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解决的问题
8 \% u4 s3 ~3 a8 r# s! v- g排队论也称随机服务系统理论,排队论又叫随机服务系统理论或公用事业管理中的数学方法。它是研究各种各样的排队现象的。. e) E l+ X. |: n
) n1 V" p% h3 e X
它所要解决的主要问题是:在排队现象中设法寻求能够达到服务标准的最少设备,使得在满足服务对象条件下,服务机构的花费最为经济,使服务系统效率最高。
6 q& }9 ~% G: l6 m
) w, X8 ^8 t5 g9 u排队现象 作为一种随机现象,所采用的主要工具是研究随机现象规律的概率论。它把所需研究的问题 形象地描述成顾客(如电话用户、发生故障的机床等)来到服务台前(如电话线路维修工人 等)要求接待,如果“服务台”已被其他顾客占用,那么就得排队等待;另一方面服务台”也 时而清闲,时而忙碌。排队论就是人们通过数学方法求出顾客等待时间、排队长度等的概率分布,以便作出决策。目前排队论在社会生活的各方面已有广泛而深入的应用,如在水库用水量的调度、存储 问题、生产流水线的安排、电力网的设计、铁路分车场的调度等方面都可运用排队论的基本理 论来进行计算,从而获得合理的解决办法。
0 ]# N' g% w9 q- n: K& k9 B p j% |
排队论的组成2 ?0 ?- r3 T% g- o; I
排队论一般由输入过程、排队规则、服务过程三个部分组成6 J6 ^3 u6 F* H+ S
$ K; X* g1 V8 g( ~7 X0 p
排队论的特征7 y0 [6 \- i( O/ a2 C) v
排队论的输入过程:
1 I4 F( F6 U$ O: s① 顾客的输入可以是有限的也可以是无限的
( y& x" r$ r* u. P% Y2 ~2 g② 顾客的输入可以是单独的也可以是成批的
5 c1 @% o6 Z, h9 s7 k③ 顾客的输入可以是相互独立的也可以是前后相关的* m% ^! V& Y) ]$ P' ^
④ 顾客的输入可以是平稳的,即输入的期望和方差是稳定的, 相反,也可以是非稳定的,即随时间的变化而改变5 S$ B5 L: n* y. ^8 U
" \/ l2 a* E# b/ d. s排队论的排队规则:
& X' t' W3 q$ L/ k( ?a.损失制:所有服务台都有人,离开
) T" a- B* e9 m& P0 ?. ]: Rb.等待制:所有服务台都有人,进入队列等待
) a" r3 C6 w5 l! g/ \0 ?% P H) lc.混合制:所有服务台都有人,但是系统具有容量限制,达到最大容量之后需要离开5 }4 j% u2 d3 s' S' X& x) u
2 X* k6 ]% @% x; \; r排队论的服务过程:8 c. w9 G% \) p2 Z
其中,服务台可以分为单服务台、多服务台,多服务台又分为多服务台串联和多服务台并联,串联服务台是所有服务台依次为同一位顾客服务,并行服务台是每一个服务台为不同的顾客服务,服务的规则如下:
: I- z! s2 x% _3 x; D9 K7 G; A- p, G w! x) O5 L
1)先到先服务FCFS9 Y; V) e- Z, p; U6 v+ W2 C9 [/ ^
2)后到先服务LCFS5 {5 z8 K3 _% [$ ?3 D7 S
3)优先服务
) _9 S/ A9 _2 M1 @8 f3 G4)随机服务- u7 a" i9 | `" I. p
4 Z! C1 \) _7 G5 k& k7 ^0 ~5 Q r
排队系统的运行指标/ x- N1 p7 I. k' B5 U2 s+ l
① 平均队长:系统中所有顾客(正在服务的和在队列中的)期望+ a0 c! p1 @# z- U& R; K- e
② 平均排队长:系统中正在排队等待服务的人数的期望
3 Q) r0 W# f, B: G9 N③ 平均逗留时间:顾客在系统中逗留的时间(包含排队时间以及服务时间)的期望
. u! P x* G, ]* \! F) L④ 平均等待时间:顾客在队列中的等待时间的期望: o) d) ?% }+ Z4 Z! \& K: Q
⑤ 平均忙期:服务机构连续繁忙的时间(顾客到达服务机构开始到服务机构再次空闲为止)的数学期望
: P3 j) T4 E$ F( F C. t/ I' R7 G" @
排队系统的表示7 k1 `' k1 I* R$ i
排队系统的数学模型一般用六个大写字母表示,中间以“/”隔开,即:X/Y/Z/A/B/C,其中,X表示到达顾客流或者顾客到达时间间隔的分布,Y表示服务时间的分布,Z表示服务台的数量,A表示系统容量一般为,B表示输入顾客源的数量一般为,C表示服务规则,默认是FCFS。
6 q" ]2 ]6 }& k其中,表示顾客到达时间间隔以及服务时间的分布的数学符号有:
# \! _, s$ b5 L* }/ t1 M
" S/ B2 d% W) ]2 }M— 指数分布
, Y4 `3 b1 n( U$ t9 g$ k+ WD— 确定性分布
5 i) \' G5 ~+ n3 MEK— k阶埃尔朗分布4 \, e) W' N, H( a8 A: a* R$ T
G— 一般(general)服务时间的分布
0 Q+ U) T; M1 Z! tGI—一般独立(General independent)的时间间隔的分布
& X6 _5 j7 n/ i" Y例如:M/M/1表示输入过程和服务过程均服从指数分布、服务台数量为1的排队系统, v1 \ B1 w4 _
# a6 y! a5 r% i4 f- x0 @
M/M/S模型:
) f7 n! |3 R! `( j: x9 Y设顾客单个到达,相继到达时间间隔服从参数为λ 的负指数分布,系统中共有s个 服务台,每个服务台的服务时间相互独立,且服从参数为 μ 的负指数分布。当顾客到达时,若有空闲的服务台则马上接受服务,否则便排成一个队列等待,等待时间为无限。
& h! _+ g; Y8 _5 W2 R; L. @1 T; ~2 Y
8 t) i9 a8 I/ @7 r+ |( {# h" s8 C: j3 j: }& X# l0 w
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