消防车调度问题 ：用数学建模优化生产与服务运作中的管理问题

浅夏110

问题描述： 某市消防中心同时接到了三处火警电话。根据当前的火势，三处火警地点分 别需要 2 辆、2 辆和 3 辆消防车前往灭火。三处火警地点的损失将依赖于消防车到达的及时程度：记  为第 j 辆消防车到达火警地点i的时间，则三处火警地点的损失分别为
) p% d* D! V) Y6 h6 p& h, N

0 I- ^- f% u' V( t6 A. {6 U   ; 。目前可供消防中心调度的消防车正好有 7辆，分别属于三个消防站（可用消防车数量分别为 3 辆、2 辆、2 辆）。消防车从三个消 防站到三个火警地点所需要的时间如表 6 所示。应如何调度消防车，才能使总损失最 小？
% L6 x( N0 N; {8 Q5 w


: |/ D0 ~) v1 W+ a! ?( S( W7 }问题二：如果三处火警地点的损失分别为 ；，调度方案是否需要改变？
. a- s. y; m. O: Y& ]% w" H
) R. C3 l: c$ C9 R2 n: K" W

! V2 _: L) ^, R" p* ?' [（1）问题分析
9 z, h2 F6 d& B2 C1 z9 Z
本题考虑的是为每个火警地点分配消防车的问题，初步看来与线性规划中经典的运输问题有些类似。本题的问题可以看成是指派问题和运输问题的一种变形，我们下面首先把它变成一个运输问题建模求解。

（2）决策变量

, \7 Q: p( c1 m* @1 `' v为了用运输问题建模求解，我们很自然地把 3 个消防站看成供应点。如果直接把 3 个火警地点看成需求点，我们却不能很方便地描述消防车到达的先后次序，因此难以确 定损失的大小。下面我们把 7 辆车的需求分别看成 7 个需求点（分别对应于到达时间 . 用   表示消防站i是否向第 j 个需求点派车（1 表示派车，0表示不派车），则共有 21 个  0−1 变量.
  X/ U" o/ [& E3 u
7 L4 `/ ~' m1 V' j（3）模型建立
7 B+ D! U9 J2 Z5 e5 p8 s0 ?. U; |
题目中给出的损失函数都是消防车到达时间的线性函数，所以由所给数据进行简 单的计算可知，如果消防站 1 向第 6 个需求点派车（即消防站 1 向火警地点 3 派车但该 消防车是到达火警地点 3 的第二辆车），则由此引起的损失为 72 98 = × 。同理计算，可以得到损失矩阵如表 7 所示（元素分别记为 ）。



+ u6 e$ g; D, S/ f2 P
% T9 W/ B" E. O3 ^0 U* i

于是，使总损失最小的决策目标为
% d+ G7 D& U4 K5 ]
) t" O! |/ V. Q, x( \9 H+ X* c                     ( 1 )
  N3 |* W/ G( @% ^% X
约束条件：
7 `/ f0 x2 c& D4 A0 M
1 C; B8 J2 n9 V) T. r约束条件有两类，一类是消防站拥有的消防车的数量限制，另一类是 各需求点对消防车的需求量限制。
3 j0 {* u: S4 @# b, ~" A* D记   （ i=1,2,3 ）为第i个消防站拥有消防车的数量，则消防站拥有的消防车的数量限制可以表示为
                        (  2 )
! t3 H) T7 Z. c9 n2 w/ [( c! }
各需求点对消防车的需求量限制可以表示为
4 n) P+ ?4 c1 v
           (  3 )

（4）模型求解 的lingo代码
8 H5 {* y* ?0 r
( K! w2 L8 c& O! g0 H9 tMODEL:
TITLE 消防车问题;
' U& ^6 I: |7 Q. B9 o, ASETS:
supply/1..3/:b;
need/1..7/;
links(supply,need):c,x;
ENDSETS
[OBJ]Min=@sum(links:c*x);
1 Q/ g/ n# u8 j( `9 Q' r@FOR(supply(i):@sum(need(j):x(i,j))=b(i));
@FOR(need(j):@sum(supply(i):x(i,j))=1);
; O# ~9 C9 f: I/ Y9 {8 e/ cDATA:
" T* d# r. Y- Z6 {+ \" Ob=3,2,2;
c=36,24,49,21,81,72,45   
    30,20,56,24,99,88,55   
    36,24,63,27,90,80,50;
ENDDATA
* f6 Y5 k! V' N7 }6 ^END
7 l" `* M2 s# j求得结果为，消防站 1 应向火警地点 2 派 1 辆车，向火警地点 3 派 2 辆车；消防站 2 应向火警地点 1 派 2 辆车；消防站 3 应向火警地点 2、3 各派 1 辆车。最小总损失 为 329。

