飞行计划安排问题

浅夏110

例题：这个问题是以第二次世界大战中的一个实际问题为背景，经过简化而提出来 的。在甲、乙双方的一场战争中，一部分甲方部队被乙方部队包围长达 4 个月。由于乙 方封锁了所有水陆交通要道，被包围的甲方部队只能依靠空中交通维持供给。运送 4 个月的供给分别需要 2，3，3，4 次飞行，每次飞行编队由 50 架飞机组成（每架飞机需 要 3 名飞行员），可以运送 10 万吨物质。每架飞机每个月只能飞行一次，每名飞行员每 个月也只能飞行一次。在执行完运输任务后的返回途中有 20％的飞机会被乙方部队击 落，相应的飞行员也因此牺牲或失踪。在第 1 个月开始时，甲方拥有 110 架飞机和 330 名熟练的飞行员。在每个月开始时，甲方可以招聘新飞行员和购买新飞机。新飞机必须 经过一个月的检查后才可以投入使用，新飞行员必须在熟练飞行员的指导下经过一个月 的训练才能投入飞行。每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导 20 名飞行员（包括他 自己在内）进行训练。每名飞行员在完成一个月的飞行任务后，必须有一个月的带薪假 期，假期结束后才能再投入飞行。
4 O9 G' d7 }. w+ _5 z
已知各项费用（单位略去）如表 10 所示，请为甲方 安排一个飞行计划。

如果每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导不超过 20 名飞行员（包括他自己在 内）进行训练，模型和结果有哪些改变？
* q$ s, e& P: t( R( k
2 P1 h* ]- y% x: ^2 l! e' J" f' z
) ?& f$ a4 F* ^) x$ ~) ]8 `
. Z# k9 d0 O9 k（1）问题分析

这个问题看起来很复杂，但只要理解了这个例子中所描述的事实，其实建立优化 模型并不困难。首先可以看出，执行飞行任务以及执行飞行任务后休假的熟练飞行员数 量是常数，所以这部分费用（报酬）是固定的，在优化目标中可以不考虑。

（2）决策变量

; ]6 A4 y: g7 D设 4 个月开始时甲方新购买的飞机数量分别为   （ i=1,2,3,4 ）架，闲置的飞机数量分别为  架。4 个月中，飞行员中教练和新飞行员数量分别为   （ i=1,2,3,4 ）人，闲置的熟练飞行员数量分别为  人。

7 s! w8 r8 a: j9 m（3）目标函数
" y% g! {- V, I; v
优化目标是

+ h& U8 m' o* H0 |6 d% \9 I: z2 u
5 k9 e( k3 a) t
（4）约束条件
6 V# H+ D3 E! c' @& ]% j
; [) y( O9 m# d  A  {) n0 v$ B需要考虑的约束包括：
4 n$ n+ x0 T0 X& N/ J7 t
5 \: f2 V( ]- b8 K) Ii）飞机数量限制。4 个月中执行飞行任务的飞机分别为 100，150，150，200（架）， 但只有 80，120，120，160（架）能够返回供下个月使用。
) K: t4 F% v) @, m0 C5 R
- j" N% M6 G3 k$ [( i

+ z2 b0 z3 S) f9 C6 x2 H$ vii）飞行员数量限制。4 个月中执行飞行任务的熟练飞行员分别为 300，450，450， 600（人），但只有 240，360，360，480（人）能够返回（下个月一定休假）。
0 w0 l' R. k! D& g6 B' p
6 ~. U% f+ z) Z# Y: x4 H
5 ]; _7 a& V3 n$ i$ L2 _
2 L0 a- B  x% t6 L  l& ~# m（5）求解 编写 LINGO 程序如下
) V( y: a  j* ^. m% j/ ?9 e" W) o0 |
3 u5 a! ]5 d  X1 {+ M  |2 b& a9 Nmodel:
4 |1 `- K: Y. V) [" |sets:
4 l$ R9 Y5 u- Mcol/1..4/:c1,c2,c3,x,u,v,y;
row/1..3/:b1,b2;
endsets
, e' J3 V8 _8 M0 O# o" S, J4 |data:
c1=200 195 190 185;
  A: H$ i. k$ h* M% X5 Ic2=10 9.9 9.8 9.7;
; s- j8 ~* h* `% @$ g) L$ Xc3=7 6.9 6.8 6.7;
b1=70 30 80;
" M# b- F- l$ m4 @. bb2=450 210 240;
enddata
7 T+ Z2 E5 q! a1 O  Mmin=@sum(col:c1*x+c2*u+c3*v);
y(1)=10;
; {8 c  r, Z/ c: V1 V@for(col(i)|i#lt#4:y(i)+x(i)-y(i+1)=b1(i)); 0.05*u(1)+v(1)=30; @for(col(i)|i#lt#4:u(i)+v(i)-0.05*u(i+1)-v(i+1)=b2(i)); @for(colgin(x);@gin(u);@gin(v);@gin(y));
- p; f' g* O' @  h) F3 Lend

: z2 b+ @+ s! ?6 ?/ o% X' k
/ H# N6 I  U0 }+ k. C& @
6）问题讨论
2 c+ H5 o* f# X8 T- F
如果每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导不超过 20 名飞行员(包括他自己在内）进行训练，则应将教练与新飞行员分开。设4个月飞行员中教练为 （人），新飞行员数量分别为  （人）。其它符号不变。飞行员的数量限制约束为
. K3 r: J: m0 @( P' Y% s+ f
9 C( O* O1 C, Z# c$ o- f) Z
% {2 b8 `4 p+ Q+ |
! I% d, B; H9 B5 t5 }9 f, }目标函数作相应修改，输入 LINGO 如下：

, C3 @" N$ s0 G1 l) B- l5 rmodel:
sets:
col/1..4/:
c1,c2,c3,x,u,v,w,y;
' \4 ?  A; G1 |  l. Xrow/1..3/:b1,b2;
endsets
7 o* H; F# F; k8 ?: [data:
" }# M# f6 D  k/ S# F' U: R: F$ Lc1=200 195 190 185;
7 v4 X$ F* S3 Uc2=10 9.9 9.8 9.7;
& c& q0 r5 `+ B3 |* Ic3=7 6.9 6.8 6.7;
: p8 a2 w, M" g1 H8 {1 ub1=70 30 80;
b2=450 210 240;
enddata
min=@sum(col:c1*x+c2*(u+w)+c3*v);
y(1)=10;
@for(col(i)|i#lt#4:y(i)+x(i)-y(i+1)=b1(i)); u(1)+v(1)=30;
@for(col(i)|i#lt#4:u(i)+v(i)+w(i)-u(i+1)-v(i+1)=b2(i));
@for(col(i)|i#lt#4:w(i)<20*u(i));
- A2 [5 o7 W+ ?. `9 b@for(colgin(x);@gin(u);@gin(v);@gin(w);@gin(y));
end
8 G( v6 s' u) E# L$ W
% \' A% ?( {, ~' L* c
! J& D: `2 z( [3 t" w1 y% m————————————————
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+ h: ~3 c  A% q: l" G4 x# o
$ P5 i# M& K4 [% p9 a3 n