飞行计划安排问题

浅夏110

例题：这个问题是以第二次世界大战中的一个实际问题为背景，经过简化而提出来 的。在甲、乙双方的一场战争中，一部分甲方部队被乙方部队包围长达 4 个月。由于乙 方封锁了所有水陆交通要道，被包围的甲方部队只能依靠空中交通维持供给。运送 4 个月的供给分别需要 2，3，3，4 次飞行，每次飞行编队由 50 架飞机组成（每架飞机需 要 3 名飞行员），可以运送 10 万吨物质。每架飞机每个月只能飞行一次，每名飞行员每 个月也只能飞行一次。在执行完运输任务后的返回途中有 20％的飞机会被乙方部队击 落，相应的飞行员也因此牺牲或失踪。在第 1 个月开始时，甲方拥有 110 架飞机和 330 名熟练的飞行员。在每个月开始时，甲方可以招聘新飞行员和购买新飞机。新飞机必须 经过一个月的检查后才可以投入使用，新飞行员必须在熟练飞行员的指导下经过一个月 的训练才能投入飞行。每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导 20 名飞行员（包括他 自己在内）进行训练。每名飞行员在完成一个月的飞行任务后，必须有一个月的带薪假 期，假期结束后才能再投入飞行。
' Y0 S3 r/ Q* D5 I1 s. o
! q! T$ g  }1 {) L6 p已知各项费用（单位略去）如表 10 所示，请为甲方 安排一个飞行计划。
; a8 S* v3 n7 ^3 V2 H) R
如果每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导不超过 20 名飞行员（包括他自己在 内）进行训练，模型和结果有哪些改变？
% v4 }; n1 h( E9 p# g" J

7 n/ \8 h; F$ N0 M
（1）问题分析

这个问题看起来很复杂，但只要理解了这个例子中所描述的事实，其实建立优化 模型并不困难。首先可以看出，执行飞行任务以及执行飞行任务后休假的熟练飞行员数 量是常数，所以这部分费用（报酬）是固定的，在优化目标中可以不考虑。
# y! ^# I6 A) o$ p3 a
& x- L  \. h0 Y  }2 F6 D. U（2）决策变量
1 M. L+ ~- M& x7 F$ m7 d7 h4 c
设 4 个月开始时甲方新购买的飞机数量分别为   （ i=1,2,3,4 ）架，闲置的飞机数量分别为  架。4 个月中，飞行员中教练和新飞行员数量分别为   （ i=1,2,3,4 ）人，闲置的熟练飞行员数量分别为  人。

（3）目标函数
1 o& c$ O/ |! H0 p( m. l" a% a; r
+ N+ z. G2 b, E) o' s" }& W优化目标是
5 Q, j. x. ^0 U$ G; g, \% p

6 \2 `3 U  O# e( E# ~- o" I
  L: E9 b5 d1 O1 t+ ^（4）约束条件

) A6 w! `. Z) u3 g) |: _需要考虑的约束包括：
$ q8 G- x. ]: A0 _1 n
, ]+ \$ J; F: D( Y9 R+ J$ c8 h& }: G3 t( xi）飞机数量限制。4 个月中执行飞行任务的飞机分别为 100，150，150，200（架）， 但只有 80，120，120，160（架）能够返回供下个月使用。
5 d% v9 [6 Q/ ^1 z! e  C( \3 m; z
* F/ n% D$ N. ?7 p. A$ Q/ T

% P5 O4 b6 D) Z  ^ii）飞行员数量限制。4 个月中执行飞行任务的熟练飞行员分别为 300，450，450， 600（人），但只有 240，360，360，480（人）能够返回（下个月一定休假）。
! F, _  _# V6 q" x: i' a

) s! P9 Q3 k3 |  P% U
（5）求解 编写 LINGO 程序如下

model:
sets:
' C0 f. }# P& |8 v: ~5 n3 ocol/1..4/:c1,c2,c3,x,u,v,y;
row/1..3/:b1,b2;
6 s/ J- ?% E; N" [& l& rendsets
+ l. V' f+ t- ldata:
6 Y; k' |9 N5 H2 A: H0 ^! Mc1=200 195 190 185;
c2=10 9.9 9.8 9.7;
c3=7 6.9 6.8 6.7;
b1=70 30 80;
b2=450 210 240;
enddata
  X# w3 q1 d! B+ U" U) dmin=@sum(col:c1*x+c2*u+c3*v);
y(1)=10;
! M. ~; U, ?& B' A* r5 t6 V@for(col(i)|i#lt#4:y(i)+x(i)-y(i+1)=b1(i)); 0.05*u(1)+v(1)=30; @for(col(i)|i#lt#4:u(i)+v(i)-0.05*u(i+1)-v(i+1)=b2(i)); @for(colgin(x);@gin(u);@gin(v);@gin(y));
0 }, ]! p7 P, t) s1 j" A1 Z0 Y; Qend
8 t# r' O0 @1 ^# }# W4 l

8 n5 N. t( u2 o) ^
6）问题讨论

( {. {- K! ^: n" F如果每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导不超过 20 名飞行员(包括他自己在内）进行训练，则应将教练与新飞行员分开。设4个月飞行员中教练为 （人），新飞行员数量分别为  （人）。其它符号不变。飞行员的数量限制约束为


' ^/ X: m# C. e6 A
) z6 t& [* E, u: E* p目标函数作相应修改，输入 LINGO 如下：
. j! {/ T( z/ ^& h; L
model:
sets:
/ T' o2 E6 ?2 Y$ W' u$ J. Kcol/1..4/:
c1,c2,c3,x,u,v,w,y;
row/1..3/:b1,b2;
, p9 \& f" r2 m4 C5 v, X  D: iendsets
data:
c1=200 195 190 185;
3 v# C7 S* Y& w3 O& t6 Y. z! v( Ec2=10 9.9 9.8 9.7;
c3=7 6.9 6.8 6.7;
; @" y8 v9 T, y5 jb1=70 30 80;
: @. s# q( }0 _$ Wb2=450 210 240;
enddata
; L* d/ d2 p4 d+ ^; I8 d9 G# K* Q, u( \min=@sum(col:c1*x+c2*(u+w)+c3*v);
y(1)=10;
4 p4 p3 c2 ^0 o5 A* O7 m@for(col(i)|i#lt#4:y(i)+x(i)-y(i+1)=b1(i)); u(1)+v(1)=30;
* ]4 W" n' |/ Y@for(col(i)|i#lt#4:u(i)+v(i)+w(i)-u(i+1)-v(i+1)=b2(i));
9 G7 ~- P. a5 a+ o1 H: C+ q* j' |@for(col(i)|i#lt#4:w(i)<20*u(i));
" F) n' X' Q* j; m@for(colgin(x);@gin(u);@gin(v);@gin(w);@gin(y));
/ F. g7 n0 W+ {( @4 ?. x8 o# L% iend
( O! Z# f5 G# N9 d
2 Z/ y& s" }* j  F- P
: l# o, U: g& u7 e6 k7 Y+ e————————————————
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