9 n: r& k3 v4 }: X/ f（5）讨论

; M3 s) P6 }& Y8 v: C1）这个问题本质上仍然和经典的运输问题类似，可以把每辆车到达火场看做需求点，消防站看做供应点。在上面模型中，我们虽然假设   为 0− 1变量，但求解时是采用线性规划求解的，也就是说没有加上 为 0− 1 变量或整数变量的限制条件，但求解得到的结果中   正好是 0−1 变量。这一结果不是偶然的，而是运输问题特有的一种性质.
8 u5 I: m+ Y+ X5 E
2 ）在上面模型中，没有考虑消防车到达各火警地点的先后次序约束，但得到的结果正好满足所有的先后次序约束，这一结果不是必然的，而只是巧合。如对例题后半部 分的情形，结果就不是这样了。显然，此时只需要修改损失矩阵如表 8 所示（所示（元素仍然分别记为 )



$ ]. T! n6 h0 ^8 c9 @7 w此时重新将式（ 1 )-( 3 ) 构成的线性规划模型输入 LINGO 求解，可以得到新的最优解： 其它变量为 0（最小总损失仍为 329）
+ Y- {+ T5 @5 T' }4 q6 B3 w
实际上，损失矩阵中只是 1、2 列交换了位置，3、4 列交换了位置，5、7 列 交换了位置，因此不用重新求解就可以直接看出以上新的最优解。

6 ~- G# v; N0 E9 g) \" W- p: o但是，以上新的最优解却是不符合实际情况的。例如，  表明火警地点2 的第一辆消防车来自消防站 3，第二辆消防车来自消防站 1，但这是不合理的，因为 火警地点 2 与消费站 3 有 9min 的距离，大于与消防站 1 的 7min 的距离。分配给火警 地点 3 的消防车也有类似的不合理问题。为了解决这一问题，我们必须考虑消防车到达 各火警地点的先后次序约束，也就是说必须在简单的运输问题模型中增加一些新的约 束，以保证以上的不合理问题不再出现。
1 J4 q3 M& }! f
首先考虑火警地点 2。由于消防站 1 的消防车到达所需时间（7min）小于消防站 2 的消防车到达所需时间（8 分钟），并都小于消防站 3 的消防车到达所需时间（9 分钟）， 因此火警地点 2 的第二辆消防车如果来自消防站 1，则火警地点 2 的第 1 辆消防车也一 定来自消防站 1；火警地点 2 的第 2 辆消防车如果来自消防站 2，则火警地点 2 的第 1 辆消防车一定来自消防站 1 或 2。因此，必须增加以下约束：   (  4 )

同理，对火警地点 1，必须增加以下约束:    (  5 )
' @0 S1 A$ J+ A& m/ K
对火警地点 3，必须增加以下约束:     ( 6 )

重新将式（1）～（6）构成的整数规划模型（   是 1 0− 变量）输入 LINGO 软件如下:

% h. [4 H. Q% RMODEL:
TITLE 消防车问题;
SETS:
supply/1..3/:b;
need/1..7/;
6 F, [1 L: G/ q1 U1 K2 z- \links(supply,need):c,x;
& H4 E; L3 w! n7 W" e$ n; ?& oENDSETS
[OBJ]Min=@sum(links:c*x);
@FOR(supply(i):@sum(need(j):x(i,j))=b(i));
@FOR(need(j):@sum(supply(i):x(i,j))=1);
- M- i" N' f9 E1 ]& \x(1,4)<x(1,3);
x(2,4)<x(1,3)+x(2,3);
x(2,2)<x(2,1);
x(1,6)<x(1,5);
- X+ P/ \' F& H, |. Tx(1,7)<x(1,6);
7 ^! O% d1 ^+ \/ h4 vx(3,6)<x(1,5)+x(3,5);
2*x(3,7)<x(1,5)+x(1,6)+x(3,5)+x(3,6);
" j9 j: ?9 ]: P. T8 z@for(links:@bin(x));
6 L. x+ U! m$ {" V( uDATA:
5 ?- n$ E0 l& j% q3 A/ ]b=3,2,2;
. z1 T; ^% M# Z( j  }" p8 j9 U) c$ I- cc=  24    36    21    49    45    72    81     
    20    30    24    56    55    88    99     
    24    36    27    63    50    80    90;
ENDDATA
  ~7 f1 }3 v6 K% O' O# N2 CEND
求解可以得到： ，其它变量为 0（最小总损失仍为 335）。也就是说，消防站 1 应向火警地点 2 派 2 辆车，向火警地点 3 派 1 辆车；消防站 2 应向火警地点 1 派 2 辆车；消防站 3 应向火警地点 3 派 2 辆车。经过检 验可以发现，此时的派车方案是合理的。
% [! F- y1 S2 Z7 p9 C————————————————
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  u; Q0 j/ n/ P6 ~& l