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TA的每日心情 | 开心 2020-11-14 17:15 |
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问题描述: 某市消防中心同时接到了三处火警电话。根据当前的火势,三处火警地点分 别需要 2 辆、2 辆和 3 辆消防车前往灭火。三处火警地点的损失将依赖于消防车到达的及时程度:记 为第 j 辆消防车到达火警地点i的时间,则三处火警地点的损失分别为![]()
9 N! b/ ^( ^& Y$ [ b4 P# g5 e0 W' v. M' ~" K/ k- W
0 e+ K6 m# }4 ~" f# f, Z
; 。目前可供消防中心调度的消防车正好有 7辆,分别属于三个消防站(可用消防车数量分别为 3 辆、2 辆、2 辆)。消防车从三个消 防站到三个火警地点所需要的时间如表 6 所示。应如何调度消防车,才能使总损失最 小?
F3 q' [/ v0 p
# g0 M2 E& |* c8 A 0 w( I2 U& ?0 J4 ^8 \1 N2 j
6 P3 X5 Y3 T5 h% [" X
问题二:如果三处火警地点的损失分别为 ;,调度方案是否需要改变?
0 z L9 T1 x+ O/ o4 }5 G6 A; F, w- O9 Y, r" s
; I2 _( U: Z& P0 @/ n4 q6 O" \/ j+ Z- I0 U( u, ?
(1)问题分析
J$ c& p/ F- t; K% b7 n8 p }+ h
+ u8 ^5 [/ d8 ]* I本题考虑的是为每个火警地点分配消防车的问题,初步看来与线性规划中经典的运输问题有些类似。本题的问题可以看成是指派问题和运输问题的一种变形,我们下面首先把它变成一个运输问题建模求解。2 w$ z' K8 k) a0 N: r
9 ?' p' @4 a1 ?
(2)决策变量0 S; C& l( A b a) Y
; u- c) o3 M$ \4 I0 _
为了用运输问题建模求解,我们很自然地把 3 个消防站看成供应点。如果直接把 3 个火警地点看成需求点,我们却不能很方便地描述消防车到达的先后次序,因此难以确 定损失的大小。下面我们把 7 辆车的需求分别看成 7 个需求点(分别对应于到达时间 . 用 表示消防站i是否向第 j 个需求点派车(1 表示派车,0表示不派车),则共有 21 个 0−1 变量.
r: L# V. C c# F* R
{, [, c4 ]8 Z* H" G(3)模型建立9 T$ W% H U3 u3 \
c' m; y a/ W题目中给出的损失函数都是消防车到达时间的线性函数,所以由所给数据进行简 单的计算可知,如果消防站 1 向第 6 个需求点派车(即消防站 1 向火警地点 3 派车但该 消防车是到达火警地点 3 的第二辆车),则由此引起的损失为 72 98 = × 。同理计算,可以得到损失矩阵如表 7 所示(元素分别记为 )。
' Y3 {7 R, v* I9 L9 d- {( q: `4 g( l$ s5 L. F
( O5 W. @- j6 Y: I
![]()
# ~/ @; b' g, Q
d/ F) `8 x3 [0 i! h![]()
, A3 o' f Y' v% @2 P
% R* e1 P0 ?. d6 y; C3 W4 W于是,使总损失最小的决策目标为. E {3 M0 w% Y0 S% W- E* m m
0 r0 a4 F+ P: h1 G* O1 T( a: V ( 1 )" Q- M9 A! O& i3 `
& k) L3 m% Q' X2 Q约束条件:8 g# O, @* U3 n
* _" K& x* E E约束条件有两类,一类是消防站拥有的消防车的数量限制,另一类是 各需求点对消防车的需求量限制。 9 G+ e2 P) G8 T+ \8 _0 i9 v4 E) g
记 ( i=1,2,3 )为第i个消防站拥有消防车的数量,则消防站拥有的消防车的数量限制可以表示为
- }+ {& {* F# L% F' N" J+ J ( 2 )- c. m& a$ f4 j8 }; r7 ^
" d T$ O3 \/ x4 @- m& B3 T7 q4 ~
各需求点对消防车的需求量限制可以表示为 3 E! O' \2 u3 q6 e- U6 ]$ d; u( \
) O# k3 r& b, i6 E1 f ( 3 )
$ V6 Z( Z) G* ~8 B3 Q9 ?; \) r
(4)模型求解 的lingo代码
6 N- p# [( U4 J, t; L& V4 p5 {8 l6 l N- S& J8 S4 S
MODEL: 2 ~; E/ ~4 R2 Q! S, \6 ~# Z0 Q
TITLE 消防车问题; 8 o& ^: ^ r" \: u: v, j ?
