飞行计划安排问题

浅夏110

例题：这个问题是以第二次世界大战中的一个实际问题为背景，经过简化而提出来 的。在甲、乙双方的一场战争中，一部分甲方部队被乙方部队包围长达 4 个月。由于乙 方封锁了所有水陆交通要道，被包围的甲方部队只能依靠空中交通维持供给。运送 4 个月的供给分别需要 2，3，3，4 次飞行，每次飞行编队由 50 架飞机组成（每架飞机需 要 3 名飞行员），可以运送 10 万吨物质。每架飞机每个月只能飞行一次，每名飞行员每 个月也只能飞行一次。在执行完运输任务后的返回途中有 20％的飞机会被乙方部队击 落，相应的飞行员也因此牺牲或失踪。在第 1 个月开始时，甲方拥有 110 架飞机和 330 名熟练的飞行员。在每个月开始时，甲方可以招聘新飞行员和购买新飞机。新飞机必须 经过一个月的检查后才可以投入使用，新飞行员必须在熟练飞行员的指导下经过一个月 的训练才能投入飞行。每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导 20 名飞行员（包括他 自己在内）进行训练。每名飞行员在完成一个月的飞行任务后，必须有一个月的带薪假 期，假期结束后才能再投入飞行。

已知各项费用（单位略去）如表 10 所示，请为甲方 安排一个飞行计划。
' n! I# [+ G. H" e- @2 x* l, @
7 Y( W2 x& q  W# z, C5 x% f如果每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导不超过 20 名飞行员（包括他自己在 内）进行训练，模型和结果有哪些改变？
8 x* Z3 W2 O$ K" M+ O" M
' q+ d! ^- n( ^6 I' z
/ ^: ~. s$ s% |" K1 q; @# C
0 d/ x* U- o% s% n（1）问题分析
  ?5 k6 F3 f. g0 p/ W
  {1 x2 |0 a0 M: D; e0 `这个问题看起来很复杂，但只要理解了这个例子中所描述的事实，其实建立优化 模型并不困难。首先可以看出，执行飞行任务以及执行飞行任务后休假的熟练飞行员数 量是常数，所以这部分费用（报酬）是固定的，在优化目标中可以不考虑。
: n# n, C3 J7 q- z% s
4 U# Y+ y4 ]0 V% g" ?+ ]（2）决策变量

设 4 个月开始时甲方新购买的飞机数量分别为   （ i=1,2,3,4 ）架，闲置的飞机数量分别为  架。4 个月中，飞行员中教练和新飞行员数量分别为   （ i=1,2,3,4 ）人，闲置的熟练飞行员数量分别为  人。
' G# ^. Y4 ~9 u* g  m) X  U8 s
（3）目标函数
+ ?$ _' |$ O9 `( N$ \
9 S; O/ t6 w4 m: q4 N  {$ ?+ t5 }优化目标是



, Y3 O& f3 t" h5 [# Q- p; U7 j& A（4）约束条件

需要考虑的约束包括：
% [. G& P: u- o% N5 ~# J1 ]
, M$ c6 L$ H. o$ e  x" U' A2 T# ti）飞机数量限制。4 个月中执行飞行任务的飞机分别为 100，150，150，200（架）， 但只有 80，120，120，160（架）能够返回供下个月使用。



) w; r  t- Y. t- F* j0 W! \3 k4 M2 ~ii）飞行员数量限制。4 个月中执行飞行任务的熟练飞行员分别为 300，450，450， 600（人），但只有 240，360，360，480（人）能够返回（下个月一定休假）。
7 P$ b9 v6 a5 D4 O/ w& A) R
" O- A3 k- h* H8 `( F

（5）求解 编写 LINGO 程序如下
, A: g* @$ N& z. L7 O  |
model:
sets:
col/1..4/:c1,c2,c3,x,u,v,y;
row/1..3/:b1,b2;
8 E; ~# \4 M5 ~7 ?; W/ Nendsets
data:
, Q0 B! `& x7 p" A; \; w+ Nc1=200 195 190 185;
5 T0 }' o9 v2 F$ M  Lc2=10 9.9 9.8 9.7;
" D/ @) J/ i! k5 i( {4 R0 vc3=7 6.9 6.8 6.7;
b1=70 30 80;
: B; _9 J  I" ob2=450 210 240;
% P# L$ l  ]/ l5 S! @" lenddata
min=@sum(col:c1*x+c2*u+c3*v);
y(1)=10;
@for(col(i)|i#lt#4:y(i)+x(i)-y(i+1)=b1(i)); 0.05*u(1)+v(1)=30; @for(col(i)|i#lt#4:u(i)+v(i)-0.05*u(i+1)-v(i+1)=b2(i)); @for(colgin(x);@gin(u);@gin(v);@gin(y));
end

: E7 R% P" B; s$ {
% D3 a/ X. P- Z
; q1 o6 m+ s9 ~/ e' L6 B6）问题讨论
, o  e$ ^0 I8 L+ I, P
如果每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导不超过 20 名飞行员(包括他自己在内）进行训练，则应将教练与新飞行员分开。设4个月飞行员中教练为 （人），新飞行员数量分别为  （人）。其它符号不变。飞行员的数量限制约束为

4 ~) _# `6 Q& C' ?; N4 B; K2 S8 P

# o, E  q5 w  d+ ~$ X目标函数作相应修改，输入 LINGO 如下：
) B# K! [+ U; J' M) q5 j/ l
model:
sets:
3 D- W5 L% E# Scol/1..4/:
c1,c2,c3,x,u,v,w,y;
row/1..3/:b1,b2;
: {( u( Z& }$ Y# x/ r4 d: H* Vendsets
1 z6 V/ {( @' f0 bdata:
c1=200 195 190 185;
6 s4 Z! ?' v8 rc2=10 9.9 9.8 9.7;
c3=7 6.9 6.8 6.7;
' a, E3 h- Z1 J+ b  a, C. Z1 P% zb1=70 30 80;
$ m2 ]+ _5 T% m7 j9 A( f6 s4 pb2=450 210 240;
enddata
min=@sum(col:c1*x+c2*(u+w)+c3*v);
# V1 _8 W0 ]# yy(1)=10;
* y9 o8 @) y' _% d0 r* B6 `' p) q@for(col(i)|i#lt#4:y(i)+x(i)-y(i+1)=b1(i)); u(1)+v(1)=30;
@for(col(i)|i#lt#4:u(i)+v(i)+w(i)-u(i+1)-v(i+1)=b2(i));
+ N: R/ C! H' j5 P@for(col(i)|i#lt#4:w(i)<20*u(i));
@for(colgin(x);@gin(u);@gin(v);@gin(w);@gin(y));
end


+ c0 t7 k7 Y7 ]! b————————————————
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: P5 l# E* l) q: P2 l
$ P  I9 `: b6 ?$ ^8 m2 V