全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组）

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0. 写在前面
# v( P, P8 [8 v# P4 h1 F1 j# n这次参加全国大学生数学竞赛（非数学专业组），本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧，挺仓促的，好在学校竞赛培训的老师很负责，做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖，算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记（参考我校培训老师的课件）分享出来，大家可以对照着查缺补漏，希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。（文中截图出自我校数竞培训老师的课件）整体竞赛难度怎么说呢，还是看运气 年份，今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧，掌握好基础的知识点，才能应变越来越花里胡哨的题目。

; X8 w' @: l& j+ V* e% A2 [' m1 l
1. 求极限问题
1.1 洛必达
+ F9 j1 T5 t/ N) x/ u没啥好说的。

) m9 y0 Q, y) ^! [; `) l) o
1.2 等价无穷小


1.3 Taylor公式
熟记公式~


3 d7 C6 w' ]+ g& n1.4 两个重要极限
有关ln和e的极限，背下几个常见极限就好。
! u# T8 O+ ?8 O' a8 y% O

/ B* E! j6 m( m0 `1.5 利用导数或微分定义
$ H3 j! A2 E$ e9 i! A& l看到函数题干中有f’(a)的值（不为0常数）和f(a)的值（为0），就联想到是否可以联系导数定义解题。
( M; X/ Q8 Y" ?: r4 i

3 v- z8 t/ o4 J& e$ f! s- D1.6 微分中值定理
遇到求f(a)=a的a存在性证明，考虑零点定理
. o+ U0 Q( C& N5 i( G3 F% b: i
- K, P/ g/ T/ U& R8 G6 ]. s遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明，考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x
# B+ q! y" U+ n! q' C/ u
1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性
有这个思想就行。
2 T0 [9 L. f. O# l7 E  J

1.8 利用积分
5 Y3 ], n$ c' g. E( `看到含f’(x) 的不等式，就要想到对两边积分，这样一边可以得到f(x)

把不等式的一边先等价无穷小化简，再不等式通过两边取积分，化简的一边化为这样的形式（另一边是导数积分完为f(x)），方便判断收敛性：
  b( q8 X. ~% T  u1 ?6 j
8 T' g$ S* R: i' M6 q

6 i( h6 u6 s, S# b" t
) O) O" X% h$ m3 H9 \! y7 E4 n2. 导数的计算
2.1 分段点或特殊点处求导：直接利用定义
如有x值使得函数f(x)=0，求该点导数。
/ T8 W3 i/ J; E+ _3 V
' r0 f7 l8 e6 v' D+ j
  I: g4 N1 G- j& [7 L/ N2.2 隐函数求导 对数求导
当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导，消除幂数中的f(x)


2.3 参数方程确定的函数求导
理解过程。

. n' _% v& O9 J" i
' c% l/ C% `- g/ D% Y2.4 高阶函数
' T4 N1 B: K) c- {Leibniz公式


- E: L0 s1 l- Y- s6 x0 x! U5 n8 b常见高阶导数

" p- n* i" Q% E5 ]9 `/ z, a+ \
/ K% e* V( A/ f
4 b" `0 v( A0 g) h1 e* H' v! ]9 W
9 \; ^) E8 R6 g: J3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值

没啥好说的。

3.1.2 不等式的证明

• 利用函数的单调性证明
  , I& e, y3 [  U* x

3.1.3 确定方程实根个数

利用零点定理（至少有一个零点）+单调性（导数）（至多一个零点）来确定方程实根个数。

• 存在性：零点定理
• 唯一性：单调性/Rolle定理反证
  ; z. o/ h; o* D7 c% ~7 m! k) Q

; d/ q! C/ l- G. Y% Q* D1 J$ t5 |
7 }0 d" p% u. Y



3 R% P4 p9 y, h3 l7 I


# h( v; H: v4 C
0 q$ N& C8 w9 u; ^9 ?' x' _