飞行计划安排问题

浅夏110

例题：这个问题是以第二次世界大战中的一个实际问题为背景，经过简化而提出来 的。在甲、乙双方的一场战争中，一部分甲方部队被乙方部队包围长达 4 个月。由于乙 方封锁了所有水陆交通要道，被包围的甲方部队只能依靠空中交通维持供给。运送 4 个月的供给分别需要 2，3，3，4 次飞行，每次飞行编队由 50 架飞机组成（每架飞机需 要 3 名飞行员），可以运送 10 万吨物质。每架飞机每个月只能飞行一次，每名飞行员每 个月也只能飞行一次。在执行完运输任务后的返回途中有 20％的飞机会被乙方部队击 落，相应的飞行员也因此牺牲或失踪。在第 1 个月开始时，甲方拥有 110 架飞机和 330 名熟练的飞行员。在每个月开始时，甲方可以招聘新飞行员和购买新飞机。新飞机必须 经过一个月的检查后才可以投入使用，新飞行员必须在熟练飞行员的指导下经过一个月 的训练才能投入飞行。每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导 20 名飞行员（包括他 自己在内）进行训练。每名飞行员在完成一个月的飞行任务后，必须有一个月的带薪假 期，假期结束后才能再投入飞行。

已知各项费用（单位略去）如表 10 所示，请为甲方 安排一个飞行计划。
5 W# s, }9 d0 y8 `! U
; F: ], `, ~# ]: B# S9 G2 |如果每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导不超过 20 名飞行员（包括他自己在 内）进行训练，模型和结果有哪些改变？
% `" `: W2 S$ \0 Z9 ^7 R! }2 U

& q1 m5 ?' Z. r1 ^6 E1 K" s' Q$ _
/ d: C0 n3 H: K: T) e（1）问题分析

# y9 G, E/ m( @, k) b( s这个问题看起来很复杂，但只要理解了这个例子中所描述的事实，其实建立优化 模型并不困难。首先可以看出，执行飞行任务以及执行飞行任务后休假的熟练飞行员数 量是常数，所以这部分费用（报酬）是固定的，在优化目标中可以不考虑。
2 |% }; |6 _9 M# h' b6 Z+ [1 O6 r: |
; g$ U! ?" ~9 ~2 w: D+ o（2）决策变量
! b4 o* w: [7 s# T
& Z( ^+ e/ V+ t8 K, f# \" L! R设 4 个月开始时甲方新购买的飞机数量分别为   （ i=1,2,3,4 ）架，闲置的飞机数量分别为  架。4 个月中，飞行员中教练和新飞行员数量分别为   （ i=1,2,3,4 ）人，闲置的熟练飞行员数量分别为  人。
* P. o6 q" x- y: p: P; n, E
（3）目标函数
% O: _5 J! d2 p# `5 o
+ M, }% H4 q0 ~; d优化目标是

4 o6 |& M- s" L9 T2 r9 e- S

. j' W& h7 S( z6 C& x2 R( T/ I' }（4）约束条件
8 Z0 w4 U$ |( h9 k7 Y
需要考虑的约束包括：
% O, \/ R; I( _! m% E: C0 O7 B6 ^/ S
i）飞机数量限制。4 个月中执行飞行任务的飞机分别为 100，150，150，200（架）， 但只有 80，120，120，160（架）能够返回供下个月使用。

, R/ `. J; o' I. \; o9 k
* o0 [* W- N* u
" o6 r' ~8 V+ g3 s5 b# g! ?ii）飞行员数量限制。4 个月中执行飞行任务的熟练飞行员分别为 300，450，450， 600（人），但只有 240，360，360，480（人）能够返回（下个月一定休假）。



（5）求解 编写 LINGO 程序如下
0 e5 o: v" J$ H. {: @
model:
* p* C4 Q! V4 c* x4 v* [# jsets:
col/1..4/:c1,c2,c3,x,u,v,y;
9 y8 m) l; o+ e. Q5 srow/1..3/:b1,b2;
endsets
$ |, y- r& i  O* jdata:
+ M. Q1 `0 Z5 z% T$ _, Kc1=200 195 190 185;
. x7 N/ n8 h7 O$ Hc2=10 9.9 9.8 9.7;
c3=7 6.9 6.8 6.7;
. I0 e% }3 f. tb1=70 30 80;
b2=450 210 240;
enddata
. [" V% Q. I+ Umin=@sum(col:c1*x+c2*u+c3*v);
. a; @" ~5 |' d5 l/ A  P. ?3 a0 fy(1)=10;
( l: m! p" {! V% ^+ |@for(col(i)|i#lt#4:y(i)+x(i)-y(i+1)=b1(i)); 0.05*u(1)+v(1)=30; @for(col(i)|i#lt#4:u(i)+v(i)-0.05*u(i+1)-v(i+1)=b2(i)); @for(colgin(x);@gin(u);@gin(v);@gin(y));
0 M. O! m( P9 Z. k" o3 q) ^end
) p$ r( D8 y4 y


7 _. D& |- e( s' m0 m6）问题讨论
. m: ^& [% J1 g0 z& i% `/ l
如果每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导不超过 20 名飞行员(包括他自己在内）进行训练，则应将教练与新飞行员分开。设4个月飞行员中教练为 （人），新飞行员数量分别为  （人）。其它符号不变。飞行员的数量限制约束为
* s! T' |+ A( X
5 W9 U8 V- o" [4 x" b9 J" g

目标函数作相应修改，输入 LINGO 如下：

model:
sets:
col/1..4/:
c1,c2,c3,x,u,v,w,y;
1 o6 w" x% W& _9 i$ ?& P0 Krow/1..3/:b1,b2;
endsets
data:
" V% R3 l+ _% r4 M/ Lc1=200 195 190 185;
c2=10 9.9 9.8 9.7;
1 e  x+ B! R+ ?- Z% }# dc3=7 6.9 6.8 6.7;
b1=70 30 80;
( p/ W" K$ K9 C7 Nb2=450 210 240;
enddata
5 F8 }( L1 q8 O4 imin=@sum(col:c1*x+c2*(u+w)+c3*v);
* w* `, g1 u; r; U' S& A8 Oy(1)=10;
5 T! Q  B! Y  ^7 d$ R9 p, J* m@for(col(i)|i#lt#4:y(i)+x(i)-y(i+1)=b1(i)); u(1)+v(1)=30;
@for(col(i)|i#lt#4:u(i)+v(i)+w(i)-u(i+1)-v(i+1)=b2(i));
. `1 {# ^% ?  o- K( P@for(col(i)|i#lt#4:w(i)<20*u(i));
@for(colgin(x);@gin(u);@gin(v);@gin(w);@gin(y));
end


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