二次剩余值的关联计算(上)

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        二次剩余值的关联计算(上)
& |+ U# f5 S( D5 X$ t
一、 二次剩余中\frac{1}{2} 相关值的计算：
   对于完全平方公式：
* S" }( C2 S# N+ ^3 d, O8 x   (1/2 -m)^2  = 1/4 -m+m^2 = 1/4 +m(m-1)   (m≥1)  (1-1)
5 a: M& h0 M7 {9 t! P# P
& _; @$ Z8 ?5 N0 M3 D    在n为奇数时, 上式的同余可以分为:
: H" H' O2 J; M# k9 n' H    ① 当n=4k-1时，对(1-1)求同余得:
0 R) @9 f. z4 ~$ h    (1/2-m)^2  ≡ (2k-m)^2 ≡ k+m(m-1) (mod n)    (1-2)
    ② 当n=4k+1时, 对(1-1)求同余得:
    (1/2 -m)^2  ≡ (2k+1-m)^2 ≡ -k+m(m-1) ≡ n-k+m(m-1) (mod n)    (1-3)

  为以后叙述方便，我们对 1/2-1  1/2-2  ...  1/2-m (m >=1)  这类数称为二次剩余的后序序列, 即1/2  减小的方向的数列.

  二次剩余后序序列的二次剩余值有个特点, 与k(k>0)值相关, 是k值与两个连续整数积的和，与k值同奇同偶。
  如n=299=4*75-1    k=75    2k=150 , 二次剩余后序序列为:
   (150-1)^2 ≡ 75+1*(1-1) ≡ 75 +0 ≡ 75 (mod 299)  =>  149^2 ≡ 75 (mod 299)  
, R7 B# d, D$ g" k- g   (150-2)^2 ≡ 75+2*(2-1) ≡ 75 +2 ≡ 77 (mod 299)  =>  148^2 ≡ 77 (mod 299)  
   (150-3)^2 ≡ 75+3*(3-1) ≡ 75 +6 ≡ 81 (mod 299)  =>  147^2 ≡ 81 (mod 299)
4 ~5 u8 Q+ L6 D4 `  V& z8 V
  .
  .
+ ?* c0 Y. M* P. i) E$ `1 m   根据后序序列，可以得到一个分解整数的方法:
   设n为奇合数, 如果 c^2-k=m(m-1)  m>0  => (2k-m)^2 ≡ c^2 (mod n)  , 或者
; [. o; [# }# M; y    c^2-k=m(m-1) => 4c^2-4k+1=4m(m-1)+1 => (2c)^2 ≡ (2m-1)^2 (mod n)  
. u& ^/ K/ f0 X( O   上述等式，由费马分解即可得到n的因子, 不过效率较低.
    例1: n=299-4*75-1 ,  k=75
      根据后序序列，大于75且与75同奇同偶的完全平方：9^2-81
1 ?  i$ }7 W; [1 j, p- s  |      81-75=6=2*3 为连续两个整数积，在后序序列上
      ∴ (150-3)^2≡81 (mod 299)  => 147^2≡81 (mod 299)
5 L# F" g/ V$ R# Y! ?  x, Q& y      或者 (2*9)^2≡(2*2+1)^2 (mod 299) => 18^2≡5^2(mod 299)
1 p/ P6 w0 T; ?# [
: K" }! x7 U: c( H& F2 j0 z$ ? 二、连续两个整数积的分解方法
! B( W' _$ z/ ?3 l5 G! y' F* J   1、分解方法介绍
   例2: n=299=4*75-1
      25^2 ≡ 27 (mod 299)   =>
     25^2 ≡ 25+2 (mod 299)  =>  
     25^2-25-2 ≡ 0 (mod 299) =>  
4 N3 y: J  j  Z( h6 @+ r* a8 s, j     (25-2)(25+1) ≡ 0 (mod 299) =>
9 f+ L+ g& d9 w! k5 e     23*26 ≡ 0 (mod 299)   
     (23,299)=23   (26,299)=13      299=13*23

