一个乘法逆元的计算方法

songls

以下给出一个求乘法逆元的方法，主要是使用除数的积来求逆，供大家参考，如有不足，欢迎大家批评指正。
: R+ t5 d! R& T: ^/ O8 z8 O设 (a,n)=1  (ri,n)=1  (qi,n)=1  1≤i≤m
0 g" j6 |% j+ ~' m/ N. s7 A  a*r1≡q1 (mod n)
; Z7 B& R5 v8 y6 X+ S& k  q1*r2≡q2 (mod n)
  q2*r3≡q3 (mod n)
   .
( h; A% D& |- L0 d* j3 O5 Y   .
  .
- v" }& q* }! Y9 X% v: d0 o  qm-1*rm≡qm (mod n)
: p/ C5 G# b0 l: n 上述等式相乘，得：
  a*(r1*r2*...*rm-1)*(q1*q2*...*qm)≡r1*r2*...*rm-1*rm (mod n) =>
- E* a* ?& B2 L# E4 a* P: B/ m+ e  a*(q1*q2*...*qm)≡rm (mod n)
/ \' v( w1 x$ x  如果对qi(1≤i≤m)进行如下的限定:
$ q$ d2 s% E' @% u5 ~5 U   a>|q1|>|q2|>...>|qi|>...>|qm-1|>|qm|
   则 qm=±1
( U$ l: a, ^( @; N& B# _1 w  即 a与q1*q2*...*qm互逆
  例 求28在299的逆
     28*11≡9 （mod 299）
' u3 P" w) [1 E* S     9*33≡-2  （mod 299）
2 ~1 W0 e" A% n+ n     -2*-150≡1 (mod 299)
  逆为:    11*33*-150≡-32 (mod 299)
     28*-22≡-1 (mod 299)
  但该方法有个最大的问题，当(qi,n)>1时，该方法将无法继续往下计算逆。
0 S7 h3 ^0 o7 v& Y8 | 下面给出其中一个算法：
/ h, D# R: T; L; U7 L# B  1    输入a,n  
: _' Q/ k3 ?  B/ g: T  2   resulte = 1   ; 保存逆的结果
  3   r=n/a+1      ; 保证 r*a>n
  4  q=r*a-n       ; 得到余数，该余数小于a
8 u2 l6 j5 F1 }4 r; d* d7 x  5  resulte=(resulte*r)%n   
  6  if q=1  then  print(逆为: resulte) return  resulte
  7  if q=0 or q=a then  print(存在因子: a)  return a ;
  8  a=q
  9  goto 3
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