（算法）通俗易懂的字符串匹配KMP算法及求next值算法

杨利霞

（算法）通俗易懂的字符串匹配KMP算法及求next值算法

大多数据结构课本中，串涉及的内容即串的模式匹配，需要掌握的是朴素算法、KMP算法及next值的求法。在考研备考中，参考严奶奶的教材，我也是在关于求next值的算法中卡了一下午时间，感觉挺有意思的，把一些思考的结果整理出来，与大家一起探讨。


) e2 Q' |: I: D* y; M+ ]本文的逻辑顺序为
- l% d. o# y/ r& F2 v/ K4 M0 H1、最基本的朴素算法
* C( W* p5 j" C7 F) k2、优化的KMP算法
# b4 f$ A, o3 y/ z) p3、应算法需要定义的next值
4、手动写出较短串的next值的方法
2 a0 X; \4 w1 l2 e5、最难理解的、足足有5行的代码的求next值的算法
所有铺垫为了最后的第5点，我觉得以这个逻辑下来，由果索因还是相对好理解的，下面写的很通俗，略显不专业…
% D. H9 R  k! O/ L4 |, N5 B9 [
! ^+ F2 s3 Q  N$ Z/ c9 m
一、问题描述
给定一个主串S及一个模式串P，判断模式串是否为主串的子串；若是，返回匹配的第一个元素的位置（序号从1开始），否则返回0；如S=“abcd”，P=“bcd”，则返回2；S=“abcd”，P=“acb”，返回0。

4 k+ a. V  H& V# V' w* ?3 f
二、朴素算法
! |0 r' t# ?6 }) q最简单的方法及一次遍历S与P。以S=“abcabaaaabaaacac”,P="abaabcac"为例，一张动图模拟朴素算法：
1 ?& Q2 }- @# [



这个算法简单，不多说，附上代码
$ C1 v& Y. ]2 Q
" H- `( C; i; r6 i
#include<stdio.h>
int Index_1(char s[],int sLen,char p[],int pLen){//s为主串，sLen为主串元素个数，p为模式串，pLen为模式串的个数
" o3 |. ~3 [6 a4 j8 R7 X    if(sLen<pLen)return 0;
; I% i6 W$ [+ j    int i = 1,j = 1;
0 h7 G0 S  u* p3 R, ?6 A! ~    while(i<=sLen && j<=pLen){
        if(s==p[j]){i++;j++;}
        else{
0 T; Y+ ^1 Q8 ^* \            i = i-j+2;
            j = 1;
  @# ~; n  J( L1 F$ K& ~; U# w& N        }
- A/ p% I) D' }2 n0 j    }
    if(j>pLen) return i-pLen;
' l( Z9 i7 b3 h: _% Z3 i    return 0;
, q$ h9 O4 M+ i  L* j; {& D5 `7 N6 l}
void main(){
2 ?7 N. [, U( f+ p1 v6 a    char s[]={' ','a','b','c','a','b','a','a','a','a','b','a','a','b','c','a','c'};//从序号1开始存
    char p[]={' ','a','b','a','a','b','c','a','c'};
    int sLen = sizeof(s)/sizeof(char)-1;
6 i9 o5 X, a- g4 f- u. o' }0 z    int pLen = sizeof(p)/sizeof(char)-1;
    printf("%d",Index_1(s,sLen,p,pLen));
}
1
& W# L. c" \* m2
8 ^% u9 ~- A( J3 z# p+ l0 S3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7 ], a# u) `8 n13
14
15
. O' ?% w4 z; z) |7 Z16
17
* Q0 E9 f/ O' a. u; z' x18
19
: _: r4 e' }9 c4 @8 ?20
21
三、改进的算法——KMP算法
! z# o! E( l' Q/ j3 U0 K% t朴素算法理解简单，但两个串都有依次遍历，时间复杂度为O(n*m)，效率不高。由此有了KMP算法。
一般的，在一次匹配中，我们是不知道主串的内容的，而模式串是我们自己定义的。
朴素算法中，P的第j位失配，默认的把P串后移一位。
( b' D7 S+ i; J- K) m* G7 Z但在前一轮的比较中，我们已经知道了P的前(j-1)位与S中间对应的某(j-1)个元素已经匹配成功了。这就意味着，在一轮的尝试匹配中，我们get到了主串的部分内容，我们能否利用这些内容，让P多移几位(我认为这就是KMP算法最根本的东西)，减少遍历的趟数呢？答案是肯定的。再看下面改进后的动图：
  g  R* @, `7 @# \
3 k6 s/ |; |% O/ m) L( q/ [+ |
  \0 \0 M( x0 o/ a

这个模拟过程即KMP算法，若没有看明白，继续往下看相应的解释，理解需要把P多移几位，然后回头再看一遍这个图就很明了了。
2 P$ L7 C1 I/ }) o- {
" M( T7 M8 [/ ]- G7 J
# ?% Y5 n) i& D4 H! T相比朴素算法：
0 D/ W* I& B* ^9 \! M朴素算法： 每次失配，S串的索引i定位的本次尝试匹配的第一个字符的后一个。P串的索引j定位到1；T(n)=O(n*m)
KMP算法： 每次失配，S串的索引i不动，P串的索引j定位到某个数。T(n)=O(n+m)，时间效率明显提高


