全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组）

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0. 写在前面
5 l3 o6 q. L+ h7 M( J% Z3 W这次参加全国大学生数学竞赛（非数学专业组），本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧，挺仓促的，好在学校竞赛培训的老师很负责，做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖，算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记（参考我校培训老师的课件）分享出来，大家可以对照着查缺补漏，希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。（文中截图出自我校数竞培训老师的课件）整体竞赛难度怎么说呢，还是看运气 年份，今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧，掌握好基础的知识点，才能应变越来越花里胡哨的题目。

- G: W6 M/ G8 B& p  @
  Z) N( y; p5 M1. 求极限问题
0 C' v: H3 ~9 r' `1.1 洛必达
! i2 u6 Y! V3 n6 F+ ^; n6 V没啥好说的。


1.2 等价无穷小


! ?) J% s- D7 p2 _6 H$ F) B: V3 z1.3 Taylor公式
7 \# i' V/ w. U0 }( ]: Z熟记公式~
4 A3 v( b3 ?9 M  P' R
& b5 ^' b; ]! r- S
$ `" B. B  j+ J5 H$ ?1.4 两个重要极限
8 V& Z* F" P7 V" n有关ln和e的极限，背下几个常见极限就好。

! x* e& S6 L& k6 w& m
5 _" F$ T. r4 B- ?$ r8 d1.5 利用导数或微分定义
! t7 q/ L8 z% Z0 E看到函数题干中有f’(a)的值（不为0常数）和f(a)的值（为0），就联想到是否可以联系导数定义解题。


9 s* W$ `- N2 U" p5 N1 K1.6 微分中值定理
遇到求f(a)=a的a存在性证明，考虑零点定理

遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明，考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x

1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性
3 n4 U9 v1 z: ?有这个思想就行。

1 ^4 ^9 @0 G$ }# Z1 j% ^! C7 k
1.8 利用积分
% N9 G2 f: j7 G; C* v( t看到含f’(x) 的不等式，就要想到对两边积分，这样一边可以得到f(x)

4 N5 G3 t/ ^# p/ l把不等式的一边先等价无穷小化简，再不等式通过两边取积分，化简的一边化为这样的形式（另一边是导数积分完为f(x)），方便判断收敛性：


) K: L+ ?6 ]9 Z* U" g+ t* @

' x( ^/ p9 k) _2. 导数的计算
2.1 分段点或特殊点处求导：直接利用定义
如有x值使得函数f(x)=0，求该点导数。
7 A! l; E" s" V0 x/ M

2.2 隐函数求导 对数求导
当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导，消除幂数中的f(x)
% i! B9 A! |; \
2 i0 W% ~& X5 M1 i6 n! ]
2.3 参数方程确定的函数求导
& S. `( E  g4 I7 \( l( u理解过程。


6 R; k; B. ~$ z7 |) }! S' x; A3 x2.4 高阶函数
- E% \2 H" w7 N  K# P) zLeibniz公式


常见高阶导数

9 A# ?  L+ Q, i- y
; q( f" O0 z6 e

9 p$ X- G6 P- g0 `: Z' w5 T3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值

没啥好说的。

, z1 m7 H' m  J' Y5 O

3.1.2 不等式的证明

• 利用函数的单调性证明
  ! p8 L: B* f- k  p# t! R5 r

. v; a1 ?# u1 ^% \3 [/ i
& t) f. s, U# o( k4 }, h4 ^) Z3.1.3 确定方程实根个数

利用零点定理（至少有一个零点）+单调性（导数）（至多一个零点）来确定方程实根个数。

• 存在性：零点定理
• 唯一性：单调性/Rolle定理反证
  

- H' D$ U) Y- F


  \1 U1 y5 K+ j1 ?
, `8 i% q" a& r4 Y1 n0 s


" r1 X' E7 E! H* f& g/ z
& K$ }* ?9 L& a& \
- H7 h- z- _6 _1 _+ F! }3 P) r
! I4 ^, O: \; V
" o" U: v' t" A: v) v. r' l! w