一个乘法逆元的计算方法

songls

以下给出一个求乘法逆元的方法，主要是使用除数的积来求逆，供大家参考，如有不足，欢迎大家批评指正。
设 (a,n)=1  (ri,n)=1  (qi,n)=1  1≤i≤m
  a*r1≡q1 (mod n)
& v2 F' ~) n9 A: d3 H; O  q1*r2≡q2 (mod n)
  q2*r3≡q3 (mod n)
   .
5 @+ C6 N% m# L- N5 k   .
  .
  qm-1*rm≡qm (mod n)
7 S* J8 a) X' C2 ?" w* I 上述等式相乘，得：
  a*(r1*r2*...*rm-1)*(q1*q2*...*qm)≡r1*r2*...*rm-1*rm (mod n) =>
6 o, Q5 s* R: f1 `  a*(q1*q2*...*qm)≡rm (mod n)
: H; h8 v- q6 \0 c3 W  如果对qi(1≤i≤m)进行如下的限定:
8 n# `6 ]2 O) C7 n8 B   a>|q1|>|q2|>...>|qi|>...>|qm-1|>|qm|
! }/ W1 V/ B' d   则 qm=±1
+ U* d9 z, m2 s) ~- r  即 a与q1*q2*...*qm互逆
8 I+ i+ ]/ ?* _/ `  例 求28在299的逆
7 T3 K9 s4 F5 A3 A/ W6 T     28*11≡9 （mod 299）
     9*33≡-2  （mod 299）
     -2*-150≡1 (mod 299)
0 F( [3 U8 Q# w$ ^* R  逆为:    11*33*-150≡-32 (mod 299)
' f8 e' V" M1 I) W5 W     28*-22≡-1 (mod 299)
+ ~+ e, c- ]& c/ j6 h+ s  但该方法有个最大的问题，当(qi,n)>1时，该方法将无法继续往下计算逆。
& m: H& g) z7 G, f 下面给出其中一个算法：
  1    输入a,n  
$ U8 v2 l' n& m' Q5 T1 a# {  n  2   resulte = 1   ; 保存逆的结果
  3   r=n/a+1      ; 保证 r*a>n
7 L! \6 L5 h6 e+ e2 O3 j  4  q=r*a-n       ; 得到余数，该余数小于a
6 C# C% O+ s$ M- i  5  resulte=(resulte*r)%n   
  6  if q=1  then  print(逆为: resulte) return  resulte
: X: P: {: v$ C  7  if q=0 or q=a then  print(存在因子: a)  return a ;
  8  a=q
  9  goto 3

8 b; Y7 ~  [! x( v3 Q9 ~