二次剩余值的关联计算(上)

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        二次剩余值的关联计算(上)

一、 二次剩余中\frac{1}{2} 相关值的计算：
& @4 B5 O/ |9 P; D& h0 p6 X   对于完全平方公式：
   (1/2 -m)^2  = 1/4 -m+m^2 = 1/4 +m(m-1)   (m≥1)  (1-1)
1 C& X5 ]$ G/ {* s7 _) k- s9 L/ E
    在n为奇数时, 上式的同余可以分为:
2 G5 x: e2 B6 ?7 `    ① 当n=4k-1时，对(1-1)求同余得:
- I! b: f- g( t  n& `2 O& @( J    (1/2-m)^2  ≡ (2k-m)^2 ≡ k+m(m-1) (mod n)    (1-2)
$ H' O+ ?) L  a% B8 G( p" s    ② 当n=4k+1时, 对(1-1)求同余得:
    (1/2 -m)^2  ≡ (2k+1-m)^2 ≡ -k+m(m-1) ≡ n-k+m(m-1) (mod n)    (1-3)
$ ]& q* A' O( w9 ~
  为以后叙述方便，我们对 1/2-1  1/2-2  ...  1/2-m (m >=1)  这类数称为二次剩余的后序序列, 即1/2  减小的方向的数列.
4 {2 p5 T3 E9 }2 A
  二次剩余后序序列的二次剩余值有个特点, 与k(k>0)值相关, 是k值与两个连续整数积的和，与k值同奇同偶。
. [6 J* c& m1 T4 Y! @  如n=299=4*75-1    k=75    2k=150 , 二次剩余后序序列为:
   (150-1)^2 ≡ 75+1*(1-1) ≡ 75 +0 ≡ 75 (mod 299)  =>  149^2 ≡ 75 (mod 299)  
   (150-2)^2 ≡ 75+2*(2-1) ≡ 75 +2 ≡ 77 (mod 299)  =>  148^2 ≡ 77 (mod 299)  
   (150-3)^2 ≡ 75+3*(3-1) ≡ 75 +6 ≡ 81 (mod 299)  =>  147^2 ≡ 81 (mod 299)

  .
  .
; s2 I3 P0 e0 l   根据后序序列，可以得到一个分解整数的方法:
   设n为奇合数, 如果 c^2-k=m(m-1)  m>0  => (2k-m)^2 ≡ c^2 (mod n)  , 或者
, X' S; K8 q  H. Y" R    c^2-k=m(m-1) => 4c^2-4k+1=4m(m-1)+1 => (2c)^2 ≡ (2m-1)^2 (mod n)  
   上述等式，由费马分解即可得到n的因子, 不过效率较低.
    例1: n=299-4*75-1 ,  k=75
      根据后序序列，大于75且与75同奇同偶的完全平方：9^2-81
" o( g4 Q2 q4 B# Q      81-75=6=2*3 为连续两个整数积，在后序序列上
      ∴ (150-3)^2≡81 (mod 299)  => 147^2≡81 (mod 299)
      或者 (2*9)^2≡(2*2+1)^2 (mod 299) => 18^2≡5^2(mod 299)

二、连续两个整数积的分解方法
: k6 E: M8 M% v   1、分解方法介绍
; r$ N. C6 W: e' x' n- C   例2: n=299=4*75-1
      25^2 ≡ 27 (mod 299)   =>
7 u9 ^4 K1 G2 M) X4 M  m' X     25^2 ≡ 25+2 (mod 299)  =>  
; R, V0 x* B5 b  l     25^2-25-2 ≡ 0 (mod 299) =>  
     (25-2)(25+1) ≡ 0 (mod 299) =>
     23*26 ≡ 0 (mod 299)   
     (23,299)=23   (26,299)=13      299=13*23

7 m/ A" P; w2 w2 Q  U5 \   分解方法:  设n为奇合数,  a^2 ≡ b (mod n)  , 如果 b=a+i(i+1) (i ≥ 0 )  , 则可得到:
      a^2 ≡ b (mod n)  =>
4 M# E) h- u! p/ E& x3 e3 }1 b     a^2-b-i(i+1) ≡ 0 (mod n)  =>
# g" G- S9 x. n4 D$ a     (a-(i+1))(a+i) ≡ 0 (mod n)
9 D$ y9 l& Y' O4 i2 K8 M     (a-(i+1),n)>1   (a+i , n)>1    即可分解n