   分解方法:  设n为奇合数,  a^2 ≡ b (mod n)  , 如果 b=a+i(i+1) (i ≥ 0 )  , 则可得到:
      a^2 ≡ b (mod n)  =>
& _% c6 P, p) J; p6 c     a^2-b-i(i+1) ≡ 0 (mod n)  =>
: }) M  \5 x% e3 r6 t/ c     (a-(i+1))(a+i) ≡ 0 (mod n)
/ o, l  h' u) m1 |1 m( n! o- y     (a-(i+1),n)>1   (a+i , n)>1    即可分解n
7 W# Y5 {: w: |; [; @) S7 i' {
   2、分解方法的另一个解释
    设n为奇数, a^2 ≡ b(mod n),  如果m=a, 则由(1-1)公式得:
     (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +a^2-a (mod n)   =>
       (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +b-a (mod n)    (2-1)
3 m9 h( o6 J. t2 R0 e     
     ① n=4k-1 , 2-1式得：
( t" h, Y6 ~# {% u5 \     (2k-a)^2 ≡ k+b-a(mod n)     (2-2)
2 h$ h3 r7 a% ]( X     ① n=4k+1 , 2-1式得：
     (2k+1-a)^2 ≡ n-k+b-a (mod n)   (2-3)
0 m. z- }$ H3 O1 `( y4 @. m3 G
   从(2-1(式, 可知二次剩余的计算,  在[1,1/4]范围内, 计算出[1,n-1]的二次剩余值.
3 n2 U) U8 F; y, W3 r& X   在例2中, 按(2-2)式的计算, 可得:
; A) l5 w5 B0 E. r5 |- Y% T    (150-25)^2 ≡ 75+27-25 (mod 299) =>  125^2 ≡ 77 (mod 299)  
; T2 K5 ^; A- U7 x% `7 \5 |    所以, a^2 ≡ b (mod n)  ，如果b=a+i(i+1) ,其相对1/2的剩余值在后序序列上.
8 h' b, t. m# u  s& K
三、1/j (j >=3)的计算方法
  上面的是计算 1/2， 即j=2, 如果j>2时,  有如下的1/j计算方法:
   (1/j ± ij)^2 = (ij)^2 ± 2i + (1/j)^2 (i >= 1 ) (j ≥3)   (3-1)
6 S8 r3 V, ^4 ?' p; |, ~
   而对于\frac{1}{j}相邻, 有两种计算,
    1)  1/j    1+1/j  2+1/j ... t+1/j    (t<j)  
# F' X+ ]+ I9 t3 B+ b" R) R; o    2) t-1/j ... 1-1/j  1/j  1+1/j ...  t+1/j   (t < j/2)  
) V% S% ]" e+ X    t+1/j= (1+tj)/j = m/j ,  m=1+tj

2 R2 [! {' g+ `( |1 o    按m/j , (3-1)式变成:
    (m/j± ij )^2 = (ij)^2 ± 2mi + (m/j )^2  (i≥ 1 ) (j ≥ 3)   (3-2)

0 M6 {2 y9 P9 ]   例3: n=299    \frac{1}{3} ≡ 100 (mod 299)   100^2 ≡ 133 (mod 299)  
. r& R+ N0 d% ~- z6 g  V. C& ~0 s   (100-3)^2 ≡ 3^2-2+133  (mod 299)    =>  97^2 ≡ 140  (mod 299)
   (100+3)^2 ≡ 3^2+2+133  (mod 299)    =>  103^2 ≡ 144  (mod 299)
, {# n: J: v* H   1+1/3=4/3 ≡ 1+100=101 (mod 299)     101^2 ≡ 35 (mod 299)
4 {* t2 J! A4 ^+ `   (101-3)^2 ≡ 3^2-2*4+35  (mod 299)    =>  98^2 ≡ 36  (mod 299)
   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*4+35  (mod 299)    =>  104^2 ≡ 52  (mod 299)
   1-1/3=-2/3 ≡ 1-100=-99 (mod 299)     99^2 ≡ 233 (mod 299)  
7 n' ~0 \: i% B   (99-3)^2 ≡ 3^2-2*(-2)+233  (mod 299)    =>  96^2 ≡ 246  (mod 299)
   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*(-2)+233  (mod 299)    =>  102^2 ≡ 238  (mod 299)   
5 t8 ~8 m+ i& ^. U6 |2 g   按2+1/3也能得到相同结果，这里不在验证.
% ^  w9 d, k9 n
   当然如果j=2s, 即为偶数, 可以计算一半的值, (3-2)式得  :
, u# S- y# |& J9 ?% `4 ?2 f    (m/j ± i*s)^2=(is)^2±mi+(m/j)^2   (i ≥ 1)   (j ≥ 3)   (3-3)
  更一般的公式: 当为 g/j    g <j/2  , (g, j)=1, 这里就不再给出.

( c5 \$ O/ E- O' @0 u% X9 e