全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组）

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0. 写在前面
这次参加全国大学生数学竞赛（非数学专业组），本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧，挺仓促的，好在学校竞赛培训的老师很负责，做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖，算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记（参考我校培训老师的课件）分享出来，大家可以对照着查缺补漏，希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。（文中截图出自我校数竞培训老师的课件）整体竞赛难度怎么说呢，还是看运气 年份，今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧，掌握好基础的知识点，才能应变越来越花里胡哨的题目。

0 y2 S. G0 `- U9 C4 c& j
3 i: @+ K" o9 m- k1. 求极限问题
1.1 洛必达
+ Z) |0 N+ F8 \没啥好说的。
. ~  C  L8 N3 G. K( V) q! F

1.2 等价无穷小
0 b7 H  _& H; ]8 ?

+ H" d( n- a8 R7 h9 K: r1.3 Taylor公式
6 x, V+ @0 D" i2 @' Q熟记公式~


1.4 两个重要极限
有关ln和e的极限，背下几个常见极限就好。


1.5 利用导数或微分定义
; Z. t$ J# s' |6 `( i看到函数题干中有f’(a)的值（不为0常数）和f(a)的值（为0），就联想到是否可以联系导数定义解题。


1.6 微分中值定理
$ J7 j5 f* [' A遇到求f(a)=a的a存在性证明，考虑零点定理

遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明，考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x
5 ]% n$ W' J' J0 [+ B' |+ ^' x8 Z
0 y1 K2 ^; I/ \0 D1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性
: M; W4 Y7 k( K+ F有这个思想就行。


1.8 利用积分
/ g0 _: x! O& `7 H+ O看到含f’(x) 的不等式，就要想到对两边积分，这样一边可以得到f(x)
. F4 L$ P$ c7 g9 K" [0 n
把不等式的一边先等价无穷小化简，再不等式通过两边取积分，化简的一边化为这样的形式（另一边是导数积分完为f(x)），方便判断收敛性：
7 e8 c$ g4 |- j5 T' d

; J1 T6 Z6 h" A+ m: [' s# z& f
# v5 e( ~3 P8 i6 U3 q8 f4 k$ G! ?1 N
. `% q7 t# ~* z$ N2. 导数的计算
5 \; |6 a; i6 D: @' I2.1 分段点或特殊点处求导：直接利用定义
' O) j/ n8 L/ U8 h2 J0 X! j9 o如有x值使得函数f(x)=0，求该点导数。
+ T9 B9 Y3 L& E+ a
+ V' u3 H# H7 S( ^- R/ h# E
2.2 隐函数求导 对数求导
当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导，消除幂数中的f(x)
* n1 y6 X; w7 I0 W4 Y

2 C  Q  Z% z; c  k% F! s2 O2 B2.3 参数方程确定的函数求导
6 j- w6 o0 f# X: R理解过程。
1 \- _: i0 n; K

2.4 高阶函数
Leibniz公式
( V& x  F5 n0 B+ ~) f1 P( V
2 a4 ?$ j! s3 ~) E7 e3 t
: W- k) B, D  G8 H* D+ V9 t常见高阶导数
  t! P  Q$ J, [0 S/ `
) N; ?- J+ d" A- K& l
( n  Z9 Z% Z) Q- z
, N9 M9 ^  ~+ r3 {
3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值

没啥好说的。

# n/ G3 j  ?1 L& r' I( x# F

3.1.2 不等式的证明

• 利用函数的单调性证明
  

3.1.3 确定方程实根个数

利用零点定理（至少有一个零点）+单调性（导数）（至多一个零点）来确定方程实根个数。

• 存在性：零点定理
• 唯一性：单调性/Rolle定理反证
  6 S) C) m' r, B- |! e

. _3 W: S( |$ o/ X  W" Q


, c! ?+ A; m& Y2 M( x
- t" n- e  n+ r: a7 r
# o. {4 q- s) g6 ]
5 S3 O8 O9 S7 L& [





2 d3 r* x" c: y: h* P; [% T
$ J7 n; O. Z  _7 i