二次剩余值的关联计算(上)

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        二次剩余值的关联计算(上)
+ v) w, X1 v& f  `: r
1 p' i/ q* S5 q! P' R# \5 i 一、 二次剩余中\frac{1}{2} 相关值的计算：
+ @# D% t3 r0 z- l   对于完全平方公式：
9 F3 q/ B, a/ Y7 P  ]4 L/ ^) T   (1/2 -m)^2  = 1/4 -m+m^2 = 1/4 +m(m-1)   (m≥1)  (1-1)
, ^. c* ~" Y8 @3 C
    在n为奇数时, 上式的同余可以分为:
! a% W& W: ^5 C$ L, n  H8 p# M- i    ① 当n=4k-1时，对(1-1)求同余得:
) y. O* n" A% T7 p6 p8 [+ H* a$ r    (1/2-m)^2  ≡ (2k-m)^2 ≡ k+m(m-1) (mod n)    (1-2)
    ② 当n=4k+1时, 对(1-1)求同余得:
    (1/2 -m)^2  ≡ (2k+1-m)^2 ≡ -k+m(m-1) ≡ n-k+m(m-1) (mod n)    (1-3)

: I. l, v. S3 K) K* s  为以后叙述方便，我们对 1/2-1  1/2-2  ...  1/2-m (m >=1)  这类数称为二次剩余的后序序列, 即1/2  减小的方向的数列.
5 k! c5 G- [) W& j8 i
6 m0 X, J8 z) M9 P" k7 g! w  二次剩余后序序列的二次剩余值有个特点, 与k(k>0)值相关, 是k值与两个连续整数积的和，与k值同奇同偶。
' W. }& P2 u7 J4 n  如n=299=4*75-1    k=75    2k=150 , 二次剩余后序序列为:
   (150-1)^2 ≡ 75+1*(1-1) ≡ 75 +0 ≡ 75 (mod 299)  =>  149^2 ≡ 75 (mod 299)  
   (150-2)^2 ≡ 75+2*(2-1) ≡ 75 +2 ≡ 77 (mod 299)  =>  148^2 ≡ 77 (mod 299)  
" q. K: ?/ P; W% L   (150-3)^2 ≡ 75+3*(3-1) ≡ 75 +6 ≡ 81 (mod 299)  =>  147^2 ≡ 81 (mod 299)

. X' c: J6 |4 F: o! H$ \  .
  _0 W) c$ b2 K3 T! `) N. \7 Q  .
   根据后序序列，可以得到一个分解整数的方法:
$ R8 d6 Z" g5 D0 l   设n为奇合数, 如果 c^2-k=m(m-1)  m>0  => (2k-m)^2 ≡ c^2 (mod n)  , 或者
    c^2-k=m(m-1) => 4c^2-4k+1=4m(m-1)+1 => (2c)^2 ≡ (2m-1)^2 (mod n)  
   上述等式，由费马分解即可得到n的因子, 不过效率较低.
    例1: n=299-4*75-1 ,  k=75
      根据后序序列，大于75且与75同奇同偶的完全平方：9^2-81
      81-75=6=2*3 为连续两个整数积，在后序序列上
      ∴ (150-3)^2≡81 (mod 299)  => 147^2≡81 (mod 299)
      或者 (2*9)^2≡(2*2+1)^2 (mod 299) => 18^2≡5^2(mod 299)
4 Q/ W- g8 `9 B; B7 u( j  J
' B6 M+ F- Q, H# i, W; |+ ^9 A* j: [9 A 二、连续两个整数积的分解方法
6 @( i1 W+ E( m: K* A- b   1、分解方法介绍
   例2: n=299=4*75-1
      25^2 ≡ 27 (mod 299)   =>
( N+ ^1 i  s9 O+ Z; b8 y, F     25^2 ≡ 25+2 (mod 299)  =>  
0 A( S. O5 @( l% [5 r( k, q, i     25^2-25-2 ≡ 0 (mod 299) =>  
     (25-2)(25+1) ≡ 0 (mod 299) =>
: O. g3 l- L! |6 B     23*26 ≡ 0 (mod 299)   
+ t3 V4 G7 U  q( _/ u     (23,299)=23   (26,299)=13      299=13*23

   分解方法:  设n为奇合数,  a^2 ≡ b (mod n)  , 如果 b=a+i(i+1) (i ≥ 0 )  , 则可得到:
' W. X' D0 U9 H/ L# ?      a^2 ≡ b (mod n)  =>
     a^2-b-i(i+1) ≡ 0 (mod n)  =>
- K, i' B9 I# N# {) Z# a2 e  B     (a-(i+1))(a+i) ≡ 0 (mod n)
     (a-(i+1),n)>1   (a+i , n)>1    即可分解n

