一个乘法逆元的计算方法

songls

以下给出一个求乘法逆元的方法，主要是使用除数的积来求逆，供大家参考，如有不足，欢迎大家批评指正。
设 (a,n)=1  (ri,n)=1  (qi,n)=1  1≤i≤m
0 u' Z* f9 |- B, L0 n  W  a*r1≡q1 (mod n)
  q1*r2≡q2 (mod n)
4 Q" w. _( j. B; Z$ v9 A: s$ L$ z- d  q2*r3≡q3 (mod n)
   .
   .
  .
  qm-1*rm≡qm (mod n)
上述等式相乘，得：
  a*(r1*r2*...*rm-1)*(q1*q2*...*qm)≡r1*r2*...*rm-1*rm (mod n) =>
  a*(q1*q2*...*qm)≡rm (mod n)
  如果对qi(1≤i≤m)进行如下的限定:
  N4 r2 L; X9 M; U" ]6 j   a>|q1|>|q2|>...>|qi|>...>|qm-1|>|qm|
   则 qm=±1
5 ?4 b3 x1 A1 I  即 a与q1*q2*...*qm互逆
  例 求28在299的逆
     28*11≡9 （mod 299）
     9*33≡-2  （mod 299）
     -2*-150≡1 (mod 299)
4 {' m. k7 V& J+ Y  逆为:    11*33*-150≡-32 (mod 299)
7 C& }( d2 Q/ C5 u" D, d1 d5 e     28*-22≡-1 (mod 299)
2 ?5 t0 f' L% w4 }- p2 I  但该方法有个最大的问题，当(qi,n)>1时，该方法将无法继续往下计算逆。
" C# F3 \* t+ ]+ a 下面给出其中一个算法：
( ^$ Q& \. \1 p0 Y# x  1    输入a,n  
  2   resulte = 1   ; 保存逆的结果
" G. y1 a" X  l& Q9 J5 v6 V- ~( h6 s: @  3   r=n/a+1      ; 保证 r*a>n
* v6 s! [$ D* ~  4  q=r*a-n       ; 得到余数，该余数小于a
' h( ?, |, r$ ?9 P! ^4 S, b: `  5  resulte=(resulte*r)%n   
3 a3 b# `1 d- _7 W& U/ R  6  if q=1  then  print(逆为: resulte) return  resulte
4 a3 v' a, _& B# j, V! T  7  if q=0 or q=a then  print(存在因子: a)  return a ;
: h- s) |9 k5 F- s6 C  8  a=q
1 j7 A+ J2 ~  S( C9 x  9  goto 3
9 ]4 p( n7 v  N( j: W
, c6 N3 v4 `) z4 Z