箱已经成功绑定
    动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题,这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时,问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
    ( S* S! h( @9 |/ M* d: h/ M" `' U7 y
    变分法简介; |, z# k! M( U; f; l6 g8 `( A, r
    5 M8 r2 L% x1 B# v
    变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法,有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果,然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。  @0 s3 u. H. B' h8 e! y) a$ M

    , A  G1 g9 y7 u( C  U1 变分法的基本概念
    ( h8 r. I# E. k8 g3 K% l* O1.1 泛函
    . q5 ]. I  V, m2 a: `: Y1 d  v" ]; z

    " }6 `8 \2 b4 {' @! |
    " L) L* E% E  F% k- k0 T7 u/ _4 M, U" |7 L$ ?
    1.2 泛函的极值. I1 P3 g' s" B9 s2 @3 R

    9 c$ n3 L8 n) V4 D) {- c; N$ O% i8 {% i: b+ D8 I

      s# R1 z2 s! Y- D1.3 泛函的变分
    : @% \8 F) e* v, y7 x0 Y/ u! f' z
    2 I' W+ I. x2 E( T( F1 g
    8 Q8 P4 q: F0 c* O0 ]  d* a( W, I5 w/ z( G2 L( W: V/ O- M; y" U

    $ m4 u1 S* U" U" _8 i- Z
    1 {3 s# J8 w/ h+ M1.4 极值与变分' J3 D# d$ o6 t  F
    利用变分的表达式(4)可以得到泛函极值与变分的关系:9 J9 P- L' @: g

    , `) ^7 \: G1 @; M! M7 H
    5 _9 ~" a% F! g3 s( \# _6 e6 n5 i2 M" X; u# x) }! ^4 {6 ~) S
    1.5. 变分法的基本引理$ e7 q7 A) u+ J
    ( k3 _, t  |9 _1 R
    : J$ ~( |) v0 u2 j* T# l# H; d

    5 {4 M; G& S9 b2 无约束条件的泛函极值! ~" r& f' Q3 f% q
    % _. s0 Y% u- p& p9 y' f
    , S6 ]( i, _" D9 f

    2 C- \9 c  ^+ Y2.1 端点固定的情况% g1 E/ X9 ]/ M3 m. o4 R4 _

    ; l) \# P4 `1 Q+ [( P) m. e: R+ v; n8 `
    * s$ m/ z8 M8 u2 H
    2 w& C/ T' V! o* I" W7 k$ j" ?, U3 G0 x* |! ~: E  o0 N
    2.2 最简泛函的几种特殊情形& D4 c5 }/ Q1 S  N) t! _8 L" g

    / e7 |: Q. u6 x6 E& o  y! O( a7 c8 M$ p
    9 d& S. m: j' x4 a/ C
    , t3 y% J/ w6 V) @' N( G
    例 1 (最速降线问题)  ) W  C. Q$ j/ G" ~- |
    最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里(J. Bernoulli)于 1696 年提出的。问题的提法是这样的:设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点,在所有连结 A 和 B 的平面曲线中,求一曲线,当 质点仅受重力作用,且初速为零,沿此曲线从 A 滑行至 B 时,使所需时间最短。6 e. _+ j5 z& B; m8 N

    + F  ?0 U1 b7 Y8 Q& z
    . `/ A  r: y* ^" b+ K
    - I9 U- I  @7 V, d' `( H) X* g8 P- j  k( E* e+ D; Q& f+ f
    # F. ]: Y, p" f& W. F5 r3 A1 A6 k
    例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程3 d/ A6 }2 O0 I+ L3 h
    + ~/ V9 Q4 ^' o( J
    4 B# w; o3 }; _" \+ l* I
    3 q5 V$ K% o. I; r. F
    2.3 最简泛函的推广
    " b& ?1 V* |6 x5 I最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。
    : j: ^/ a3 ^. x! Q6 e4 ]5 U+ y; b3 I  Z7 P
    (ⅰ)含多个函数的泛函8 r5 y. G  [2 k7 Y2 _5 }

    # F3 Y3 o9 o6 Y" ^# V2 n( C$ i( p' @5 \4 }2 k" w0 K( W" y

    , e: E( F. `" g4 w5 v! ~(ii)含高阶导数的泛函
    " _2 @' c6 H9 F: l7 i7 H
    1 n. W. h; {6 u& B% @
    * y/ {/ a' h$ K; ~; Z" O+ E; b: E$ {. }" r; B$ Z: b' S
    (iii) 含多元函数的泛函、奥式方程6 A+ X. D' S. j  X% f
    & J8 a7 w# g" l3 g

    . Q3 p: m, Q7 Y1 ^+ N
    # c* C' c5 v2 K5 M* _2.4 端点变动的情况(横截条件)% a# ]; U) l* X" u' O* S

    0 R( k0 v. Q  Z5 ?' U
    6 n( i5 X, Z. x, J* o: y. L$ D0 M7 [! o7 x' f3 b. K

    / Q& T6 @' v6 _1 X横截条件有两种常见的特殊情况:
    ' W3 i1 e4 Z2 v0 l* u0 y  R' |2 X; r# a
    3 F* i- A* f; ^# L7 L4 X: u3 `
    4 v* k7 y3 R& k# M# i
    & a9 }* m1 y/ L/ @- n0 G; x6 e注意,横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
    5 }3 w1 u6 J$ a4 i( ]' z
    3 q6 `+ `) h5 ` 3 有约束条件的泛函极值
    : a! ~( v; q" ~! g, h( Q9 y在最优控制系统中,常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题,其典型形式是对动态系统$ s5 O: b( b  W
    , Z  H: K# }% d7 z7 M+ A$ N

    8 r- G9 k$ h  c9 @; q2 q. F6 a( @' B

    3 @* J3 w" ~6 e2 [, Q/ g- O5 F
    4 W: _& x6 }0 [* S1 S
    7 Y% [) C5 M/ \$ a) \* F8 q$ ?, d9 `! S3 }

    " b2 r: W( f5 G' l- r( b
    & J" E% n: Z2 d3 @4 最大(小)值原理# }2 @; r  m$ _; M

    1 c8 G" ?( n3 r% t& O: ?' c/ k* T) H! ]- }/ Z6 }- [8 {0 q1 z
    1 f4 a/ Y" ~- S/ s+ H( N' {! }3 u
    ————————————————7 P6 ^! ~6 k6 P
    版权声明:本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。! }8 X; Z, K. }, e$ }; h  f9 b/ r. j
    原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89644497
    ; [5 y; c8 y" V) s& Z7 P3 L
    4 D  K9 j; g& j& Y+ V) T
    . @1 F( O& v3 M; r" K
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