一个乘法逆元的计算方法

songls

以下给出一个求乘法逆元的方法，主要是使用除数的积来求逆，供大家参考，如有不足，欢迎大家批评指正。
设 (a,n)=1  (ri,n)=1  (qi,n)=1  1≤i≤m
  a*r1≡q1 (mod n)
  q1*r2≡q2 (mod n)
  q2*r3≡q3 (mod n)
   .
* i: ~; `& M0 m4 c6 x2 C  j   .
  .
- n5 y; v2 H# S6 m& H  I  qm-1*rm≡qm (mod n)
1 ]# f' }; b( W$ h1 T  n$ q 上述等式相乘，得：
  a*(r1*r2*...*rm-1)*(q1*q2*...*qm)≡r1*r2*...*rm-1*rm (mod n) =>
/ Y# i$ D$ `) `( J  a*(q1*q2*...*qm)≡rm (mod n)
  如果对qi(1≤i≤m)进行如下的限定:
1 C$ u5 c9 j: Z0 k8 M' H   a>|q1|>|q2|>...>|qi|>...>|qm-1|>|qm|
1 u' E  t* h6 l7 z6 c   则 qm=±1
. ?1 [5 o: `& ]) S6 q7 [  即 a与q1*q2*...*qm互逆
( s7 Y8 J5 ^3 U" z/ ?" l  例 求28在299的逆
     28*11≡9 （mod 299）
; G9 c: ?' l. T. a& X     9*33≡-2  （mod 299）
2 S% H6 X: A( a. {     -2*-150≡1 (mod 299)
  逆为:    11*33*-150≡-32 (mod 299)
6 r2 Q3 R; ~8 M     28*-22≡-1 (mod 299)
3 v- ^, X# w6 h2 X) a  但该方法有个最大的问题，当(qi,n)>1时，该方法将无法继续往下计算逆。
下面给出其中一个算法：
5 Z- e8 _7 `( U5 [2 w: [  1    输入a,n  
  2   resulte = 1   ; 保存逆的结果
& p' h& r. {' @8 r% G  3   r=n/a+1      ; 保证 r*a>n
1 p) U+ R4 Q; p- j# H  4  q=r*a-n       ; 得到余数，该余数小于a
  5  resulte=(resulte*r)%n   
9 w% H: g: C9 k  6  if q=1  then  print(逆为: resulte) return  resulte
- s4 t. f) x6 a, |0 J2 U  7  if q=0 or q=a then  print(存在因子: a)  return a ;
  8  a=q
; O4 v7 w" V) d3 E( _  9  goto 3