1 o  M5 O8 @3 k" N: ]6 {9 i   2、分解方法的另一个解释
, \6 h# F- G  t2 o& w# k& l2 P    设n为奇数, a^2 ≡ b(mod n),  如果m=a, 则由(1-1)公式得:
( x( I, J/ F3 s# v5 }7 a     (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +a^2-a (mod n)   =>
2 e. p1 e# p5 _1 P' P       (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +b-a (mod n)    (2-1)
     
3 s4 B6 h* i/ Y     ① n=4k-1 , 2-1式得：
3 {/ N+ \5 X- M" C     (2k-a)^2 ≡ k+b-a(mod n)     (2-2)
     ① n=4k+1 , 2-1式得：
     (2k+1-a)^2 ≡ n-k+b-a (mod n)   (2-3)
5 q) e( E/ H" s& b) Y
+ ~0 H" G6 f& [; S$ [$ Z3 e   从(2-1(式, 可知二次剩余的计算,  在[1,1/4]范围内, 计算出[1,n-1]的二次剩余值.
   在例2中, 按(2-2)式的计算, 可得:
    (150-25)^2 ≡ 75+27-25 (mod 299) =>  125^2 ≡ 77 (mod 299)  
0 t' J+ q9 K, X    所以, a^2 ≡ b (mod n)  ，如果b=a+i(i+1) ,其相对1/2的剩余值在后序序列上.

& t; K8 |) r* G4 [ 三、1/j (j >=3)的计算方法
# r5 H; J8 f2 E! p0 f  上面的是计算 1/2， 即j=2, 如果j>2时,  有如下的1/j计算方法:
   (1/j ± ij)^2 = (ij)^2 ± 2i + (1/j)^2 (i >= 1 ) (j ≥3)   (3-1)

   而对于\frac{1}{j}相邻, 有两种计算,
4 J; K. o- p$ I$ H    1)  1/j    1+1/j  2+1/j ... t+1/j    (t<j)  
5 q; N( L& X( F  }, h    2) t-1/j ... 1-1/j  1/j  1+1/j ...  t+1/j   (t < j/2)  
    t+1/j= (1+tj)/j = m/j ,  m=1+tj

    按m/j , (3-1)式变成:
9 x4 g, w, j  ~# @1 o* Z    (m/j± ij )^2 = (ij)^2 ± 2mi + (m/j )^2  (i≥ 1 ) (j ≥ 3)   (3-2)
3 y( X$ t2 [& E
& q8 W$ F9 y% D5 ?   例3: n=299    \frac{1}{3} ≡ 100 (mod 299)   100^2 ≡ 133 (mod 299)  
   (100-3)^2 ≡ 3^2-2+133  (mod 299)    =>  97^2 ≡ 140  (mod 299)
4 D) t* b; X) F- _   (100+3)^2 ≡ 3^2+2+133  (mod 299)    =>  103^2 ≡ 144  (mod 299)
) C: d+ K+ s( H1 |5 u   1+1/3=4/3 ≡ 1+100=101 (mod 299)     101^2 ≡ 35 (mod 299)
7 r. y! h) Z+ P7 ?: D   (101-3)^2 ≡ 3^2-2*4+35  (mod 299)    =>  98^2 ≡ 36  (mod 299)
% W9 R. S$ ]4 o' {2 v3 x   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*4+35  (mod 299)    =>  104^2 ≡ 52  (mod 299)
: v% C: \0 _; c$ y5 q+ A5 A" g0 a+ r   1-1/3=-2/3 ≡ 1-100=-99 (mod 299)     99^2 ≡ 233 (mod 299)  
: h/ H% ?# r1 D: `   (99-3)^2 ≡ 3^2-2*(-2)+233  (mod 299)    =>  96^2 ≡ 246  (mod 299)
   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*(-2)+233  (mod 299)    =>  102^2 ≡ 238  (mod 299)   
   按2+1/3也能得到相同结果，这里不在验证.

. l# Q- S% j( x# \- V2 b   当然如果j=2s, 即为偶数, 可以计算一半的值, (3-2)式得  :
    (m/j ± i*s)^2=(is)^2±mi+(m/j)^2   (i ≥ 1)   (j ≥ 3)   (3-3)
  更一般的公式: 当为 g/j    g <j/2  , (g, j)=1, 这里就不再给出.