面试顺序问题：用数学建模优化生产与服务运作中的管理问题

浅夏110

例题： 有 4 名同学到一家公司参加三个阶段的面试：公司要求每个同学都必须首先 找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处参加面试，并且不允许插队（即 在任何一个阶段 4 名同学的顺序是一样的）。由于 4 名同学的专业背景不同，所以每人 在三个阶段的面试时间也不同，如表 5 所示。这 4 名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司。假定现在时间是早晨 8:00，请问他们最早何时能离开公司？



& w- B. w  z% E7 x8 D' X4 q$ C 1 建立模型
5 V( T* H& A6 B0 j7 w9 }3 v   实际上，这个问题就是要安排 4 名同学的面试顺序，使完成全部面试所花费的时 间最少。
% ^* p; a8 m5 K* n% b
3 e) e1 ]( S( s/ C记  为第i名同学参加第 j 阶段面试需要的时间（已知），令   表示第i名同学参加第 j 阶段面试的开始时间（不妨记早上 8:00 面试开始为 0 时刻） （i=1,2,3,4 ; j =1,2,3），T 为完成全部面试所花费的最少时间。

( u+ l9 ?4 a! K) C6 k7 K+ C1 B 优化目标为                            （1）
, k( p' t2 F7 B9 u
; b- I; [) T, r$ H# a约束条件：

1）时间先后次序约束（每人只有参加完前一个阶段的面试后才能进入下一个阶段）：                                （2）

2 ）每个阶段 j 同一时间只能面试 1 名同学：用  0− 1 变量  表示第k 名同学是否 排在第i名同学前面（1 表示“是”，0 表示“否”），则

* ^, \& i! O1 K9 p2 S4 ?    （3）
! y- r' J/ o- X; C2 S' T8 F
1 t; X  _9 z5 t1 Z' B7 M可以将上述非线性的优化目标（1） 改写为如下线性优化目标：
8 T* n1 b+ a# l5 _
                   （4）

( g* E* h5 @7 q# a! W# {  r. p式（2）～（4）就是这个问题的  0−1  非线性规划模型（当然所有变量还有非负约束，变量   还有  0− 1约束）。
2 i5 ^, u5 w, W# p
2 W1 m& X. s6 s: l( d" \$ y2  求解模型
编写 LINGO 程序如下：
" u' h$ H" |) X4 _: f
; M* j4 Z/ m/ d2 P1 n5 v8 Y3 lmodel:
Title 面试问题;
SETS: Person/1..4/;
Stage/1..3/;
0 q% Q: V7 v( t$ q& a& APXS(Person,Stage): T, X;
PXP(Person,Person)|&1 #LT# &2: Y;
) B) ]2 w: s* }" _ENDSETS
DATA:
% O. i) ~: \" BT=13, 15, 20, 10 , 20 , 18, 20, 16, 10, 8, 10, 15;
ENDDATA
! I' G0 _1 m6 B[obj] min=MAXT;
MAXT>= @max(PXS(i,j)|j#EQ#@size(stage):x(i,j)+t(i,j));
* h* a  b& U% F1 m! 只有参加完前一个阶段的面试后才能进入下一个阶段;
5 ]: @, d( b* @& e% v@for(PXS(i,j)|j#LT#@size(stage):[ORDER]x(i,j)+t(i,j)<x(i,j+1));
! 同一时间只能面试1名同学;
@for(Stage(j):   
    @for(PXP(i,k):[SORT1]x(i,j)+t(i,j)-x(k,j)<MAXT*Y(i,k));  
    @for(PXP(i,k):[SORT2]x(k,j)+t(k,j)-x(i,j)<MAXT*(1-Y(i,k))));
@for(PXP: @bin(y));
  K( z7 R6 x( ~$ s6 ?- p/ nend
计算结果为，所有面试完成至少需要 84min，面试顺序为 4－1－2－3（丁－甲－ 乙－丙）。早上 8:00 面试开始，最早 9:24 面试可以全部结束。
& w1 a  L) N/ d3 M& a9 f8 ~————————————————
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