面试顺序问题：用数学建模优化生产与服务运作中的管理问题

浅夏110

例题： 有 4 名同学到一家公司参加三个阶段的面试：公司要求每个同学都必须首先 找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处参加面试，并且不允许插队（即 在任何一个阶段 4 名同学的顺序是一样的）。由于 4 名同学的专业背景不同，所以每人 在三个阶段的面试时间也不同，如表 5 所示。这 4 名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司。假定现在时间是早晨 8:00，请问他们最早何时能离开公司？



1 建立模型
   实际上，这个问题就是要安排 4 名同学的面试顺序，使完成全部面试所花费的时 间最少。

记  为第i名同学参加第 j 阶段面试需要的时间（已知），令   表示第i名同学参加第 j 阶段面试的开始时间（不妨记早上 8:00 面试开始为 0 时刻） （i=1,2,3,4 ; j =1,2,3），T 为完成全部面试所花费的最少时间。
& D# E8 m) y5 u1 M, {
1 F4 O; W& G5 u& I" Q. C0 O9 Q3 w 优化目标为                            （1）

约束条件：
9 h, O) q; X) ]9 a! b8 x& v% Y
- K# p- K1 a' n3 ?( ^" h1）时间先后次序约束（每人只有参加完前一个阶段的面试后才能进入下一个阶段）：                                （2）

- b: u  @6 v) p% p8 {2 ）每个阶段 j 同一时间只能面试 1 名同学：用  0− 1 变量  表示第k 名同学是否 排在第i名同学前面（1 表示“是”，0 表示“否”），则

7 [0 p7 \( k5 d9 S+ v9 Z! z2 C2 j4 U; Y    （3）
* w+ C+ [+ D& C" ?, d( Z
! _& T- E3 B2 b- U, D- Y: M% z可以将上述非线性的优化目标（1） 改写为如下线性优化目标：

/ [% i& Z2 s& e! B                   （4）
. M2 }) f! `& h7 V9 t
5 U" g4 ?; u) y4 S6 v' ]: o' f式（2）～（4）就是这个问题的  0−1  非线性规划模型（当然所有变量还有非负约束，变量   还有  0− 1约束）。

2  求解模型
编写 LINGO 程序如下：

model:
Title 面试问题;
SETS: Person/1..4/;
Stage/1..3/;
PXS(Person,Stage): T, X;
PXP(Person,Person)|&1 #LT# &2: Y;
8 K8 p! p: h6 x7 @ENDSETS
/ Q# t( Q. ^* R0 J! zDATA:
8 J1 h; U3 O7 N. z1 g' D7 FT=13, 15, 20, 10 , 20 , 18, 20, 16, 10, 8, 10, 15;
8 S' P" X+ x  N2 w6 B4 N7 d6 wENDDATA
5 `# j# M. h& q* I1 P8 u* y[obj] min=MAXT;
MAXT>= @max(PXS(i,j)|j#EQ#@size(stage):x(i,j)+t(i,j));
' k' ]0 k+ ?' z0 m' s+ t8 e! 只有参加完前一个阶段的面试后才能进入下一个阶段;
9 r( K/ z0 |6 D, M$ H2 c@for(PXS(i,j)|j#LT#@size(stage):[ORDER]x(i,j)+t(i,j)<x(i,j+1));
! 同一时间只能面试1名同学;
@for(Stage(j):   
* @+ i8 v/ Z2 y' @' `9 j    @for(PXP(i,k):[SORT1]x(i,j)+t(i,j)-x(k,j)<MAXT*Y(i,k));  
, `2 N: K3 r# K. i, q4 `" G    @for(PXP(i,k):[SORT2]x(k,j)+t(k,j)-x(i,j)<MAXT*(1-Y(i,k))));
@for(PXP: @bin(y));
  |' Y9 m' |. S' }3 M; Xend
计算结果为，所有面试完成至少需要 84min，面试顺序为 4－1－2－3（丁－甲－ 乙－丙）。早上 8:00 面试开始，最早 9:24 面试可以全部结束。
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