消防车调度问题 ：用数学建模优化生产与服务运作中的管理问题

浅夏110

问题描述： 某市消防中心同时接到了三处火警电话。根据当前的火势，三处火警地点分 别需要 2 辆、2 辆和 3 辆消防车前往灭火。三处火警地点的损失将依赖于消防车到达的及时程度：记  为第 j 辆消防车到达火警地点i的时间，则三处火警地点的损失分别为


4 `! o* f# ^5 X- \   ; 。目前可供消防中心调度的消防车正好有 7辆，分别属于三个消防站（可用消防车数量分别为 3 辆、2 辆、2 辆）。消防车从三个消 防站到三个火警地点所需要的时间如表 6 所示。应如何调度消防车，才能使总损失最 小？
& G1 y' t) v$ D# s
! @5 s* d! r& y+ M' ?) r* k

问题二：如果三处火警地点的损失分别为 ；，调度方案是否需要改变？

9 h$ D* U, j: b; T0 y
% v7 Z( X- I5 f" U7 ^( N* ?
+ h4 K5 f' K4 `" q（1）问题分析

+ x6 }  X8 ]$ i2 |" i. y) j. {  B* ?. m本题考虑的是为每个火警地点分配消防车的问题，初步看来与线性规划中经典的运输问题有些类似。本题的问题可以看成是指派问题和运输问题的一种变形，我们下面首先把它变成一个运输问题建模求解。

4 w2 _  S* f- o3 O（2）决策变量

2 k1 ]( [7 s% [3 k& D/ i6 o为了用运输问题建模求解，我们很自然地把 3 个消防站看成供应点。如果直接把 3 个火警地点看成需求点，我们却不能很方便地描述消防车到达的先后次序，因此难以确 定损失的大小。下面我们把 7 辆车的需求分别看成 7 个需求点（分别对应于到达时间 . 用   表示消防站i是否向第 j 个需求点派车（1 表示派车，0表示不派车），则共有 21 个  0−1 变量.

（3）模型建立
2 V3 l; U$ r" z% }2 M% z. V
# N5 R5 R) V* V, n8 Q  @题目中给出的损失函数都是消防车到达时间的线性函数，所以由所给数据进行简 单的计算可知，如果消防站 1 向第 6 个需求点派车（即消防站 1 向火警地点 3 派车但该 消防车是到达火警地点 3 的第二辆车），则由此引起的损失为 72 98 = × 。同理计算，可以得到损失矩阵如表 7 所示（元素分别记为 ）。

5 G2 H0 C6 `9 h2 G' Y) a



: q' v9 _0 w% P
于是，使总损失最小的决策目标为

                     ( 1 )
; V. B, S7 d8 U1 o" K7 Z& }
约束条件：

6 G( ]% Z( W. ]8 e约束条件有两类，一类是消防站拥有的消防车的数量限制，另一类是 各需求点对消防车的需求量限制。
记   （ i=1,2,3 ）为第i个消防站拥有消防车的数量，则消防站拥有的消防车的数量限制可以表示为
                        (  2 )

各需求点对消防车的需求量限制可以表示为
9 e/ v% P4 n7 s2 `
           (  3 )
# H* w, q+ Y' ]" w& m/ m5 X( I3 X% p
（4）模型求解 的lingo代码
" i7 H$ }/ F( u  f- |! z1 {" E
# y, j) D' z8 j- MMODEL:
  r; Y2 J9 ~7 D+ `0 d" ETITLE 消防车问题;
6 O3 d9 n4 J0 L3 E8 aSETS:
supply/1..3/:b;
need/1..7/;
, ?! ^% R8 `4 M& B! o2 plinks(supply,need):c,x;
- M9 \- F/ O  v' C" ^: ^, YENDSETS
7 T# q* d& |$ X, k) G; y[OBJ]Min=@sum(links:c*x);
@FOR(supply(i):@sum(need(j):x(i,j))=b(i));
8 A2 j( N) ?$ u" N4 s@FOR(need(j):@sum(supply(i):x(i,j))=1);
DATA:
) s/ F9 E% L7 Qb=3,2,2;
7 u+ u  e; m* q, Cc=36,24,49,21,81,72,45   
" i# A4 t* k0 {" {( {' c- Q    30,20,56,24,99,88,55   
    36,24,63,27,90,80,50;
8 u. y9 B5 X4 \ENDDATA
! o2 o  R! I7 ]- q2 [& `6 K& D" Z" HEND
, o8 T0 Z' y$ _0 A9 @! ]求得结果为，消防站 1 应向火警地点 2 派 1 辆车，向火警地点 3 派 2 辆车；消防站 2 应向火警地点 1 派 2 辆车；消防站 3 应向火警地点 2、3 各派 1 辆车。最小总损失 为 329。
, x) c, t, T. t: r. H3 c# U, ~9 W( z
（5）讨论
9 M2 [& e8 r1 V6 F$ Z9 O$ d$ O
1）这个问题本质上仍然和经典的运输问题类似，可以把每辆车到达火场看做需求点，消防站看做供应点。在上面模型中，我们虽然假设   为 0− 1变量，但求解时是采用线性规划求解的，也就是说没有加上 为 0− 1 变量或整数变量的限制条件，但求解得到的结果中   正好是 0−1 变量。这一结果不是偶然的，而是运输问题特有的一种性质.