1 [: V- H) k0 k. E0 F而这“定位到某个数”，这个数就是接下来引入的next值。（实际上也就是P往后移多少位，换一种说法罢了：从上图中也可以看出，失配时固定i不变，令S与P[某个数]对齐，实际上是P右移几位的另一种表达，只有为什么这么表达，当然是因为程序好写。）


开——始——划——重——点！（图对逻辑关系比较好理解，但i和j的关系对后面求next的算法好理解！）

1 O- O( S. {) z6 V) l3 M; V
比如，Pj处失配，绿色的是Pj，则我们可以确定P1…Pj-1是与Si…Si+j-2相对应的位置一一相等的
3 ~9 Z5 v" X. ]0 }& r; n
* ]9 E- E9 B9 c4 n9 b& g& [- v

假设P1…Pj-1中，P1…Pk-1与Pj-k+1…Pj-1是一一相等的，为了下面说的清楚，我们把这种关系叫做“首尾重合”
9 A) u3 K% y' X3 [
& d# @3 L* n& b1 r
* D" i% G+ T9 D- L& L

那么可以推出，P1…Pk-1与Si…Si+j-2



) u. S9 _) E3 e# o, G
- F, s/ Z( z5 z5 M' [: n% p显然，接下来要做的就是把模式串右移了，移到哪里就不用多说了：

/ a3 h+ y$ q7 ]

) M: h% \% U7 h0 m1 d" h' [
  {4 N0 G8 H" Y为了表示下一轮比较j定位的地方，我们将其定义为next[j]，next[j]就是第j个元素前j-1个元素首尾重合部分个数加一，当然，为了能遍历完整，首尾重合部分的元素个数应取到最多，即next[j]应取尽量大的值，原因挺好理解的，可以想个例子模拟一下，会完美跳过正确结果。在上图中就是绿色元素的next值为蓝色元素的序号。也即，对于字符串P，next[8]=4。如此，再看一下上面的动图是不是清楚了不少。
$ J6 o, D- {# d3 y6 l5 j& t

: P. a( |; m  I& C最后，如果我们知道了一个字符串的next值，那么KMP算法也就很好懂了。相比朴素算法，当发生失配时，i不变，j=next[j]就好啦！接下来就是怎么确定next值了。
8 w" E& o3 T& I  M2 A

) k* z0 L( J/ b& _1 p% s6 }# C四、手动写出一个串的next值
6 ~5 ]  H" H: P/ I4 @我们规定任何一个串，next[1]=0。(不用next[0]，与串的所有对应)，仍是一张动图搞定问题：
9 d1 Q9 i! \5 ^3 S- ~) I/ m

; ]5 G# N- i% a4 b: f7 d4 t这个扫一眼就能依次写出，会了这个方法，应付个期末考试没问题了。
/ N1 m+ c- s8 j; d
) }: p( B/ n0 m+ o" ^- f0 _
2 d  U1 L5 U+ A& j  K+ `4 t通过把next值“看”出来，我们再来分析next值，这就很容易得到超级有名的公式了，这个式子对后面的算法理解很重要！所以先要看懂这个式子，如果上面的内容通下来了，这个应该很容易看懂了：

4 j9 l. L% A% Z" o& H
9 D3 C- S6 E. B4 F6 T& h! w
& S& Q7 D' b6 S6 a$ Q
% F; r/ V. t$ I# c* v) I  Q: K  j( ~五、求next的算法
. Z$ u# K# W8 V+ W1 K. u5 }) }终于到了最后了~短的串的next值我们可以“看”出来，但长的串就需要借助程序了，具体算法刚接触的时候确实不容易理解，但给我的体验，把上面的内容写完，现在感觉简简单单了…先附上程序再做解释，(终于到了传说中的整整5行代码让我整理了一下午)。


int GetNext(char ch[],int cLen,int next[]){//cLen为串ch的长度
    next[1] = 0;
+ [8 g9 h+ f! m! ?# O4 J    int i = 1,j = 0;
    while(i<=cLen){
% j; d% h! o3 ?) @- k        if(j==0||ch==ch[j]) next[++i] = ++j;
        else j = next[j];
8 _; l% K/ @3 X    }
6 Z3 S. n8 j" j3 i% |}
& X, L! f9 j8 Z1 B' y
: c' @2 t3 i' t+ V; N5 c还是先由一般再推优化：
: e# y& E3 l% m2 p* K直接求next[j+1]（至于为什么是j+1，是为了和下面的对应）
根据之前的分析，next[j+1]的值为pj+1的前j个元素的收尾重合的最大个数加一。即需要满足两个条件，把它的值一步步“检验”出来。一是“个数最多”的，因此要从可能的最大值开始验；二是“首尾重合”，因此要一一对应验是否相等。
  w3 J( I1 Z! F+ m1 v$ m+ ?不难理解，next[j+1]的最大值为j，所有我们从next[j+1]=j开始“验证”。有以下优先判断顺序：
if(P1…Pj-1 == P2…Pj) => next[j+1]=j
else if(P1…Pj-2 == P3…Pj) =>next[j+1]=j-1
+ |9 Y, }  }' W, F) R* a; Belse if(P1…Pj-3 == P4…Pj) =>next[j+1]=j-2
…
…
…
else if(P1P2 == Pj-1Pj) => next[j+1]=3
else if(P1 == Pj-1) => next[j+1]=2
- \7 o! ^! R7 x. o' e6 ~else if(P1 != Pj-1) => next[j+1]=1
每次前去尾1个，后掐头1个，直至得到next[j+1]


