s# R1 z2 s! Y- D1.3 泛函的变分 : @% \8 F) e* v, y7 x0 Y/ u! f' z 2 I' W+ I. x2 E( T( F1 g 8 Q8 P4 q: F0 c* O0 ] d* a( W, I5 w/ z( G2 L( W: V/ O- M; y" U
$ m4 u1 S* U" U" _8 i- Z 1 {3 s# J8 w/ h+ M1.4 极值与变分' J3 D# d$ o6 t F
利用变分的表达式(4)可以得到泛函极值与变分的关系:9 J9 P- L' @: g
, `) ^7 \: G1 @; M! M7 H 5 _9 ~" a% F! g3 s( \# _6 e6 n5 i2 M" X; u# x) }! ^4 {6 ~) S
1.5. 变分法的基本引理$ e7 q7 A) u+ J
( k3 _, t |9 _1 R
: J$ ~( |) v0 u2 j* T# l# H; d
5 {4 M; G& S9 b2 无约束条件的泛函极值! ~" r& f' Q3 f% q
% _. s0 Y% u- p& p9 y' f
, S6 ]( i, _" D9 f
2 C- \9 c ^+ Y2.1 端点固定的情况% g1 E/ X9 ]/ M3 m. o4 R4 _
; l) \# P4 `1 Q+ [( P) m. e: R+ v; n8 ` * s$ m/ z8 M8 u2 H 2 w& C/ T' V! o* I" W7 k$ j" ?, U3 G0 x* |! ~: E o0 N
2.2 最简泛函的几种特殊情形& D4 c5 }/ Q1 S N) t! _8 L" g
/ e7 |: Q. u6 x6 E& o y! O( a7 c8 M$ p
9 d& S. m: j' x4 a/ C
, t3 y% J/ w6 V) @' N( G
例 1 (最速降线问题) ) W C. Q$ j/ G" ~- |
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里(J. Bernoulli)于 1696 年提出的。问题的提法是这样的:设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点,在所有连结 A 和 B 的平面曲线中,求一曲线,当 质点仅受重力作用,且初速为零,沿此曲线从 A 滑行至 B 时,使所需时间最短。6 e. _+ j5 z& B; m8 N
+ F ?0 U1 b7 Y8 Q& z . `/ A r: y* ^" b+ K - I9 U- I @7 V, d' `( H) X* g8 P- j k( E* e+ D; Q& f+ f
# F. ]: Y, p" f& W. F5 r3 A1 A6 k
例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程3 d/ A6 }2 O0 I+ L3 h
+ ~/ V9 Q4 ^' o( J
4 B# w; o3 }; _" \+ l* I
3 q5 V$ K% o. I; r. F
2.3 最简泛函的推广 " b& ?1 V* |6 x5 I最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。 : j: ^/ a3 ^. x! Q6 e4 ]5 U+ y; b3 I Z7 P
(ⅰ)含多个函数的泛函8 r5 y. G [2 k7 Y2 _5 }
# F3 Y3 o9 o6 Y" ^# V2 n( C$ i( p' @5 \4 }2 k" w0 K( W" y
, e: E( F. `" g4 w5 v! ~(ii)含高阶导数的泛函 " _2 @' c6 H9 F: l7 i7 H 1 n. W. h; {6 u& B% @ * y/ {/ a' h$ K; ~; Z" O+ E; b: E$ {. }" r; B$ Z: b' S
(iii) 含多元函数的泛函、奥式方程6 A+ X. D' S. j X% f
& J8 a7 w# g" l3 g
. Q3 p: m, Q7 Y1 ^+ N # c* C' c5 v2 K5 M* _2.4 端点变动的情况(横截条件)% a# ]; U) l* X" u' O* S
0 R( k0 v. Q Z5 ?' U 6 n( i5 X, Z. x, J* o: y. L$ D0 M7 [! o7 x' f3 b. K