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"N皇后问题"是一个著名的组合问题,其目标是在一个N×N的棋盘上放置N个皇后,使得它们彼此之间无法互相攻击。在国际象棋中,皇后可以在水平、垂直和对角线方向上移动,因此在棋盘上放置皇后时,需要确保任意两个皇后都不在同一行、同一列或同一对角线上。
2 m6 E) r* d# w# L0 E* U具体来说,N皇后问题的规则是:
5 _ @9 a/ h! R, n. @
; w3 a3 D# x. Q& X1 Y0 a1.每一行只能放置一个皇后。9 r0 g5 a1 [/ T9 G
2.每一列只能放置一个皇后。1 r, C/ Z8 T9 O7 `6 h& J
3.每条对角线只能放置一个皇后。8 H* t1 e6 P) p4 U
* w/ ?) r" e3 _0 f! n2 Y( EN皇后问题是一个经典的递归和回溯问题,它的解法要求找到所有满足上述规则的皇后布局。问题的难度在于确保在放置每个皇后时都满足约束条件,同时要考虑到适当的优化以提高算法的效率。
( w' Z" ]; t0 R解决N皇后问题的一种方法是使用回溯算法,通过逐行放置皇后并检查是否满足规则,如果不满足则回溯到前一步重新尝试。这个问题的解法通常会利用递归和回溯的思想,以及对棋盘状态的合理剪枝,以降低搜索的复杂度。+ b& {6 ? k1 x7 G
N皇后问题是一个经典的组合问题,也是算法设计和递归思想的典型例子。- clear all
2 E; ]9 o, v O! \ - clc
复制代码 这两行命令清除工作空间中的所有变量,并清除命令窗口。0 w- i1 c8 f4 r j0 o( L
%n皇后问题- n=8;! K/ k) r k$ h' |, Y( Y
复制代码 这个注释指出代码是解决N皇后问题的,并将n的值设置为8,表示棋盘的大小为8x8。- chess=zeros(n,n);
9 ?+ a3 u( A* L t( o8 { - row=zeros(1,n); %记录n列被占用的情况) }: e1 f' M6 [! ^3 ?6 z& Z
- main=zeros(1,2*n-1); %记录主对角线的使用情况
( }\" h# A3 i y( b, R - deputy=zeros(1,2*n-1); %记录从对角线的使用情况3 v. h X% j+ E- u$ U$ x
- number=0;4 P7 _9 T, [2 h+ ^/ Y% n\" q
- [chess,row,main,deputy,number]=justtry(1,n,chess,row,main,deputy,number);
复制代码 在这里,矩阵和数组被初始化。chess是一个NxN矩阵,表示棋盘,最初全部填充为零。row、main和deputy是用于跟踪特定行、主对角线或副对角线是否被占用的数组。number是解的数量计数器。然后调用justtry函数,传递初始参数。- function [chess,row,main,deputy,number]=justtry(i,n,chess,row,main,deputy,number);
复制代码 这一行定义了justtry函数,它接受当前行i、棋盘大小n、棋盘chess、有关行和对角线占用的信息(row、main、deputy)以及当前解的计数number。它将在处理后返回这些变量的更新版本。5 {3 z7 E% k4 z k9 B
for k=1:89 N% r$ T& y6 K4 q* G' |
% }( Z) K ]! ~4 h
这开始一个循环,迭代处理当前行的每一列(k)。
( h" L2 S4 S) T7 m: J' iif row(k)==0 & main(i-k+n)==0 & deputy(i+k-1)==0
. @, `! L& [! x2 q% H5 G: H* O8 W/ K/ q/ H7 s
这个条件检查当前列、主对角线和副对角线是否没有被占用。如果为真,则考虑在此位置放置皇后。- chess(i,k)=1;
5 L0 q, a+ d) ]. g9 T g4 \: ` - row(k)=1;- T2 c4 p: L$ a\" z' p
- main(i-k+n)=1;
* j; p% z1 u5 F0 \ - deputy(i+k-1)=1;( P- S6 B) X9 `
复制代码 如果条件满足,就在当前位置放置一个皇后,并更新相应的数组(row、main、deputy)来标记占用。
# I- k6 ]4 t3 u3 }9 S z! C if i==8
6 s6 o5 ?* t5 f8 Z( a9 E
5 U' P+ U! a1 F/ s( b这检查是否已经到达了最后一行。如果为真,说明找到了一个解。- number=number+1;- G/ m; h# J4 O7 Z5 x( L8 F' ^4 ]$ ~
- chess
复制代码 解的计数增加,并打印当前的棋盘配置。
@% b5 o" G: l7 r" h9 e5 @ else
1 p4 j) A: l* `- V& t3 E9 S) \7 c8 o8 v: A+ n* l+ a! R
如果不在最后一行,函数继续搜索,通过递归调用自身处理下一行。- [chess,row,main,deputy,number]=justtry(i+1,n,chess,row,main,deputy,number);
复制代码 用更新的参数递归调用函数处理下一行。2 h9 ^3 `, f' O8 Q% s* N
end9 i+ j" w: e4 {+ k3 X7 n' E
! K7 `' n, r' h, P* N
这标志着对最后一行的条件检查结束。- chess(i,k)=0;
p* \) o3 R) F& O% X7 ^* ]' C - row(k)=0;
3 \1 c( l& B$ [8 P8 c - main(i-k+n)=0;4 Y6 @0 g- O4 i* i- B6 K
- deputy(i+k-1)=0;4 B' D( y3 f# h* M
复制代码 这是回溯的部分。如果在递归调用中找不到合适的位置放置皇后,则移除放置的皇后,并更新相应的数组,以回溯并尝试其他可能性。
- o9 l; c ^" L; Y( M5 ?) nend% g: Y1 J( t E5 g5 Q! B' |7 R
end ?4 B8 ^% t8 z
# g/ s( |% v+ h" h; e, [这标志着循环的结束和justtry函数的结束。循环迭代所有列,尝试在当前行找到可以放置皇后的有效位置。
4 k- m" w6 f! w# t( rend
. _7 b8 N1 }: _4 o+ ^3 W: R% }4 H0 u$ \3 G
这标志着主脚本的结束。整个过程由使用初始参数调用justtry函数开始。找到解时,它们将被打印出来。- N5 L4 j6 U) h3 r. m& A8 ^' Y
. s8 ]* L% r+ Y" _6 K9 \) r0 z0 g% X
. e+ J* D) m2 B P4 L' e4 V
~* t% F# w" e$ H
& c" d# O |; T2 z( ~ |
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zan
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