SETS:
/ ?- H9 G8 S( E- d$ xsupply/1..3/:b;
$ j1 u" k ^! bneed/1..7/;
, n) t) L) D* r6 n7 D" f$ m' dlinks(supply,need):c,x; 9 d' D: F$ E5 e" v
ENDSETS
$ G& T: P! O5 q' L1 `[OBJ]Min=@sum(links:c*x);
5 T, h- B- ~4 {9 |* F@FOR(supply(i):@sum(need(j):x(i,j))=b(i));
; n0 { W! [+ ^0 R0 F- D o@FOR(need(j):@sum(supply(i):x(i,j))=1); $ R! H B; @5 F$ {* r6 C
DATA: 3 C+ @) L2 t" o% Q& j1 j
b=3,2,2;
' I# [/ [% ~) W, L' l5 K. `c=36,24,49,21,81,72,45
) \* `& D, D& u% C 30,20,56,24,99,88,55 0 [0 _* X2 Z9 r
36,24,63,27,90,80,50; + m5 D8 S# a* p Q
ENDDATA
3 C- |; Z! Y" B4 zEND ' r; `- X1 E) q" ~' G
求得结果为,消防站 1 应向火警地点 2 派 1 辆车,向火警地点 3 派 2 辆车;消防站 2 应向火警地点 1 派 2 辆车;消防站 3 应向火警地点 2、3 各派 1 辆车。最小总损失 为 329。
" I" h0 l4 g! G, V1 j- k9 p ~& M& ]
(5)讨论* N K' L0 V n1 u
: ~/ W, D' s! e Q6 x1)这个问题本质上仍然和经典的运输问题类似,可以把每辆车到达火场看做需求点,消防站看做供应点。在上面模型中,我们虽然假设 为 0− 1变量,但求解时是采用线性规划求解的,也就是说没有加上 为 0− 1 变量或整数变量的限制条件,但求解得到的结果中 正好是 0−1 变量。这一结果不是偶然的,而是运输问题特有的一种性质.
: G6 N; U. C. e' G" T! ]$ m6 X$ R+ ~% l( s1 i
2 )在上面模型中,没有考虑消防车到达各火警地点的先后次序约束,但得到的结果正好满足所有的先后次序约束,这一结果不是必然的,而只是巧合。如对例题后半部 分的情形,结果就不是这样了。显然,此时只需要修改损失矩阵如表 8 所示(所示(元素仍然分别记为 )- d# |7 B9 _- i( ^ b$ i
9 B. s+ Z# {* c5 O3 k
6 i5 @9 I9 @! T- y( N
6 z6 }# j1 l: q- @; T. ^此时重新将式( 1 )-( 3 ) 构成的线性规划模型输入 LINGO 求解,可以得到新的最优解 : 其它变量为 0(最小总损失仍为 329)% Z3 H0 _6 M: k
6 d0 Q3 Z4 N5 }* r5 r实际上,损失矩阵中只是 1、2 列交换了位置,3、4 列交换了位置,5、7 列 交换了位置,因此不用重新求解就可以直接看出以上新的最优解。 8 Y8 J1 N" J- }6 R/ O# O' C
- ^+ c/ L' r/ W5 {7 y但是,以上新的最优解却是不符合实际情况的。例如, 表明火警地点2 的第一辆消防车来自消防站 3,第二辆消防车来自消防站 1,但这是不合理的,因为 火警地点 2 与消费站 3 有 9min 的距离,大于与消防站 1 的 7min 的距离。分配给火警 地点 3 的消防车也有类似的不合理问题。为了解决这一问题,我们必须考虑消防车到达 各火警地点的先后次序约束,也就是说必须在简单的运输问题模型中增加一些新的约 束,以保证以上的不合理问题不再出现。
- z/ {9 _; @" {/ n) |7 R0 n
+ D% f2 g5 Z& f* \9 f首先考虑火警地点 2。由于消防站 1 的消防车到达所需时间(7min)小于消防站 2 的消防车到达所需时间(8 分钟),并都小于消防站 3 的消防车到达所需时间(9 分钟), 因此火警地点 2 的第二辆消防车如果来自消防站 1,则火警地点 2 的第 1 辆消防车也一 定来自消防站 1;火警地点 2 的第 2 辆消防车如果来自消防站 2,则火警地点 2 的第 1 辆消防车一定来自消防站 1 或 2。因此,必须增加以下约束: ( 4 )