$ y' K2 n" E$ W8 Z2 ）在上面模型中，没有考虑消防车到达各火警地点的先后次序约束，但得到的结果正好满足所有的先后次序约束，这一结果不是必然的，而只是巧合。如对例题后半部 分的情形，结果就不是这样了。显然，此时只需要修改损失矩阵如表 8 所示（所示（元素仍然分别记为 )


5 \; L( i: H! }5 P
  m1 x% R1 i) j9 F6 k! t( B此时重新将式（ 1 )-( 3 ) 构成的线性规划模型输入 LINGO 求解，可以得到新的最优解： 其它变量为 0（最小总损失仍为 329）

/ i& Y4 V" ?( o: h- f: N实际上，损失矩阵中只是 1、2 列交换了位置，3、4 列交换了位置，5、7 列 交换了位置，因此不用重新求解就可以直接看出以上新的最优解。
* Y- K6 k& X: w( G
但是，以上新的最优解却是不符合实际情况的。例如，  表明火警地点2 的第一辆消防车来自消防站 3，第二辆消防车来自消防站 1，但这是不合理的，因为 火警地点 2 与消费站 3 有 9min 的距离，大于与消防站 1 的 7min 的距离。分配给火警 地点 3 的消防车也有类似的不合理问题。为了解决这一问题，我们必须考虑消防车到达 各火警地点的先后次序约束，也就是说必须在简单的运输问题模型中增加一些新的约 束，以保证以上的不合理问题不再出现。
+ ~  d4 D2 Z4 V% X" m8 V
7 J2 m2 W# H+ q3 ?' }) O& D0 z, G6 C首先考虑火警地点 2。由于消防站 1 的消防车到达所需时间（7min）小于消防站 2 的消防车到达所需时间（8 分钟），并都小于消防站 3 的消防车到达所需时间（9 分钟）， 因此火警地点 2 的第二辆消防车如果来自消防站 1，则火警地点 2 的第 1 辆消防车也一 定来自消防站 1；火警地点 2 的第 2 辆消防车如果来自消防站 2，则火警地点 2 的第 1 辆消防车一定来自消防站 1 或 2。因此，必须增加以下约束：   (  4 )
: U0 h9 z" V, w! K, X, O$ H1 j# z2 y1 a
3 i' @9 U5 P' a, ~同理，对火警地点 1，必须增加以下约束:    (  5 )
! `  Q- Y+ L2 `5 d* P3 c& K6 K$ g
6 S9 i5 P$ T9 o对火警地点 3，必须增加以下约束:     ( 6 )

重新将式（1）～（6）构成的整数规划模型（   是 1 0− 变量）输入 LINGO 软件如下:

MODEL:
4 ~/ t+ Y; f- j: d+ u* RTITLE 消防车问题;
% p: q8 d7 A4 F& Q+ {SETS:
5 w7 p0 H5 x! ^* m$ D# tsupply/1..3/:b;
need/1..7/;
- I! H" ^1 z/ [7 _* plinks(supply,need):c,x;
, ?) j- G% u+ L1 fENDSETS
; l, X6 C0 F2 }$ s8 a[OBJ]Min=@sum(links:c*x);
& W, m" ^) J2 `: L5 S/ e0 @@FOR(supply(i):@sum(need(j):x(i,j))=b(i));
@FOR(need(j):@sum(supply(i):x(i,j))=1);
/ w& e6 ~4 n; Q8 mx(1,4)<x(1,3);
$ g! f" f5 q. X% Z' H/ Ux(2,4)<x(1,3)+x(2,3);
x(2,2)<x(2,1);
- Z, e9 d2 x. t0 W# y; B7 [1 Qx(1,6)<x(1,5);
x(1,7)<x(1,6);
x(3,6)<x(1,5)+x(3,5);
( f, b, l9 X8 Z* ]2 B; |9 m' r2*x(3,7)<x(1,5)+x(1,6)+x(3,5)+x(3,6);
$ B4 J. ^/ [0 l  v@for(links:@bin(x));
DATA:
b=3,2,2;
4 Z& Z3 i- _/ [( vc=  24    36    21    49    45    72    81     
' B" ?4 }8 ]9 q, n) ^, B6 r+ _    20    30    24    56    55    88    99     
    24    36    27    63    50    80    90;
" T0 z9 D8 ]0 S" O* [1 |2 bENDDATA
END
% d, P" r3 I1 w. C求解可以得到： ，其它变量为 0（最小总损失仍为 335）。也就是说，消防站 1 应向火警地点 2 派 2 辆车，向火警地点 3 派 1 辆车；消防站 2 应向火警地点 1 派 2 辆车；消防站 3 应向火警地点 3 派 2 辆车。经过检 验可以发现，此时的派车方案是合理的。
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5 z' p9 W0 l& c0 h! d3 P( s# C  M原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89388172


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