排队论概述

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解决的问题
8 y( O8 T% }0 y" A排队论也称随机服务系统理论，排队论又叫随机服务系统理论或公用事业管理中的数学方法。它是研究各种各样的排队现象的。
! h) x% Z1 }; X- R  m6 b& A* A7 `
) V, h3 u) R4 f; Z) W3 E& F' q' G它所要解决的主要问题是:在排队现象中设法寻求能够达到服务标准的最少设备,使得在满足服务对象条件下，服务机构的花费最为经济,使服务系统效率最高。
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. h, |4 j4 ]2 m4 H排队现象 作为一种随机现象，所采用的主要工具是研究随机现象规律的概率论。它把所需研究的问题 形象地描述成顾客（如电话用户、发生故障的机床等）来到服务台前（如电话线路维修工人 等)要求接待，如果“服务台”已被其他顾客占用，那么就得排队等待;另一方面服务台”也 时而清闲，时而忙碌。排队论就是人们通过数学方法求出顾客等待时间、排队长度等的概率分布，以便作出决策。目前排队论在社会生活的各方面已有广泛而深入的应用，如在水库用水量的调度、存储 问题、生产流水线的安排、电力网的设计、铁路分车场的调度等方面都可运用排队论的基本理 论来进行计算，从而获得合理的解决办法。

  _- B; H# `6 |) M" Z排队论的组成
排队论一般由输入过程、排队规则、服务过程三个部分组成
: D( o2 ~0 S* ?
6 ~; Z9 {; _) ]) e1 J+ X排队论的特征
排队论的输入过程：
$ l+ P/ Q  ]- f5 s6 E6 s# k①　顾客的输入可以是有限的也可以是无限的
0 l, G% f+ ~9 m; o②　顾客的输入可以是单独的也可以是成批的
③　顾客的输入可以是相互独立的也可以是前后相关的
④　顾客的输入可以是平稳的，即输入的期望和方差是稳定的， 相反，也可以是非稳定的，即随时间的变化而改变

排队论的排队规则：
, c! `8 b- W. {: b2 T+ `7 ea.损失制：所有服务台都有人，离开
b.等待制：所有服务台都有人，进入队列等待
7 N5 V' \  f; v. p: |7 uc.混合制：所有服务台都有人，但是系统具有容量限制，达到最大容量之后需要离开

排队论的服务过程：
其中，服务台可以分为单服务台、多服务台，多服务台又分为多服务台串联和多服务台并联，串联服务台是所有服务台依次为同一位顾客服务，并行服务台是每一个服务台为不同的顾客服务，服务的规则如下：
6 G: F( @! |+ S! v. ?
% P# G4 W6 _# f; k. w6 I! j' B. m2 U1)先到先服务FCFS
6 b' x* A5 Q( D4 _( o/ L2)后到先服务LCFS
3)优先服务
4)随机服务
) l: i1 o) d7 M' [) d* Y( O- D
排队系统的运行指标
①　平均队长：系统中所有顾客（正在服务的和在队列中的）期望
! s: U. p" g& s4 B# Z. d②　平均排队长：系统中正在排队等待服务的人数的期望
③　平均逗留时间：顾客在系统中逗留的时间（包含排队时间以及服务时间）的期望
④　平均等待时间：顾客在队列中的等待时间的期望
⑤　平均忙期：服务机构连续繁忙的时间（顾客到达服务机构开始到服务机构再次空闲为止）的数学期望
( A3 q. ^* T2 r+ x: A" w- ^
% C, x% l, @! ~, v7 L. l排队系统的表示
+ N, G* c5 X; f) ~1 i4 t: Y排队系统的数学模型一般用六个大写字母表示，中间以“/”隔开，即：X/Y/Z/A/B/C，其中，X表示到达顾客流或者顾客到达时间间隔的分布，Y表示服务时间的分布，Z表示服务台的数量，A表示系统容量一般为，B表示输入顾客源的数量一般为，C表示服务规则，默认是FCFS。
其中，表示顾客到达时间间隔以及服务时间的分布的数学符号有：
3 z; U% U/ l" z3 R, d; S; K
M— 指数分布
D— 确定性分布
; {' n: j( m5 f( _9 s9 ~EK— k阶埃尔朗分布
# w4 N5 @% l' n2 w0 D! U6 \G— 一般（general）服务时间的分布
GI—一般独立（General independent）的时间间隔的分布
例如：M/M/1表示输入过程和服务过程均服从指数分布、服务台数量为1的排队系统
' }: T6 V! y( }7 \6 P1 ^
. d! g" w3 O  I# o; m' c( o4 e( gM/M/S模型：
! ?6 b$ ^" o! n. V设顾客单个到达，相继到达时间间隔服从参数为λ 的负指数分布，系统中共有s个 服务台，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分布。当顾客到达时，若有空闲的服务台则马上接受服务，否则便排成一个队列等待，等待时间为无限。
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