& y) f5 k: Z' o* p
+ H3 X/ K+ r$ C- W2 v同理,对火警地点 1,必须增加以下约束: ( 5 )! R: r& _& O3 J& X5 d7 M
% a) B' n: {# M! W$ g9 n$ M! R% x对火警地点 3,必须增加以下约束: ( 6 )# X4 ~, N- V5 V7 ~
9 [+ h6 n8 d+ }$ L; i' v重新将式(1)~(6)构成的整数规划模型( 是 1 0− 变量)输入 LINGO 软件如下:
/ k' y9 K0 ?4 s1 ]/ k& E3 @: p$ y# @5 m, F
MODEL: / P& E1 P$ \% p
TITLE 消防车问题;
! G( a* _5 v, t6 h! v3 M' ?5 rSETS:
- t6 a' ~( J: B) L) }; q, ? psupply/1..3/:b; ; l5 g9 p! o, P# l& I# k$ y
need/1..7/;
5 r4 F' m! y$ L! J6 F: `links(supply,need):c,x;
. U7 R; a! m3 `% q7 i/ D4 }ENDSETS
+ s# N: ~* j. S; `# u3 A+ Y[OBJ]Min=@sum(links:c*x);
9 l: s4 O5 G* e@FOR(supply(i):@sum(need(j):x(i,j))=b(i)); + e) ?3 ^0 ]2 b0 ?
@FOR(need(j):@sum(supply(i):x(i,j))=1); ' A- e4 ?* m9 _' F, X0 `
x(1,4)<x(1,3); # d0 Y+ G4 p4 I6 k+ j+ C1 p& x3 F
x(2,4)<x(1,3)+x(2,3);
4 k- g% d" }, a9 c6 mx(2,2)<x(2,1);
( N+ m) {, m; Y1 n$ ~6 O9 k bx(1,6)<x(1,5);
8 b6 l# e% c( tx(1,7)<x(1,6); ( G( {* B7 A7 f' i% n$ x
x(3,6)<x(1,5)+x(3,5);
% N% p0 `; Q* v; ~/ ~' F, W2*x(3,7)<x(1,5)+x(1,6)+x(3,5)+x(3,6);
+ R0 N* W9 y0 r* S@for(links:@bin(x)); + }8 }" {/ c0 W. Q: u
DATA:+ W8 v* j# _% i0 K; s+ h, W: n$ L
b=3,2,2;
/ F# ^' \9 S. B/ X# ]( c% wc= 24 36 21 49 45 72 81 % w, d# @0 D1 e% v2 b
20 30 24 56 55 88 99 * @" G# n9 U/ X, s
24 36 27 63 50 80 90;
8 h8 O7 l! b3 Q- s5 V7 jENDDATA
/ {% o1 @ w! L4 W! ~END
& S* @# q! _+ F7 r1 |7 H% p求解可以得到: ,其它变量为 0(最小总损失仍为 335)。也就是说,消防站 1 应向火警地点 2 派 2 辆车,向火警地点 3 派 1 辆车;消防站 2 应向火警地点 1 派 2 辆车;消防站 3 应向火警地点 3 派 2 辆车。经过检 验可以发现,此时的派车方案是合理的。 ' q8 y" H* y4 O- S$ D$ s/ }
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7 N0 t2 k5 E8 x5 V1 r原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89388172/ b6 j# M8 \; d( m! n8 o
- M" H7 x1 L% r4 z
9 x2 ^; T6 v: d' w7 ^. e
% q2 P0 o2 o0 f& |+ q |
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