( g) l# O% V% I9 Q& G0 ?再进一步想，next值是一个“工具”，我们单独的求next[j+1]是完全没有意义的，就是说要求next就要把所有j的next求出来。所有一般的，我们都是已知前j个元素的next值，求next[j+1]，以此递推下去，求完整的next数组。
4 x1 S) {3 z; L5 R; F但是，上面的思考过程还是最根本的。所以问题变为两个：知道前j个元素的next的情况下，
①next[j+1]的可能的最大值是多少（即从哪开始验证）
& e2 [! t% H) Z( W+ \8 A( L②某一步验证失败后，需要“前去尾几个，后掐头几个？”（即本次验证失败后，再验证哪个值）
看一下的分析：
+ z  C6 r; I3 E, U1 a
7 n% {; u( {- z, D' W& m: T: t
1、next[j+1]的最大值为next[j]+1。
因为：
, R/ x. a2 K1 j. x假设next[j]=k1，则可以说明P1…Pk1-1=Pj-k1+1…Pj-1，且这是前j个元素最大的首尾重合序列。
如果Pk1=Pj，那么P1…Pk1-1PK=Pj-k1+1…Pj-1Pj，那么k+1这也是前j+1个元素的最大首尾重合序列，也即next[j+1]的值为k1+1
) _9 M1 C2 L0 ~" U( e, \! k3 T2、如果Pk1≠Pj，那么next[j+1]可能的次大值为next[next[j]]+1，以此类推即可高效求出next[j+1]
这里不好解释，直接看下面的流程分析及图解


- Q- v2 f$ i, F5 J$ d# L' ]开——始——划——重——点！
从头走一遍流程
①求next[j+1]，设值为m
②已知next[j]=k1，则有P1…Pk1-1 = Pj-k1+1…Pj-1
③如果Pk1=Pj，则P1…Pk1-1PK = Pj-k1+1…Pj-1Pj，则next[j+1]=k1+1，否则
- e; b+ j9 }0 v. i; V* P# U3 j④已知next[k1]=k2，则有P1…Pk2-1 = Pk1-k2+1…Pk1-1
⑤第二第三步联合得到:
P1…Pk2-1 = Pk1-k2+1…Pk1-1 = Pj-k1+1…Pk2-k1+j-1 = Pj-k2+1…Pj-1 即四段重合
⑥这时候，再判断如果Pk2=Pj，则P1…Pk2-1P~k2 = Pj-k2+1…Pj-1Pj，则next[j+1]=k2+1；否则再取next[k2]=k3…以此类推
5 q0 w0 a! u$ D+ Q/ N+ j

& u7 e% _7 f" s上面几步，耐心看下来，结合那个式子很容易看懂。最后，再加一个图的模拟帮助理解：
1 Z, B# W) [' J( P' {: J. j+ X1、要求next[k+1] 其中k+1=17
" u5 d% T5 b* o5 M

2、已知next[16]=8，则元素有以下关系：
3 j$ e" K3 n: _& w
$ N' S/ ^; B3 A! F2 H: R
, _+ h) O9 ~, B3、如果P8=P16，则明显next[17]=8+1=9
. x: M: R+ _3 g/ Q, U+ J4、如果不相等，又若next[8]=4，则有以下关系


又加上2的条件知

. g7 G1 b# }$ Y) i8 d
' {- ^+ |/ M& x6 M主要是为了证明：

+ D+ t! W; f  T+ }
6 K# ?4 F9 C  [5、现在在判断，如果P16=P4则next[17]=4+1=5，否则，在继续递推
' b& |+ k! r2 d" [: ]4 `6、若next[4]=2，则有以下关系


5 t# T: n3 J5 Z# \5 x7、若P16=P2，则next[17]=2+1=3;否则继续取next[2]=1、next[1]=0；遇到0时还没出结果，则递推结束，此时next[17]=1。最后，再返回看那5行算法，应该很容易明白了！
/ Y% e: z9 A- D& \4 C————————————————
版权声明：本文为CSDN博主「Sirm23333」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
原文链接：https://blog.csdn.net/qq_37969433/article/details/82947411
4 ^! t/ B* h) T' u/ _


( _- E8 x* z7 `7 w% `/ C, N