全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组）

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0. 写在前面
这次参加全国大学生数学竞赛（非数学专业组），本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧，挺仓促的，好在学校竞赛培训的老师很负责，做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖，算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记（参考我校培训老师的课件）分享出来，大家可以对照着查缺补漏，希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。（文中截图出自我校数竞培训老师的课件）整体竞赛难度怎么说呢，还是看运气 年份，今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧，掌握好基础的知识点，才能应变越来越花里胡哨的题目。
0 A& s( @) ?: O, W3 C% r/ r+ x

1. 求极限问题
1.1 洛必达
& r$ [; }" M6 g- R没啥好说的。


$ N3 l* _* n8 a4 o  O1.2 等价无穷小


1.3 Taylor公式
2 S5 t2 N  Z) u$ z6 o) |( _熟记公式~

  \9 n4 m& P7 O0 s# m! P, R
1.4 两个重要极限
8 ?2 p$ I: o3 T; \3 A有关ln和e的极限，背下几个常见极限就好。
- h0 k- b" R# o2 {: R* H

1.5 利用导数或微分定义
看到函数题干中有f’(a)的值（不为0常数）和f(a)的值（为0），就联想到是否可以联系导数定义解题。


1.6 微分中值定理
遇到求f(a)=a的a存在性证明，考虑零点定理
' T! [' b% h$ ]$ h7 G
遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明，考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x

" }9 H' b7 |$ F0 i2 H8 Z1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性
9 v6 @& {4 _4 f4 f有这个思想就行。
& J5 [0 w* J# b/ j
6 a. U. V! ]; a) _: o  h
9 @5 g7 S, A1 R1 n  n, L1.8 利用积分
看到含f’(x) 的不等式，就要想到对两边积分，这样一边可以得到f(x)

把不等式的一边先等价无穷小化简，再不等式通过两边取积分，化简的一边化为这样的形式（另一边是导数积分完为f(x)），方便判断收敛性：



; Y) Z7 }0 z3 J/ U, J4 V
; T6 [% E( c/ V9 U, A2 u! b2. 导数的计算
) S2 f  H' W4 d& P& w: F7 @3 B' O$ C3 u2.1 分段点或特殊点处求导：直接利用定义
% ]$ {8 A7 |" A- \+ N$ P如有x值使得函数f(x)=0，求该点导数。
: G6 C5 O  b0 R: n4 J
! S" Y6 U; N' }% W) d
$ e; Y4 Q0 ?9 s9 G$ O  k' ?2.2 隐函数求导 对数求导
" v( Z  B3 o. \  ]0 y/ m当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导，消除幂数中的f(x)


" K8 m0 T, u! `) Q/ Q: ]8 t2.3 参数方程确定的函数求导
理解过程。
3 ^" L+ h1 I/ E2 U2 v5 G

! T5 b1 |/ ^3 P, r8 ]2.4 高阶函数
/ c3 [- k  @. i0 KLeibniz公式


常见高阶导数
1 H/ b  P4 ]# o0 i6 [& u  g
2 w: M, _* l* q9 j. w; D

# c% C2 y( j- @% m% q; ^. C! P
( C+ H% c8 h- X  v3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值

没啥好说的。
( q+ w1 g% A0 f2 a  U: I
2 v) I1 k4 F) H6 K; s8 p

3.1.2 不等式的证明

• 利用函数的单调性证明
  ) U8 [* v* ]& `& D2 j1 x1 Q! `0 G

+ N( u8 d& Q1 h$ p7 P
3.1.3 确定方程实根个数

利用零点定理（至少有一个零点）+单调性（导数）（至多一个零点）来确定方程实根个数。

• 存在性：零点定理
• 唯一性：单调性/Rolle定理反证
  9 V* _3 W/ e9 n( h5 U! H

( G  G) u6 T' |: q% V
4 W1 R6 @) X. s/ ]% `" I

: G1 V" |; P$ E$ D: _: [3 y

& n, B  G. [1 ~
$ P% t7 u3 K( o
) k; Z- X& @* ^# u* R


/ D1 U" {1 `! X; ^2 W" T$ _9 T8 k