全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组）

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0. 写在前面
% n" K9 I; s. F; q, p这次参加全国大学生数学竞赛（非数学专业组），本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧，挺仓促的，好在学校竞赛培训的老师很负责，做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖，算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记（参考我校培训老师的课件）分享出来，大家可以对照着查缺补漏，希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。（文中截图出自我校数竞培训老师的课件）整体竞赛难度怎么说呢，还是看运气 年份，今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧，掌握好基础的知识点，才能应变越来越花里胡哨的题目。


1. 求极限问题
1.1 洛必达
# Z( L& y3 Q7 x8 p没啥好说的。
3 o- J) e$ ~$ L: K

' ]7 B/ }  G* W/ G& p* d& a1.2 等价无穷小

7 a7 x) R5 n; C. X5 K
1.3 Taylor公式
( ~8 Y# F# c; Z2 L熟记公式~
, H* z) p. `* Q1 f( g) N  i

2 H2 e  {. b( c2 |9 o- T1.4 两个重要极限
) @% \; ~8 H' }% x. O3 j) g- @有关ln和e的极限，背下几个常见极限就好。

+ D6 f$ [" ~1 e/ T8 f% t7 [
1.5 利用导数或微分定义
看到函数题干中有f’(a)的值（不为0常数）和f(a)的值（为0），就联想到是否可以联系导数定义解题。
0 V! i) H! j: n/ N8 o
# {# k3 V' D, R0 m; t
, h# g  M/ i& N6 ~# M# z' X1.6 微分中值定理
6 ^: P) V* _- K) R$ z遇到求f(a)=a的a存在性证明，考虑零点定理

遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明，考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x

1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性
! I; g9 v6 l1 |' O& F! e有这个思想就行。
, w+ @/ E. }% G7 ~
6 d: K4 `) Q6 D: E, y
1.8 利用积分
看到含f’(x) 的不等式，就要想到对两边积分，这样一边可以得到f(x)
' d5 x2 l( L8 ~; x& y  g
6 R0 E& r- Q0 {* K8 L. R把不等式的一边先等价无穷小化简，再不等式通过两边取积分，化简的一边化为这样的形式（另一边是导数积分完为f(x)），方便判断收敛性：


7 g1 c: p; K+ Z, U. P/ f

2. 导数的计算
# f9 a! g; H# ]; @2.1 分段点或特殊点处求导：直接利用定义
! I1 F% i5 Z9 o8 R7 D如有x值使得函数f(x)=0，求该点导数。


2.2 隐函数求导 对数求导
8 o+ u0 q3 c% p  {当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导，消除幂数中的f(x)
$ ]. J) O. j  [; h. F
; J- I  [! v% f( U: O
0 i9 I) m7 V% F# E5 O+ y- `2.3 参数方程确定的函数求导
; h0 j& t( w% W8 P理解过程。
2 x. G) u1 X: N" [+ v
8 Z, s. K) E+ L
9 z! |  U7 k; ?- v/ `2.4 高阶函数
- K7 m( ~3 U! C, T# P0 dLeibniz公式
- l; A8 G" i3 `1 B( U8 f% n

% b' L2 D! |5 \; C4 h9 s常见高阶导数
4 i6 `, `8 L" Z& b% [6 g



" u$ Q: X4 B3 D3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值

没啥好说的。
6 u7 c1 d, E2 k( l) L0 Q

3.1.2 不等式的证明

• 利用函数的单调性证明
  

! B; E  W  ?9 o( w* R
3.1.3 确定方程实根个数

利用零点定理（至少有一个零点）+单调性（导数）（至多一个零点）来确定方程实根个数。

• 存在性：零点定理
• 唯一性：单调性/Rolle定理反证
  

8 {6 ~- m5 I; Q1 I
: L1 l, S" {# J, B+ L. v7 z% m/ L% o


- q" I" @6 x% ]
1 ^4 Z& A0 O5 H( n3 @8 [
' }% [+ T! ?2 u) j- t' ^% _2 J6 Z7 }

7 n: k4 O  O- Q) |2 V) m* Y  Q

  B: K  `# d, o

& a' F2 {8 F5 q; K
6 W  _& V# ~* D* v& P8 T