飞行计划安排问题

浅夏110

例题：这个问题是以第二次世界大战中的一个实际问题为背景，经过简化而提出来 的。在甲、乙双方的一场战争中，一部分甲方部队被乙方部队包围长达 4 个月。由于乙 方封锁了所有水陆交通要道，被包围的甲方部队只能依靠空中交通维持供给。运送 4 个月的供给分别需要 2，3，3，4 次飞行，每次飞行编队由 50 架飞机组成（每架飞机需 要 3 名飞行员），可以运送 10 万吨物质。每架飞机每个月只能飞行一次，每名飞行员每 个月也只能飞行一次。在执行完运输任务后的返回途中有 20％的飞机会被乙方部队击 落，相应的飞行员也因此牺牲或失踪。在第 1 个月开始时，甲方拥有 110 架飞机和 330 名熟练的飞行员。在每个月开始时，甲方可以招聘新飞行员和购买新飞机。新飞机必须 经过一个月的检查后才可以投入使用，新飞行员必须在熟练飞行员的指导下经过一个月 的训练才能投入飞行。每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导 20 名飞行员（包括他 自己在内）进行训练。每名飞行员在完成一个月的飞行任务后，必须有一个月的带薪假 期，假期结束后才能再投入飞行。

# E7 Q9 {1 t( `6 k4 N; a$ Z已知各项费用（单位略去）如表 10 所示，请为甲方 安排一个飞行计划。

. l# o/ ^4 L& u+ _如果每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导不超过 20 名飞行员（包括他自己在 内）进行训练，模型和结果有哪些改变？
  f9 I2 ^- F) C7 z
5 Q, a# F  k* ?$ @9 ~3 ~

% `& W! g0 I" Y  @+ D2 d% a" Y（1）问题分析
5 M& P9 q; b6 i: G( [
3 {8 [, S8 p+ o' V' |4 H, d这个问题看起来很复杂，但只要理解了这个例子中所描述的事实，其实建立优化 模型并不困难。首先可以看出，执行飞行任务以及执行飞行任务后休假的熟练飞行员数 量是常数，所以这部分费用（报酬）是固定的，在优化目标中可以不考虑。

（2）决策变量

/ s" \2 M6 i* j设 4 个月开始时甲方新购买的飞机数量分别为   （ i=1,2,3,4 ）架，闲置的飞机数量分别为  架。4 个月中，飞行员中教练和新飞行员数量分别为   （ i=1,2,3,4 ）人，闲置的熟练飞行员数量分别为  人。
2 X# J# w& d! c; b& [  e# u! \9 t
3 d5 y$ G" b* g0 `1 t（3）目标函数

优化目标是


# \+ p  N  }. p3 i# a/ X
（4）约束条件
% s0 b5 p; e" A3 i4 x; ^
需要考虑的约束包括：
) x1 a" \: U; z# Z
i）飞机数量限制。4 个月中执行飞行任务的飞机分别为 100，150，150，200（架）， 但只有 80，120，120，160（架）能够返回供下个月使用。
/ h2 G  a. ^$ ?: n
+ ]( ?3 U9 ^& K% P; i

4 }; v2 t! J. ]0 x. I) @; {7 ?7 w6 Pii）飞行员数量限制。4 个月中执行飞行任务的熟练飞行员分别为 300，450，450， 600（人），但只有 240，360，360，480（人）能够返回（下个月一定休假）。

+ t/ l8 y' e* Y& ~/ c
7 E) L/ k% Q' h6 J* ~1 g
. \* T' q5 Y( Y) X$ M: j  N（5）求解 编写 LINGO 程序如下

5 E* t: n! f2 M* [4 m" emodel:
sets:
* Z0 d% D6 t$ |. H, N2 p/ Scol/1..4/:c1,c2,c3,x,u,v,y;
9 N/ h* `$ Z+ H  c  trow/1..3/:b1,b2;
endsets
  G) t4 N, @; \. F/ B3 Hdata:
/ m' |/ l# J, jc1=200 195 190 185;
c2=10 9.9 9.8 9.7;
c3=7 6.9 6.8 6.7;
, I% g" _$ s, X; Db1=70 30 80;
7 E. R5 g2 P8 m7 X" j! s: Jb2=450 210 240;
enddata
min=@sum(col:c1*x+c2*u+c3*v);
y(1)=10;
" F) b6 F, B4 S# N: g@for(col(i)|i#lt#4:y(i)+x(i)-y(i+1)=b1(i)); 0.05*u(1)+v(1)=30; @for(col(i)|i#lt#4:u(i)+v(i)-0.05*u(i+1)-v(i+1)=b2(i)); @for(colgin(x);@gin(u);@gin(v);@gin(y));
end

1 F7 a6 \& s5 D* B

6）问题讨论

如果每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导不超过 20 名飞行员(包括他自己在内）进行训练，则应将教练与新飞行员分开。设4个月飞行员中教练为 （人），新飞行员数量分别为  （人）。其它符号不变。飞行员的数量限制约束为


2 t  N* M1 o+ R$ ?" y8 Y
5 U, M' f$ B& j" r# ]目标函数作相应修改，输入 LINGO 如下：
) \4 a: c! `2 R
; a2 c" X+ T5 w5 g1 {: N0 I) C* z( ^& Gmodel:
6 C$ F- ^: @5 M) S' i+ k9 Xsets:
col/1..4/:
, o% J4 V. f" ]2 T3 Nc1,c2,c3,x,u,v,w,y;
row/1..3/:b1,b2;
' v( Z" z0 a4 a, K7 v+ e+ ^4 Cendsets
data:
c1=200 195 190 185;
0 Z3 a: j* A1 H3 w; r( A4 E2 Kc2=10 9.9 9.8 9.7;
c3=7 6.9 6.8 6.7;
" L, F" _( f/ _. h3 p+ ^b1=70 30 80;
; n3 m* ]8 t$ S; A0 F2 e/ Y3 cb2=450 210 240;
' S$ a5 v( B$ E. kenddata
4 R1 v1 ]$ h2 M3 u) i1 \8 dmin=@sum(col:c1*x+c2*(u+w)+c3*v);
y(1)=10;
0 |% \1 p" a. }) y@for(col(i)|i#lt#4:y(i)+x(i)-y(i+1)=b1(i)); u(1)+v(1)=30;
@for(col(i)|i#lt#4:u(i)+v(i)+w(i)-u(i+1)-v(i+1)=b2(i));
2 o- p4 M8 V% d5 P/ b( s! e@for(col(i)|i#lt#4:w(i)<20*u(i));
@for(colgin(x);@gin(u);@gin(v);@gin(w);@gin(y));
end
& g4 h1 n2 [' W

2 k; T) ^! |3 ~: y$ t8 n( g0 p————————————————
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, O8 g- F7 ?5 u/ _* F, I