; H' D; g$ _5 ]- M- L6 D" z9 D   2、分解方法的另一个解释
    设n为奇数, a^2 ≡ b(mod n),  如果m=a, 则由(1-1)公式得:
) D" m$ V0 p' H9 R1 Y     (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +a^2-a (mod n)   =>
       (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +b-a (mod n)    (2-1)
1 F3 ]- y9 N9 r* U     
     ① n=4k-1 , 2-1式得：
     (2k-a)^2 ≡ k+b-a(mod n)     (2-2)
4 v7 S# M1 R9 S" f     ① n=4k+1 , 2-1式得：
     (2k+1-a)^2 ≡ n-k+b-a (mod n)   (2-3)
7 [; {2 e4 X7 `# g5 ^
   从(2-1(式, 可知二次剩余的计算,  在[1,1/4]范围内, 计算出[1,n-1]的二次剩余值.
   在例2中, 按(2-2)式的计算, 可得:
    (150-25)^2 ≡ 75+27-25 (mod 299) =>  125^2 ≡ 77 (mod 299)  
8 n& W5 z+ P3 B; y7 f9 h# J8 _: ]    所以, a^2 ≡ b (mod n)  ，如果b=a+i(i+1) ,其相对1/2的剩余值在后序序列上.

三、1/j (j >=3)的计算方法
  S! U8 A! i- m: E0 @  上面的是计算 1/2， 即j=2, 如果j>2时,  有如下的1/j计算方法:
   (1/j ± ij)^2 = (ij)^2 ± 2i + (1/j)^2 (i >= 1 ) (j ≥3)   (3-1)

: L3 j. b7 M4 I0 Z$ Z" v% N   而对于\frac{1}{j}相邻, 有两种计算,
    1)  1/j    1+1/j  2+1/j ... t+1/j    (t<j)  
( e& s( Z/ ~' Y1 t    2) t-1/j ... 1-1/j  1/j  1+1/j ...  t+1/j   (t < j/2)  
    t+1/j= (1+tj)/j = m/j ,  m=1+tj

    按m/j , (3-1)式变成:
- M# o4 C  s! {+ [    (m/j± ij )^2 = (ij)^2 ± 2mi + (m/j )^2  (i≥ 1 ) (j ≥ 3)   (3-2)

   例3: n=299    \frac{1}{3} ≡ 100 (mod 299)   100^2 ≡ 133 (mod 299)  
   (100-3)^2 ≡ 3^2-2+133  (mod 299)    =>  97^2 ≡ 140  (mod 299)
3 v7 n' o3 q$ H   (100+3)^2 ≡ 3^2+2+133  (mod 299)    =>  103^2 ≡ 144  (mod 299)
   1+1/3=4/3 ≡ 1+100=101 (mod 299)     101^2 ≡ 35 (mod 299)
3 V9 \: N' ]# B* T4 y2 U* F   (101-3)^2 ≡ 3^2-2*4+35  (mod 299)    =>  98^2 ≡ 36  (mod 299)
5 Y' b" D( P1 [: H( s; v) d$ z% f   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*4+35  (mod 299)    =>  104^2 ≡ 52  (mod 299)
   1-1/3=-2/3 ≡ 1-100=-99 (mod 299)     99^2 ≡ 233 (mod 299)  
: g5 ^( T; ]2 \$ Y9 W; o3 z; g   (99-3)^2 ≡ 3^2-2*(-2)+233  (mod 299)    =>  96^2 ≡ 246  (mod 299)
; h8 [; @: i4 l; \& B   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*(-2)+233  (mod 299)    =>  102^2 ≡ 238  (mod 299)   
! W) p( @5 d- z2 w) m6 Y/ y; {, F   按2+1/3也能得到相同结果，这里不在验证.
! N6 H6 p( \- K$ P, u# o6 l, I* {
2 W$ K$ q2 K2 P  v   当然如果j=2s, 即为偶数, 可以计算一半的值, (3-2)式得  :
/ |+ L- A4 J; g7 `- [7 x2 _( Q    (m/j ± i*s)^2=(is)^2±mi+(m/j)^2   (i ≥ 1)   (j ≥ 3)   (3-3)
* _! N+ p  ^: {+ g& \& l5 |  更一般的公式: 当为 g/j    g <j/2  , (g, j)=1, 这里就不再给出.
, L, Q4 @& x) T4 ?1 M: N' E6 `
) N, T  N% b. e2 ^