一个乘法逆元的计算方法

songls

以下给出一个求乘法逆元的方法，主要是使用除数的积来求逆，供大家参考，如有不足，欢迎大家批评指正。
设 (a,n)=1  (ri,n)=1  (qi,n)=1  1≤i≤m
2 N  U/ x# b9 H0 N' h# u2 s  a*r1≡q1 (mod n)
  q1*r2≡q2 (mod n)
- x; P+ h0 y" H" c) V8 Z  q2*r3≡q3 (mod n)
   .
! Z* U% s3 K8 y5 M+ E2 C) N   .
  .
  qm-1*rm≡qm (mod n)
上述等式相乘，得：
  a*(r1*r2*...*rm-1)*(q1*q2*...*qm)≡r1*r2*...*rm-1*rm (mod n) =>
  a*(q1*q2*...*qm)≡rm (mod n)
  如果对qi(1≤i≤m)进行如下的限定:
   a>|q1|>|q2|>...>|qi|>...>|qm-1|>|qm|
   则 qm=±1
  即 a与q1*q2*...*qm互逆
  例 求28在299的逆
8 K+ n: X- r) I4 o0 f# I2 T) u     28*11≡9 （mod 299）
) f% g* w- z" a6 Y% B     9*33≡-2  （mod 299）
     -2*-150≡1 (mod 299)
/ W9 D; s% c0 }4 _9 \- f0 W( s  逆为:    11*33*-150≡-32 (mod 299)
0 ?$ K. L; v2 h" q. e     28*-22≡-1 (mod 299)
  但该方法有个最大的问题，当(qi,n)>1时，该方法将无法继续往下计算逆。
下面给出其中一个算法：
$ p/ Q- h' i% m6 M, x  1    输入a,n  
- o/ i- r9 f, C" B  2   resulte = 1   ; 保存逆的结果
4 R* q1 n8 Z* _2 K) S6 @% n+ X  3   r=n/a+1      ; 保证 r*a>n
' i$ u" @3 G! b* o- r* h& i7 r  4  q=r*a-n       ; 得到余数，该余数小于a
  5  resulte=(resulte*r)%n   
9 z! }. p) {- S  6  if q=1  then  print(逆为: resulte) return  resulte
  7  if q=0 or q=a then  print(存在因子: a)  return a ;
  8  a=q
  9  goto 3

  o: S1 s- M% o3 @$ r% |. l  W% V