排队论概述

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解决的问题
7 H) B% Q! D  B! d5 a排队论也称随机服务系统理论，排队论又叫随机服务系统理论或公用事业管理中的数学方法。它是研究各种各样的排队现象的。

# |0 A% v" Q1 i( q它所要解决的主要问题是:在排队现象中设法寻求能够达到服务标准的最少设备,使得在满足服务对象条件下，服务机构的花费最为经济,使服务系统效率最高。
) s4 S+ c: k6 N  w/ i; I
9 B! u, I- {& t排队现象 作为一种随机现象，所采用的主要工具是研究随机现象规律的概率论。它把所需研究的问题 形象地描述成顾客（如电话用户、发生故障的机床等）来到服务台前（如电话线路维修工人 等)要求接待，如果“服务台”已被其他顾客占用，那么就得排队等待;另一方面服务台”也 时而清闲，时而忙碌。排队论就是人们通过数学方法求出顾客等待时间、排队长度等的概率分布，以便作出决策。目前排队论在社会生活的各方面已有广泛而深入的应用，如在水库用水量的调度、存储 问题、生产流水线的安排、电力网的设计、铁路分车场的调度等方面都可运用排队论的基本理 论来进行计算，从而获得合理的解决办法。

排队论的组成
4 ]* F: j4 a; c排队论一般由输入过程、排队规则、服务过程三个部分组成

. X- m' e8 |; g排队论的特征
. C7 ^) z5 h% s: z* Q排队论的输入过程：
3 w* i( t2 q- K( i①　顾客的输入可以是有限的也可以是无限的
0 O: a' `$ O% d4 ?- X②　顾客的输入可以是单独的也可以是成批的
③　顾客的输入可以是相互独立的也可以是前后相关的
: c9 p/ \4 ^7 d④　顾客的输入可以是平稳的，即输入的期望和方差是稳定的， 相反，也可以是非稳定的，即随时间的变化而改变
7 {7 |. S: \, v4 m8 z: C* i
排队论的排队规则：
- m7 [! \4 p1 T8 D4 ya.损失制：所有服务台都有人，离开
  r# T. Q$ r2 C/ j* X7 v; m: y0 Rb.等待制：所有服务台都有人，进入队列等待
c.混合制：所有服务台都有人，但是系统具有容量限制，达到最大容量之后需要离开

排队论的服务过程：
* o/ p5 R% F. M$ l; z其中，服务台可以分为单服务台、多服务台，多服务台又分为多服务台串联和多服务台并联，串联服务台是所有服务台依次为同一位顾客服务，并行服务台是每一个服务台为不同的顾客服务，服务的规则如下：

9 [9 Z  ~) `& e1)先到先服务FCFS
2)后到先服务LCFS
3)优先服务
4)随机服务

% p" V; o: k4 I排队系统的运行指标
* x) G) l1 d9 G0 E+ o' W1 u2 t①　平均队长：系统中所有顾客（正在服务的和在队列中的）期望
②　平均排队长：系统中正在排队等待服务的人数的期望
6 M  w( Z2 x! y2 t( E+ E' ]③　平均逗留时间：顾客在系统中逗留的时间（包含排队时间以及服务时间）的期望
0 r, z& w+ M% T7 q) \6 R% N④　平均等待时间：顾客在队列中的等待时间的期望
⑤　平均忙期：服务机构连续繁忙的时间（顾客到达服务机构开始到服务机构再次空闲为止）的数学期望

# u1 O5 O  g3 M5 t8 y2 p3 T; M排队系统的表示
9 P; h' C' i3 s- x1 q/ Y2 |" \排队系统的数学模型一般用六个大写字母表示，中间以“/”隔开，即：X/Y/Z/A/B/C，其中，X表示到达顾客流或者顾客到达时间间隔的分布，Y表示服务时间的分布，Z表示服务台的数量，A表示系统容量一般为，B表示输入顾客源的数量一般为，C表示服务规则，默认是FCFS。
其中，表示顾客到达时间间隔以及服务时间的分布的数学符号有：
' {+ F& V6 X$ y- W0 `5 ?% Q
3 s# @% P$ a/ m6 \% J& MM— 指数分布
9 \/ D& B% s- }' n, }. O% CD— 确定性分布
EK— k阶埃尔朗分布
/ e0 P' L7 _3 T3 q; [: ^" ?8 `  WG— 一般（general）服务时间的分布
3 |0 i6 h0 \/ Q0 l! @; k# iGI—一般独立（General independent）的时间间隔的分布
例如：M/M/1表示输入过程和服务过程均服从指数分布、服务台数量为1的排队系统
  W, O" N5 P' d' ^
- W+ n& Z8 C. x$ j4 b% o$ kM/M/S模型：
设顾客单个到达，相继到达时间间隔服从参数为λ 的负指数分布，系统中共有s个 服务台，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分布。当顾客到达时，若有空闲的服务台则马上接受服务，否则便排成一个队列等待，等待时间为无限。
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